2013年中考模拟试卷数学卷
（考试时间：100分钟，满分：120分）
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．
1．2011年浙江省经济继续保持平稳较快的发展，GDP增长9%，总量历史性地突破3万亿元，达到3.2万亿元．3.2万亿用科学记数法可表示为（）
A．3.2×108 B．3.2×1012 C．3.2×1013 D．3.2×1014
2．为纪念雷锋逝世52周年暨毛主席号召“向雷锋同志学习”49周年，育才中学举行了“学雷锋”演讲比赛．下面是7位评委为其中一名参赛者的打分：9.4，9.6，9.8，9.9，9.7，
9.9，9.8，9.5．若去掉一个最高分，一个最低分，这名参赛者的最后得分是（）
A．9.70 B．9.72 C．9.74 D．9.68
3．下列四个个算式中，有一个算式与其他三个算式的计算结果不同，则该算式是（）
A．-|-1| B．-12 C．(-1)-1 D．(-1)0
4．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，其道理用几何知识解释正确的是（）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点之间线段最短
5．若方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是2m+5与4m+1，则b
a
的值为（）
A．1 B．2 C．9 D．4
6．已知α是某直角三角形内角中较大的锐角，β是某五边形的外角中的最大角，甲、乙、
丙、丁计算1
()
6
αβ
+的结果依次为10°、15°、30°、35°，其中有正确的结果，则计
算正确的是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．关于四边形ABCD有以下4个条件：①两组对边分别平行；②两条对角线互相平分；③两条对角线互相垂直；④一组邻边相等．从中任取2个条件，能得到四边形ABCD是菱形的概率是（）
A．2
3
B．
1
3
C．
1
2
D．
5
6
8．如图，抛物线y=ax2与反比例函数
k
y
x
=的图象交于P点，若P点横坐标为1，则关于x
的不等式2k
ax
x
+>0的解是（）
A．x>1 B．x<-1 C．-1 9．如图是正方体盒子的表面展开图，则下列说法中错误的是（ ） A ．当折叠成正方体纸盒时，点F 与点E ，C 重合 B ．过点A 、B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 七个点中的n 个点作圆，则n 的最大值为4 C ．以点A 、B 、C 、 D 、 E 、 F 、 G 中的四个点为顶点的四边形中平行四边形有2个 D ．设图中每个小正方形的边长为1 ，则能覆盖这个图形的最小的圆的直径为 10．如图，直线y = 3 4 x +3交x 轴于A 点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O ，另两个顶点M 、N 恰落在直线y =3 4 x +3上，若N 点在第二象限内，则tan ∠AON 的值为（ ） A ． 17 B ．16 C ．15 D ．18 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11．对于锐角α，若cot α=1 tan α ，则cot45°= ． 12．请写出1个夹在2011和2012之间的无理数 ． 13．若单项式-3x 4a -b y 2与3x 3y a +b 是同类项，则这两个单项式的积为 ． 14．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =20°．在同一平面内，将△ABC 绕点C 旋转到△A ′B ′C 的位置，设旋转角为α（0°<α<180°）.若△A ′B ′C 中恰有一条边与△ABC 中的一条边平行，则旋转角α的可能的度数为 ． α A / B / C B A x （第14题图） （第15题图） （第16题图） 15．正方形A 1B 1C 1C 0，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点 第8题图 第10题图 G F E 第9题图 C 0，C 1，C 2，C 3，…分别在抛物线y=ax 2（a >0）和x 轴上，已知B 1（3，1），B 2（92，94 ）， 则a = ，B n 的坐标为 ． （根据2009年山东省中考题改编） 16．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，以AD 为直径的⊙O 交AB 于点E ，连结DE ，⊙O 的 切线EF 交BC 于点F ，连结BD ．若DC=DE ，AB =BD ，则 DC AB = ，BF CF = ． 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．（本小题满分6分） 已知A =12x x -+，B =22214x x x -+-，C =2 1 x -． （1）在A □B ○C 中，“□”内可任意填上“×”或“÷”，“○”内可任意填上“＋”或“－”，求得到代数式A ÷B ＋C 的概率； （2）请化简A ÷B ＋C ． 18．（本小题满分8分） （1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ； 在推得这个公式的过程中，主要运用了（ ） A ．分类讨论思想 B ．整体思想 C ．数形结合思想 D ．转化思想 （2）如图2，Rt △ABC ≌Rt △CD E ，∠B =∠D =90°，且B ，C ，D 在同一直线上． 