第十三编算法初步、推理与证明、复数
§13.1算法与程序框图
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．(2009·天津文，6)阅读下面的程序框图，则输出的S＝()
A．14 B．20 C．30 D．55
解析第一次循环：S＝12；第二次循环：S＝12＋22；第三次循环：S＝12＋22＋32；第四次循环：S＝12＋22＋32＋42＝30.
答案 C
2．(2009·浙江，理6文7)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()
A．4 B．5 C．6 D．7
解析当k＝0，S＝0时，执行S＝S＋2S后S变为S＝1.
此时执行k＝k＋1后k＝1.当k＝1，S＝1时，执行S＝S＋2S后，S＝1＋21＝3，此时执
行k ＝k ＋1后k ＝2.当k ＝2，S ＝3时，执行S ＝S ＋2S 后，S ＝3＋23＝11，此时执行k ＝k ＋1后，k ＝3.当k ＝3，S ＝11时，继续执行S ＝S ＋2S ＝11＋211，执行k ＝k ＋1后k ＝4，此时11＋211>100，故输出k ＝4. 答案 A 3．(2009·福建文，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析 程序运行过程中，S 与n 数值变化对应如下表：
S －1 1
2
2 n 2
3 4
故S ＝2时，n ＝4. 答案 D
4.(2010·青岛调研)若右面的程序框图输出的S 是126，则①应为
( ) A ．n ≤5? B ．n ≤6? C ．n ≤7? D ．n ≤8?
解析 即21＋22＋ (2)
＝126，∴2(1－2n )1－2
＝126.
∴2n ＝64，即n ＝6.n ＝7应是第一次不满足条件，故选B. 答案 B
5．(2009·阳江模拟)一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为5
6
，则判断
框中应填入的条件是 ( )
A ．i<4?
B ．i <5?
C ．i ≥5?
D ．i <6?
解析 11×2＋12×3＋…＋15×6＝????1－12＋???
?12－13＋…＋????15－16＝1－16＝5
6，应填i <6？. 故选D. 答案 D 6．(2009·海南、宁夏理，10)如果执行下边的程序框图，输入x ＝－2，h ＝0.5，那么输出 的各个数的和等于 ( )
A ．3
B ．3.5
C ．4
D ．4.5 解析 输入x ＝－2时，y ＝0，执行x ＝x ＋0.5后x ＝－1.5. 当x ＝－1.5时，y ＝0，执行x ＝x ＋0.5后x ＝－1. 当x ＝－1时，y ＝0，执行x ＝x ＋0.5后x ＝－0.5. 当x ＝－0.5时，y ＝0，执行x ＝x ＋0.5后x ＝0. 当x ＝0时，y ＝0，执行x ＝x ＋0.5后x ＝0.5. 当x ＝0.5时，y ＝0.5，执行x ＝x ＋0.5后x ＝1. 当x ＝1时，y ＝1，执行x ＝x ＋0.5后x ＝1.5. 当x ＝1.5时，y ＝1，执行x ＝1.5＋0.5后x ＝2. 当x ＝2时，y ＝1，此时2≥2，因此结束循环． 故输出各数之和为0.5＋1＋1＋1＝3.5. 答案 B
二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2010·开封模拟)在如右图所示的程序框图中，当程序被执行后， 输出s 的结果是 .
解析 数列4,7,10，…为等差数列，令a n =4+(n -1)×3=40， 得n =13，
∴s =4+7+…+40=(4+40) ×132
=286.
答案 286 8．(2009·安徽，理13文12)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是__________．
解析 由程序框图知，循环体被执行后a 的值依次为3,7,15,31,63,127. 答案 127 9．(2009·杭州模拟)如图所示算法程序框图中，令a ＝tan 315°，b ＝sin 315°，c ＝cos 315°， 则输出结果为________．
解析 程序即求a ，b ，c 中的最大值． a ＝tan(360°－45°)＝－tan 45°＝－1，
b ＝sin(360°－45°)＝－2
2
，
c ＝cos(360°－45°)＝cos 45°＝2
2
，
∴输出2
2.
答案 2
2
三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·济宁联考)设计求1＋3＋5＋7＋…＋31的算法，并画出相应的程序框图． 解 第一步：S ＝0； 第二步：i ＝1； 第三步：S ＝S ＋i ； 第四步：i ＝i ＋2；
第五步：若i 不大于31，返回执行第三步，否则执行第六步； 第六步：输出S 值． 程序框图如图：
11．(13分)(2010·云浮模拟)已知函数f (x )＝?
????
3x －1 (x <0)
2－5x (x ≥0)，写出求该函数的函数值的
算法并画出程序框图． 解 算法如下： 第一步，输入x .
