§3.4 定积分
1． 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近
似代替、求和、取极限． 2． 定积分的定义
如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小
区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n
i ＝
1
f (ξi )Δx .当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作?b
a f (x )d x .
3． 定积分的运算性质
(1)?b a kf (x )d x ＝k ?b a f (x )d x (k 为常数)． (2)?b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝?b a f 1(x )d x ±?b a f 2(x )d x . (3)?b a f (x )d x ＝?c a f (x )d x ＋?b c f (x )d x (a 4． 微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么?b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a ) 记为F (x )|b a ，即?b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则?b a f (x )d x ＝?b a f (t )d t . ( √ ) (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则?b a f (x )d x >0. ( √ ) (3)若?b a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方． ( × ) (4)若f (x )是偶函数，则?a －a f (x )d x ＝2?a 0f (x )d x . ( √ ) (5)若f (x )是奇函数，则? a －a f (x )d x ＝0. ( √ ) (6)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是?10(x 2 －x )d x . ( × ) 2． (2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋ 25 1＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 2 答案 C 解析 令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－8 3(舍去)， ∴汽车行驶距离s ＝?40(7－3t ＋25 1＋t )d t ＝(7t －3 2t 2＋25ln(1＋t ))|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 3． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则?21f (－x )d x 的值等于 ( ) A.56 B.12 C.23 D.16 答案 A 解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ， 于是?21f (－x )d x ＝?21(x 2－x )d x ＝????13x 3－12x 2|21＝56. 4． (2013·湖南)若?T 0x 2 d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3 解析 ?T 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13×T 3 ＝9. ∴T 3＝27，∴T ＝3. 5． 由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ________________________． 答案 ? ?? +-x x x x x x d cos d cos d cos π 2π 20 2 π32π32 π 解析 如图： 阴影部分的面积为 ? ?? +-x x x x x x d cos d cos d cos π 2π20 2 π32π32 π. 题型一 定积分的计算 例1 (1)设f (x )＝? ??? ? x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则?20f (x )d x 等于 ( ) A.3 4 B.45 C.56 D ．不存在 (2)若定积分?m －2 －x 2－2x d x ＝π 4，则m 等于 ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 思维启迪 (1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算； (2)利用定积分的几何意义计算． 答案 (1)C (2)A 解析 (1)如图，?2 0f (x )d x ＝?10x 2d x ＋?2 1(2－x )d x ＝13x 3|10＋????2x －12x 2|21 ＝1 3＋? ???4－2－2＋12＝56. (2)根据定积分的几何意义知，定积分? m －2 －x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的 图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个半径为1的 半圆，其面积等于π 2 ，而? m －2 －x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为1 4 个 圆，于是得m ＝－1，故选A. 思维升华 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解； (2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解． (1)设f (x )＝???? ? lg x ，x >0，x ＋a 0 3x 2 d x ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________. (2) ? -2 π2 πsin x d x ＝________. 答案 (1)1 (2)0 解析 (1)由题意知f (1)＝lg 1＝0， ∴f (0)＝0＋a 3－03＝1，∴a ＝1. (2)由于函数y ＝sin x 在区间[－π2，π 2]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x 轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即? -2 π2 π sin x d x ＝0. 