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分式函数

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一次分式函数

班级__________姓名____________ ______年____月____日

1、理解分式函数的概念

2、掌握一次分式函数的图像画法及性质【教学过程】一、知识梳理：

1．一次分函数的定义

我们把形如(0,)cx d

y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2．一次分函数(0,)cx d

y a ad bc ax b

+=≠≠+的图象和性质

2.1 图象：其图象如图所示.

2.2定义域：

?????-≠a b x x ；

2.3 值域：?

?????≠

a c y y ； 2.4 对称中心：???

a c a

b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =-

和c y a

=； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b

-∞-和(,)b

-+∞分别单调递减；当ad

-+∞分别单调递增；

二、回归教材

1．函数11

1--

=x y 的图象是． 2．函数31

()1

x f x x -=+的定义域是．

3．()10x

y x x

-=≠的值域是．

4．函数21

()3x f x x +=+的单调增区间是．

5．函数21

()3

x f x x -=+的对称中心是．

6．函数()x

f x x

是函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”）三、典型题型：【例1】填空题：

（1）函数21

()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________．（2）函数21

()3

x f x x -=+（())5,2(4,5?--∈x ），则()x f 的值域是________．

（3）已知函数()a

x x x f -+=12，若*

∈?N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围

是．（4）若函数21

()x f x x a

+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .

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【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x x

x f ∈+-

=，区间M=[a ，b](a

【例3】已知函数2()1

ax a

f x x +-=

+，其中a R ∈。

(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值及不等式

()1f x x >-的解集；

(2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围.

四、课堂反馈：

1、函数1

x x e y e -=+的反函数的定义域是；

2、不等式21

x x -≥+的解集是； 3、函数221

x x

y x x -=-+的值域是；

4、设函数()(0)x a

f x a b x b

>>+，求()f x 的单调区间，并证明()f x 在其单调区间上的单调性．

五、课后作业：学生姓名：___________

1、若1

a x

y x a -=

--的的图象关于点(4,1)-成中心对称，则实数a 的值为___________

2、函数()f x =的单调递减区间是_______；

3、已知函数x

x x x f ++=2)(2在]3,0(是减函数，在),3[+∞是增函数，则实数a 的值

为________________

4、函数)0(,)(>+

=a x

x x f 在区间[])0(,>m n m 上取得最大值6，最小值2，则此函数在区间[]m n --,上_____________(填单调性) 5、已知函数x

x x f +=)(在区间()+∞,1上为单调递增函数，则实数m 的取值范围为_______________ 6、设(),[0,+)1

f x x x x =+

∈∞+。

（1）当a ＝2时，求()f x 的最小值；（2）当0＜a ＜1时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。

分式函数的图像与性质

y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质一、概念提出 1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。二、学习探究探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当时为奇函数; (6)图象:如图所示问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间上就是增函数, 在区间上为减函数; (5)渐近线:以轴与直线为渐近线; (6)图象:如右图所示例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y

分式函数

第 1 页共 4 页一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质【教学过程】一、知识梳理： 1．一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2．一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式函数的图像及性质

高一数学选修课系列讲座（一） -----------------分式函数的图像与性质一、概念提出 1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += -，12 3x y x -+= +等。二、学习探究探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？例1画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。小结：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）单调性：单调区间为；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数；（6）图象：如图所示

问题2：(0)b y ax ab x =+≠的图像是怎样的？例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1 y x x =+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。小结：分式函数(,0)b y ax a b x =+ >的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据y x =与1y x = 的函数图像，绘制函数1 y x x =-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子，思考1y x x =-- 与1 y x x =-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像呢？小结：(,,0)b y ax a b R ab x =+∈≠的图像如下：（i ）(0,b y ax a b x =+>>

有理函数之积分(部分分式法)

☆3一3 有理函數之積分(部分分式法) ●部分分式法部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下 (1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式 =+被除式餘式商式除式除式將原分式化成帶分式的形態 (2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現下面四種可能 ①ax b + ②2 ax bx c ++ ③()n ax b + ④2 ()n ax bx c ++ (3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的 12 11221122 () ()() () n n n n n A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b = ++ + ++++++ ②重複的一次因式 122 ()()() () n n n A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++ ++++ ③所有的因式都是二次不重複的 222 111222() ()() () n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++ 1122 22 2 111222n n n n n A x B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++

④重複的二次因式 2()()n P x ax bx c ++112 2222 2() () n n n A x B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++ ++++++ 例題1. 求21 4 x dx x +-? Sol ： 24(2)(2 )x x x -=+- 令 2 1422 x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2 4(2)(2)x x x -+-或】 ?1(2)(2) x A x B x +=-++ 令2x =-代入? 41A -=-1 4 A ∴= 令2x =代入?43B =34 B ∴= ∴原式143413 ()ln 2ln 22244 dx x x C x x =+=++-++-? 提示：公式 11 ln dx ax b C ax b a =+++? 例題2. 求32232 x x dx x x -++?

