相似三角形的判定的习题分类编选
一、利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明三角形相似
1 如图，(1)当/ C= ____________ 时，△ 0A3A OBD (2)当/ B= ____________ 时，△ 0A3A
(3 )当/ A= ______________ ,△ OAC W^ OBD相似.
2. 如图2,若/ BEF=Z CDF 则厶 _______ ,_ ______ , △ ____ _________ .
3. 下列各组图形一定相似的是( ).
A .有一个角相等的等腰三角形
B .有一个角相等的直角三角形
C .有一个角是100 °的等腰三角形
D .有一个角是对顶角的两个三角形
4. 如图3,已知A (2, 0) , B ( 0, 4)，且/ ACO=r BAQ ?则点C?的坐标为_____________
11、如图，"ABC是等边三角形，点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)求证："ABD^" BCE (2)求证："AE?" BEA (3) 求证：BD=AD? DF。
12、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE± BC垂足为E,连接DE, F为线段DE上一点，且/ AFE=/ B.
(1)求证：△ ADF^A DEC (2)若AB= 4,AD= 3^/3 ,AE = 3,求AF 的长.
13如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD?于点
E.
图5
2 A
5.如图4,在厶ABC中，AB=AC
6在厶ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线最多有________ 条.
7.如图5,在厶ABC中，CD AE是三角形的两条高，则图中的相似三角形有
8如图6,等腰直角三角形ABC中,顶点为C, / MCN=45 ,图中有____________
对相似三角形
9. _________________________________ 如图，△ ABC^D^ DEF均为正三角形，D, E分别
在AB, BC上, 则图中与厶DBE相似的三角形是.
10、如图，在△ ABC和△ ADE中，/ BAD=/ CAE / ABC2 ADE
写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线) ；并证明这两对三角形相似.
/ A=36°,BD平分/ ABC DE// BC
,
那么与△ ABC相似的三角形
有
对.
8
H
ODB
A
14、四边形ABCD DEFG 都是正方形连接 AE,CG 相交于点 M,与AD 交于点N, 求证：△ AMN^^ CDN
15、如图，已知△ ABC 与△ ADE 的边BC AD 相交于 0,且/ 仁/ 2= / 3, 求证：(〔)△ ABS A CD0(2)A AB3A ADE
16、如图所示，E 是正方形 ABCD 的边AB 上的一点，EF 丄DE 交BC 于点F . 求证：△ AD0A BEF.
18. 在 ABCD 中, M N 为对角线 BD 的三等分点，直线 AM 交BC 于E, 直线EN 交AD 于F .求证：AD=4FD
19、如图，AD 是Rt △ ABC 斜边BC 上的高，DEI DF,且DE 和DF 分别交 AB AC 于点 E 、F ,求证：AF ： AD=BE BD
20、如图，在矩形 ABCD 中, E 为AD 中点，EF 丄EC 交AB 于点F ,连接FC (AB> AE 。
求证：△ AEF 与厶CDE 相似
二、利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明三角形相似
1、在直角坐标系中，已知点 A (2, 0), B( 0, 4), C (1 , 0)点？D 在坐标轴上，使△ DOCf 似，贝y D 点的坐标为 ____________________
2、在直角坐标系中有两点 A (4. 0)、B ( 0, 2),如果点C 在轴x 上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 ___________________ 时，使得由点B 、O C 组成的三角形与厶AOB 相似
17、如图，已知E 是正方形 ABCD 勺边CD 上一点, BF 丄 AE 于 F ,求证：AB=AE?BF.
S110
与
3、如图，在正方形ABCD中, P是BC上的一点，且BP=3PG Q是CD的中点1 ）求证△ AD3A QCP 2 ）求证AQL PQ
4、已知，如图，BD,CE
是厶ABC
的两条高，求证：△ AD0A ABC
5、如图，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，
且AB: AE=AC AD, / BAEK CAD 求证：/ ABE=/ ACD
7、如图，点C,D都在线段AB上，△ PCD是等边三角形.
（1）当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ ACP^A PDB
（2）当厶ACN A PDB时求/ APB的度数。
8如图，在Rt△ ABC中，△ ACB=90 , CD!AB于点D,分别以AC BC为边向三角形外作等边三角形厶ACE和等边△ BCF DE DF,试说明△ ADE CDF
三、利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明三角形相似
1. 在△ABC ffiA DEF中，如果A吐4, BO3, AO 6; DB
2.4 , EF= 1.2 , FA 1.6，那么这两个三角
形能否相似的结论是________________ 理由是 ______________________ .
