中考数学专题复习——分类讨论
教学设计
新宾一中吴雪松
中考数学专题复习——分类讨论
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节教材是初中数学九年级中考专题复习的内容。是初中数学的重要内容之一。正确应用分类思想，是完整解题的基础。而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的中考试卷中都会有这类试题，由此可见分类思想的重要性。鉴于这种认识，我认为，本节课有着广泛的实际应用。
2、学情分析
九年级学生有较强的自我发展意识，有一定的分析和归纳能力。但初中学生分类意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，启发诱导，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。
3、教学重难点
根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重、难点确定为：
分类讨论思想的应用和分类的标准。
二、教学目标分析
知识与技能：
1、通过本专题的复习，让同学们再次体会分类讨论思想在解题中的应用；
2、培养学生思维的严谨性和周密性，提高解题正确性与完整性。
过程与方法：引导学生通过观察分析、类比归纳的探究，加深对分类讨论数学思想的认识。
情感态度与价值观: 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学思维的严谨性和周密性。
三、教学方法分析
本节课我采用多媒体辅助教学，以分组合作学习为主要方式进行教学。在教法上主要运用趣味教学法、引导发现法、合作探究法和直观演示法等。
四、教学过程分析
1、回顾知识点,了解概念
2、创设情境，提出问题
3、合作研讨，纳入体系
4、典例引导，同类训练
5、总结反思、自我评价
分类讨论思想（方法）介绍
在解答某些数学问题时，因为存在一些不确定的因素，解答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述，对这类问题依情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法叫分类讨论法.
分类讨论涉及初中数学的所有知识点，其关键是弄清引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，分情况加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。
注意分类的原则是既不重复，也不遗漏！
题组训练
初中数学常见的分类讨论
一、概念中的分类讨论
二、含参变量的分类讨论 三、运动变化中的分类讨论 四、几何图形不确定的分类讨论 位置关系不确定的分类； 字母取值范围不同的分类。
1、已知⊙O 的半径为5cm ，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB=6cm ， CD=8cm ，AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离为 ；
2、半径为3cm 、5cm 的两圆相切，则它们的圆心距为
3、 ；
3 、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和 3 cm 两部分，则这个矩形的面积为 。
因为分类讨论是初中数学中常用的重要思想方法之一，所以应用及其广泛，也是中考试题中作为考查学生分析问题和解决问题能力的常见题型。
5、在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽为16cm 的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.
6、
(1）若顶角顶点与矩形顶点重合
C
D
D
17
(2）
如图，当AE=AF=10时,S △AEF= 12
×10×10=50(cm2)
C
B
D
17
16 C
B
D
1
6
F
C
B
D
F
∴三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、
cm2
7、在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动时，如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0＜t ＜6）那么：
（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？
解:(1) AP=2t,DQ=t,∴QA=6－ｔ，
当ＡＱ=AP 时，△QAP 为等腰直角三角形， 即6－t=2t,解得t=2（秒）
∴当t=2秒时， △QAP 为等腰直角三角形。 8、在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动时，如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0＜t ＜6）那么： （2）求四边形QAPC 的面积,并提出
一个与计算结果有关的结论；（2）在△QAC 中，S= 21 QA ·DC= 21
（ 6－t)·12=36－６ｔ 在△APC 中，S= 21 AP ·BC= 21
·２ｔ·６＝６ｔ
S QAPC 的面积=（３６－6t)+6t=36(cm2)
由计算结果发现：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终 保持不变。
C
B
D
E
F
Q
P
A
D
C
B
（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？
（3）根据题意，可分为两种情况来研究 ①当
AB QA
=
BC AP
时，△QAP ∽△ABC ，则
126t -
= 62t ，解得t=56
=1.2（秒）。
∴当t=1.2秒时，△QAP ∽△ABC 。
②当 BC QA = AB AP 时，△PAQ ∽△ABC ，则 66t - = 122t
，解得
t=3（秒）。
∴当t=3秒时，△PAQ ∽△ABC 。
∴当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似。 分类讨论的思想方法
实质：是根据数学对象的共同性和差异性，将其分为 不同种类的思想方法；
作用：能把较复杂的、陌生的问题转化成几个较简单
的问题，可考察学生思维的周密性，克服思 维的片面性；
原则：(1)分类按同一个标准； (2)各部分之间相互独立； (3)分类讨论应逐级进行．