题型二 利用定积分求曲边梯形的面积 例2 如图所示，求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点 B (3,0)处的切线所围成的图形的面积． 思维启迪 求出两切线交点M 的坐标????32，3，将积分区间分为两段 ????0，32、??? ?32，3. 解 由题意，知抛物线y ＝－x 2＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6. 设两切线相交于点M ，由????? y ＝4x －3， y ＝－2x ＋6 消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为3 2 . 在区间????0，32上，曲线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方；在区间????3 2，3上，曲线y ＝－2x ＋6在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方． 因此，所求的图形的面积是 S ＝? 2 30 [(4x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋ ? 3 2 3[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x ＝ ? 2 30 x 2d x ＋ ? 3 2 3 (x 2－6x ＋9)d x ＝98＋98＝94. 思维升华 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间． 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (1 2 ，5)、C (1,0)．函 数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________． 答案 54 解析 由已知可得f (x )＝??? 10x ， x ∈[0，1 2 ]， －10x ＋10， x ∈(1 2，1]， 则y ＝xf (x )＝??? 10x 2， x ∈[0，1 2 ]， －10x 2 ＋10x ， x ∈(1 2 ，1]， 画出函数图象，如图所示，所求面积S ＝ ? 2 10 (10x 2)d x ＋ ? 1 2 1(－10x 2＋10x )d x ＝ ??103x 31 20 ＋ ??(－103x 3＋5x 2)11 2＝512＋(－103＋5)－(－103×18＋5×14)＝54. 题型三 定积分在物理中的应用 例3 一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体 在1 2 s ～6 s 间的运动路程为__________． 思维启迪 从题图上可以看出物体在0≤t ≤1时做加速运动，1≤t ≤3时做匀速运动，3≤t ≤6时也做加速运动，但加速度不 同，也就是说0≤t ≤6时，v (t )为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积． 答案 49 4 m 解析 由题图可知，v (t )＝??? ?? 2t (0≤t ≤1)2 (1≤t ≤3) 13t ＋1 (3≤t ≤6)， 因此该物体在1 2 s ～6 s 间运动的路程为 s ＝ ? 6 2 1v (t )d t ＝ ? 1 2 12t d t ＋?312d t ＋?63??? ?13t ＋1d t ＝t 2|112＋2t |31＋????16t 2＋t |63＝494 (m)． 思维升华 定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功． 设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知 F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，求变力F (x )对质点M 所做的功． 解 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝?10 1F (x )d x ＝? 101(x 2 ＋1)d x ＝(13 x 3＋x )|101＝342， 即变力F (x )对质点M 所做的功为342. 函数思想、数形结合思想在定积分中的应用 典例：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的 值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值． 思维启迪 (1)题目要求是求S 1与S 2之和最小，所以要先构造S ＝S 1＋ S 2的函数，利用函数思想求解．(2)S 1、S 2的面积只能通过定积分 求解，所以要选准积分变量． 规范解答 解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积， 即S 1＝t ·t 2－?t 0x 2d x ＝2 3t 3. [2 分] S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ， 即S 2＝?1t x 2d x －t 2 (1－t )＝23t 3－t 2＋13. [4分] 所以阴影部分的面积 S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋1 3 (0≤t ≤1)． [6分] 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ????t －12＝0，得t ＝0或t ＝1 2. [8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝2 3. [10 分] 所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为1 4 . [12分] 温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是 先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识． (2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间. 方法与技巧 1． 