转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
例题分析
例1 解方程组
分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为
，再利用换元法，问题就迎刃而解了。
解：设
原方程组可化为
解之，得即
解之，得
例2若m、n、p同时满足下面二式：，求的取值范围。
分析：直接利用已知条件中的两个等式得到的取值范围不好下手，如果换个角度考虑可变形为，令，，，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以
确定所求式子的取值范围。
解：设，则
由(1)、(2)可得
(3)
(4)
此时， (5)
由(3)得
，由(4)得
由(5)得
例3 如图，中，BC＝4，，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大？
A
分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解析式。
解：设BP＝x，的面积为y
作于H
则
化简得
配方得
即P为BC中点时，的面积最大
这时的面积最大值为
例4已知二次函数过点O(0，0)，A()，B()和
C()四点。
(1)确定这个函数的解析式及m的值；
(2)判断的形状；
(3)若有一动圆⊙M，点M在x轴上，与AC相切于T点，⊙M和OA、OC分别交于点R、S，
求证弧长为定值。
分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解析式，进而求出m的值。
(2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。
(3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。
解：(1)的图象过点O(0，0)、A()、B()
解得
二次函数解析式为
的图象过点
(2)
是等边三角形
(3)设点M的坐标为(P，0)
⊙M与AC相切于T点
⊙M的半径为
若⊙M与OA、OC分别交于则
由(1)、(2)知，是方程的两个根
即的两根为
是等边三角形，
的弧长为（定值）
说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中
的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定的形状，从而确
定的度数，最后计算出的弧长。
例5 如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BE＝AE＝b，AB＝a。
求证：(1)CD、CE的长是方程的两个根；
(2)求PB的长。
分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b 的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。
略解：(1)依题意，可证
得CE＝AC
由切割线定理，得，即
又CD＝AB＝a
的长是方程的两个根
(2)由相交弦定理，得
即
解得（不合题意，舍去）
易错题分析
例1.四边形ABCD中，，AC平分，，
，求BC和AB的长。
分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知，AC平分，所以想到由C点作于E，作于F。由已知
可求出CF，由，可知CE的长，通过解可求出BC的长。
BE也可求，再通过解由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。
解：作于E，于F
在中，
在中，
由勾股定理，
综上所述：。
点评：本题有的同学没有思路，但如果想到由已知，想到作AD边上的
高线，再由AC平分想到从C点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三角形解决问题。
例2.四边形ABCD中，，，，，
求AB。
分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。
解：过D点作的延长线于E，若为钝角，作延长线于F，（若为锐角，作于F，同理）
在中，，，
，
四边形EBFD是矩形
在中，
点评：本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对的讨论。有可能是锐角、直角或钝角，但无论是什么角，都不影响解题的结果。
例3.在四边形ABCD中，，，
，求CD的长。
分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。
解：若是锐角，（是钝角或直角同理）过C点作于F，过C点作
的延长线于E。
四边形AECF是矩形
在中，
在中，
点评：以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。在四边形中，常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运用的数学思想就是转化的思想。以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。
练习
一. 选择题：
1. 若x、y都是实数，且，则的值是（）
A. 12
B. －12
C.