课题 第26章 反比例函数单元复习课 课型 复习课 教学目标： 知识与技能： 1.掌握反比例函数的概念、图像及性质； 2.运用反比例函数解决实际问题。 过程与方法： 渗透数形结合、分类讨论的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 情感、态度与价值观： 使学生感受生活中数学无处不在，提高学习数学的兴趣. 教学过程： 一、《函数》单元学习内容的整体性 设计意图：复习旧课导入正课 二、课标要求 三、复习 归纳反比例函数单元的相关内容。 考点一：反比例函数的定义 1.下列是反比例函数的有 （1）x y 3= （2） （3）3-=xy （4）πx y = （5）x k y = （6）22-=x y （7）37+=x y （8）x y 5= 2.已知函数 m x m y -+=1)2(是反比例函数,则 m = ____________ 3.已知点P(1,-3)在反比例函数x k y = (k ≠0)的图像上，则k 的值是( ) A. 3 B. -3 C. 31 D. 3 1- 设计意图：通过回顾知识点和练习进一步掌握和巩固反比例函数 考点二：反比例函数图像和性质 1.对于反比例函数x y 5= ,下列说法正确的是( ) A. 图像经过点(1,-3) B. 图像在二、四象限 C. x>0时y 随x 的增大而增大 D. x<0时y 随x 的增大而减小 2.已知反比例函数 x b y =(b 为常数且b ≠0),当x>0时，y 随x 的增大而减少，则一次函数y =x+b 的图像不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．对于反比例函数 x y 2—= ，下列说法正确的是 ①若点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）都在图象上，且1x ＜2x 则1y ＜2y ． ②当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；
中考数学专题复习——分类讨论 教学设计 新宾一中吴雪松
中考数学专题复习——分类讨论 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节教材是初中数学九年级中考专题复习的内容。是初中数学的重要内容之一。正确应用分类思想，是完整解题的基础。而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的中考试卷中都会有这类试题，由此可见分类思想的重要性。鉴于这种认识，我认为，本节课有着广泛的实际应用。 2、学情分析 九年级学生有较强的自我发展意识，有一定的分析和归纳能力。但初中学生分类意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，启发诱导，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。 3、教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重、难点确定为： 分类讨论思想的应用和分类的标准。 二、教学目标分析 知识与技能： 1、通过本专题的复习，让同学们再次体会分类讨论思想在解题中的应用； 2、培养学生思维的严谨性和周密性，提高解题正确性与完整性。 过程与方法：引导学生通过观察分析、类比归纳的探究，加深对分类讨论数学思想的认识。 情感态度与价值观: 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学思维的严谨性和周密性。 三、教学方法分析 本节课我采用多媒体辅助教学，以分组合作学习为主要方式进行教学。在教法上主要运用趣味教学法、引导发现法、合作探究法和直观演示法等。 四、教学过程分析 1、回顾知识点,了解概念 2、创设情境，提出问题 3、合作研讨，纳入体系 4、典例引导，同类训练 5、总结反思、自我评价 分类讨论思想（方法）介绍 在解答某些数学问题时，因为存在一些不确定的因素，解答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述，对这类问题依情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这种解题的方法叫分类讨论法. 分类讨论涉及初中数学的所有知识点，其关键是弄清引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，分情况加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。 注意分类的原则是既不重复，也不遗漏！ 题组训练 初中数学常见的分类讨论
课题：特殊三角形复习课 一、地位和作用 特殊三角形主要是指等腰三角形和直角三角形，是全等三角形知识的延续和深化.它们的性质和判定在研究线段相等、角相等的问题中起着重要作用.特殊三角形作为一种载体，使轴对称与线段、角、全等三角形等几何图形紧密结合起来，它使线段、角的问题变得丰富多彩、扑朔迷离，往往给每一颗爱好几何的心灵以惊喜和顿悟.掌握特殊三角形的性质、判定，可以进一步培养提高学生逻辑思维和推理能力，是学习后续几何知识必不可少的基础,并且在生产和生活中也有着广泛应用. 特殊三角形是中考必考内容，可独立成题，亦可综合其它知识进行考察. 二、教学目标： 知识目标：掌握等腰三角形（含等边三角形）及直角三角形的性质和判定及其运用. 能力目标：引导学生参与解题思路的分析，掌握运用分类讨论思想和方程思想的解题方法. 情感目标：在领悟解题规律中感受成功，体验数学学习的快乐，以及同伴交流和互助的喜悦. 三、教学重点与难点： 重点：等腰三角形、直角三角形的性质与判定及其应用 难点：分类讨论思想及方程思想的运用 四、教学模式： 先学后教，利用启发式，引导探究法，小组活动相辅助的教学方法，激发全体学生积极参与课堂，引导学生通过猜想、思考、探索、小组活动等多样化的学习方式，掌握几何证题思路的分析方法，运用数学思想，领悟解题规律，体验数学学习的快乐. 五、教学过程： （一）目标展示 1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理. 2.直角三角形的性质和判定定理. 3.会利用等腰三角形及直角三角形的性质、判定进行有关计算与推理. （二）知识展示 1.等腰三角形的性质和判定 1)等腰三角形是______对称图形，等腰三角形的两腰______,两_______相等. 2)等腰三角形的底边上的中线,_____________,__________互相重合.(三线合一) 3)两个角相等的相等的三角形是_______________. 2.等边三角形的性质和判定 1)等边三角形的每个角都等于______，同样具有“三线合一”的性质. 2)三个角相等的三角形是______________;三边相等的三角形是______________; 有一角为60°的______三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质和判定(c为斜边，a、b为直角边) 1）直角三角形的两锐角______. 2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的______. 3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______. 4)直角三角形的三条边满足_______________. 5）勾股定理的逆定理：若一个三角形有两边的_________等于第三边的平方，则这个三角形是_____________.