2. ______________________________ 图中两个三角形相似吗？答： _______________________ .理由是。
3. 如图，在大小为4X 4的正方形网格中，是相似三角形的是（）
6、如图，四边形ABCD DCEF EFGH都是正方形。
（ACF与厶ACG相似吗？说明你的理由。（2）求/ 1 + / 2+/ 3的度
A
H
① ② ③ ④
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
4. 在△ ABC和厶DEF中，如果A吐4, BO 3, AO6; DE= 2.4 , EF= 1.2 , FD= 1.6，那么这两个三角
形能否相似？结论是_______________ 理由是 ______________________________________________________ .
5. A ABC的三边为2，.3，&,△ ABG的三边长为2，b，,10，若△ AB3A ABC，贝U a, b分别是
( )A. 5，6 B . 56 C. 、、6 ， ,5 D . 6，5
6. 如图，△ ABC中，点D E、F分别是AB BC CA的中点，求证：△ AB3A DEF
7. 如图，在四边形ABC冲，A吐2，BO 3，CD= 6, AO4，DA= 8.问AC平分/ BAD
吗？为什么?
8. 如图所示，如果D, E, F分别在OA OB 0C上，且DF// AC, EF// BC. 求证：(1)
△ OD^^OAB (2) △ AB3A DEF
9、在正方形网格上有和A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，请证明。
B
6、如图：在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90 , BDL AC 于D,若E 是BC 中点，ED 的延长线交 BA 的延长 线于 F ,求证 AB:BC=DF:BF
四、三角形判定方法的综合应用
1、已知，如图：CE 是Rt △ ABC 的斜边上的高，在 CE 的延长线上任取一点 P, 连结AP 自B,作BGL AP 于G 交CP 于 D,求证：CE
2、已知△ ABC 中，点D 、E 分别在AB AC 上，连接DE 并延长交BC 的延长线 于点F ,连接DC
BE,若/ BDE+Z BCE=180，求证：△ DCF^A BEF
3、如图，在正方形 ABCD 中 ,AB=2,P 是BC 边上与 B.C 不重合的任意一点，DQ 垂直AP 于点Q (1) 判断△ DAQ M^ APB 是否相似，并说明理由
(2) 当点P 在BC 上移动时，线段 DQ 也随之变化，设 AP=x, DQ=y 求y 与x 间的函数关系式，并求出 x 的取值范围
4
、如图正方形 ABCD 勺边长为2, AE=EB 线段MN 的两端点分别在 CB CD 上滑动，且MN=1当
CM 为何值时厶AED 与以M N 、C 为顶点的三角形相似?
5、如图，在△ ABC 中，AB=8, BC=7, AC=6有一动点P 从A 沿AB 移动到B,移动速度为2单位/ 秒，有一动点Q 从 C 沿CA 移动到A,移动速度为I 单位/秒，问两动点同时出发，移动多少时间 时，△ PQA-与^ ABC 相似？
B C
7. 在△ ABC^n^ A B' C'中，/ A=Z A =80°,/ B=30°,Z B' =20°.?试分别在厶A B' C中画一条直
线，使分得的两个三角形相似.在下图中分别画出符合条件的直线，并标注有关数据
10、如图，已知DABC内一点，EABC外一点，且/ ABD/ EBC,
/ BAD玄ECB.求证：△ AB3A DBE.
11、如图，在Rt△ ABC中，△ ACB=90 , CD!AB于点D,
BCF, DE DF,试说明△ ADE CDF
12、在△ ABC中，/ 900, BC= 8 cm, AC： AC= 3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q
从点C出发沿CA向点A以1 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B C同时出发
&四边形ABCD DEFG都是正方形连接AE,CG相交于点M与AD交于点N 求
证：AN[_DN =CN _MN
9、如图，在矩形ABCD中, E为AD中点，EF丄EC交AB于点F,连接FC (AB> AE)。
△ AEF与厶ECF是否相似，给出证明
9
、
A J
A
分别以AG
⑴经过多少秒△ CPg A CBA?
⑵经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ ABC!目似
13、如图，在直角梯形ABCD中, AB= 7, AD= 2, BC= 3,如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有几个？
相似三角形的判定练习 【知能点分类训练】 知能点1 角角识别法 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______． 4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________． 8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D ，E 是AB 边上的三等分点，F ，G 是AC 边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比． 10．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）?和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． 【综合应用提高】 11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5m 处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC ． 12．如图，等腰直角三角形ABC 中，顶点为C ，∠MCN=45°，试说明△BCM ∽△ANC ． 13．在ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 交BC 于E ，连接EN 并延长交AD 于F ．（1）试说明△AMD ∽△EMB ；（2）求FN NE 的值．
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a ±=±。
相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B （双垂直K型）三、“K”型
C B （三垂直K 型） A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D
A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE. A B E
1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于点M ，连结BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②1MN ＝1AC ＋1 BC ；③M N≤14AB ，其中正确结论的个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
F E C B B' C' 4．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ， CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全 等三角形，并说明理由． 5.