D. 9
2. 设关于的二次方程的两根为，若，
则的值是（）
A. 3
B. －1
C. 3或－1
D. －3
初中数学总复习教案 第1课时 实数的有关概念 知识点： 有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 教学目标： 1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 教学重难点： 1． 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a 2 、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 教学过程： 一、基础回顾 1、实数的有关概念 (1)实数的组成 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)， 实数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 二：【经典考题剖析】 1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．： 解：（1）如图所示： （2）300－（－200）=500（m ）；或|－200－300 |=500（m ）； 或 300+|200|=500（m ）． 答：青少宫与商场之间的距离是 500m 。
中考数学专题复习之三：数学的转化思想 【中考题特点】： 转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．．。 【范例讲析】： 例1：已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求 n m m n +的值。 例2：已知：一元二次方程x 2+x+m=0，x 2－(m －1)x+4 1 =0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。 例3：已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。 求：cos ∠EDF 的值。 A B C D E F
例4：已知方程组 kx 2－x －y+ 2 1=0 y=k(2x －1) (x 、y 为未知数) 有两个不同的实数解 x=x 1 或 x=x 2 y=y 1 y=y 2 ⑴求实数k 的取值范围；⑵如果3x 1 x 1y y 2 121=++，求实数k 的值。 例5：如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【练习】： 1．已知：m, n 是方程x 2－3x+1=0的两根，求代数式2m 2+4n 2－6n+1999的值。 2．已知：ab ≠1，且5a 2+1995a+8=0，8b 2+1995b+5=0。求 b a 的值。 3．如图，在直角坐标系中，点B 、C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，弧CD =弧AO ，如果AB=10AO>BO ，且AO 、BO 是关于x 的二次方程x 2+kx+48=0的两个根。 ⑴求点D 的坐标；⑵若点P 在直径AC 上，且AC=4AP ，判断点 （－2，－10）是否在过D 、P 两点的直线上，并说明理由。 A B C D E F P
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
2018年初中数学中考大题 一．解答题（共25小题） 1．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由． （参考数据：，） 2．2014年3月，某海域发生航班失联事件，我海事救援部门用高频海洋探测仪进行海上搜救，分别在A、B两个探测点探测到C处是信号发射点，已知A、B两点相距400m，探测线与海平面的夹角分别是30°和60°，若CD的长是点C到海平面的最短距离．（1）问BD与AB有什么数量关系，试说明理由； （2）求信号发射点的深度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
3．如图，某生在旗杆EF与实验楼CD之间的A处，测得∠EAF=60°，然后向左移动12米到B处，测得∠EBF=30°，∠CBD=45°，sin∠CAD=． （1）求旗杆EF的高； （2）求旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长． 4．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求： （1）坡顶A到地面PQ的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
初中数学专题复习 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】 解：（1）分两种情况： 当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根. 当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程， ∵()()()2 22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥. ∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式 都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根. （2）①∵关于x 的二次函数32)1(32 1-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m .
专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)
数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 （一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为
易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，
初中数学函数三大专题复习 目录 专题一一次函数和反比例函数 (1) 一、一次函数及其基本性质 (1) 1、正比例函数 (1) 2、一次函数 (1) 3、待定系数法求解函数的解析式 (2) 4、一次函数与方程、不等式结合 (3) 5、一次函数的基本应用问题 (4) 二、反比例函数及其基本性质 (7) 1、反比例函数的基本形式 (7) 2、反比例函数中比例系数k的几何意义 (8) 3、反比例函数的图像问题 (9) 4、反比例函数的基本应用 (11) 专题二二次函数 (13) 一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 (13) 1、二次函数的解析式及其求解 (13) 2、二次函数的基本图像 (14) 3、二次函数的增减性及其最值 (16) 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 (16) 5、二次函数和不等式、方程的结合 (18) 二、二次函数的基本应用 (19) 1、二次函数求解最值问题 (19) 2、二次函数中的面积问题 (21) 3、涵洞桥梁隧道问题 (24) 4、二次函数和圆相结合 (26) 三、二次函数中的运动性问题 (27) 1、动点问题 (27) 2、折叠、旋转、平移问题 (33) 专题三锐角三角函数以及解直角三角形 (36) 1、锐角三角函数的基本定义及其计算 (36) 2、锐角三角函数的基本应用 (37)