九年级下学期复习数学教案 第一章实数与中考 中考要求及命题趋势 1.正确理解实数的有关概念； 2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质； 3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。 4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算 5.会用多种方法进行实数的大小比较。 2012年中考将继续考查实数的有关概念，值得一提的是，用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。 应试对策 牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 大纲要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成 1
(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 (画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念例1 ①a 的相反数是则a 的倒数是 _______． ②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示 则化简│b-a │． ③（2006年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约 ______________________． 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 例2.(-2)3与-23( )． (A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16 A 例的绝对值是 ；的倒数是 ；的平方根是 ． 分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。 -2/7，±2/3 例4.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D
教案 复习专题《点在线段(延长线上)的分类讨论》 教学目标： 了解化动为静，数形结合的方法 理解运动过程中的运动方向和运动过程 掌握动点在线段（延长线上）的几种情况 教学重点： 点在线段（延长线上）的分类讨论的几种情况 教学难点： 动点问题中化动为静，分类讨论的方法 教学方法: 自主探究，小组讨论 设备支持：多媒体教室，PPT,几何画板 学情分析：九年级级学生已经学了相似三角形、锐角三角函数、建立方程模型解决问题的知识，理解了数形结合、分类讨论的数学方法，分析问题、解决问题的能力已经很强，只是在分类讨论的时候可能不完整，会漏解。 教学过程： 一、新课导入：同学们，动点问题一直是中考考题中的热点问题，动点的数量一般1到3 个，运动的范围一般在线段，射线或折线上。其中以点在线段或射线上的题型最为常见。当动点运动到
x x 线段上的图形和动点运动到线段延长线上的图形有很大差别。但一般“图形改变，求法不变”。今天这节课，我们就来一起探究一下点在线段(延长线上)的分类讨论。 二、例题分析 例：如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－3, 0）， (0, 6).动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速 度运动。以CP ,CO 为邻边构造□PCOD ，延长线上取点E 使PE ＝AO 。设点P (1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E (2)当点C 在线段OB 上时， 求证：四边形ADEC 为平行四边形。 (3)在线段PE 上取点F ,使PF ＝1，过点F 作MN ⊥截取FM ＝2,FN ＝1,且点M 、N 分别在第一、四象限当点M 、N 中有一点落在四边形ADEC 上时， 求出所 有满足条件的t 的值
中考复习专题————分类讨论思想学案 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 一、在代数中 1、若 ||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则 2、如果x 2＋mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值为 3、化简 |1|x - 二、在几何三角形中 4、同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是 5、等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为____ ． 6、已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是 三、四边形中 7、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和 3 cm 两部分，则这个矩形的面积为______________ 8、如图所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ， 若以A ，P ，Q 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为__________．
