1
线线角、线面角的向量求法
A ．直线与直线所成的角向量求法
知识点 设直线l ，m 的夹角为(0)2
π
θθ≤≤，方向向量分别为u 、v ，则cos θ=
||||||
?a b a b ．
注意：当向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角等于此时的向量夹角；当向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角则是向量
夹角的补角．
例1 （P118页第10题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点．
（1）求证：EF CF ⊥；
（2）求EF 与CG 所成角的余弦值．
解：如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D xyz -． 则(0,1,0)C ，因为E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点，
所以1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，1
(1,1,)2
G ．
（1）依题意111(,,)222
EF =-，1
1(,,0)2
2
CF =-，
因为111
11
0022222EF CF ????
?=?+?-+-?= ? ?????
，所以EF CF ⊥，即EF CF ⊥．
（2）依题意1(1,0,)2CG =
，因为1111102cos ,||||1
EF CG EF CG EF CG ???+?+
-?
????=
=， 所以EF 与CG ． 例2 在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB ，求异面直线1AB 与1C B 所成角的大小．
解法一（向量法）：因为11AB AB BB =+，1111C B C B B B =+，又1A B B B ⊥，111C B BB ⊥，11,60AB C B ??=?，11||||AB B C =，所以
22
22111111
1
1
1||c o s 60|
||
||
|0A B C B A B
C B B B B B A B B B B B B B ?
=?+?
=?-=-
=．
所以11AB C B ⊥，即
1AB 与1C B
所成角为90?解法二（坐标法）：取11
AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 以1
2
AB 为长度单位，则由1AB ，可知(0,A -，B ，1(0,1,0)B ，1C ． 所以1(0,2,AB =，1(C B =，所以1
1220AB C B ?=-=．即1AB 与1C B 所成的角为90?
自主体验
1．教材P111A 组第1题
结果：（1）60?．（2）45?．
A 1A
1D 1C
1B
C
B
D
F
G
E
2
2．（119B 组第1题）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，且11120A AB A AD ∠=∠=?．求：
（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 夹角的余弦值．
解：（1）因为11AC AA AB AD =++，
所以2
2
2
2211111||()222AC AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AD AA =++=+++?+?+?． 由已知得：2
21AA b =，2
2
2AB AD a ==，11,,120AA AB AA AD ??=??=?，,90AB AD ??=?，
所以11
cos1202AA AB ba ab ?=?=-，11cos1202
AA AD ba ab ?=?=-，0AB AD ?=，所以2221||22AC a b ab =+-，即1||2AC a =． （2）依题意得，AC AB AD =+，11BD AA AD AB =+-，所以
2
2
1111()()AC BD AB AD AA AD AB AB AA AB AD AB AB AA AD AB AD ab ?=+?+-=?+?-+?+-?=-．
因为2AC a =， 222
222211111||()2222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AD AB AB AA a b =+-=+++?-?-?=+，1||2BD a =
1122
1cos ,||||2BD AC b
BD AC BD AC ?-??=
=，所以1BD 与AC 夹角得余弦值为2242b a b +． 3．（教材112第8题）边长为2a 的正方形ABCD 的中心为O ，过点
O 作
平面ABCD 的垂线，在其上取点V ，使OV h =．连接VA ，VB ，VC ， VD ，点E 是VC 的中点，且满足BE VC ⊥．
求直线BE 与DE 所成角的余弦值．
解：取正方形中心为原点，分别以O A ，O B ，OV 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建 立空间直角坐标系O xyz -．
因为正方形ABCD 的边长为2a ，垂线段VO h =，所以,0)B ，(,0,0)C ，(0,0,)V h ，
(0,,0)D ，(,0,)2
h
E ，得(,0,)VC h =-，(,,)2h BE =-，(,)2h DE =-因为BE VC ⊥，即0BE VC ?=，所以()()()02
h
h ?+-?=，解得h ． 所以(,)BE =-
，()DE =-，因此 所以222
11
212
cos ,3a a a BE DE -+??-．所以直线BE 与DE 所成角的余弦值为13． B ．线面角的向量求法
知识点 设直线l 与平面α的夹角为(0)2π
θθ≤≤，直线的方向向量为v ，平面α的法向量为n ，
则sin θ= ||||
a u ．
例1（2008年海南）如图，已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，60PDA ∠=?． （1）求DP 与1CC 所成角的大小； （2）求DP 与平面11AA D D 所成角的大小．
A
B
C 1B
D
1C
1D
1A
C
B
A
O
E
D
V
C
1A
1D
1C
1B
C
D
P
3
解：如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D xyz -．
则(1,0,0)DA =，1(0,0,1)CC =，连接BD ，11B D ．在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于H ． 设(,,1)(0)DH m m m =>，由已知,60DH DA ??=?，由||||cos ,DA DH DA DH DH DA ?=??， 可得222m m =
m ，所以2(,1)DH =． （1
）因为120011
cos ,DH CC ?+???1,45DH CC ??=?，即DP 与 1CC 所成的角为45?．
（2）平面11
AAD D
的一个法向量是(0,1,0)DC =． 因为20110
1cos ,2DH DC +???=，所以1,60DH CC ??=?，可得DP 与 平面11AAD D
所成的角为60?．
例2 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=?，
SA ⊥平面ABCD ，1SA AB BC ===，1
2
AD =．求直线SA 与平面SCD
所成的角的正弦值．
解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，由题设得(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，
(1,1,0)C ，1
(,0,0)2
D ，(0,0,1)S ．
所以1(,1,0)2
DC =，1(,0,1)2
SD =-，(0,0,1)SA
=-．设平面SCD 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则102
D C x y ?=+=n ，1102
SD x ?=-=n ．
所以2x =，1y =-，即(2,1,1)=-n ．设SA 与平面SCD 所成的角为θ．则1|6