求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强． (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )． (3)利用定积分的几何意义求定积分 2． 求曲边多边形面积的步骤： (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． §3.4 定积分 1． 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近 似代替、求和、取极限． 2． 定积分的定义 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小 区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝ 1 f (ξi )Δx .当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作?b a f (x )d x . 3． 定积分的运算性质 (1)?b a kf (x )d x ＝k ?b a f (x )d x (k 为常数)． (2)?b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝?b a f 1(x )d x ±?b a f 2(x )d x . (3)?b a f (x )d x ＝?c a f (x )d x ＋?b c f (x )d x (a 20XX年赤水市小学数学新课程标准培训讲座材料 小学数学新课标理念及内容解读 教师备课，要重教材，重课标；研读课标，要重内容，重理念。 一、新课标理念及内容变化 （一）未变的理念 1、全面育人、素质教育、三维目标的理念没有改变，提倡学生自主、合作、探究、质疑的学习方式没有改变，新课程改革的大方向没有改变。 2、强调让学生形成积极主动的学习态度，使获得基础知识和基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。 3、改变过去课程内容“繁、难、偏、旧”和过于注重书本知识的状况，加强课程内容与学生生活、现代社会、科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。 （二）变化的理念 1、数学是研究数量关系和空间形式的科学。 （原：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。） 2、人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 （原：人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。） 3、提出“四基”。 基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（原：基础知识、基本技能） （1）“双基”为什么发展为“四基”？ 因为“双基”仅仅涉及三维目标中的一个目标——知识与技能。新增加的两基则涉及三维目标的另外两个目标——过程与方法、情感态度与价值观。 双基只是培养创新性人才的一个基础，获得数学思想和数学活动经验尤为重要。 （2）“四基”是一个有机整体。 四基是相互联系、相互交融，相互促进的一个有机整体。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体；数学思想是数学教学的精髓，是课堂教学的主线；数学活动是不可缺的教学形式与过程。 4、10个核心概念。 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。（原：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。）（1）符号意识：运用符号表示数、数量关系和变化规律。同一符号多重表示如y=ax。 （2）几何直观：几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。如中心对称图形（平行四边形）。 （3）数据分析观念 指对现实生活中的问题先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵 高中数学新课标学习心得体会 通过对新课标的学习，本人有一些心得体会，现汇报如下： 一、课程的基本理念 总体目标中提出的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）本人认为可以简单的这样表述：数学知识是“数与形以及演绎”的知识。 1、基本的数学思想 基本数学思想可以概括为三个方面：即“符号与变换的思想”、“集全与对应的思想”和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。基于这些基本思想，在具体的教学中要注意渗透，从低年级开始渗透，但不必要进行理论概括。而所谓数学方法则与数学思想互为表里、密切相关，两者都以一定的知识为基础，反过来又促进知识的深化及形成能力。 2、重视数学思维方法 高中数学应注重提高学生的数学思维能力。数学思维的特性：概括性、问题性、相似性。数学思维的结构和形式：结构是一个多因素的动态关联系统，可分成四个方面：数学思维的内容（材料与结果）、基本形式、操作手段（即思维方法）以及个性品质（包括智力与非智力因互素的临控等）；其基本形式可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型。 3、应用数学的意识 增强应用数学的意识主要是指在教与学观念转变的前提下，突出主动学习、主动探究。 4、注重信息技术与数学课程的整合 高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。在保证笔算训练的全体细致，尽可能的使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 5、建立合理的科学的评价体系 高中数学课程应建立合理的科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式评价体制等方面。既要关注学生的数学学习的结果，也要关注他们学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中表现出来的情感态度的变化，在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。 二、课程设置 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用． 因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．一、提取公因式法 例13x2－6x＋3. 二、公式法 例2(1)8＋x3；(2)x2＋2xy＋y2－z2. 