四、在圆中 9、已知⊙O 1和⊙O 2 相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O 1 和⊙O 2 的圆心距为 _____________. 10、若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为 11、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD， 则AB与CD之间的距离为__________ 五、在函数中 12、一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9，则kb值 13、已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 14、已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．
分类思想专题 1关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） 2.已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围 （2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求ΔABC 的周长. 3. 一次函数y kx b x =+-≤≤，当31时，对应的y 值为19≤≤x ，则kb 的值是 4. 设一次函数21y ax a =-+-的图象不经过第一象限，求a 的取值范围。 5.在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （－2，2），试在x 轴上确定点P ，使△AOP 为 等腰三角形，求符合条件的点P 的坐标 6. 已知点P 到⊙O 的最近距离为3cm ，最远距离为13cm ，求⊙O 的半径. 7.A 、B 是⊙O 上的两点，且∠AOB=136o ，C 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠ACB 的度数是___________. 8.已知横截面直径为100cm 的圆形下水道，如果水面宽AB 为80cm ，求下水道中水的最大深度. 9. ⊙O 的直径AB=2，过点A 有两条弦AC=2，AD=3，求∠CAD 的度数. 10. 已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 个单位时，它与x 轴相切. 11.已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是 cm ． 12. 如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移 个单位长后，⊙A 与⊙B 相切． 13. 如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的 A B y x 5 3(a ，0)O
中考数学选择、填空题复习策略 通过对2017年样卷都分析，我们发现在2017年中考数学试题中，选择题8小题占 32 分，填空题 6 小题占18分，分值占有极其重要的地位，将近总分的一半，是考生的主要得分来源。选择题、填空题解答的成败，直接影响着解答题的解题时间和思想情绪，成为能否考好的关键，有“得选择题、填空题者得天下”之说。因此在做选择题、填空题时，除注重知识结构、思想方法和基本能力的培养外，还应选择合理的解题方法和技巧以提高解题速度，现将应对策略阐明如下： 一、选择题、填空题的命题特点 1.内容与形式稳中有变。选择题经常围绕概念、运算、证明、图像等而设计，重视分析，淡化计算。填空题主要集中在五大块：“数与式”、“方程和函数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合运用”。 2.题目小、巧、活、新，思维量增加，运算量减少。选择题、填空题题小分大，一小题就是 4 分或 3 分。跨度大，覆盖面广，迷惑性强，不讲求过程，只注重结果，多思少算。 3.充分利用题型功能，深入考查多种能力。函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合、整体思想、换元思想等数学思想方法在选择题、填空题中得到了充分体现除了考查数学的运算能力、推理能力、空间想象能力之外，还对考生的阅读理解能力直觉思维能力、知识迁移能力、信息处理能力和创新思维能力都提出了较高的要求。 4. 问题情境设置自然贴切，真实有效，创新意识强。选择题中经常信息量大、情境新颖、立意切合时代特点的应用题、填空题向探索型转化，综合性强、内涵丰富，具有开放性，这些问题贴近生活，贴近实际，构思精巧，设计独特，重视能力的考查。 二、选择题、填空题的基本要求
《反比例函数与一次函数》复习教案 【复习目标】 掌握反比例函数与一次函数综合题中常见的题型及解答思路，计算机巧。熟悉综合题中分类讨论思想、参数思想、数形结合思想。 教学过程： 一、例题精讲 例．直线x y 23=与双曲线x k y =的交点A 的横坐标为2 (1) 求k 的值 (2) 如图，过点P (m ，3)（m ＞0）作x 轴的垂线交双曲线x k y =（x ＞0）于点M ，交直线OA 于点N. ① 连接OM ，当OA ＝OM 时，直接写出PN －PM 的值 ② 试比较PM 与PN 的大小，并证明你的结论 变式1：直线OA: y=-2x 与双曲线k y x = 的交点A 的横坐标为-2 (1) 求k 的值 (2) 如图，过点P(m ，4)（m<0）作x 轴的垂线交双曲线k y x = （x<0）于点M ，交直线OA 于点N ① 连接OM ，当OM ＝OA 时，直接写出M 的坐标. ② 试比较PM 与PN 的大小，并证明你的结论.