第二步，如果x <0，那么使f (x )＝3x －1； 否则f (x )＝2－5x .
第三步，输出函数值f (x )． 程序框图如下：
12．(14分)(2009·濮阳模拟)国庆期间，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物 付款总额：
①若不超过200元，则不予优惠；
②若超过200元，但不超过500元，则按标价价格给予9折优惠；
③如果超过500元，500元的部分按②条优惠，超过500元的部分给予7折优惠，设 计一个收款的算法，并画出程序框图．
解 依题意，付款总额y 与标价x 之间的关系式为(单位：元) y ＝????
?
x (x ≤200)0.9x (200 0.9×500＋0.7×(x －500) (x >500) 算法分析： 第一步，输入x 值； 第二步，判断，如果x ≤200，则输出x ，结束算法；否则执行第三步； 第三步：判断，如果x ≤500成立，则计算y ＝0.9×x ，并输出y ，结束算法；否则执 行第四步； 第四步：计算y ＝0.9×500＋0.7×(x －500)，并输出y ，结束算法． 程序框图： §13.2基本算法语句与算法案例 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·三门峡模拟)下列关于条件语句的叙述正确的是() A．条件语句中必须有ELSE和END IF B．条件语句中可以没有END IF C．条件语句中可以没有ELSE，但必须有END IF结束 D．条件语句中可以没有END IF，但必须有ELSE 答案 C 2．(2010·杭州段考)下边的程序语句输出的结果S为() i=0 While i<8 S=2*1+3 i=i+2 WEND PRINT S END ．19 C．21 D．23 解析i从1开始，依次取3,5,7,9，…，当i<8时，循环继续进行，故当i＝9时，跳出循环．故输出S＝2×7＋3＝17. 答案 A 3．(2010·常德模拟)读程序 INPUT x IF x>0THEN y＝SQR(x) ELSE y＝(0.5)^x－1 END IF PRINT y END 当输出的y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析 由程序可得y ＝???? ? x (x >0)????12x －1 (x ≤0) ， ∵y >1，∴①当x ≤0时，????12x －1>1，即2－ x >2， ∴－x >1，∴x <－1.②当x >0时， x >1，即x >1， 故输入的x 值的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案 C 4．(2010·茂名模拟)下边方框中为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语 句为 ( ) A ．i >20 B ．i <20 C ．i >＝20 D ．i <＝20 解析 该算法程序中，使用了UNTIL 循环语句，按照该种循环特征，当某一次条件满 足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL 句的后面，执行其他的语句．根据问题要 求，应填i >20. 答案 A 5．(2010·菏泽调研)下面程序运行的结果是 ( ) i ＝1 S ＝0 WHILE i<＝100 S ＝S ＋i i ＝i ＋1 WEND PRINT S END A ．5 050 B ．5 049 C ．3 D ．2 解析 读程序框图知，该框图的功能是求S ＝1＋2＋…＋100的值．由等差数列求和 公式S ＝100 2 (1＋100)＝5 050. 答案 A 6．(2010·广州模拟)用辗转相除法计算60和48的最大公约数时，需要做的除法次数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 60＝48×1＋12,48＝12×4＋0，故只需要两步计算． 答案 B 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·珠海月考)下列程序执行后输出的结果是________． i ＝11 S ＝1 DO S ＝S*i i ＝i －1 LOOP UNTIL i<9 PRINT S END 解析 程序反映出的算法过程为 i ＝11?S ＝11×1，i ＝10 i ＝10?S ＝11×10，i ＝9 i ＝9?S ＝11×10×9，i ＝8 i ＝8<9退出循环，执行PRINT S 故S ＝990. 答案 990 8．(2010·株州模拟)运行下面程序框内的程序，在两次运行中分别输入－4和4，则运行 结果依次为________． INPUT “x ＝”；x IF x>＝2 THEN y ＝3＋x^2 ELSE IF x>＝0 THEN y ＝2]y ＝x/2 END IF END IF PRINT y ＋1 END 解析 当x ＝－4时，y ＝－4 2 ＝－2，y ＋1＝－1； 当x ＝4时，y ＝3＋42＝19，y ＋1＝20. 答案 －1,20 9．(2010·临沂模拟)下面程序表达的是求函数________的值． INPUT “x ＝”；x IF x>0 THEN y ＝1 ELSE IF x ＝0 THEN y ＝0 ELSE y ＝－1 END IF END IF PRINT y END 解析 根据所给的程序语句可知，这是条件语句输入x 后，随着x 取不同的值输出的 y 的结果也不相同，故所求的是一个分段函数y ＝???? ? 1 (x >0) 0 (x ＝0)－1 (x <0) 的值． 答案 y ＝???? ? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <0) 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·宣城联考)设计算法求1＋13＋15＋…＋1 19 的值，画出程序框图，并编写 程序． 解 程序框图： 程序： S ＝0 n ＝1 i ＝1 WHILE i<＝10 S ＝S ＋1/n n ＝n ＋2 i ＝i ＋1 WEND PRINT S END 11．(13分)(2010·新乡月考)已知函数y ＝???? ? 2x ＋1 (x <0)，1 (x ＝0)， x 2＋1 (x >0). 编写程序，输入自变量x 的值，输出其相应的函数值，并画出程序框图． 解 程序框图如图所示： 程序如下： INPUT x IF x<0THEN y＝2*x+1 ELSE IF x=0 THEN y=1 ELSE y=x^2+1 END IF PRINT y END 12．(14分)(2009·龙岩二模)高一(2)班期中考试结束后，给出了全班50名同学的数学成绩，规定60分以上为及格，试设计算法程序框图，统计出全班的及格人数、及格人数的平均分和全班同学的平均分，并写出相应的算法程序． 解记及格人数为M，及格的分数为S，及格人数的平均分为P，全班同学的平均分为T.算法的程序如下： M＝0，i＝0，S＝0，T＝0 DO INPUT x IF x>＝60 THEN S＝S＋x M＝M＋1 END IF T＝T＋x i＝i＋1 LOOP UNTIL i>50 P＝S/M T＝T/50 PRINT M，P，T END 相应的程序框图如下图所示： §13.3 合情推理与演绎推理 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是 ( ) A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ” B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c ” C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)” D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 解析 由类比推理的特点可知． 答案 C 2．(2009·湖北文，10)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如： 他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形 数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数． 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225 D ．1 378 解析 设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为a n ， 其解法如下：a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…， a n －a n －1＝n . 故a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝n (n ＋1) 2 . 而图(2)中数列的通项公式为b n ＝n 2， 因此所给的选项中只有1 225满足a 49＝49×50 2 ＝b 35＝352＝1 225. 答案 C 3．