求证：∠ACE =90°； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定 理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程． E D c c b a a b b b a a C B A 图1 图2 19．（本小题满分8分） PMI 指数英文全称Purchase Management Index ，中文翻译为采购经理指数．PMI 是一套月度发布的、综合性的经济监测指标体系，分为制造业PMI 、服务业PMI ．PMI 是通 过对采购经理的月度调查汇总出来的指数，反映了经济的变化趋势．下图来源于2012年3月2日的《都市快报》，反映了2011年2月至2012年2月期间我国制造业PMI 指数变化情况，请根据以上信息并结合图象，解答下列问题： 制造业PMI 指数 2012年1月12月11月2月 8月7月9月10月6月5月4月3月2011年2月 (%)545352515049484746 45 （1）在以上各月PMI 指数中，中位数是 %，极差是 %； （2）下列关于图象的解读中，正确的有 （请填写序号）： ①我国制造业PMI 指数连续第三个月回升，并创下五个月新高； ②从图象可看出，我国经济呈“稳中有升”的趋势； ③自2011年2月至2012年2月我国制造业PMI 指数较前一月下降的多于上升的． （3）假设今后几个月我国制造业PMI 指数均按2012年1月至2012年2月的增长速度 增长，请估计到几月份就可赶超2011年的最高值53.4%？ 20．（本小题满分10分） 如图，已知正方形ABCD ． （1）请用直尺和圆规，作出正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到的正方形 A B′C′D′（其中B′，C′，D′分别是点 B ， C ， D 的像）（要求保留作图痕迹，不必 写出作法）； （2）设CD 与B′C′相交于O 点，求证：OD=O B′； （3 ）若正方形的边长为1)，求两个正方形的重叠部分（四边形A B′OD ）的面积． 21．（本小题满分10分） 西湖龙井茶名扬中外．小叶是某龙井茶叶有限公司产品包装部门的设计师． 如图1是用矩形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处矩形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）小叶用长40cm ，宽34cm 的矩形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒 高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？ （2）如图2是小叶设计出的一款茶叶包装，它的里面是由四个圆柱体茶叶罐包装而成 的龙井茶．现有一张60cm ×44cm 的矩形厚纸片，按如图3所示的方法设计包装盒，用来包装四个圆柱体茶叶罐，已知该种的茶叶罐高是底面直径1.5倍，要求包装盒“接口”的宽度为2cm （如有多余可裁剪），问这样的茶叶罐底面直径最大可以为多少？ 图1 图2 图3 22．（本小题满分12分） 九年级上册的教材第118页有这样一道习题： “在一块三角形余料ABC 中，它的边BC =120mm ，高线 N M Q P E D C B A D C B A AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm？” （1）请你解答上题； （2）若将上题图中的正方形PQMN改为矩形，其余条件不变，求矩形PQMN的面积S的最大值； （3）我们把上面习题中的正方形PQMN叫做“BC边上的△ABC的内接正方形”，若在习题的条件下，又知AB=150mm，AC=100mm，请分别写出AB边上的△ABC的内接正 方形的边长和AC边上的△ABC的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写 出答案即可，结果精确到1mm）； （4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为a，b，c，各边上的高分别为h a， h b，h c，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出a与h a必须满足的 条件（不必写出过程）． 23．（本小题满分12分） 如图，已知直线y=kx-6与抛物线 y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1， -4）为抛物线的顶点，点B在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第二象限图象上 是否存在一点P，使△POB与△POC全 等？若存在，求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直 角三角形，求点Q的坐标． 2012年中考模拟试卷答题卷数学卷 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11． 12． 13． 14． 15．， 16．，三、全面答一答（本题有7个小题，共66分） 17．（本小题满分6分） 18．（本小题满分8分） 19．（本小题满分8分） （1）中位数： %，极差： %；（2）； 20．（本小题满分10分） 21．（本小题满分10分）D C B A 22．（本小题满分12分） 23.（本小题满分12分） N M Q P E D C B A 2012年中考模拟试卷数学参考答案及评分标准 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．