九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似教案新人教版

27.2.1 相似三角形的判定古之学者必严其师，师严然后道尊。

欧阳修铁山学校何逸春第4课时两角分别相等的两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE ＝60°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B ＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴ABDC＝BDDE，∴xx－3＝32，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．变式训练：见《学练优》课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】添加条件证明三角形相似如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为____________．解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝可以得出△ABC∽△AED.故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝AEAB.方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】相似三角形与圆的综合应用如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦E 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF 7＝810，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m2?(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH5，∴NH ＝t ，∴S △AMN ＝ 12t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m2.(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532时，S 最大值＝752m2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．三、板书设计 1．三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。

∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定

改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC . A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
A
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD·BC D. AB2 = BD·BC → AB BC B
BD AB
DC
3. 如图，△AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似”) .
B
45
A
54
E 36 F
30
C
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
A
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5

A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
A
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线.
方法3：三边对应成比例.
方法4：两边成比例且夹角相等. 方法5：两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗？
相似三角形的判别方法： 两角分别相等的两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的，那么它们是否 一定相似？
相似三角形的判别
用数学符号表示： ∵∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B＝∠ADE) (或者∠C＝∠AED)
2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，
DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．

27.2.1 相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.一、知识链接学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似操作与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：问题1 度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？问题2 试证明：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′（或A′B′的延长线）上，截取A′D=AB，过点D 作DE // B′C′，交A′C′于点E，【补全证明过程】【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC ∽△A'B'C'.【典例精析】如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.【针对训练】如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.如图，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P，求证：PA ·PB=PC ·PD.证明：连接AC，DB.∵∠A 和∠D 都是弧CB 所对的圆周角，∴∠A= __ ___，同理∠C= _______，∴△PAC ∽△PDB，∴，即PA ·PB = PC ·PD.【针对训练】如图，⊙O 的弦AB，CD 交于点P，若PA=3，PB = 8，PC = 4，则PD =.【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于△BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解探究点2：判定两个直角三角形相似如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.思考 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL ”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？证明 如图，在 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′ 中，∠C=90°，∠C ′=90°，CA ACB A AB ''=''. 求证：Rt △ABC ∽ Rt △A ′B ′C ′.【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =2，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．【分析】观察得到AB 和AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论【针对训练】在 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B ′=55°： ；(2) AC=3，BC=4，A ′C ′=6，B ′C ′=8： ；(3) AB=10，AC=8，A ′B ′=25，B ′C ′=15： .二、课堂小结1. 如图，已知 AB ∥DE ，∠AFC ＝∠E ，则图中相似三角形共有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2. 如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D ，∠C=∠E ，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC 的长等于 ( ) A.415 B.512 C.320 D.417 3. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或∠ = ∠ ) 时，△ACD ∽△ABC ；4. 如图，在 Rt △ABC 中， ∠ABC = 90°，BD ⊥AC 于点D. 若 AB=6，AD=2，则 BD= ，AC= ，BC= .5.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC.6. 如图，△ABC 的高 AD ，BE 交于点 F ．求证：DF EF BF AF .7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．参考答案合作探究一、要点探究探究点1：两角分别相等的两个三角形相似问题2 解：则有△A ′DE ∽△A ′B ′C ′，∠A ′DE =∠B ′.∵∠B=∠B ′，∴∠A ′DE=∠B.又∵ A ′D=AB ，∠A=∠A ′，∴△A ′DE ≌△ABC （ASA ），∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 【典例精析】证明：∵ 在△ ABC 中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，∴ ∠C=180 °－∠A －∠B=60 °.∵ 在△DEF 中，∠E=80 °，∠F=60 °.∴ ∠B=∠E ，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF.【针对训练】 55°∠D ∠BPB PC PD PA = 【针对训练】6探究点2：判定两个直角三角形相似解：∵ ED ⊥AB ，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A ，∴ △AED ∽△ABC. ∴AB AE AC AD = .∴41058=⨯=⋅=AB AE AC AD . 证明 证明：设C A AC B A AB ''=''= k ，则AB=kA ′B ′，AC=kA ′C ′. 由勾股定理，得22AC AB BC -=，22C A B A C B ''-''=''.∴ k C B C B k C B C A k B A k C B AC AB C B BC =''''=''''-''=''-=''222222 ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A ′B ′C ′.3 或3 2解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD =2，∴()6222222=+=+=CD AD AC .要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1) 当 Rt △ABC ∽ Rt △ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC ， 即6: 2 =AB :6，解得 AB=3； (2) 当 Rt △ACB ∽ Rt △CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即6:2=AB :6，解得 AB=32．∴ 当 AB 的长为 3 或3 2时，这两个直角三角形相似．【针对训练】(1) 相似 (2)相似 (3) 相似当堂检测1. C2. A3. ACD B ADC ACB4. 42 18 1225.证明: ∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠FEC. ∴ △ADE ∽△EFC.6. 证明： ∵ △ABC 的高AD 、BE 交于点F ，∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).∴ △FEA ∽ △ FDB ，∴DFEF BF AF . 7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC ，∠DAE= ∠3+ ∠DAC ，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE ，∠DOC =∠AOE （对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC ∽△ADE.学生励志寄语： 人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。