(2010·珠海联考)给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集,R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0?a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0?a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ， d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2?a ＝c ，b ＝d ”； ③若“a ，b ∈R ，则a －b >0?a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0?a >b ”．其中 类比结论正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析 ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小． 答案 C 4．(2009·山东理，10)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ???? log 2(1－x )， x ≤0， f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则 f (2 009)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 当x ＞0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)． ∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x ) ∴f (x ＋6)＝f (x )． 即当x ＞0时，函数f (x )的周期是6. 又∵f (2 009)＝f (334×6＋5)＝f (5)， ∴由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝0－(－1)＝1，f (5)＝f (4)－f (3)＝1. 答案 C 5．(2010·舟山模拟)定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、 (4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( ) A ．B*D ，A*D B ．B *D ，A * C C ．B *C ，A * D D ．C *D ，A *D 解析 由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示 B *D 和A *C . 答案 B 6．(2009·清远模拟)设f (x )＝1＋x 1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2 009(x ) 等于( ) A ．－1 x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x 解析 计算f 2(x )＝f ? ?? ??1＋x 1－x ＝1＋ 1＋x 1－x 1－1＋x 1－x ＝－1x ， f 3(x )＝f ????－1x ＝1－1 x 1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ， f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x 1－x ，k ∈N *， 从而f 2 009(x )＝1＋x 1－x . 答案 D 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·邵阳模拟)考察下列一组不等式： 23＋53>22·5＋2·52， 24＋54>23·5＋2·53， 25＋55>23·52＋22·53，……. 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不 等式的特例，则推广的不等式可以是__________________________________． 答案 a m ＋n ＋b m ＋ n >a m b n ＋a n b m (a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)(或a ，b >0，a ≠b ，m ，n 为正 整数) 注：填2m ＋n ＋5m ＋ n >2m 5n ＋2n 5m (m ，n 为正整数)也对． 8．(2009·江苏，8)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4， 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________． 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理， 两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为 1∶8. 答案 1∶8 9．(2010·安阳模拟)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一 个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个 的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两 个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这 两个正方体重叠部分的体积恒为 . 解析 在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如右图)， 即OM =ON . 四边形OP AR 是圆内接四边形，所以Rt △OPN ≌Rt △ORM ， 因此S 四边形OP AR =S 正方形OMAN =1 4 a 2. 同样地，类比到空间，如下图． 两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为1 8 a 3. 答案 a 3 8 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·金华联考)把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行 四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质． 解 如图所示， 由平行四边形的性质可知 AB =DC ，AD =BC ， 于是类比平行四边形的性质， 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 我们猜想： S ?ABCD =S ?1 1 1 1 D C B A ，S ?1 A ADD 1 =S ?1 1 B BC C ， S ?1 1 A AB B ＝S ?1 1 C CD D ， 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的． 11．(13分)(2010·周口模拟)用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角不相等，则两角不是对顶角； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等； (3)0.332··· 是有理数； (4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数． 解 (1)若两个角是对顶角，则两角相等，(大前提) ∠1和∠2不相等，(小前提) ∠1和∠2不是对顶角．(结论) (2)每一个矩形的对角线相等，(大前提) 正方形是矩形，(小前提) 正方形的对角线相等．(结论) (3)所有的循环小数是有理数，(大前提) 0.332··· 是循环小数，(小前提) 所以0.332··· 是有理数．(结论) (4)三角函数是周期函数，(大前提) y ＝sin x 是三角函数，(小前提) y ＝sin x 是周期函数．(结论) 12．(14分)(2009·青岛调研)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两 个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时， 那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似 特性的性质，并加以证明． 解 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是 双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与 k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 证明如下： 设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知双曲线上， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2 ＝b 2a 2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2 －n 2 x 2－m 2 ＝b 2a 2·x 2－m 2 x 2－m 2＝b 2 a 2 (定值)． §13.4 直接证明与间接证明 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·菏泽模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3， y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有 ( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3| 解析 如图所示，y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ， P 1A ⊥l ，P 2B ⊥l ，P 3C ⊥l . 