三、分组分解法 例3(1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x3－x2＋x－1. 四、配方法 例4(1)x2＋6x－16；(2)x2＋2xy－3y2. 五、拆项添项法 例5(1)x3－3x2＋4；(2)x3－2x＋1. 六、求根公式法 例6(1)x2－x－1；(2)2x2－3x－1. 七、十字相乘法 (1)x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 我们来讨论x2＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是 (1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和． 对这个式子先去括号，得到x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q)． 因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)． 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例7把下列各式分解因式： (1)x2＋3x＋2；(2)x2－x－20； (3)x2－5 2x＋1；(4)x 2＋11x＋24. 八、ax2＋bx＋c型因式分解我们知道， (a1x＋c1)(a2x＋c2) 专题讲座四 无机化工流程题复习策略与解题方法指导 答案 【例1】 (1)Mg(OH)2、Fe(OH)3、CaCO 3 (2)使析出的晶体为Na 2CO 3·H 2O ，防止因温度过低而析出Na 2CO 3·10H 2O 晶体，令后续的加热脱水耗时长 (3)用已预热的布氏漏斗趁热抽滤 (4)溶解时有大量沉淀生成，使Na 2CO 3损耗且产物Na 2CO 3中混有杂质；原因：“母液”中含有的离子有Ca 2＋、Na ＋、Cl －、SO2－4、OH －、CO2－3，当多次循环后，使得离子浓度不断增大，溶解时会生成CaSO 4、Ca(OH)2、CaCO 3等沉淀 (5)Na 2CO 3·H 2O(s)===Na 2CO 3(s)＋H 2O(g) ΔH ＝＋58.73 kJ·mol － 1 迁移应用1 (1)Li 2O·Al 2O 3·4SiO 2 (2)除去反应Ⅰ中过量的H 2SO 4；控制pH ，使Fe 3＋、Al 3＋完全沉淀 (3)Mg 2＋＋2OH －= ==Mg(OH)2↓、Ca 2＋ ＋CO2－3===CaCO 3↓ (4)过滤 热水 Li 2CO 3在较高温度下溶解度小，用热水洗涤可减少Li 2CO 3的损耗 (5)加热蒸干LiCl 溶液时，LiCl 有少量水解生成LiOH ，受热分解生成Li 2O ，电解时产生O 2(其他合理答案均可) 【例2】 (1)取样，加适量H 2O 2溶液，振荡，滴加KSCN 溶液，若无明显现象，说明Fe 2 ＋已除尽 (2)4.0×10－20 mol·L －1 (3)抑制Al 3＋水解 (4)减少可溶性杂质的析出及Al 3＋的水解 (5)C (6)NH 4Al(SO 4)2·12H 2O 迁移应用2 (1)石灰乳原料丰富，成本低 (2) MgCl 2 过滤 洗涤 (3)制备干燥的HCl 气体 (4) MgCl 2(熔融)=====电解 Mg ＋Cl 2↑ 【例3】 (1)c 2(SO 3)c (O 2)·c 2(SO 2) SO 2＋NaOH===NaHSO 3 (2)提高铁元素的浸出率 抑制Fe 3＋水解 (3)Cl 2＋2Fe 2＋===2Cl －＋2Fe 3＋ Cl 2、HCl 迁移应用3 (1)石灰乳来源丰富，成本低，且反应结束后可得副产品漂白粉 (2)CuCl 2＋2NaCl ＋Cu===2Na[CuCl 2] CuCl 沉淀沉积在Cu 表面阻碍反应的进行 (3)防止Cu 2＋ 水解 增大NaCl 的浓度有利于生成更多的Na[CuCl 2]，提高产率 (4)使CuCl 尽快干燥，防止被空气氧化 (5)2Cu2＋＋2Cl －＋SO2＋2H2O=====△2CuCl↓＋4H ＋＋SO2－4 [转]2011年版小学数学课程标准解读（张丹教授发言原稿）2012-02-20 15:09:07来源: 作者: 【大中小】浏览:14次评论:0条 张丹教授 2011年12月28日教育部正式发布义务教育语文等学科课程标准（2011 年版），并于2012年秋季开始执行。数学课程标准（2011年版）发布后全国的数学教师掀起一股学课标、研课标、论课标的热潮，在学习中老师们还存在不少困惑，亟需课程标准修订组的专家为我们答疑解惑。 为此，特邀请张丹教授为大家答疑解惑。下面我简要介绍一下张丹教授。 张丹，教师教育数理学院学术委员会主任，北京教育学院数学系教授，教师教育数理学院院长。她是国家义务教育数学课程标准和高中数学课程标准的核心组成员，也是课程标准修订核心组成员，是新世纪小学数学教材副主编。自己独立编著或与他人合作著有《小学数学教学策略》、《新课程数学教学研究与资源丛书“统计与概率”》、《数学课程设计》、《新课程理念与初中数学课程改革》等七部，及各种论文三十余篇。 今天活动安排，一是张丹教授诠释课程标准（2011年）的变化及修改意图；二是张丹教授解答老师们在学习课程标准中存在的困惑。下面，我们欢迎张丹教授为我们高屋建瓴。 各位老师： 晚上好。非常荣幸能和老师们共同就新课程标准进行讨论，也是自己的一些学习体会，不一定正确，供大家参考。 课程标准从基本理念、课程目标、核心概念、课程内容、实施建议等方面进行了修订。今天主要介绍课程目标、核心概念和课程内容的变化。 首先看课程目标。《标准》与《实验稿》一样，明确了学生在义务教育阶段的发展应该是多方面的。 进一步，《标准》在《实验稿》基础上，明确提出了获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；在分析和解决问题的基础上，明确提出了增强发现和提出问题、分析和解决问题的能力，这些无疑是巨大进步。 同时，《标准》还对一些目标进行了完善，比如对于学习习惯，明确提出了应该培养的学习习惯是：认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑。 将双基拓展为四基，首先体现了对于数学课程价值的全面认识，学生通过数学学习不仅仅获得必需的知识和技能，还要在学习过程中积累经验、获得数学发展和处理问题的思想。同时，新增加的双基，特别是基本活动经验更加强调学生的主体体验，体现了以学生为本的基本理念。 提出基本思想、基本活动经验的最重要的原因，是要切实发展学生的实践能力和创新精神，特别是创新精神。实际上，一个人要具有创新精神，可能需要三个基本要素：创新意识、创新能力和创新机遇。其中，创新意识和创新能力的形成，不仅仅需要必要的知识和技能的积累，更需要思想方法、活动经验的积累。