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相似三角形的判定分类习题

相似三角形的判定

知能点1 角角识别法

1．如图1，（1）若∠C=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．

（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD。

（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．

2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．

(1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______．

4．下列各组图形一定相似的是（）．

A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形

C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形

6．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．

7．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5m 处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC．8．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．

9．在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求

的值．

10．在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，?试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．

11．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子的距离是2.1m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD 为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗？试加以说明．

12．（安徽）如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．

13．（上海）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是（）．

A ．△DBE

B ．△ADE

C ．△AB

D D ．△BDC 变式训练：如第13题图，已知等腰三角形ABC 中，顶角∠A=36°，

BD 平分∠ABC ，?则AD

的值为（）．

14、已知，如图：CE 是Rt △ABC 的斜边上的高，在CE 的延长线上任取一点P ，连结

AP 自B,作BG ⊥AP 于G 交CP 于D ，求证：

2CE DE PE =

15、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形连接AE,CG 相交于点M ，与AD 交于点N ，求证:AN DN CN MN =

16、如图所示，已知△ABC 与△ADE 的边BC 、AD 相交于O ，且∠1=∠2=∠3，求证：

（1）△ABO ∽△CDO ；（2）△ABC ∽△ADE

17、如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，EF ⊥DE 交BC 于点F ．（1）求证：△ADE ∽△BEF ．

（2）若AE ：EB=1：2，求DE ：EF 的比值．

18、如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，求证：AB 2=AE?BF ．

19、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于点E、F，则AF：AD=BE：BD吗？说明理由

20、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D,若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，

求证

AB:BC=DF:BF

知能点2 边角边识别法

21、已知△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°

那么，△DCF∽△BEF? 为什么？

22、如图，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点1）求证△ADQ∽△QCP 2）求证AQ⊥PQ

23、如图，已知D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABD=∠EBC,∠BAD=∠ECB.求证：△ABC∽△DBE.

24、四边形ABCD的对角线相交于点O,∠BAC=∠CDB,求证：△AOD∽△BOC

25、如图,点C,D都在线段AB上,△PCD是等边三角形. （1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB （2）当△ACP∽△PDB时求∠APB的度数。

26、已知，如图∠A=60°，BD,CE是△ABC的两条高，求证：△ADE∽△

ABC

变式：如果把∠A=60°去掉后结论还成立吗？

27、如图，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点,且AB：AE=AC：AD, ∠BAE=∠CAD.求证:∠ABC=∠AED

28、如图，在Rt△ABC中，△ACB=90 ，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作等边三角形△ACE和等边△BCF，DE、DF，试说明△ADE ∽△

CDF

29、如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC（AB＞AE）。

⑴.△AEF与△EFC是否相似，给出证明

⑵. 设AB：BC=K,是否存在这样的K值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出K的值；若不存在，说明理由。

30、如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）?和点D，使△AOB与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．

31、在直角坐标系中有两点A（4．0）、B（0，2），如果点C在轴x上（C与A不重合），当点C的坐标为多少时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似

32、如图，四边形ABCD、DCEF、EFGH都是正方形。（1）△ACF与△ACG相似吗？说明你的理由。（2)求∠1+∠2的度

变式训练：如图，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）．A．45° B．60° C．75° D．90°

综合训练题

33、如图,在正方形ABCD中,AB=2,P是BC边上与B.C不重合的任意一点,DQ垂直AP 于点Q.（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由

（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设AP=x，DQ=y，有y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围

34、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

35、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB=0，点P从B出发，沿BC 方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？

36、如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P从A沿AB移动到B，移动速度为2单位/秒，有一动点Q从C沿CA移动到A，移动速度为l单位/秒，问两动点同时出发，移动多少时间时，△PQA与△ABC相似？

37、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．

（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．

（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．

变式训练：已知,△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,AD与BC的延长线交与点D,求证BD:CD=AB:AC 39、如图，?ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：

40、如图，△ABC

中，AB

41、如图，Rt?ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G，求证：FG2=CF?BF

【开放探索创新】

42．（广东）如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD?于点E．

（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．

相似三角形经典大题(含答案)

相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边E F 上的高为1h ，则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

(完整版)相似三角形知识点与经典题型

相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b = ．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2 b ad =。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=．（4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2 912248 y x x =-+-，取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1

相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)

相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】“平行型” 【例1】如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形【例2】如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A

【例4】已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ，求BF EF 的值【例5】已知：在ABC ?中，12AD AB = ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形【例7】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念： 1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a c b d =）中，a ，d 称为比例外项，b ， c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a b b c =）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=． 2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=?），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理 A

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则 AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF = ． A D B E C F 1 l 2 l 3 l A D B E C F 1 l 2l 3 l 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为 =上上下下，=上上全全，=下下全全． 2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则 AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CF AB AC = ． A B C E F F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若 AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC = ，则有EF//BC ．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形 ①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换． ②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形的定义

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E C B A D E （平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延 A C D E B

初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

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初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题

三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件可证得△BDE 和△DFE 相似解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴ DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B ∴△BDE ∽△DFE C A D B E F D A B