由抛物线定义知： P 1F ＝P 1A ＝x 1＋p 2 P 2F ＝P 2B ＝x 2＋p 2 P 3F ＝P 3C ＝x 3＋p 2 ∴2|FP 2|＝2? ???x 2＋p 2＝2x 2＋p |FP 1|＋|FP 3|＝? ???x 1＋p 2＋????x 3＋p 2＝x 1＋x 3＋p . 又∵2x 2＝x 1＋x 3，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案 C 2．(2010·温州调研)用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3 b ”假设内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3b C.3a ＝3b 且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b 解析 因为3a >3b 的否定是3a ≤3 b ， 即3a ＝3b 或3a <3b . 答案 D 3．(2010·揭阳一模)a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立 的是 ( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．b >a >c D ．a >c >b 解析 由a 2＋c 2>2ac ?2bc >2ac ?b >a ，可排除A 、D ， 令a ＝2，b ＝5 2 ，可得c ＝1或4，可知C 可能成立． 答案 C 4．(2010·池州模拟)设x 、y 、z 均为正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1 x ，则a 、b 、c 三数 ( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 解析 假设a 、b 、c 都小于2，则a ＋b ＋c <6， 而事实上：a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1 z ≥2＋2＋2＝6. ∴a 、b 、c 中至少有一个不小于2. 答案 C 5．(2010·宁波调研)已知a 、b 是非零实数，且a >b ，则下列不等式中成立的是( ) A.b a <1 B ．a 2>b 2 C ．|a ＋b |>|a －b | D.1ab 2>1a 2b 解析 b a <1? b －a a <0?a (a －b )>0. ∵a >b ，∴a －b >0.而a 可能大于0，也可能小于0， 因此a (a －b )>0不一定成立，即A 不一定成立； a 2>b 2?(a －b )(a ＋b )>0， ∵a －b >0，只有当a ＋b >0时，a 2>b 2成立，故B 不一定成立； |a ＋b |>|a －b |?(a ＋b )2>(a －b )2?ab >0，而ab <0也有可能，故C 不一定成立； 由于1ab 2>1a 2b ?a －b a 2b 2>0?(a －b )a 2b 2>0. ∵a ，b 非零，a >b ，∴上式一定成立，因此只有D 正确． 答案 D 6．(2009·湛江模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 ( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③ D ．③④⑤ 解析 若a ＝12，b ＝2 3 ，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出； 若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于(3)，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾， 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案 C 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·岳阳模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义， 且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－ f (x 2)|<1 2 .那么它的反设应该是__________________________________． 答案 “?x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥1 2 ” 8．(2010·莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区 间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ???? x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数 y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为 ________． 解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 且A 、B 、C ∈(0，π)， ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ????A ＋B ＋C 3＝f ????π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝33 2 ， 所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为33 2 . 答案 33 2 9．(2009·湖州模拟)设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列 条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________．(填写所有正确 条件的代号) ①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面； ③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线； ⑤x ，y ，z 为直线． 解析 ①中x ⊥平面z ，平面y ⊥平面z ， ∴x ∥平面y 或x ?平面y . 又∵x ?平面y ，故x ∥y 成立． ②中若x ，y ，z 均为平面，则x 可与y 相交，故②不成立． ③x ⊥z ，y ⊥z ，x ，y 为不同直线，故x ∥y 成立． ④z ⊥x ，z ⊥y ，z 为直线，x ，y 为平面可得x ∥y ，④成立． ⑤x ，y ，z 均为直线可异面垂直，故⑤不成立． 答案 ①③④ 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·六安模拟)(1)设x 是正实数，求证： (x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3； (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值． (1)证明 x 是正实数，由均值不等式知 x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解 若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0， 而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1) ＝(x ＋1)2(x 2＋1)??? ?????x －122＋3 4≥0， 此时不等式仍然成立． 11．(13分)(2010·广州一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1 (m ∈N *) 成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论． 解 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (a 1≠0，q ≠0)， 若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列， 则2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1. ∴2a 1q m ＋1＝a 1q m － 1＋a 1q m . ∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0. 