也就是说，要创新，需要具备知识技能、需要掌握思想方法、需要积累有关经验，几方面缺一不可。 正如史宁中教授所说：“创新能力依赖于三方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要。” 对于数学活动经验的内涵，目前学者们的观点并不统一。这里介绍几个。 张奠宙指出：“数学经验，依赖所从事的数学活动具有不同的形式。大体上可以有以下不同的类型：直接数学活动经验（直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验）、间接数学活动经验（创设实际情景构建数学模型所获得 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 第二章点、直线、平面之间的位置关系 §2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1平面 1．A 2.D 3.C 4.D 5．0 6．A∈m 7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 即点S在交线上， 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示． ∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD 和平面SAC的 交线． 8．证明∵l1?β，l2?β，l1D∥\l2， ∴l1、l2交于一点，记交点为P. ∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3交于一点． 9．C10.C 11．③ 12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上． 13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1， 又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， ∴C1、O、M三点共线． (2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F四点共面． 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1．D2．C3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60°(2)45° 7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH 綊12AD .又BC 綊1 2AD ， ∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解 由BE 綊1 2AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°. (2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ， ∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ， ∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形， 又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°. 9．D 10．B 11．①③ 12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相 交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在 Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝1 2AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 13．解 如图，取AC 的中点P . 连接PM 、PN ， 则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝1 2CD ， 所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 第一章第1讲化学实验基础答案 基础再现·深度思考 考点一 1．(2)2/3(5)灯帽 2．试管1/3略向下倾斜蒸发皿玻璃棒泥三角坩埚钳石棉网圆底烧瓶锥形瓶烧杯 3．(1)量筒量取一定体积的液体0.1 mL (2)容量瓶配制一定物质的量浓度的溶液不能 (3)酸式滴定管①查漏②在上方③酸性强氧化性碱性④0.01(4)碱式滴定管碱性酸性强氧化性 (5)托盘天平 ②烧杯③被称物砝码左右④0.1(6)温度计①混合物中②支管口处 考点二 1．(1)药匙纸槽底镊子 (2)胶头滴管倾倒手心玻璃棒 2．(1)酸碱性酸碱性漂白氧化性 (2)①玻璃片或表面皿玻璃棒中部标准比色卡②润湿镊子玻璃棒 3．(2)滴成股(3)NaOH溶液或热的纯碱溶液CS2或热的NaOH溶液稀HNO3 4．(1)烧杯试管搅拌粉碎加热加热 (2)①Cl2②NH3SO2HCl倒吸 (3)较小较大 考点三 3．(3)①b②a、c③需要a、c 考点四 1．广口细口棕色碱性强酸强氧化性 2．(1)密封(3)棕色(4)磨口的细口瓶 深度思考 1．(1)石棉网水浴加热使仪器受热均匀，便于控制KNO3溶液的温度 (2)A(3)C(4)D(5)B(6)E碎瓷片或沸石 2．坩埚、泥三角 3. 不同，A图读数偏大，B图读数偏小。 4．砝码放在左盘，物体放在右盘27.4 5．(1)28.021.10C(2)①蒸发皿 ②5.9或5.8100 mL容量瓶 6．K、Na、白磷等，因随意丢弃易引起火灾等安全事故。 7．(1)块状固体直接落入试管底部，易砸破试管 (2)①瓶塞正放在桌面上；②试剂瓶标签未面向手心；③试剂瓶瓶口未紧靠试管口；④试管未倾斜45° (3)滴管伸入试管内 8．不能，污染溶液。 9．不能。若润湿，不一定有误差，如测NaCl溶液的pH时。 10．在烧杯中加入适量水，然后沿器壁慢慢注入浓H2SO4，边加边搅拌。 11．①—4(自燃物品)；②、?—3；③、④—1；⑤、⑩—5；⑥—2；⑦、⑧、⑨—8 《2011人教版小学数学新课标解读》培训学习心得体会 8月28日，我参加了三亚市教研室举办的“2011人教版小学数学新课标解读”专题培训。从市教研员陈老师透彻的分析中，我更加了解到《数学2011版课程标准》在课程目标和内容、教学观念和学习方式、评价目的和方法上的变革。使我对新课标的要求有了新的认识和体会。其中感触最深的是2011版小学数学新课标的突出特点就是将“双基”修改为“四基”，由原来过多地关注基础知识和技能的形成转变为在学习基础知识和技能的同时，更加关注学生的情感，态度、价值观，注重学生的全面发展。 