变式2. 直线OA: y=-2x与双曲线 k y x =的交点A的横坐标为-2 (1) 求k的值 (2) 如图，过点P(-2，m)（m＞0）作y轴的垂线交双曲线 k y x =（x<0）于点N 交直线OA于点M,试比较PM与PN的大小，并证明你的结论. 【方法归纳】： 二、当堂检测 1．如图，一次函数y kx b =+（k≠0）的图象与反比例函数 m y x =（m≠0）的图 象交于A(－3，1)、B(1，n)两点 (1) 求反比例函数和一次函数的解析式 (2) 点H为反比例函数第二象限内的一点，过点H作y轴的平行线交直线AB于 点G．若HG＝2，求此时H的坐标
反比例函数 一、复习目标分析： 复 习 目 标 二、教学过程设计：
随堂训练： 3．已知反比例函数y=x 1 , 象也是轴对称图形. （5）矩形面积= ︳mn ︱ ＝︳K ︱ 本次活动中，教师应重点关注： （1）学生是否明确反比例函数图像 位置的确定因素是k 的正负 （2）学生是否能够掌握反比例函数 图像增减性的注意事项是“在每一项限内” ？ （3）学生是否明确矩形面积= ︳mn ︱ ＝︳K ︱，为何加上绝对值? 教师：（1）首先让学生独立思考，如何确定两个函数的图像处于同一个象限之中？ （2）小组交流，理清思路； （3）学生个人展示 学生：通过独立思考和小组交流，代表本组进行展示解题思路。 本次活动中，教师应重点关注： 学生能否清晰地阐释比例系数的符号特征和图像所在象限的对应关系？达到数形结合的目的。 教师：（1）出示问题，回顾反比例函数的变化规律 （2）针对易错点进行变式，此时如何比较y 1 ，y 2的大小关系？ 学生：（1）学生独立完成第一问题；二、四象限内。）;反比例函数图像增减性的注意事项是“在每一项限内” ;矩形面积= ︳mn ︱ ＝︳K ︱从而感受数形结合的思想。 通过独立思考和小组交流培养学生的分析问题、解决问题的能力，同时培养学生的合作意识，促进了学生语言表达的能力。增强了学生的参与意识。 通过变式使学生对反比例函数的增减行更加明确“在每个象限内”的 重要性，以及有关函数 A o y x B P(m,n
若x 1＜0＜x 2＜x 3,其对应的值y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系是？ 变式：若x 1＜x 2时，y 1 ，y 2的大小关系是？ 4、如图，A 、C 是函数y= x 2- 的图象上关于原点O 对称的任意两点，过C 向x 轴引垂线，垂足分别为B ，则△ABC 的面积为。 变式1：若A 、C 是函数y=x 2- 的图 象与正比例函数直线MN 的两个交点，则△ABC 的面积为。 变式2：若过点A 作AD ⊥x 轴， 连结DC,则四边形ABCD 的面积_________。 变式3：当A(-2,1)时，当直线函数值大于反比例函数值时x 的取值范围______ （2）学生代表分类讨论比较y 1 ，y 2的大小关系。 本次活动中，教师应重点关注： 学生能否意识到若比较函数值的大小关系必须在平面直角坐标系中同一个象限中才能运用“增减性 的变化规律”？ 教师：（1）出示问题，关于原点O 对称的任意两点坐标的特征？如何求△ABC 的面积？ （2） 变式1中△ABC 的面积变化吗？为什么？ （3）变式2四边形ABCD 是什么四边形？如何求其面积？ （4）在同一象限中，如何比较不同函数值的大小关系？ 学生：（1）学生独立思考而后小组交流 （2）展示△ABC 的面积及其四边形 ABCD 的面积的求解方法。 （3）学生代表展示直线函数值大于反比例函数值时x 的取值范围的思考方法。 本次活动中，教师应重点关注：学生是否明确关于原点O 对称的任意两点的特征，能否求出△ABC 的面积？学生是否明确变式1与已知条件的一致性？四边形ABCD 的面积的 的综合问题，从而使学生感知数形结合、分类讨论的数学思想，对知识达到举一反三的作用。 通过此问题让学生明确： （1）关于原点O 对称的任意两点坐标的特征； （2）S △AOB=S △COB= 2 1 ︳K (3)一题多变训练学生的数学思维 （4）体会数形结合的思想并从函数的图像获得 信息的能力。
中考专题复习——图形运动问题 【学情分析】 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 【教学目标】 知识与技能： 1、利用特殊三角形的性质和定理解决动点问题； 2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）； 3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据。 过程与方法： 1、利用分类讨论的方法分析并解决问题； 2、数形结合、方程思想的运用。 情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】 根据动点中的移动距离，找出等量列方程。 【教学难点】 1、两点同时运动时的距离变化； 2、运动题型中的分类讨论 【教学方法】教师引导、自主思考 【教学过程】 一、动点问题的近况：
1、动态几何 图形中的点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 动态几何特点－－－－问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型----动点问题。所谓动点问题：是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放新题目。 2、三年中考概况； 近年来运动问题是以三角形或四边形为背景，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题．这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约． 3、解题策略和方法： “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考