sin |cos ,||||SA SA SA θ?-=??=
=n n n ．所以直线SA 与平面SCD 所成的角的正弦值为sin θ
自主体验 （2014福建）在平面四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，AB BD ⊥， CD BD ⊥．将ABD △沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．
（1）求证：AB CD ⊥；
（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
解：（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AB ?平面ABD ， 所以AB ⊥平面BCD ．又CD ?平面BCD ，所以AB CD ⊥．
（2）过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由（1）知AB ⊥平面BCD ，
BE ?平面BCD ，BD ?平面BCD ，所以AB BE ⊥，AB BD ⊥．
以B 为坐标原点，分别以BE ，BD ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
依题意得(0,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,1)A ，11
(0,,)22
M ，则(1,1,0)BC =，11(0,,)22
BM =，
z
S D
M C
B
A
(0,1,1)
AD=-．设平面MBC的法向量(,,)
x y z
=
n，则
0,
0,
BC
BM
??=
?
?
?=
??
n
n
即
0,
11
22
x y
y z
+=
?
?
?
+=
??
取1
z=，
得平面MBC的一个法向量(1,1,1)
=-
n．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，则
||6
sin|cos,|
||||
AD
AD
AD
θ
?
=??==
?
n
n
n
，即直线AD与平面MBC．
4
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2
第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2 , 0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为，则><,与θ的关系？ A B θ αO
§立体几何中的向量方法（4） 向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学 问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。 三、例题探究 例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的 班别： _____________ 学号： _____________ 高二理科数学 导学案
中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2， 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ. 四、练一练（时间：5分钟） 1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v， 直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A．cosθ＝μ·v |μ||v| B．cosθ＝ |μ·v| |μ||υ| C．sinθ＝ μ·v |μ||v| D．sinθ＝ |μ·v| |μ||v|
第一讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程
Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、两异直线所成的角：（范围：） （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为和， 问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成 的角与和的夹角的关系？ 问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角与和的夹角的关系？ 两向量数量积的定义： a b O
用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020
第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则> 第二讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合 推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般 规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识： 1 1、直线与平面所成的角：（范围：二? [0,—]） 2 思考：设平面:的法向量为n，则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 （图 ） 2 求线面角的三种常见思路方法 舒云水 本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒ 如图1，在正三棱柱 111ABC A B C -中，1AB =，点D 是11A B 的中 点，点E 在11AC 上，且 DE AE ⊥． （I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ； （II ）求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值． （Ⅰ）证明略． 下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒ 思路1：直接作出线面角求解﹒ 分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段11B A 的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取AB 的中点F ，连结DF ，1DC ，F C 1，则面⊥1DFC 面1ABC ，过D 作F C DH 1⊥于H ，则⊥DH 面1ABC ，连结AH ，则HAD ∠是AD 和平面1ABC 所成的角﹒ 解法1 如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABC A B C -的性质及D 是11A B 的中点知，111A B C D ⊥，11A B DF ⊥． 又1C D DF D =，所以11A B ⊥平面1C DF ． 而11AB A B ∥， 所以AB ⊥平面1C DF ．又AB ?平面1ABC ，故 平面1ABC ⊥平面1C DF ． 过点D 作DH 垂直1C F 于点H ， 则DH ⊥平面1ABC ． 连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角． 由已知1AB = ，不妨设1AA ，则2AB = ，DF = 1DC 1C F = AD = = 11·5DF DC DH C F = == ． 所以sin 5 DH HAD AD ∠= =． 即直线AD 和平面1ABC ． 思路2：用等体积法求出点D 到面1ABC 的距离h ，AD h 为所求线面角的正弦值． 利用空间向量解立体几何问题1、线面垂直 别解：本题还可以证明向量A1C与平面DBE的法向量平行 11.（2009安徽卷理） 如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，，AE、CF都与平面 ABCD垂直，AE=1，CF=2. （I ）求二面角B －A F －D 的大小； （向量法）以A 为坐标原点，BD 、AC 、AE 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图） 设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z =，则由1100n AB n AF ??