解得q ＝1或q ＝－1 2 . 当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， S m ＋2＝(m ＋2)a 1，∴2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1. ∴当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－1 2 时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 下面给出证明： 方法一 ∵(S m ＋S m ＋1)－2S m ＋2 ＝(S m ＋S m ＋a m ＋1)－2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2) ＝－a m ＋1－2a m ＋2 ＝－a m ＋1－2a m ＋1q ＝－a m ＋1－2a m ＋1??? ?－12 ＝0， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1. ∴当q ＝－1 2 时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 方法二 ∵2S m ＋2＝2a 1??? ?1－????－12m ＋21＋12 ＝43a 1??? ?1－ ????－12m ＋2， 又S m ＋S m ＋1＝a 1????1－????－12m 1＋12＋a 1??? ?1－????－12m ＋11＋12 ＝23a 1????2－ ????－12m －????－12m ＋1 ＝23a 1????2－4????－12m ＋2＋2????－12m ＋2 ＝43a 1????1－ ????－12m ＋2， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1. ∴当q ＝－1 2 时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． 12．(14分)(2010·汕尾联考)已知a ，b ，c 是互不相等的实数． 求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少 有一条与x 轴有两个不同的交点． 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一 条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)， 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ， y ＝bx 2＋2cx ＋a ， y ＝cx 2＋2ax ＋b ， 得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0， Δ3＝(2a )2－4bc ≤0. 上述三个同向不等式相加得， 4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0， ∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证． §13.5 数学归纳法 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”， 在第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1 (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 解析 A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 答案 D 2．(2010·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1 2n －1 ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是 ( ) A ．2k － 1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1 解析 增加的项数为(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k ＋ 1－2k ＝2k . 答案 C 3．(2010·巢湖联考)对于不等式n 2＋n (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k 则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝ (k ＋1)＋1， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法 ( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确 D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 答案 D 4．(2010·漯河模拟)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3 (n ∈N *)能被9整除”，要 利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开 ( ) A ．(k ＋3)3 B ．(k ＋2)3 C ．(k ＋1)3 D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3 解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展 开，让其出现k 3即可． 答案 A 5．(2009·潮州一模)证明1＋12＋13＋14＋…＋1 2 n A ．1 B ．1＋12 C ．1＋12＋13 D ．1＋12＋13＋1 4 解析 当n ＝2时，左边的式子为 1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14. 答案 D 6．(2010·宁波五校联考)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋12n <13 14 (n ≥2，n ∈N *) 的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边 ( ) A ．增加了一项12(k ＋1) B ．增加了两项12k ＋1、1 2k ＋2 C ．增加了B 中两项但减少了一项1 k ＋1 D ．以上各种情况均不对 解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2 ＋…＋1 2k ， n ＝k ＋1时， 左边＝1k ＋2＋1k ＋3 ＋…＋12k ＋12k ＋1＋1 2k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1 k ＋1 . 答案 C 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2010·淮南调研)若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是 __________________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 8．(2010·绍兴月考)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1 2n －1 <2 (n ∈N ，且n >1)，第一步 要证的不等式是____________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3 ，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3 <2 9．(2010·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________． 解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一个整数n 所拥有数对为(n －1)对． 设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n 2 ＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 答案 (5,7) 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2010·肇庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1 2 ，a n ＋1＝sin ????π2a n (n ∈N *)． 证明：0 证明 ①n ＝1时，a 1＝12，a 2＝sin ????π2a 1＝sin π4＝22 . ∴0 则0<π2a k <π2a k ＋1<π 2. ∴0 ?π 2a k ＋1<1， 即0 也就是说n ＝k ＋1时，结论也成立．