第28章《锐角三角函数》复习说课稿—人教版九年级数学下册 一、教材分析 《锐角三角函数》是九年级数学的重要内容。锐角三角函数在解决现实问题中有重要作用。在测量、建筑、物理学中的距离、角度、高度的计算都可以归结到锐角三角函数的边角关系问题。本部分知识也是历年中考的热点，可以占6-10分。对于中考的学生必须要准确掌握，作为复习内容要注重基础。 二、学情分析 学生进入中考阶段，应注重基础知识的掌握，学生运用知识灵活性需要进一步加强;计算速度、准确性也需要提高;部分学生基本知识和基本技能的精准性还需加牢。 三、教学目标和重难点 （一）知识技能 1.理解锐角三角函数的定义，并熟练记忆特殊角的三角函数值.2、能够运用三角函数的知识，解直角三角形。3、通过把实际问题转化成有关直角三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。 （二）过程方法 运用数形结合思想、分类讨论思想和数学建模思想解决问题。提升思维品质，形成数学素养. （三）情感态度 在整理知识点的过程中，以生为本，正视学生学习能力、认知水平等个体差异，发展学生的独立思考习惯，使之感受成功，并找到解决锐角三角函数问题的一般方法. （四）教学重点 锐角三角函数的定义;熟练解直角三角形。 （五）教学难点 通过把实际问题转化成有关解直角三角形的数学模型，能够具有合情推理和初步的演绎推理能力. 四、设计思路、教法学法 本节课主要是整理复习《锐角三角函数》的理论知识，归纳分析中考中可出现的各类题型。以学生自主复习，展示讲解为主，教师点拨，引导反思归纳为辅助的教学思路，经历“考点梳理——自主测试——规律方法探究——自我提升”四个环节，完成本节课的教学。
第26章反比例函数单元复习课教学设计 一、教学内容 函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型．反比例函数是在前面已经学习了“一次函数”、“二次函数”基础上研究一类基本函数，本节课主要是复习反比例函数这一章的内容，在反比例函数的概念基础上，以函数图象为载体，以数形结合思想为主线，围绕“比较大小、图象法解方程与不等式、函数实际应用”核心内容进行。 二、学情分析 反比例函数是函数的重要知识，核心知识是反比例函数的概念、图象、性质与应用．从学生学习情况分析，反比例函数的増减性与一次函数增减性容易相混，用函数观点看待方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学生有较高的要求．基于以上分析，从学习函数最本质的思想——数形结合思想为核心，让学生通过本节课的学习，加深对反比例函数乃至对三类函数的理解。 三、教学目标 1.知识与技能：理解反比例函数的主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，能画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，体会函数的应用价值。 2.过程与方法：回顾反比例函数的概念、性质、图象的过程，把数学与实际问题相结合。 3.情感、态度与价值观：进一步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。 四、教学重难点 教学重点： 1、能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题； 2、掌握反比例函数的图象特点及性质。 教学难点： 1、理解反比例函数的概念； 2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息； 3、对反比例函数增减性的理解； 4、反比例函数的应用。 五、教学方法与手段 本节课主要采用启发探索式教学法，引导学生独立思考，主动探索等方式来解决具体问题。本课利用多媒体辅助教学，增加课堂直观性，提高学习效率和质量，增加学习兴趣，调动积极性
反比例函数全章复习与巩固（基础） 【典型例题】 类型一、确定反比例函数的解析式 1、已知函数()32k y k x -=+是反比例函数，则k 的值为 . 【答案】2k = 【解析】根据反比例函数概念，3k -＝1-且20k +≠，可确定k 的值. 【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0. 举一反三： 【变式】反比例函数5n y x +=图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）. A. 2- B. 1- C. 0 D. 1 【答案】D ； 反比例函数5n y x +=过点（2，3）．53,12 n n +==∴∴． 类型二、反比例函数的图象及性质 2、已知，反比例函数42m y x -= 的图象在每个分支中y 随x 的增大而减小，试求21m -的取值范围． 【思路点拨】由反比例函数性质知，当k ＞0时，在每个象限内y 随x 的增大而减小，由此可求出m 的取值范围，进一步可求出21m -的取值范围． 【答案与解析】 解：由题意得：420m ->，解得2m <， 所以24m <，则21m -＜3． 【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键． 举一反三：