分式函数求最值班班

分式函数的图象及性质和值域（4，13班）耿9.2 在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{y 调性：单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4中心：渐近线为直线, d a x y c c =-=，（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（6）图象：如图所示。 2．函数(0,0) b y ax a b x =+>>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）{|y y y ≥≤-或（3 单调性：在区间+),(,∞-∞间上是减函数（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x =+><的图象和性质：

（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 4．函数(0)b y ax a x =+<的图象（如图所示）和性质（略）：类型一：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+（ “一次比一次”型）备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。例1。函数1 1 +- =x y 的图象是（） A B C D 例2、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】212(1)112111x x y x x x --+= ==+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠ 单调区间为(,),(,+)d d c c -∞-- ∞（4）直线,d a x y c c =- = ，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b =+ ><的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数1 1+- =x y 的图象是（） A B C D 2．函数23 (1)1 x y x x += <-的反函数是（） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2 2 2 2 x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++= <= ≠=<= ≠---- 3．若函数2()x f x x a +=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是（） . 1 . 1 . 2 .2A B C D -- 4．若函数21 ()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为（） 11. 1 . 1 . .2 2 A a B a C a D a ≠-≠≠ ≠- 5．不等式14x x > 的解集为（） 1111111. (,0)( ,) . (-,)( ,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0, ) 22 2 2 2 2 2A B C D - +∞∞- +∞-∞- 6．已知函数2 ()ax b f x x c += +的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为（） . . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>> 7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2 34 x y x = +的值域是。 9．若函数1 a x y x a -= --的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数 a = 。 10．函数11 x x e y e -= +的反函数的定义域是。 11．不等式 2113 x x ->+的解集是。 12．函数2 2 1 x x y x x -= -+的值域是。

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

拆分函数解析式结构，巧解问题 --------------函数()ax b f x cx d +=+值域（最值）问题的解法在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d +=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d += ≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。【例题1】：求函数21()3 x f x x +=-的值域；【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为 {|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序： 1、将函数分解为反比例的结构； 2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。【解析】：原函数可化为212677()2333 x x f x x x x +-+===+---， 7303 x x ≠≠-且，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且；【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；

一次分式型函数学案

一次型分式函数图象的研究教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．教学重点用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．教学难点用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．教学过程一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识．二、基本函数作图例1．作下列函数图象（1）x y 3=；（2）x y 2-=．归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点．归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0

归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位，等等．练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象．例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系．归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．练习：作函数21++=x x y 的图象．四．“二线一点”法作图探究例4．已知函数4 23-+=x x y ．（1）作函数的图象；（2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即函数的值域）．（3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？（函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线）（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）（5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？（6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系．例5．作函数1 23--=x x y 的图象．归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法：（1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象．

高等数学中有理分式定积分解法总结

由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商 () () P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分两个多项式的商 () () P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式. 1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 例1.2 422 23 1 x x dx x +++? ()222 2 2131 x x x dx x ++-=+? 解原式 2 2 2212311 x x dx dx dx x x =+-++??? ()42 2222 2 22 222223321.11 311 31 13111 31 arctan x x dx x x x x dx x x x dx dx x x dx dx x x dx dx dx x x x x C +++-=+=-+? ?=-- ?+?? =-++=--+?????????例解原式

3 24arctan 3 x x x C = +-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如： 2221111x dx dx x x ? ?=- ?++?? ?? 对于真分式 () () P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和： ()()P x Q x ()()()() 1 212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、() () 1k P x x a -、 () () 22 l P x x px q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的 2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分 2.1 类型一 ()m k ax b dx cx +? 例2.1.1 () 3 2 1x dx x -? 322 331 =x x x dx x -+-?解原式 211 =33xdx dx dx dx x x -+-???? 211 =332x x In x C x -+++ 总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算 2.2 类型二 () k m cx dx ax b +?

分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221 x y x x +=+， 212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221 12x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += - ，y = 等。 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？例1、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111211 y y y x x x = ??→=??→=+--右上由此可以画出函数21 1 x y x -= -的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞；对称中心：(1,2)。【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)

秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数）【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为。【秒杀题型二】：二次函数。『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明，

分式函数求最值班班

分式函数的图象及性质和值域（4，13班）耿在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c -∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4 ）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b x = + ><的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 (0)b y ax a x =+ <的图象（如图所示）和性质（略）：

类型一：( ,, ,) ax b y a b c d R cx d + =∈ + （“一次比一次”型）备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。例1。函数 1 1 + - = x y的图象是（） A B C D 例2、画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】 212(1)11 2 111 x x y x x x --+ ===+ --- ，即函数 21 1 x y x - = - 的图像可以经由函数 1 y x = 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111 2 11 y y y x x x =??→=??→=+ -- 右上由此可以画出函数 21 1 x y x - = - 的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,) -∞+∞；值域：(,2)(2,) -∞+∞ U；对称中心：(1,2)。 x O y x O y 1 2 x O y 1

高中各种函数图像画法与函数性质

一次函数（一）函数 1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。二次函数

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-

一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020

一次函数的图像与性质

一次函数的性质和图像

目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。

（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。（常数项）b决定图象与y轴交点位置。五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式

六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。

反比例、分式函数

反比例函数、一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、掌握反比例函数的性质【教学过程】一、知识梳理： 2、一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质图象：其图象如图所示.

第 2 页共 4 页定义域：_________________；值域：____________________；对称中心：___________________；渐近线方程：______________________；单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。分析：此类函数中，当0a 时，对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)('，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y