再次研读《小学数学新课程标准》，感受到这次课改绝不仅仅是改变一下教材而已，而是学生学习方式的彻底改革，更是我们教师教学方法上的重大改革。作为教师的我们必须更新原有的教学观念，改变我们现有的课堂教学的模式，适应时代发展的要求： 一、要准确把握教师角色 教师不再是教科书的忠实执行者，而是能创造性使用教材，并善于激发学生学习积极性的组织者；教师不再只是教书的匠人，而是拥有正确教育观念，善于使学生发现探索的引导者；教师不再是凌驾于学生之上的圣人，而是善于走进学生心灵世界真诚的合作者。 1、挖掘课程资源，为学生提供现实的、有意义的、富有挑战性的学习内容。 2、教师应调动学生学习积极性，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 3、教师要热情地鼓励学生，帮助学生建立自信，成为学生真诚的合作者。 二、学生成为学习的主人 学生是学习的主人，不是被动装填知识的“容器”；学生是由活生生、有个性的个体组成，教师要尊重学生的差异；学生正在成长的过程中，可塑性极大，教师应注重开发学生的潜能，使学生真正成为学习的主人。 高中数学新课标解读 前言新中国成立后，我国高中数学，从教学内容到评价方法全盘苏化.以后几经修改，但始终未摆脱苏化的影子。建国五十几年来。我国高中数学教育取得了辉煌的成绩，积累了丰富的经验，受到国际教育界的好评。在继承和发扬的同时，我们更应该看到:科学技术的发展进入到信息时代后，原高中数学教学内容的陈旧，刻意的形式化的表达，以及对数学作为工具课所应起的作用的忽视……，都制约了数学课在培养现代人的过程中的功能的发挥。所以我国高中数学教学内容及教学方法的改革势在必行。2003年，我国普通高中数学课程标准(简称为高中数学新课标)的制定，是高中数学教学的一次重大改革。它将使高中数学教学内容和教学过程都充满了活力，使数学课在形成学生的理性思维和促进学生个人智力发展的过程中，在提高我国公民的数学素养中，发挥出独特的不可替代的作用。 一. 高中数学课程框架 (一)学校必须开设的内容：共10个模块 高中数学教学内容包括以上10个模块和16个专题，分别包含在必修的5个模块和选修的4个系列中.其中必修的5个模块是基础知识，选修系列1是为文科学生开设的，选修系列2是为理科学生开设的，选修系列3和选修系列4 是为那些对数学有兴趣，希望进一步提高的学生开设的。 二.在高中阶段首次采取学分制新课标规定在高中阶段，每个学生修完一个模块，获得2学分；修完一个专题，获得1学分。 (一)达到高中毕业的标准: 修完必修的基础知识的5个模块，获得10学分。 (二)可以报考人文社会科学专业的高中毕业生的标准: 最低要求修满16学分如: 修完必修5个模块和选修系列1的2个模块，再选修系列3中的2个专题。较高要求: 修满20学分如: 修完最低要求的上述内容，再选修系列4中的4个专题。 (三)可以报考理工科专业的高中毕业生的标准: 最低要求修满20学分如: 修完必修5个模块和选修系列2的3个模块，再选修系列3中的2个专题，系列4中的2个专题。较高要求: 修满24学分如: 修完最低要求的上述内容，再选修系列4中的另4个专题。 章末检测 一、选择题 1．方程x 2 ＋y 2 ＋2ax ＋2by ＋a 2 ＋b 2 ＝0表示的图形是 ( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 2．点P (m,3)与圆(x －2)2 ＋(y －1)2 ＝2的位置关系为 ( ) A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上 D ．与m 的值有关 3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2 B ．－8 C ．2或－8 D ．8或－2 4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2 ＋y 2 ＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线 的方程是 ( ) A ．4x －3y －2＝0 B ．4x －3y －6＝0 C ．3x ＋4y ＋6＝0 D ．3x ＋4y ＋8＝0 6．圆x 2 ＋y 2 －4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为 ( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0 7．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2 ＋y 2 ＝2的位置关系一定是 ( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心 8．已知圆O ：x 2 ＋y 2 ＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积为 ( ) A ．5 B ．10 C.252 D.254 9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为 ( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 10．已知圆C ：x 2 ＋y 2 －4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则 ( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2 ＋y 2 －4x －2y －4＝0的周长，则 小学数学课程标准 第一部分前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。 3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。 5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。 三、课程设计思路 义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。 按以上思路具体设计如下。 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 等比数列前n 项和 一、选择题 1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2 B.(－1)n ＋1 ＋12 C.(－1)n ＋12 D.(－1)n －12 答案 D 解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12. 