=???=?? 得02220 x y y z ?- +=???+=? 令1z = ，得1 x y ?=??=-??1(2,1,1)n =-- 同理，可求得平面ADF 的法向量2(2,1,1)n =-。 由120n n ?=知，平面ABF 与平面ADF 垂直， 二面角B-AF-D 的大小等于 2 π 。 14.（2009江西卷文） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==， 2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 解：方法（一）： （1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以 P N M ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠ tan tan PD PNM PCD DC ∠=∠== 所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，DM =，则O 点到平面ABM 。 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ， 设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，由,n AB n AM ⊥⊥可得：20 220x y z =??+=? ，令1z =-， 则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α ，则2sin 3 PC n PC n α ?= = ， 所求角的大小为. （3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO n h n ?= = 25.（2009全国卷Ⅰ文）(本小题满分12分)（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD = ， §3.2立体几何中的向量方法（4） 向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学 问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？ 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？ 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？ 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。 三、例题探究 例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 班别： _____________ 学号： _____________ 姓名： ___________ 高二理科数学 导学案 例2．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ； (2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2， 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ. 四、练一练（时间：5分钟） 1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ， 直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A ．cos θ＝μ·v |μ||v| B ．cos θ＝|μ·v||μ||υ| C ．sin θ＝μ·v |μ||v| D ．sin θ＝|μ·v||μ||v| 2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4 1 1B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21 C ．17 8 D ．23 3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A ． 5 4 B ． 104 C ． 52 D ． 102 A B C D 1 E 1 F 1 A 1 B 1 C 1D 1 线线角、线面角的向量求法 A ．直线与直线所成的角向量求法 知识点 设直线l ，m 的夹角为(0)2 π θθ≤≤，方向向量分别为u 、v ，则cos θ= |||||| ?a b a b ． 注意：当向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角等于此时的向量夹角；当向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角则是向量 夹角的补角． 例1 （P118页第10题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点． （1）求证：EF CF ⊥； （2）求EF 与CG 所成角的余弦值． 解：如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D xyz -． 则(0,1,0)C ，因为E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点， 所以1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，1 (1,1,)2 G ． （1）依题意111(,,)222 EF =-，1 1(,,0)2 2 CF =-， 因为111 11 0022222EF CF ???? ?=?+?-+-?= ? ????? ，所以EF CF ⊥，即EF CF ⊥． （2）依题意1(1,0,)2CG = ，因为1111102cos ,||||1 EF CG EF CG EF CG ???+?+ -? ????= =， 所以EF 与CG ． 例2 在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB ，求异面直线1AB 与1C B 所成角的大小． 解法一（向量法）：因为11AB AB BB =+，1111C B C B B B =+，又1A B B B ⊥，111C B BB ⊥，11,60AB C B ??=?，11||||AB B C =，所以 22 22111111 1 1 1||c o s 60| || || |0A B C B A B C B B B B B A B B B B B B B ? =?+? =?-=- =． 所以11AB C B ⊥，即 1AB 与1C B 所成角为90?解法二（坐标法）：取11 AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 以1 2 AB 为长度单位，则由1AB ，可知(0,A -，B ，1(0,1,0)B ，1C ． 所以1(0,2,AB =，1(C B =，所以1 1220AB C B ?=-=．即1AB 与1C B 所成的角为90? 自主体验 1．教材P111A 组第1题 结果：（1）60?．（2）45?． A 1A 1D 1C 1B C B D F G E 第二讲:立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的 角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法; 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; ３．使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量; 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：(范围:]2,0[π θ∈） 思考:设平面α的法向量为n ,则>《用向量法求直线与平面所成的角》教案
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