|
.
设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为
n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为
?????
????
?
?=22
2
2
2
2
2000000σσσσσσσ
a a a B
试求其特征函数。
解：n 元正态分布的特征函数为
}2
1exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ
n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则
>
∑==
'n
i i
jat t j 1
μ
(
)()),,,(21
2
232222212
1'
++='n n t t
t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ
=22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑
-=+=+
1
1
2112
2n i i i n
i i a t t t σσ
∴]21exp[)]21(exp[),,,(1
1
211
2221][∑
∑
-=+=--=n i i i n
i i i n a t t t jat t t t σσφξ
. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ，
n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为
n i m i m n b i m ,3,2,1,|,
|,=--=
设有随机变量∑==n
i i 1
ξη，求的特征函数。
[
解：易得：????
?
???????=n ξξξη 21]111[
2
)
1(][][1
1
+=
==∑∑==n n i E E n
i n i i ξη 协方差矩阵为： ???????
???
?
??
???------=n n
n n n n n n n n
321
312211121B
所以 ]111[]111['??= B ηD =2
2
3n n +
由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为：
??
?
???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ
设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ
)3,2,1(=i ，其协方差矩阵为
????
? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B {
其中，2332211σ===b b b ，试求：
（1）[]321ξξξE
（2）[]
2322
21ξξξE （3）)])()([(223
222221σξσξσξ---E 解：
（1） 由教材467P 页可看出
()
()3,2,1,,,,321321=Φ-=?Φ?i t t t u t t t t i i
()
()()
j i j i t t t u u t t t b t t t t t j i ij j
i ≠=Φ+Φ-=??Φ?且3,2,1,,,,,,,3213213212，
&
()
()()()()
()()
3213211232133123213213211233212133213123
213213,,,,,,,,,,,,t t t u u u u b u b u b t t t u u u t t t u b t t t u b t t t u b t t t t t t Φ-++=Φ-Φ+Φ+Φ=???Φ? 其中：()321,,t t t Φ为零均值的三元正态分布随机变量321,,ξξξ的特征函数
()??
?
???????-=Φ∑
=3132121exp ,,k k k u t t t t
∑==
3
1
i i ki k t b u
令0321===t t t ，则()3,2,1,0,10,0,0===Φk u k ，所以
[]()
()0,,0
3
2132133213213=???Φ?====-t t t t t t t t t j
E ξξξ
（2）设()321123213312u u u u b u b u b N -++=，则
()
()3213
213213,,,,t t t N t t t t t t Φ=???Φ?
《
213331233213331233123
212331223212221323122
211331123211112313121
23
13122221333212223113322113
2132222u u b u u b u u b b b b b t N
u u b u u b u u b b b b b t N
u u b u u b u u b b b b b t N
b b b b b b b b b b b b t t t N
---+=??---+=??---+=??++++=????
()
()()
()()()()23
1312332211013232122313212321321232132130
3
2132130
23
222132164,,,,,,,,,,,,321321321b b b b b b t N t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t t t t t -=???
? ??????Φ?+????Φ?+????Φ?+Φ????=???Φ?=
???Φ?========= []()
()
()
()2313123322110
2
3
222132162
3
22214,,63216b b b b b b j
t t t t t t j
E t t t -=???Φ?=--===ξξξ
(3)
()
()()[](
)()()()[]
()
2121122221222121122122112221121222112121122
12
2
2
21214,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-???=
??Φ?
()
()()[](
)()()()[]
()
3131132321332131132133113231121333113131133
12
23
21314,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-???=
??Φ?()
()()[](
)()()()[]
()
3232232322332232232233223232222333223232233
22
23
22324,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-???=
??Φ?
[]()
2
12
22110
22
212142
2
212,21b b b t t t t E t t +=??Φ?=
==ξξ
[]()
2
13
33110
23
213142
3
212,31b b b t t t t E t t +=??Φ?=
==ξξ ，
[]()
223
33220
2
3
223242
3
222,32b b b t t t t E t t +=??Φ?=
==ξξ (
)()()[]
[][][][]()()
()
223
213
212
2
23
131262322214
23
2223
2122212
2
3
22212
2
32222212224b b b b b b E E E E E E E E ++--=-+++++-=---σσξξξσξξξξξξσξξξσξσξσξ
另一种方法是利用
设有三维正态分布的随机矢量T ξ=[1ξ,2ξ,3ξ]的概率密度为
f []ξ(x 1,x 2,x 3)=C )}422(2
1
exp{2
321222121x x x x x x x +-+--
(1)证明经过线性变换η=A ξ=??????
?
?
???
??
???---100721
021411??????????321ξξξ 得矢量T η=[321,,ηηη]，则321,,ηηη是相互统计独立的随机变量。 (2)求C 值。
(
解：23312
22121422x x x x x x x +-+-=[x 1,x 2,x 3]????
??????----401015.015.02
[x 1,x 2,x 3
]T
B 1-=??????????----401015.015.02,B=????
???
???75.15.015.07212
461,B =61 (1)3
2124111ξξξη--= 372
22ξξη-=
33ξη=
E[21ηη]=E[23
713221321412241317221ξξξξξξξξξξ+-+--]=0
同样可得：E[31ηη]=0，E[32ηη]=0 所以321,,ηηη是相互统计独立的随机变量 (2) C=
2
12
)2(1B
n π=
2
1
3
3)6
1()2(1π=
π
π6
1
】
、
设有零均值平稳实高斯随机过程)(t ξ，其功率谱密度为
其它频率范围）
(0
)
()
(2{
)(0f f f P S f S ?