【变式】已知反比例函数2k y x -=，其图象位于第一、第三象限内，则k 的值可为________（写出满足条件的一个k 的值即可）． 【答案】3（满足k ＞2即可）. 3、在函数||k y x -=（0k ≠，k 为常数）的图象上有三点(－3，1y )、(－2，2y )、(4，3y )，则函数值的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．321y y y << C ．231y y y << D ．312y y y << 【答案】D ； 【解析】 ∵ |k |＞0，∴ －|k |＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，y 随x 增大而增大，(－3，1y )、(－2，2y )在第二象限，(4，3y )在第四象限，∴ 它们的大小关系是：312y y y <<． 【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3，1y )、(－2，2y )在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以12y y <，点(4，3y )在第四象限，其函数值小于其他两个函数值． 举一反三： 【变式1】（2019春•海口期中）在同一坐标系中，函数y=x k 和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C ；
教学设计分类讨论专题复习--初中—数学— 教学任务分析 一、教学目标 （一）知识技能 1、掌握分类讨论的一般步骤。 2、能够运用分类讨论的一般步骤解决比较复杂的数学问题。 （二）数学思考 1、在研究问题中思考如何把一个比较复杂的数学问题用分类讨论的方法解决。 2、通过解决问题，感受数学思维过程的条理性、缜密性、灵活性、概括性，体会化整为零、 积零为整的思想方法。 （三）解决问题 解决分类讨论的解题步骤。 （四）情感态度 在解决问题的过程中体验严谨的科学态度和主动参与学习、交流合作的精神。 二、重点 会确定分类的对象，选择分类的标准来进行合理的分类。 三、难点 1、如何合理进行分类。 2、逐一讨论时灵活运用基础知识解决问题。 教学过程设计 复习引入 1、已知|a|=3，|b|=2，且ab＜0，则a - b= 2、等腰三角形的两边为6和8，那么此三角形的周长为 师生行为 学生思考并回答。教师提出启发、引导性问题：为什么每个答案都是两个解？ 设计意图 使学生初步认识数学问题中两种常见的需要分类的情况。 一、代数中的分类讨论问题： 1.若直线：y = 4x +b 不经过第二象限，那么b的取值范围为 2.4x²+1 加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，
请你写出所有符合条件的单项式 . 3.已知关于x 的方程mx2－(3m－1)x＋2m－2＝0， 求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根． 师生行为 教师分析、讲解、点评学生答题时出现的主要问题，并板书规范书写解题过程。学生思考并整理解题过程。 设计意图 通过解决以上三个题归纳出运用分类讨论解决代数中的分类讨论问题的一般步骤。 二、几何中的分类讨论问题： 1、等腰三角形的一个角的度数为40°，那么此三角形的另两个角的度数为 2、直角三角形的两边为3和4，那么第三边长为 3.已知三角形相邻两边长分别为15cm和13cm，第三边上的高为12cm，则此三角形的面积为______________. 4、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=6cm， CD=8cm，AB∥CD，则AB与CD 之间的距离为 5、如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）条。 A．1 B． 2 C．3 D．4 师生行为 学生思考，与同伙交流并解答。由学生投影自己的解题过程并分析讲解解题的思路和方法。教师巡视，给予个别指导。 设计意图 让学生感受动态几何问题中图形位置不同时需要分类讨论，并尝试运用一般步骤进行分类讨论。 三、代数与几何综合中的分类讨论问题： 1、在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在x轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有个 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。该抛物线的 表达式为： 1 3 2 3 1 2- - =x x y
(A) (B) (C)-1 (D)不能确定 ４、河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ．5米 B10米 C15米 D ．10米 练一练 某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o 方向处．问再过多久渔船离灯塔最近？ （教师应成为小组讨论的一员,参与其中，并对小组学习的过程做必要的指导。教师在巡视过程中,同时要关注讨论的进程,了解各组讨论的情况,做到心中有数,以便及时点拨,适时调控。） 对不同的答案进行讨论交流，时间约十八分钟，
挑战自我 如图，某校实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为 60°。已知A点的高度AB为3米。台阶AC坡度为 1∶。且B，C，E三点在同一条直线上。求出树DE的高度。 走近中考 某居民楼紧挨一座山坡AB，经过地质人员勘测，当坡度不超过45°时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知AE∥BD，斜坡AB的坡角∠ABD=60°，．为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡BC与地面BD成45°角，AC=20米．求斜坡BC的长是多少米？（结果精确到0.1米） 我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C 处时测得点D在南偏东53°方向上． •（1）求CD两点的距离； •（2）渔政船决定再次调E处相会合，求∠ECD的学生先独立思考， 难的时候再进行讨论，口头表达能力较好的学生上台讲解解题思路， 适时点拨、提高、