A D B 6.在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________.
2019-2020 年中考数学《相似三角形的判定》专题练习含解析考点分类汇编 学习要求 1．掌握相似三角形的判定定理． 2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算． 课堂学习检测 一、填空题 1． ______三角形一边的______和其他两边 ______，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果两个三角形的______对应边的 ______，那么这两个三角形相似． 3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似． 5．在△ ABC 和△ A′B′ C′中，如果∠ A＝ 56°，∠ B＝28°，∠ A′＝ 56°，∠ C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是 ________________．6．在△ ABC 和△ A'B′ C′中，如果∠ A＝ 48°，∠ C＝102°，∠ A′＝ 48°，∠ B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是 ________________．7．在△ ABC 和△ A'B′ C′中，如果∠ A＝ 34°， AC＝ 5cm， AB＝ 4cm，∠ A′＝ 34°，A'C′＝ 2cm， A′B′＝ 1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________ ． 8．在△ ABC 和△ DEF 中，如果 AB＝ 4，BC＝ 3，AC＝6；DE＝ 2.4，EF＝ 1.2，FD ＝ 1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是 __________________．9．如图所示，△ABC 的高 AD ，BE 交于点 F，则图中的相似三角形共有______对． 第 9 题图第 10 题图 10．如图所示，□ABCD 中， G 是 BC 延长线上的一点， AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F ，此图中的相似三角形共有______对． 二、选择题 11．如图所示，不能判定△ ABC∽△ DAC 的条件是 ( ) A ．∠ B＝∠ DAC B．∠ BAC＝∠ ADC C． AC 2＝ DC· BC D． AD2＝ BD· BC 第 11 题第 12 题 12．如图，在平行四边形 ABCD 中， AB＝ 10， AD＝ 6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F ，使△ CBF ∽△ CDE ，则 BF 的长是 ( ) A ． 5 B ． 8.2 C． 6.4 D ． 1.8 13．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是 ( )
D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新： 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: 1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为 2.变式一：如图所示， 在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条. 探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？ 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角 线AC 相交于点M ，则MC AM = C B C B C B
2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合）， 2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？ 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D
相似三角形的判定 中考要求 重难点 1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化 课前预习 相似三角形的由来 两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答． 有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自
语起来． 想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD 的长．接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家．场上，发出一阵热烈的观呼声．当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高．在法捏斯以前，还沒有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理．在那个时代，这是一个伟大的创举！ 在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两個对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等．从而，找到了在任何季节里，在任何时候都能测塔高的方法． 例题精讲 模块一 相似三角形的判定 ?角对应相等、边对应成比例，三角形相似 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，在ABC △与A B C '''△中，',','A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠， ''''''AB BC AC A B B C A C == ，则ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于” ． A ' B ' C ' C B A 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 【例1】 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形．求证：MEF MBA △∽△． M F E D C B A
相似三角形的判定的习题分类编选 一、利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明三角形相似. 1．如图，（1）当∠C=_________时，△OAC∽△OBD．（2）当∠B=_________时，△OAC∽△ODB。 (3）当∠A=_____________，△OAC与△OBD相似． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_____,_∽△_______，△_____∽△______． 3．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 4．如图3，已知A（2，0），B（0，4），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________ 5．如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么与△ABC相似的三角形有______个 图1 图2 图3 图4 图5 图 6 6在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线最多有_____条．7．如图5，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，则图中的相似三角形有_______对． 8．如图6，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，图中有______对相似三角形 9．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上， 则图中与△DBE相似的三角形是________． 10、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． 写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；并证明这两对三角形相似． 11、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)求证：⊿ABD≌⊿BCE。 (2)求证：⊿AEF∽⊿BEA (3)求证：BD2=AD·DF。 12、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. （1）求证：△ADF∽△DEC。（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长. 13如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD?于点E． 求证：△CDE∽△FAE．
知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：
BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若
相似三角形分类整理 (超全)
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。
相似三角形的基本类型总结 类型一 平行线型 相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC . E D C B A 图（1） E D C B A 图（2） 1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=?DBCE ADE S S 四边形,则 =AC AE 【 】 （A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）2 1 2. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若3 2 =OC BO ,10=AD ,则 =AO _________. 图（3） E D C B A 图（4） O D C B A F E D C B A 图（5） 3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .
类型二 相交型 如图（6）所示,由D B ∠=∠或 AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似. 图（6） E D C B A E D C B A 图（7） 图（8） E D C B A 4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CG DF AC AD = . （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若 21=AC AD ,求 FG AF 的值. G F E D C B A 图（9）
第一节 第二节 第九节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比 例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），
WORD 格式可编辑 相似三角形经典模型总结 经典模型 平移旋转 180° ∽ 平行型 平行型 翻折 180° 翻折 180° 一般 特殊 翻折 180° 斜交型 斜交型 特殊一边平移 一般 平移 特殊 双垂直 斜交型 双垂直 一般 【精选例题】 “平行型” 【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ， 则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FF M M : S四边形 MM C B _________ 1 1 1 1 1 1 A E E1 F F 1 M M1 B C
WORD 格式可编辑 【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____ A D E F M N B C 【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H 求证： PE PH PF PG G D C E P F A B H 【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且 AE 2, BE、 CD相交于点 F ， 求BF 的 值 EC EF A D F E B C 【例 5】已知：在ABC 中， AD 1 AB，延长 BC到F ,使CF 1 BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3 求证：① DE EF ② AE 2CE A D E B
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【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC 求证：CEF 为等腰三角形 A C D E B F 【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：1 1 1 . c a b A C E B F D 【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论. C A E B F D 【例 9】如图，四边形ABCD 中， B D90M 是 AC 上一点， ME AD 于点 EMF BC ，， 于点 F 求证：MF ME 1 AB CD D E M A C F B
27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点) 2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B 和∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比 AB A ′B ′，AC A ′C ′，BC B ′ C ′ 相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流． 二、合作探究 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AB 边上一点，且∠ADE ＝60°. (1)求证：△ABD ∽△DCE ； (2)若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长． 解析：(1)由题有∠B ＝∠C ＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD ＝∠CDE ，即可证明△ABD ∽△DCE ；(2)根据△ABD ∽△DCE ，列出比例式，即可求出△ABC 的边长． (1)证明：在△ABD 中，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，又∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE .在△ABD 和△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABD ∽△DCE ； (2)解：设AB ＝x ，则DC ＝x －3，由△ABD ∽△DCE ，∴AB DC ＝BD DE ，∴ x x －3＝3 2 ，∴x ＝9.即等边△ABC 的边长为9. 方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 添加条件证明三角形相似 如图，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一
相似三角形得判定得习题分类编选 一、利用“两角对应相等得两个三角形相似”证明三角形相似、 1.如图,(1)当∠C=_________时,△OAC∽△OBD.(2)当∠B=_________时,△OAC∽△ODB。 (3)当∠A=_____________,△OAC与△OBD相似. 2．如图2,若∠BEF=∠CDF,则△_____,_∽△_______,△_____∽△______. 3.下列各组图形一定相似得就是( ). A.有一个角相等得等腰三角形 B.有一个角相等得直角三角形 C.有一个角就是100°得等腰三角形 D.有一个角就是对顶角得两个三角形 4.如图3,已知A(2,0),B(0,4),且∠ACO=?∠BAO,?则点C?得坐标为________ 图 1 图 2 图3 图4 图 5 图 6 5.如图4,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC, 那么与△ABC相似得三角形有______个 6在△ABC中,M就是AB上一点,若过M得直线所截得得三角形与原三角形相似,则满足条件得直 线最多有_____条. 7.如图5,在△ABC中,CD,AE就是三角形得两条高,则图中得相似三角形有_______对. 8.如图6,等腰直角三角形ABC中,顶点为C,∠MCN=45°,图中有______对相似三角形 9.如图,△ABC与△DEF均为正三角形,D,E分别在AB,BC上, 则图中与△DBE相似得三角形就是________. 10、如图,在△ABC与△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. 写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线);并证明这两对三角形相似. 11、如图,⊿ABC就是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相 交于点F、 (1)求证:⊿ABD≌⊿BCE。 (2)求证:⊿AEF∽⊿BEA (3)求证:BD2=AD·DF。 12、如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE ＝∠B、 (1)求证:△ADF∽△DEC。(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF得长、 13如图,四边形ABCD就是平行四边形,点F在BA得延长线上,连接CF交AD?于点E. 求证:△CDE∽△FAE. 14、四边形ABCD、DEFG都就是正方形连接AE,CG相交于点M,与AD交于点N, 求证:△AMN∽△CDN 15、如图,已知△ABC与△ADE得边BC、AD相交于O,且∠1=∠2=∠3, 求证:(1)△ABO∽△CDO;(2)△ABC∽△ADE 16、如图所示,E就是正方形ABCD得边AB上得一点,EF⊥DE交BC于点F. 求证:△ADE∽△BEF. 17、如图,已知E就是正方形ABCD得边CD上一点,BF⊥AE于F,求证:AB2=AE?BF. 18.在Y ABCD中,M,N为对角线BD得三等分点,直线AM交BC于E, 直线EN交AD于F.求证:AD=4FD