其次，在实践活动和小组讨论中，学生们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。我感到很高兴，因为他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时我也注意到，有些学生在将理论知识运用到实际问题解决时，还存在一定的困难。这说明我们在今后的教学中，需要更多地关注培养学生将理论知识转化为实际应用的能力。
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质，构建数学模型；
-对于一些特殊情况的判断，如当两个三角形的两边比例相等，但夹角不相等时，如何判断它们不相似。
-以下是针对难点的详细解释：
-对于判定方法的难点，可以通过以下方式帮助学生突破：
-利用图形和具体实例，让学生观察和发现两边成比例和夹角相等的关系；
-引导学生通过实际操作，如画图、计算等，加深对判定方法的理解；
-设计不同难度的题目，让学生在解答过程中逐步掌握判定方法。
-在实际问题中，识别并运用相似三角形的性质是另一个难点：
-教师可以通过举例，将实际问题转化为数学模型，展示如何应用相似三角形的性质；
-引导学生学会从实际问题中抽象出数学模型，并运用相似三角形的性质进行解答；
-在解答过程中，强调关键步骤，使学生明白如何将相似三角形的性质应用到实际问题中。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。它是几何学中的一个重要概念，广泛应用于实际问题中，如地图绘制、建筑设计和艺术创作等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够运用相似三角形的判定方法，进行严密的推理和证明；
3.培养学生的数学建模能力，使其能够将相似三角形的性质应用于解决实际问题，构建数学模型；

《相似三角形的判定》说课稿各位评委老师：大家好！我今天说课的内容是《相似三角形的判定》，下面我将从说教材、说学生、说教学方法、说教学过程、板书设计五个大板块来给大家阐述我的教学思路和教学设计。

一、说教材首先进入我的第一个大板块“说教材”。

我把说教材这个板块分为三个小环节来进行，它们分别是教材分析、教学目标、教学重难点。

1、教材分析本节课《相似三角形的判定》是选自新人教版九年级下册第二十七章第二节第二课时的内容。

是在学习了第一节相似多边形的概念、第一课时平行线分线段成比例的定理及推论后，研究相似三角形的定义以及三角形一边的平行线的判定定理。

本节课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一。

一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”。

因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。

2、教学目标根据教学大纲的要求和贯彻全面发展的教育方针，我制定了如下的教学目标：（1）知识与技能：理解相似三角形的定义，掌握相似三角形判定定理的“预备定理”。

（2）过程与方法：让学生经历观察---探索----猜想----验证----运用----巩固的过程，渗透类比的思想方法，培养学生探究新知识、提高分析问题和解决问题的能力。

（3）情感态度和价值观：通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦。

3、教学重难点为了达到以上的教学目标，我制定了以下的教学重难点：教学重点：相似三角形的定义，判定两个三角形相似的预备定理。

教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程。

二、说学生说完了教材，我想跟大家分析一下我所授课的学生所具有的特点，也就是学情分析。

老师们，我们都知道九年级的学生接受能力相比七八年级强，想得到老师的鼓励。

已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 C
A
D
B
求证（2）AC2=AD · AB
D
小结：
１
1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角形 的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相 似。
2.直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意 三角形相似的方法对直角三角形同样适用。
3.关于探索性题目的处理。
作业： 80
第10，11两题
课后练习1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 １ 三角形和原三角形相似。
A D C E F B
风淋室 空调过 滤器
证明：
(1)
１
CD是斜边AB上的高 ADF ACE 90 又 AE AD AF AC AE AC AF AD
又
∠CAE=∠EAB

CD2=AD · DB
１
A
D
B
C
课后练习2、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= 18 BD= 4 √2 BC= 12√2
27.2.1直角三角形相似的判定
回顾与反思☞ 1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三 角形相似的方法？
(1）相似三角形的定义 (2）相似三角形判定的预备定理 （3）三边对应成比例的两个三角形相似。
（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′

＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3

2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的

14．已知抛物线 y＝14 x2＋1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定 点 F(0，2)的距离与到 x 轴的距离始终相等．如图，点 M 的坐标为( 3 ，3)， P 是抛物线 y＝14 x2＋1 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__5__．
15．(5 分)能否通过适当地上下平移二次函数 y＝13 x2 的图象，使得到 的新的函数图象过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能， 说明理由．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
（三）解答题(共42分) 12．(12分)(杭州中考)如下图 , 在△ABC中 , AB＝AC , AD为BC边上的 中线 , DE⊥AB于点E. (1)求证 : △BDE∽△CAD ; (2)假设AB＝13 , BC＝10 , 求线段DE的长．
17．(10 分)如图，抛物线 y＝－34 x2＋3 与 x 轴交于 A，B 两点，与直线
y＝－34 x＋b 相交于 B，C 两点，连接 A，C (1)令 y＝0，则－34 x2＋3＝0， 解得 x＝±2，∴点 B 的坐标为(2，0)， 代入 y＝－34 x＋b 得 b＝32 ， ∴直线 BC 的解析式为 y＝－34 x＋23
，∴AD＝2
5
（一）选择题(每道题6分 , 共12分) 9．(牡丹江中考)如下图 , 在矩形ABCD中 , AB＝3 , BC＝10 , 点E在BC 边上 , DF⊥AE , 垂足为F.假设DF＝6 , 那么线段EF的长为( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
10．如下图 , AB为⊙O的直径 , BC为⊙O的切线 , 弦AD∥OC , 直线CD

二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握相似三角形判定定理，提高空间想象和几何直观能力，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题。
2.培养学生逻辑推理和数学论证能力，通过相似三角形的判定过程，学会运用严密的逻辑思维进行推理和证明。
3.增强学生合作交流意识，通过小组讨论和问题探究，提高团队合作能力和解决问题的能力。
我还注意到，在小组讨论环节，学生们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。这让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，可以极大地提高他们的学习兴趣和积极性。在未来的教学中，我会继续寻找更多实际案例，让数学变得更加生动和有趣。
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现出很高的热情。他们通过亲手操作，直观地感受到了相似三角形的原理。这也让我认识到，动手操作对于抽象几何概念的理解是非常有帮助的。因此，我计划在后续的教学中，增加更多这样的实践活动。
-对于实际问题的解决，引导学生从问题中发现相似三角形的特征，如角度关系、边长关系等，并运用判定定理进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如照片的放大缩小、不同尺寸的三角形装饰等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在学生小组讨论的过程中，我发现有些学生不太愿意主动参与讨论，可能是因为他们对自己的观点缺乏信心。为了鼓励这些学生，我会在接下来的课程中，更多地采用肯定和鼓励的语言，让他们感受到自己的观点是有价值的，从而增强他们的自信心。

B
D
E
C
变式2：如图，若点D是AB边 上的任意一点, 过点D作 DE∥BC，量一量，检验△ADE 与△ABC是否相似。
D B
A
E
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
C
变式3：若点D是BA延长线上的 一点,过点D作DE∥BC，与CA的 延长线交于点E，△ADE与 △ABC相似吗? E
∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC
知识要点
三角形相似判定定理1 如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。简称：
三边对应成比例，两三角形相似。
A
A1 即：
C
B
B1
C1
AB BC AC 如果 A B B C A C , 1 1 1 1 1 1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
例1： 根据下列条件，判断 ABC和A' B' C ' 是
AB AC BC . DE DC CE
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
A
E
E
D A
D
B
C
B
C
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形 相似.
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的三角形与原三角形相似。 DE//BC
BC EF , AC DF
l3 l4
B
ห้องสมุดไป่ตู้
AC DF , BC EF
C
F
l5
三条平行线截两条直线，所得的对 应线段的比相等.
A B C
D E
l1
l2 l3

所以∠B=∠B′（相似三角形对应角相等）
又∠ADB=∠A ′ D ′ B′ = 90° 2） AD 、 A′D′有什么关系呢？ 所以△ABD ∽△ A′B′D′（两个角对应相等的两个三角形相似）
图 18.3
解
因为 △ABD ∽△ A′B′D′
所以
AD AB k D′ A′ A′ B′
图 18.3.9
1、RtΔABC和RtΔA'B'C'中，∠C＝∠C'＝
90°．依据下列各组条件判定这两个三角 形是不是相似，并说明为什么：
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°；
结论:相似三角形对应高的比等于相似比
如图， △ABC∽△ A′B′C′，相似比为Ｋ, AD 、 A′D′分 别是BC 、 B′C′边上的中线。问：AD 、 A′D′之间有什么 关系？
解
因为△ABC∽△ A′B′C′
所以
1 BC BD BC 2 2 BD 所以 K BD
又 BD 又 ∠B=∠B′ 所以 △ABD∽△ A′B′D′


2 C k B AC =
C
A'
B


AC AC
BC B C

RtΔABC ∽ RtΔA'B'C'
C'
B'
知识要点
判定三角形相似的定理之四
√
H L

✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
探究3
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
你能证明吗？
知识要点
三角形相似判定定理之二
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
且
ABBC ACK AB BC AC
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
相似的表示方法
如
何
符号：∽ 读作：相似于 证
相似比
明
A
A1
两 个
三
B
C B1
角
C1
形
如果A△B与 C △ A1B1C1的相似比 k，为 相似 则△ A1B1C1与△ AB的 C 相似比 k1 为呢
C
F l5
两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例.
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B