人教版九年级下册数学教案 人教版九年级下册数学教案1 教学目标 1、了解比例各部分的名称，探索并掌握比例的基本性质，会根据比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例，能根据乘法等式写出正确的比例。 2、通过观察、猜测、举例验证、归纳等数学活动，经历探究比例基本性质的过程，渗透有序思考，感受变与不变的思想，体验比例基本性质的应用价值。 3、引导学生自主参与知识探究过程，培养学生初步的观察、分析、比较、判断、概括的能力，发展学生的思维。 教学重难点 教学重点：探索并掌握比例的基本性质。 教学难点：根据乘法等式写出正确的比例。 教学工具 ppt课件 教学过程 一、复习导入 1、我们已经认识了比例，谁能说一下什么叫比例? 2、应用比例的意义判断下面的比能否组成比例。 2.4:1.6和60:40 3、今天老师将和大家再学习一种更快捷的方法来判断两个比能否组成比例) 板书：比例的基本性质 二、探究新知 1、教学比例各部分的名称. 同学们能正确地判断两个比能不能组成比例了，那么，比例各部分的名称是什么?请同学们翻开教材第43页看看什么叫比例的项、外项和内项。 (学生看书时，教师板书：2.4：1.6=60：40)让学生指出板书中的比例的外项和内项。学生回答的同时，板书：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如：2. 4 : 1.6 = 60 : 40 外项内项学生认一认，说一说比例中的外项和内项。 2、教学比例的基本性质。
出示例1、(1)教师：比例有什么性质呢?现在我们就来研究。(板书：比例的基本性质) 学生分别计算出这个比例中两个内项的积和两个外项的积。教师板书：两个外项的积是2.4某40=96 两个内项的积是1.6某60=96 (2)教师：你发现了什么，两个外项的积等于两个内项的积是不是所有的比例都存在这样的特点呢? 学生分组计算前面判断过的比例。 (3)通过计算，我们发现所有的比例都有这个样的特点，谁能用一句话把这个特点说出来?(可多让一些学生说，说得不完整也没关系，让后说的同学在先说的同学的基础上说得更完整.) (4)最后师生共同归纳并板书：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。教师说明这叫做比例的基本性质。 (5)如果把比例写成分数形式，比例的基本性质又是怎样的呢? 指名学生改写2.4：1.6=60：40 (= ) 这个比例的外项是哪两个数呢?内项呢? 当比例写成分数的形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积怎么样?(边问边画出交叉线) (6)能用字母表示这个性质吗?a:b=c:d(b,d≠0)或a/b=c/d;ad=bc 以前我们是通过计算它们的比值来判断两个比是不是成比例的。学过比例的基本性质后,也可以应用比例的基本性质来判断两个比能不能组成比例。 三、拓展应用 1.课本43页做一做，应用比例的基本性质，判断下面哪组中的两个比可以组成比例。 (1)6:3和8:5 (2)0.2:2.5和4:50 2.根据比例的基本性质在括号里填上合适的数。 8:2=24:() ():15=4:5 3.猜数：老师有一个比例，内项可能是哪两个数,你是怎么样思考的?比例中的外项和内项都有共同的特点吗? 24：()=()：2 4.运用比例的基本性质判断下面两个比能不能组成比例。 1/3:1/6和1/2:1/4 1.2：3/4和4/5:5 四、拓展 已知3某40=8某15，根据比例的基本性质改写成比例，你能写出几对比例。提示：先把3和40当作外项，再把它们当作内项。
圆的有关性质复习教案一、【教材分析】 二、【教学流程】
识回顾________; ⑵若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则 ________, _________,________; ⑶若MN⊥AB，AC=BC则______,_______,______; ⑷若¼¼ AM BM =，MN为直径，则________, _________,________; 3.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦： （1）如果AB=CD，那么 _______,_______. （2）如果»» AB CD =那么 _________,______. (3）如果∠AOB=∠COD，那么 ________,______. （4）如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE 与OF相等吗？为什么？ 第2题图第3题图 点、方法及规 律，然后组内 交流，补充完 善对问题的认 识和方法. 【自主探究】 例（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一 点，OD是半径，且OD//AC。 求证：CD=BD （学生分组交 流，一会后学从不同 A D C B O E F M N B A C ·O
综 合 运 用 组一：连接OC， OD AC// Θ COD ACO BOD A∠ = ∠ ∠ = ∠ ∴, OC OA= Θ ∴ACO A∠ = ∠ DOB COD∠ = ∠ ∴ BD CD= ∴ 师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等.还有 其他证明方法吗？ 组二：连接AD，OD AC// Θ，OA=OD ∠ = ∠ ∴CAD OAD ODA∠ = ∴弧CD=弧BD∴CD=BD 师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或 圆心角相等），从而得到弦相等.这种证法利 用了圆心角、圆周角与弧的关系.在同圆或等 圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相 等.这样，证弦相等，又多了两条途径：可以 生汇报成果.） （边总结，边 在黑板上抽离 的方法 中进行 知识整 合