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C 解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2， ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84. 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 答案 D 解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0， ∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25) a 1(1－2 2)＝－11. 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C 解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， 即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19 . 5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A 解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×????128＝2993964 ≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43 ，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3 －10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3 －10) D ．3(1＋3－10) 答案 C 解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13 的等比数列． 又a 2＝－43 ，可得a 1＝4. 所以S 10＝4????1－(－13)101－??? ?－13＝3(1－3－10)． 二、填空题 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3 解析 ∵S 6＝4S 3?a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ?q 3＝3. ∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1 解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n － 1， [学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一 导数与定积分的关系 ??a b f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ). 以路程和速度之间的关系为例解释如下： 如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝??a b v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有??a b v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分??a b v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ). 思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1 ·x n ＋1； (3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)； (4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ； (5)若f (x )＝a x ，则F (x )＝a x ln a (a >0且a ≠1)； (6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么??a b f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 专题讲座八元素推断题的知识贮备和解题方法 答案 【例1】C【例2】C【例3】 B 【例4】D 【例5】D 【例6】C 【例7】B 【例8】(1)D(2)第三周期第ⅢA族 (3)次氯酸钙ClO－＋2H＋＋Cl－===Cl2↑＋H2O 【例9】 C 【例10】(1)第四周期第Ⅷ族(2)2BrCl＋2NaI===Br2＋I2＋2NaCl (3)第三周期第ⅠA族易 专题讲座九电化学高考命题的探究 答案 【例1】B 【例2】C 【例3】C 【例4】(1)Zn(或锌)正极 (2)锌与还原出来的Cu构成铜锌原电池而加快锌的腐蚀 b (3)2H＋＋2e－===H2↑87 【例5】(1)①④ (2)2H＋＋2e－===H2↑(或2H2O＋2e－===2OH－＋H2↑)Mg2＋＋2OH－===Mg(OH)2↓ (3)4OH－－4e－===2H2O＋O2↑(或2H2O－4e－===4H＋＋O2↑) (4)用拇指按住管口，取出试管，管口靠近火焰，放开拇指，有爆鸣声，管口有淡蓝色火 焰 (5)用拇指按住管口，取出试管正立，放开拇指，将带有火星的木条伸入试管内会复燃 (6)溶液呈红色，白色沉淀溶解(或大部分溶解) 【例6】(1)Na2O (2)2Na 2O 2＋2H 2O===4NaOH ＋O 2↑ (3)负极 Cl 2＋2e －===2Cl － (4)Cu ＋H 2O 2＋2H ＋===Cu 2＋＋2H 2O 专题讲座十 化学反应速率、化学平衡计算通关 答案 【例1】 C 【例2】 3Y ＋Z 2X 0.025 mol·L －1·min － 1 即时巩固 1．C 2．0.15/a mol·L －1·min －1 0.1/a mol·L －1·min － 1 2 【例3】 B 【例4】 (1)放热 (2)增大 增大 (3)BC (4)60% 即时巩固 3．(1)a /4 (2)2a 不变 (3)6 (4)n >2m /3 【例5】 (1)c (CH 3OCH 3)·c (H 2O)c 2(CH 3OH) 5 (2)> 即时巩固 4．(1)1 (2)0.95 mol·L － 1 (3)吸热 (4)等于 平衡常数只与温度有关 5．(1)A(g)＋2B(g) 2C(g) c 2(C)c (A)·c 2(B) 0．05 mol·L －1·min － 1 (2)缩小容器容积(加压)(整理)高中数学新课标步步高34
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