专题一 一次函数和反比例函数 一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数 形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。 （1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。 2、一次函数 形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。 随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。 例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。
初中数学中的“转化思想” [摘要]：随着课程改革的深入展开，培养学生的能力越来越重要，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。本文从几方面论述了转化思想在数学学习中的重要作用：转化思想可以使学生经历探索的学习过程，改变学生的学习方式，转化思想能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，是一种很重要的思维方法；转化思想可以增强学生的数学应用意识，提高解决问题的能力，从而，大大加强学生学习数学的兴趣。 [关键词]：转化思想数学学习逻辑思维应用意识学习兴趣 [引言]：人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，但笔者在数学实践中体会到，在学生的数学学习过程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养。 转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟习问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。 数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题。在数学中，很多问题能化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，……等等，下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳。
初中数学圆专题训练 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
初中数学圆专题训练（一） （一）选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）（A）4个（B）3个（C）2个 （D）1个 2．下列判断中正确的是（） （A）平分弦的直线垂直于弦（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则（）（A）＝（B）＞ （C）的度数＝的度数 （D）的长度＝的长度 4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）
（A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是 （ ） （A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那 么圆P 与OB 的位置关系是 （ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） （A ）21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ） （C ）3 1（a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝2 3，则tan ∠BCG 的值为……（ ） （A ）33 （B ）2 3 （C ）1 （D ）3
初三数学重点难点总复 习专题圆生 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]
2018年九年级数学总复习— 圆专题复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； A
内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 图4 图5 B D
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则12 0x x ?>?? ??? --
初中数学圆的难题汇编附答案解析 一、选择题 1．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，30A ∠=?，2BC =．将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ） A ．302， B ．602， C ．3602 ， D ．603， 【答案】C 【解析】 试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2， ∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠33AB=2BC=4， ∵△EDC 是△ABC 旋转而成， ∴BC=CD=BD= 12AB=2， ∵∠B=60°， ∴△BCD 是等边三角形， ∴∠BCD=60°， ∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC ， ∵BD=12 AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=1233 ∴S 阴影= 12DF×CF=1233
故选C． 考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形． 2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】 解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上， 设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8， ∴OC=1 2 AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°， ∴22 OC BC ，∵OE=OC=4， ∴BE=OB-OE=5-4=1.
数学中考总复习 数学中考总复习YOUXUE ZHONGKAO ZONGFUXI 数 学专题训练1 三角板与作图
1. 如图Z1-1，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°，则∠2= .2.将一副直角三角板按如图Z1-2的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠a= .3. 已知a//b，某学生将一直角三角板按如图Z1-3放置，如果∠1=40°，那么∠2= .4. 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）.55° 75° 50°B
5. 已知△ABC（AC
8.如图Z1一5，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E， 5 连接DE.若BC=10cm，则DE= cm. 10.如图Z1-7，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于。AC长为 半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则AC= .
11.如图Z1-8，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的 顶点上. （1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2/2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长. 解：（1）如图Z1-8T，矩形ABCD即为所求； （2）如图Z1一8T，△ABE即为所求，CE=4.