相似三角形经典习题

相似三角形一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）

A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF

相似三角形常见题型

相似三角形的常见题型【知识要点】 1.如何选择相似三角行判定定理： ①已知一个角对应相等的，常用（两角型或夹角与一组对应边成比例） ②已知一组对边成比例的，常用（夹角与一组对应边成比例） ③只知道边的关系的，常用（三边对应成比例）【学堂练习】 1.如图，□中，直线分别交、的延长线于P、S交、、于Q、E、R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有对。 2.如图，□中，交延长线于E交于F，∶＝3∶ 2，则∶。 A R S D C Q E B

【经典例题】例1、如图，在△中，∥，∥. （1）求证：：：（2）若4，5，求的长. 例2、如图，∠1＝∠2，＝12，＝15，＝20，＝25。证明：△∽△。例3 E是边延长线上一点，交于F，交于G，求证：（1）2·。（2） AE AB CB CF 。 A C D E 题 B C D E

例4、如图，△中，D 是边上的中点，且＝，⊥，与相交于点E ，与相交于点F 。（1）求证：△∽△；（2）若S BC FCD ?==510，，求的长。例5．如图, △是等边三角形,点分别在上,且与相交于点F. (1) △与△相似吗?说说你的理由. (2)2 ·吗?请说明理由.

例6．如图，⊥，⊥，、相交于点C，⊥，垂足为F。（1）求证：111 AD BE CF +=。【随堂练习】D A F B E C

1．如图所示，∥， 32=DB AD ，则BC DE = 。 2．如图所示，∥，∥，1.8， 1.2，1，则。 3．如图所示，∥，∥，则下列比例式正确的是（）。 A ． BC DE BD AD = B ． FC BF EC AE = C ． BC DE AC DF = D ．BC BF AC DF = 4. 如图，在正三角形中，D 、E 分别在、上，且 AD AC =1 3 ，＝，则有（） A. △∽△ B. △∽△ C. △∽△ D. △∽△ 5、如图，在ABC △中，90C =o ∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长． A C D E 第1题图 A B C E D F 第3题图 A B C E D F 第2题图 A D C E 第4题图

相似三角形典型例题精选

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F

考点二：射影定理：例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G，（1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．（１）求证：四边形AFCE是菱形；（２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G

相似三角形动点问题题型归纳报告

相似中动点问题题型一位似图形例1如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)． (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．例2如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点0；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．

题型二动点存在问题 1如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为1单位/秒，问两动点同时移动多少时间时，△PQA 与△BCA 相似。 2、如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5 24 个平方单位？ y x O P Q A B

3、如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D 开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动时间（0≤t≤6），那么： ⑴当t为何值时，⊿QAP为等腰直角三角形？ ⑵求四边形QAPC的面积；并提出一个与计算结果有关的结论； ⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与⊿ABC相似？ 4、如图，在梯形ABCD中，A D∥BC, AD=3，DC=5, AB=42,∠B=45°, 动点M从B点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，动点N同时从C点出发沿线段CD一每秒1个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间t秒。（1）、求BC 的长。（2）当M N∥AB时，求t的值. A B C D Q P A C B D N

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?．例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ．（3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．

相似三角形经典题型

(1）以上各种判定均适用. (２)如果一个直角三角形得斜边与一条直角边与另一个直角三角形得斜边与一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. (３)直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形相似. 注: 射影定理:在直角三角形中，斜边上得高就是两直角边在斜边上射影得比例中项。每一条直角边就是这条直角边在斜边上得射影与斜边得比例中项。如图,Rt △A ＢＣ中，∠ＢAC ＝９0°,AD 就是斜边B Ｃ上得高，则ＡD 2＝BD ·DC,AB 2＝ＢD ·BC ,AC 2＝ＣD ·BC 。知识点8 相似三角形常见得图形 1、下面我们来瞧一瞧相似三角形得几种基本图形: （1）如图:称为“平行线型”得相似三角形(有“Ａ型”与“Ｘ型”图) (2) 如图：其中∠1=∠2，则△A ＤE ∽△ABC 称为“斜交型”得相似三角形。（有“反A 共角型”、 “反A 共角共边型”、 “蝶型”) （3）如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”) （4）如图：∠1=∠2,∠B ＝∠D ，则△A ＤＥ∽△A ＢC ，称为“旋转型”得相似三角形。 2、几种基本图形得具体应用： (1)若DE ∥BC(A 型与Ｘ型)则△ADE ∽△ABC (２)射影定理若CD 为R ｔ△AB Ｃ斜边上得高(双直角图形) 则Ｒt △ＡＢC ∽Rt △ACD ∽Ｒt △ＣBD 且ＡC 2＝ＡD ·AB ，ＣD 2=AD ·ＢD ，B Ｃ2=BD ·ＡB; (３)满足1、ＡC 2=A Ｄ·A Ｂ,２、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠AD Ｃ,都可判定△A ＤC ∽△ACB ．（4)当或ＡD ·ＡＢ=A Ｃ·AE 时，△A ＤＥ∽△ＡCB. 知识点9:全等与相似得比较: 三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS) 相似判定得预备定理两角对应相等两边对应成比例,且夹角相等三边对应成比例 A B C D E 1 2 A A B B C C D D E E 12412E C A B D E A B C (D )E A D C B (1)E A B C D (3)D B C A E (2)C D E A B

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF和AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC和△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形和△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC和△BEA的面积之比． 11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论． 12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C?D?A 方向，向点A 运动，过点Q 作QE⊥BC 于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B?A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形和△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；

相似三角形题型讲解

相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36° 在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC ∽△BCD 例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC A B C D E F G 12 3 4A B C D

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