§立体几何中的向量方法（4）
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1．理解直线与平面所成角的概念．
2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学
问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角
设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角
如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，
n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，
则sin φ＝ 。 三、例题探究
例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．
变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的
班别： _____________
学号： _____________
高二理科数学
导学案
中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，
求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.
四、练一练（时间：5分钟）
1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，
直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( )
A．cosθ＝μ·v
|μ||v| B．cosθ＝
|μ·v|
|μ||υ|
C．sinθ＝
μ·v
|μ||v|
D．sinθ＝
|μ·v|
|μ||v|
2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4
1
1B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
1715 B ．2
1 C ．
17
8
D ．23
3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A ．
54 B ．104 C ．52 D ．10
2
4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的
正弦值为 ( )
5．正四棱锥S —ABCD ，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO =OD ，则直线
BC 与平面PAC 所成的角为 ．
【参考答案】§立体几何中的向量方法（4）
向量法求线线角与线面角
一、学习目标
1．理解直线与平面所成角的概念．
2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 用向量方法求空间中的角
A
B
C
D 1
E 1
F 1
A 1
B 1
C 1D
二面角
设二面角α—l —β的平面角为θ，平面α、β的
法向量为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 1〉|＝|n 1·n 2|
|n 1|·|n 2|
.
[0，π] 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ，则〈a ，
b 〉与θ相等或互补，∴cos θ＝
|a ·b |
|a |·|b |
.
2．求直线与平面所成的角
如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，
φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，则sin φ＝|cos θ|＝|cos 〈a ，n 〉|＝
|a ·n |
|a ||n |
.
二、问题导学
问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角
设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角
如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，
n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，
则sin φ＝ 。
三、例题探究
例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．
【答案】 60°
变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[答案] D
[解析] 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，1
2
，0)，设P (x,0,1)，
∴AM →＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，12，－1)，AM →·PQ →
＝0×(12－x )＋1×12＋12×(－1)＝0，
∴AM →⊥PQ →
，∴选D.
[点评] 1．求异面直线所成的角的常用方法是： (1)作图——证明——计算； (2)把角的求解转化为向量运算．
2．一般地，若直线AM 和点Q 固定，点P 变动，则直线AM 与PQ 所成的角为变量，若此角不随P 的变化而变化，则只能是AM ⊥平面P 1P 2Q (其中P 1、P 2是P 运动轨迹中的两个点)，故选D.
例2．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2， 求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
[解析] (1)取AB 中点O ，连接CO ，A 1B ，A 1O ， ∵AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，∴△BAA 1是正三角形， ∴A 1O ⊥AB ，
∵CA ＝CB ，∴CO ⊥AB ，
∵CO ∩A 1O ＝O ，∴AB ⊥平面COA 1， ∴AB ⊥A 1C .
(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，
又∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，∴OC ⊥平面ABB 1A 1，∴OC ⊥
OA 1，∴OA ，OC ，OA 1两两相互垂直，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →
|为单
位长度，建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，
由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1，0,0)，则BC →
＝(1,0，3)，
BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →
＝(0，－3，3)，
设n ＝(x ，y ，z )是平面CBB 1C 1的法向量， 则???
??
n ·BC →＝0
n ·BB 1→＝0
即??
?
x ＋3z ＝0，
－x ＋3y ＝0，
可取n ＝(3，1，－1)，
∴cos 〈n ，A 1C →
〉＝
n ·A 1C
→
|n ||A 1C →|
＝－105， ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
105
.
变式：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，
P (0,0,2)，则N (1,0,1)．
∴BD →＝(－2,2,0)，AD →＝(0,2,0)，AN →
＝(1,0,1)， 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由???
??
n ·AD →＝0
n ·AN →＝0
，得???
?
?
y ＝0x ＋z ＝0
，取x ＝1，则z ＝－1，
∴n ＝(1,0，－1)．
∵cos 〈BD →
，n 〉＝BD →
·n |BD →||n |＝－28·2＝－12，
∴sin θ＝|cos 〈BD →
，n 〉|＝12.
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 方法规律总结
用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的方向向量或平
面的法向量的夹角计算问题，需注意的是①异面直线所成的角θ∈(0，π
2]，故两直线的
方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值；②若直线与平面所成的角θ，直线的方向向量和平面的法向量夹角为φ，则其关系为sin θ＝|cos φ|；③若二面角为θ，两平面的法向量夹角为α，则|cos θ|＝|cos α|，需分辨角θ是锐角还是钝角，可由图形观察得出，也可由法向量特征得出．
四、练一练（时间：5分钟）
1. 若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，
直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A ．cos θ＝
μ·v |μ||v| B ．cos θ＝|μ·v||μ||υ| C ．sin θ＝μ·v |μ||v| D ．sin θ＝|μ·v|
|μ||v|
[答案] D
2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝4
1
1B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．1715
B ．2
1
C ．17
8
D ．23
[答案] A
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系，设AB ＝4，则D (0,0,0)，B (4,4,0)，
E 1(4,3,4)，
F 1(0,1,4)，则BE 1→= (0,－1,4)，DF 1→
= (0,1,4)． BE 1→
·DF 1→
＝0×0＋(－1)×1＋4×4＝15，|BE 1→
|=17，|DF 1→
|=17，
A
B
C
D 1
E 1
F 1
A 1
B 1
C 1
D C
D
1
E 1
F 1
A 1
B 1
C 1D
∵cos 〈BE 1→，DF 1→
〉=
BE →·DF
→
|BE →||DF →|
＝=1517·17＝15
17，
设1BE 与1DF 所成的角为θ，则cos θ=|
BE →·DF
→
|BE →||DF →|
|=15
17，
即1BE 与1DF 所成的角的余弦值为15
17
．故选A ．
3．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ）
A 、54
B 、104
C 、52
D 、102
[答案] B
[解析] 取BC 的中点D ，连结DC 1， 可以证明AD 平面BB 1C 1C ， 则
AC 1D 是AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，
cos AC 1D 11510422C D AC ===，即AC 1与平面BB 1C 1C 10
，故选B .
4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为 ( )
[答案] C
[解析] 解法一：连结A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1，连结BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求，通过计算得sin ∠C 1BO ＝
10
5
，故选C. A
B C
1
A 1
B 1
C D
解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)、
B 1(4,0,2)、D (0,4,0)、D 1(0,4,2)、
C 1(4,4,2)，∴BC 1→
＝(0,4,2)，BD →
＝(－4,4,0)，BB 1→
＝
(0,0,2)，
设平面BDD 1B 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ?????
n ·BD →＝0n ·BB 1
→＝0
，∴?
??
??
－4x ＋4y ＝0
2z ＝0，∴?
??
??
y ＝x
z ＝0，取x ＝1，则n ＝(1,1,0)．
设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，BC 1→
〉|＝
|n ·BC 1→
||n |·|BC 1→|
＝42·20
＝10
5.
5．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面ABCD 上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO =OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角为 ．
[答案] 30°
[解析] 可利用平面的法向量。
S
P
课堂小结：
1．异面直线l ，m 的方向向量为a ，b ，则l 与m 所成的角即为a 、b 所成的夹角或其补角；
2．要求直线l 与平面α所成的角，先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角β，然后用|
|2
π
θβ=-计算出结果即可；
3．求角过程中注意定义中角的取值范围，对所得的数量积作相应的调整，注意运用图象.
问题：用空间向量解决立体几何问题的步骤是什么
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.