初三数学中考总复习计划 覃秋平 初三毕业班总复习教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须面对的问题。下面谈谈我的本届毕业班的复习计划。 一、第一轮复习（3月~~4月） 1、第一轮复习的形式 第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过记忆关。必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。（2）过基本方法关。如，待定系数法求二次函数解析式。（3）过基本技能关。如，给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。基本宗旨：知识系统化，练习专题化，专题规律化。在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构，可将代数部分分为六个单元：实数、代数式、方程、不等式、函数、统计与概率等；将几何部分分为六个单元：相交线和平行线、三角形、四边形、相似三角形、解直角三角形、圆等。配套练习以《来宾市中考先锋练习册》为主，复习完每个单元进行一次单元测试，重视补缺工作。 2、第一轮复习应该注意的几个问题（1）必须扎扎实实地夯实基础。今年中考试题按难：中：易=1：2：7的比例，基础分占总分（120分）的70%，因此使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。 （2）中考有些基础题是课本上的原题或改造，必须深钻教材，绝不能脱离课本。 （3）不搞题海战术，精讲精练，举一反三、触类旁通。“大练习量”是相对而言的，它不是盲目的大，也不是盲目的练。而是有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。（4）注意气候。第一轮复习是春季，大家都知道，春季是学习的黄金季节，五月份之后，天气酷热，会一定程度影响学习。 （5）定期检查学生完成的作业，及时反馈。教师对于作业、练习、测验中的问题，应采用集中讲授和个别辅导相结合，或将问题渗透在以后的教学过程中等办法进行反馈、矫正和强化，有利于大面积提高教学质量。 （6）从实际出发，面向全体学生，因材施教，即分层次开展教学工作，全面提高复习效率。课堂复习教学实行“低起点、多归纳、快反馈”的方法。 （7）注重思想教育，不断激发他们学好数学的自信心，并创造条件，让学困生体验成功。（8）应注重对尖子的培养。在他们解题过程中，要求他们尽量走捷径、出奇招、有创意，注重逻辑关系，力求解题完整、完美，以提高中考优秀率。对于接受能力好的同学，课外适当开展兴趣小组，培养解题技巧，提高灵活度，使其冒“尖”。 二、第二轮复习（5月份） 1、第二轮复习的形式 如果说第一阶段是总复习的基础，是重点，侧重双基训练，那么第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高，应侧重培养学生的数学能力。第二轮复习的时间相对集中，在一轮复习的基础上，进行拔高，适当增加难度；第二轮复习重点突出，主要集中在热点、难点、重点内容上，特别是重点；注意数学思想的形成和数学方法的掌握，这就需要充分发挥教师的主导作用。可进行专题复习，如“方程型综合问题”、“应用性的函数题”、“不等式应用题”、“统计类的应用题”、“几何综合问题”，、“探索性应用题”、“开放题”、“阅读理解题”、“方案设计”、“动手操作”等问题以便学生熟悉、适应这类题型。备用练习《？？？？？》。 2、第二轮复习应该注意的几个问题
“转化思想”在初中数学中的应用和作用 □许记花 数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是指导我们探索问题、研究问题和解决问题的尚方宝剑，它常常隐含于数学知识的发生、发展过程中。而“转化思想”是数学思想方法中最基本、也是最重要的一种方法，“转化思想”在初中数学中的应用之广，作用之大，是无法用语言形容的，理解并掌握了这种方法，许许多多的数学问题都能迎刃而解。 一、“转化思想”初中代数中的应用和作用 1、进入初中，我们学习了用数轴上的点来表示有理数，因而计算一个数的绝对值就转化为求数轴上的点到原点的距离，这是数与形的转化。 2、两个负数大小的比较，绝对值大的反而小，这是把负数大小的比较通过取绝对值转化为正数大小的比较。这是数与数之间的转化。 3、根据减法法则，减去一个数可以转化为加上这个数的相反数，从而把有理数的减法运算转化为有理数的加法运算。这是运算与运算之间的转化。 4、类似地，除以一个不为0的数可以转化为乘以这个数的倒数，把有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算，这是运算与运算之间转化。像这样，把复杂问题转化为简单问题，把陌生的未知问题转化为已知的学过的知识去解决，把新的问题转化为已知的或已解决的问题，这就是我们学习数学解决问题的一种常用的数学思想——转化思想。 5、而解一元一次方程的过程实质也是一种转化，是将复杂的方程逐步转化为最简单的方程。例如： 解方程： 解：去分母，得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3) ① 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6 …② 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20 …③
合并同类项，得16x=7 .…④ 系数化为1，得x …⑤ 大家都知道一元一次方程的解的基本表达形式是x=a，它是一元一次方程中形式最简单的方程，而我们研究一元一次方程起点便是从这里开始的.学习了等式的基本性质，我们可以探索形如方程②、③、④形式的解法；学习了去括号法则之后，又可以探索形如方程①形式的解法；最后，学习了含分母的一元一次方程的解法。从此不难发现：我们课本知识是由浅显、简单到较难、较复杂是逐步展开的，而上述解方程的过程正好是我们课本知识展开过程的逆过程，正好符合我们解方程的数学思维过程，即把复杂的问题，逐步转化为简单的问题，把陌生的问题逐步转化为熟悉的问题，从而求得问题的解。 二、“转化思想”在初中几何中的应用和作用 学习几何知识，用几何知识分析问题、探索问题、研究问题和解决更离不开“转化思想”，几何题的解答、几何题的证明、多数定理的证明，公式的推导，也都用到“转化思想”，转化思想在数学中的应用之广，作用之大是无法测量的。例如： 1、如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把求∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E五个角的度数转化为一个三角形的内角和等于180°来解决的。这是角与角之间的转化。 2、多边形的内角和公式（n－2）×180°推导：利用添加辅助线的方法把n边形转化为(n-2)个三角形，利用三角形的内角和等于180°。这是图形与图形之间、角与角之间的转化。 3、直线、抛物线、双曲线可以用方程（即解析式）来表示，这是形与式的转化。直线、抛物线、双曲线交点问题，可以用求方程组解来解决，这是形、式、数之间的转化。 4、如图：△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为（-2，-1）、（3，-3）、（1，3），求△ABC 的面积。
初三数学圆的专项培优练习题(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成立的 是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。
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