=ξ
如果对该过程每隔
f ?21秒作一次抽样，得到样本值),0(ξ ),22
(),21(
f
f ??ξξ （1） 写出前面n 个样本点)(t ξ所取值))21
(
),0((f
n ?-ξξ 的n 维联合概率密度。
（2） 定义随机变量∑
-=?=10)2(1n k n f
k
n ξη 求概率}{aP P n >η的表示式，α为
常数，α>0。
解：
（1） 首先由功率谱密度求出自相关函数，参见P345，图5-5结论。
τ
πτπττππτξf f P f f f S R ??=????=
2)
2sin()2sin()(0
`
)(t ξ是零均值的、平稳实高斯过程
均值向量μ=0，协方差阵1,1,0,)],2()2(
cov[,)(-=??==?n k i f
k f i b b B ik n n ik ξξ其中 由功率谱密度的表达式，我们可以看到，该信号最大频率分量为f ?，而对该过程的采样频率取为2f ?，这样所得样本值),0(ξ ),22(),21(
f
f ??ξξ为相互统计独立的随机变量，其协方差阵B 为对角阵，P R b ii ==)0(ξ，即?
????
?
??????=P P P B 所求的n 元正态分布的联合概率密度为
)}()(2
1
exp{)2(1),,,(12
1
2
21][μμπξ-'--?=
-X B X B
x x x f n
n
=
}2
1
exp{)
2(11
2
2
1
2
∑
=-
?n
i i n P
x P
π （2） 记∑
-=?=10)2(1n k n f k
n ξη=ξa '，其中]1
11[
n
n n
a ='。根据线性变换前后的关系，得
∑
-==?=100)]2([1n k n f k
E n E ξη，22n
P Ba a ='=ησ
.
所以，}2exp{2)(2
22P
n x P
n x f -
?=
πη
dx x f dx x f P P P P
n ??+∞
-∞
-+
=
>αηαηαη)()(}{=
. 设有图题6-12所示的接收机。
&
图题6-12
接收机的输入有两种可能： ①存在信号和噪声，)()()(t n t s t +=ξ ②仅有噪声存在（信号不存在），)()(t n t =ξ
)(t s 代表信号，它是一确定性信号，在(0,T )内它具有能量dt t s E T
s ?=
2)(。)(t n 代表噪
声，它是零均值白高斯随机过程，
)(2
)}()({0
u t N u n t n E -=
δ 接收机的输出为，把和门限相比较，试求
①P {>
|信号存在时}，这就是发现概率；，
]
②P {>
|信号不存在时}，这就是虚警概率。
解：噪声在所有频率上的功率谱密度都是常数N 0/2，由于信号)(t s 是确知的，所以
dt t s t n T y T
?=
0)()()(仍是一个高斯分布的噪声，其均值为0，方差是
2)(][][002N E dt t s n D y D s T
?=?=?
分布函数为： ???
?
??-=
s
s E N y E N y p 02
0exp 2
21
)(π
当有信号时，输出)(T y E s +=η 仍是一个高斯分布的变量，只是均值为E s
?
?T
dt
0)(
??
?+=)
()()()(t n t n t s t ξ)
(t ξ)
(t s η
比较器
门限电平
或
发现概率 ()dy E N E y E N P s s s d ?
∞
???
?
?
?--=γ
π020exp 2
21 ()dy E N E y E N s s s ?∞
???
?
??--=
γ
π
020exp 2
21
【
当无信号时，输出)(T y =η 虚警概率
dy E N y E N P s s fa ?∞
???
?
??-=
γ
π
020exp 2
21
设有图6-13所示的非线性系统，它的输出、输入关系如图中所示。
）
图题 6-13
如果输入为零均值平稳实高斯过程，其协方差函数为
τ
αξτ-=Pe
C )(
求：
（1）输出均值][?E ； （2）输出?的方差][?D ； （3）设2
])[(]
[??E D u =
，画出u 对)(T α的关系曲线。
解：(1) 输出均值为
~
[]t t E T E T
d )(1][
2?=
ξ? 由于)(t ξ是零均值的，所以
[]
P C R t E ===)0()0()(2ξξξ
于是
P dt P T E T
==?0
1][?
(2) 输出?的方差为
()22222][][][]])[[(][P E E E E E D -=-=-=??????
其中，
@
[]()??????=
=
??
??
??=T T
T T
T T
v
u v u R T v u v u E T v u v u T E E 002
00
2
00
2
2d d ,1d d )()(1d d )()(1
][ηηηηη?
且
()[]ταξξητξξ22222222)]([2)]0([)()(,-+=+==e P P R R v u E v u R
其中，v u -=τ。
方法一：直接以u 和v 为变量进行积分，积分区域下图的(a)所示
()()()()()
12d d 2d 21][22
22
2022202222
2-++
=??
????+++=
----???T T T
u v u u
v u e T T P P u v e P P v e P P T E ααααα?
(a) (b)
图题 6-13 积分区域
方法二：设v v v u ==-',τ，则图示的积分区域(a)变换成积分区域(b)
()
12d )(|]|[1d d )(d
d )(1][22
22
'0'22-+??
?
??+=-=??
?
???+=
----??
???T T
T T T T T
e T T P P R T T v R v R T E αητ
ητ
ηαατ
ττττττ?
于是，得?的方差为
()12][22
-+??
? ??=-T e T T P D ααα?
（3）设2
])[(]
[??E D u =
，则u 与T α的函数关系为
()12)
(1
])[(][222-+=
=
-T e T T E D u ααα?? 其曲线如下图所示
如上题，如果输入ξ(t)为零均值平稳实高斯过程，其功率谱密度为：
S ξ(f)=f
A ?2,(f ≤f ?) S ξ(f)=0 ,(其他频率范围)(1)试证明E ? (t)=A ；(2)假定(f ?.T)之值很大，求?的方差D ?的近似表示式。