第一节 第二节 第十一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成 比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的定义及判定 学习目标 1．了解相似比的定义；(重点) 2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点) 3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点) 教学过程 一、情境导入 如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似． 二、合作探究 探究点一：相似三角形的有关概念 如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求： (1)△OAC 和△OBD 的相似比； (2)BD 的长． 解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长． 解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与 △OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21 ； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24 ＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法． 探究点二：平行线分线段成比例定理 【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实 如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24. (1)求CB AB 的值； (2)求AB 的长．
选修4相似三角形的判定及有关性质 1.1 平行线等分线段定理 1. 比例线段的有关概念： b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 2. 比例性质： 3. 平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 变式思考: 1.如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形三边对应成比例. 1.2 平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l1∥l2∥l3。 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 1.3 相似三角形的判定及性质
1. 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形 2. 相似的简单方法： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。 3. 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形基本类型 一、“ X”型 . A A B B O J C D D C 二、“子母”，“ A 型”，“斜 A” . A A D D E E B C B C A A D D B C C （双垂直 K 型） 三、“ K”型
A E C B D （三垂直K 型） A E C B D A E C D B 四、共享型 A B E C D
A B C D F E A E F G B C A E D B C 1.在△ ABC 和△ ADE中，∠ BAD=∠ CAE，∠ ABC=∠ ADE. A E D B C
1.如图，已知∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，求证∠ ABE=∠ ACD. A 1 2 E F 3 D B 2. O 4 C T E G F A B P 3.如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC、 BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD和△ BCE，连结 AE 交 CD于点 M ，连结 BD 交 CE于点 N，给出 以下三个结论：①MN ∥AB；② 1 ＝ 1 ＋ 1 ；③ M N≤ 1 AB，其中正确结论的个数MN AC BC 4 是（） A． 0B． 1C．2D．3
4．如图，Rt△AB C是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交 BB 于点 F． （1）证明：△ACE∽△FBE； （ 2）设∠ABC= ，∠CAC = ，试探索、满足什么关系时，△ACE与△ FBE是全 等三角形，并说明理由． B F C' B' E C A 5.
B F Q2 D E C A 6.在等边△ ABC中， D 为 BC边上一点， E 为 AC 边上一点，且∠ ADE=60°， BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为 _________. A E B D C 7. AE 900°, EDB 1 C . 2 (1)当 AB=AC时 ,①∠ EBF=_________.
第6章相似三角形的判定 （一）知识点梳理 1、相似三角形：各角分别相等，各边成比例的两个三角形相似。 2、相似三角形判定定理： 3、分析方法： （1）先确定是哪两个三角形 （2）根据已知条件确定使用的判定定理 （3）找出所缺条件 （4）证明相似 （5）得出结论 （二）题型分类全解 1、 如图,在4×4的正方形网格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= °,AC= ; (2)判断△ABC 与△DEF 是否相似,并证明你的结论.
2、如图，在?ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD 交于点G.若=,BE=4,求CE的长. 3、已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=. 求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 4、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,点P从点A出发,沿折线AB—BC向终点C运动,在AB上以每秒5个单位长度的速度运动,在BC上以每秒3个单位长度的速度运动.点Q从点C出发,沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动.P,Q两点同时出发,当点P停止运动时,点Q也随之停止.设点P运动的时间为t秒. (1)求线段AQ的长(用含t的代数式表示); (2)连接PQ,当PQ与△ABC的一边平行时,求t的值
5、如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB. 求证:(1)直线DC是☉O的切线; (2)AC2=2AD·AO. 6、如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E. (1)求证:△BDE∽△CAD; (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长. 7、如图,在△ABC中,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为F,E.求证:△BEF∽△BCA. 8、如图,在△ADE中,AD=AE,C为DE延长线上一点,B为ED延长线上一点,∠DAE=40°,则当∠BAC=°时,△BDA∽△AEC.