112．答案不唯一，如2008π +；2010+；（4044121 2011.2122122212221 ?????? 每次多1个2等 13． -9x6y4 14．20°；70°；110°；160° 15． 1 4 ， （ 1 2 3 2 n n - - ， 1 1 9 4 n n - - ） 16． 3 5 ； 2 3 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）17．（本小题满分6分） 解：（1）P=1 4 （2分） （2）A÷B＋C= 2 22 12121(2)(2)2 2412(1)1 x x x x x x x x x x x x --+-+- ÷+=?+ +--+-- （2分） = 22 111 x x x x x - += --- （2分） 18．（本小题满分8分） 解：（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；C （2分+2分）（2）∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC=∠DCE． ∵∠B=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°，即∠ACE=90°．（2分）（3）∵S梯形ABDE=S△ABC+S△ACE+S△CDE，∠B=∠D=∠ACE=90°， ∴1 2 (a+b)2=2× 1 2 ab+ 1 2 c2，∴a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2，获证．（2分） 19．（本小题满分8分） 解：（1）50.9；4.4 （2分+2分）（2）①，②（2分）（3）设再过x个月可赶超2011年的最高值53.4%，则 (51.0%-50.5%)x≥53.4%-51.0%，解得x≥4.8 答：到7月份就可赶超2011年的最高值53.4%．（2分） 20．（本小题满分10分） 解：（1）图略（3分）（2）连结B′D． ∵正方形A B′C′D′由正方形ABCD旋转得到，∴AD=A B′，∠ADO=∠A B′O=90°， ∴∠AD B′=∠A B′D，∴∠OD B′=∠O B′D，∴OD=O B′．（3 分） （3）连结AC．∵正方形ABCD，∴∠CAB=45°．由题意知∠BA B′=45°，∴∠CAB=∠BA B′， 即B′在AC上，∴△O B′C是等腰直角三角形． O D/ C/ B/ D B C A 设OD=O B′=x ，则OC ． ∵1，∴1x =，∴x =1． ∴S 四边形A B′OD =S △ACD -S △B′CO =2211 1)1122 -?= （4分） 21．（本小题满分10分） 解：（1）设“接口”的宽度为x cm ，盒底边长为y cm. 得4342 4.540x y x y +=??+=? （3分） 解得28x y =??=?．∴8×2.5=20cm，20×8×8=1280cm 3．即该茶叶盒的容积是1280 cm 3 ． （2分） （2）设瓶底直径为d cm ，得4326023444d d d d ++≤??++≤?或4324423460d d d d ++≤??++≤? （3分） 解得d ≤8或d ≤6，即茶叶罐底面直径最大可以为8cm ． （2分） 22．（本小题满分12分） 解：（1）设正方形的边长为x mm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴ PN AE BC AD =，即8012080x x -= ，解得x =48mm ． （4分） （2）设PN= x mm ，由条件可得△APN ∽△ABC ， ∴ PN AE BC AD =，即8012080x PQ -= ，解得PQ =2 803 x -． ∴S =PN ·PQ=22222 (80)80(60)2400333 x x x x x -=-+=--+， ∴S 的最大值为2400mm 2 ． （4分） （3） 480045107≈；2400 4949 ≈ mm （2分） （4）a +h a 解：（1）把A （1，-4）代入y =kx -6，得k =2，∴y =2x -6，∴B （3，0）． ∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y =a (x -1)2 -4，解得a =1，∴y =(x -1)2 -4=x 2 -2x -3 （4分） （2）存在．∵OB=OC =3，OP=OP ，∴当∠POB =∠POC 时，△POB ≌△POC ， 此时PO 平分第三象限，即PO 的解析式为y =-x ． 设P （m ，-m ），则-m=m 2 -2m -3，解得m m >0，舍）， ∴P ． （4分） （3）①如图，当∠Q 1AB =90°时，△DAQ 1∽△DOB ，∴1DQ AD OD DB = =，∴DQ 1=52， ∴OQ 1= 72，即Q 1（0，7 2 -）； ②如图，当∠Q 2BA =90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴ 2OQ OB OD OB = ，即2 363 OQ =， ∴OQ 2= 32，即Q 2（0，3 2 ）； ③如图，当∠AQ 3B =90°时，作AE ⊥y 轴于E ， 则△BOQ 3∽△Q 3EA ， ∴33OQ OB Q E AE =，即333 41OQ OQ =-， ∴OQ 32 -4OQ 3+3=0，∴OQ 3=1或3， 即Q 3（0，-1），Q 4（0，-3）． 综上，Q 点坐标为（0，72-）或（0，3 2 ）或（0，-1）或（0，-3）． （4分）
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