§3.1导数的概念及运算
1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率
Δy Δx＝f(x1)－f(x0)
x1－x0
＝
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，
通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim
x1→x0f(x1)－f(x0)
x1－x0
＝lim
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．函数f(x)的导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim
Δx→0 f(x＋Δx)－f(x)
Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式
5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)??
??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )
[g (x )]2
(g (x )≠0)．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．
( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．
( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1
x
＝2.
( × )
2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.
答案 2
解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1
t
＋1，∴f ′(1)＝2.
3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是
( )
A ．－1
B ．±1
C ．1
D ．±3
答案 B
解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.
又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·(－1
3
)＝－1，
∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.
4． 如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )
答案 D
解析 由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，
说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，
说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝
4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 答案 [3
4π，π)
解析 ∵y ＝4
e x ＋1
，
∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x
＋1＝－4
e x ＋1
e x ＋2
. ∵e x >0，∴e x ＋1
e
x ≥2，
∴y ′?[－1,0)，∴tan α?[－1,0)． 又α?[0，π)，∴α?[3π
4
，π)．
题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切
线与曲线f (x )＝x 3的交点．
思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键．
解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30
x －x 0
＝lim x →x 0
(x 2＋xx 0＋x 2
0)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为
y －x 30＝3x 20·
(x －x 0)， 即
y ＝3x 20x －2x 3
，由?
????
y ＝x 3，
y ＝3x 2
0x －2x 3
0，
得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.
若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 3
0)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．
思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；
(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →
Δy
Δx
.
(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率Δy
Δx
＝________；该函数在x ＝1
处的导数是________．
(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0?(a ，b )，则lim h →
f (x 0＋h )－f (x 0－h )
h
的值为( )
A ．f ′(x 0)
B ．2f ′(x 0)
C ．－2f ′(x 0)
D ．0
答案 (1)1－1
x (x ＋Δx ) 0 (2)B
解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1
x
＝Δx ＋1x ＋Δx －1
x
＝Δx ＋－Δx
x (x ＋Δx ).
∴
Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )
.y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. (2)lim h →
f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )
2h
＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：
(1)y ＝e x ·ln x ；
(2)y ＝x ?
???x 2＋1x ＋1x 3； 思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1
x
＝e x (ln x ＋1
x
)．
(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2
x
3.
思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；
求下列函数的导数．
(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x
4
)；
解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.
方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.
(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－1
2
sin x ，
∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－1
2cos x .
题型三 导数的几何意义
例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.
(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点． 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，
∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.
(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 2
0＋5x 0－4)，
∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，
∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，
又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，
整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，
∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：
(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
(1)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．
答案 2x －y ＝0
解析 ∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，2x －y ＝0.
(2)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是 ( )
A ．－3
B ．3
C ．6
D ．9
答案 D
解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上，即y 0＝x 30－3x 0，
①
求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，
又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，
则3x 20
－3＝y 0－16
x 0
，
②
联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2， 从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16
－2
＝9.
一审条件挖隐含
典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过
C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．
(1)求a，b之间的关系；
(2)求ab的最大值．
C 1与C 2有交点
↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)
(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1
①
↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)
?????
y 0＝x 2
0－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0
＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ②
↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52
↓(消元)
ab ＝a ????52－a ＝－????a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为25
16.
规范解答
解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， [1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，
[2分]
设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，
由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0 ①
又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，
故有?
????
y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 2
0＋ax 0＋b ?2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0
②
由①②消去x 0，可得a ＋b ＝5
2.
[6分]
(2)由(1)知：b ＝5
2
－a ，
∴ab ＝a ????52－a ＝－????a －542＋2516. [9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝25
16
.
[12分]
温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点
是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.
方法与技巧
1． f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)
是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.
2． 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的
应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范
1． 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2． 求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者
包括了前者．
3． 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为
( )
A ．e 2
B ．e
C.ln 2
2
D ．ln 2
答案 B
解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.
根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于
( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0
答案 B
解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.
3． 已知函数f (x )＝1
2
x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))
处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是 ( )
A ．[5，＋∞)
B ．[4,5]
C ．[4，13
3]
D ．(－∞，4)
答案 B
解析 f ′(x )＝x ＋4
x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)?[4,5]，
又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ?[4,5]．
4． 曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为
( )
A.1
12 B.16
C.13
D.12
答案 B
解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)，
结合图像易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(2
3，0)，(1,0)，(1,1)，
于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝1
6
，故选B.
5． 已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，
f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ?N ＋，则f 2 015(x )等于 ( )
A ．－sin x －cos x
B ．sin x －cos x
C ．－sin x ＋cos x
D ．sin x ＋cos x
答案 A
解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，
∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，
∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题
6． 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.
答案 6
解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导， 得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)． 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.
再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.
7． 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝
f (x )在点P 处的切线方程是__________________． 答案 x －y －2＝0
解析 根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切 线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.
8． 若函数f (x )＝1
2
x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1
x .
∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1
x ≥2. 三、解答题
9． 求下列函数的导数．
(1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；
(3)y ＝sin x x
n ；
解 (1)y ′＝nx n －
1lg x ＋x n ·1x ln 10
＝x n －
1(n lg x ＋
1
ln 10
)．
(2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1
x 3)′
＝(x －
1)′＋(2x －
2)′＋(x －
3)′
＝－x －
2－4x －
3－3x －
4
＝－1x 2－4x 3－3
x
4.
(3)y ′＝(sin x
x n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n
＝x n cos x －nx n －
1sin x
x 2n
＝
x cos x －n sin x
x n ＋
1
. 10．已知曲线y ＝13x 3＋4
3
.
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．
解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋4
3上，且y ′＝x 2，
∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.
(2)设曲线y ＝13x 3＋4
3与过点P (2,4)的切线相切于点A ????x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －????13x 30＋43＝x 2
0(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43
. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43
， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，
∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π
4
，且横、纵坐标都为整
数的点的个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 A
解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<
103
， 显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π
4
，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.
2． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是 ( )
答案 A
解析 ∵f (x )＝x 2
＋bx ＋c ＝????x ＋b 22－b
2
4
＋c ， 由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b
2>0，∴b <0.
又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.
3． (2013·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两
条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案
27
8
解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，
① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．
②
将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )， 解之得，t ＝0或t ＝3
2
.
分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝27
4－a ，
由题意得它们互为相反数得a ＝27
8
.
4． 设函数f (x )＝ax －b
x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝7
4x －3.
当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b
x
2，
于是???
2a －b 2＝12
，
a ＋
b 4＝7
4，
解得?????
a ＝1，
b ＝3.
故f (x )＝x －3x .
(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3
x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －
y 0＝???
?1＋3
x 20
(x －x 0)， 即y －?
???x 0－3x 0
＝????1＋3
x 20
(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6
x 0
，
从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为?
???0，－6x 0
. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝1
2????－6x 0|2x 0|＝6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
5． 设有抛物线C ：y ＝－x 2＋9
2
x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．
(1)求k 的值；
(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ① y 1＝－x 21
＋9
2x 1
－4，
②
①代入②得x 21
＋(k －9
2)x 1
＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝1
2.
当k ＝17
2时，x 1＝－2，y 1＝－17.
当k ＝1
2
时，x 1＝2，y 1＝1.
∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝1
2
.
(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.
③
将③代入抛物线方程得x 2－
13
2
x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为(9
2
，－4)．
第5讲氧化还原反应的计算及方程式的配平 [考纲要求] 1.掌握常见氧化还原反应的配平和相关计算。2.能利用得失电子守恒原理进行相关计算。 考点一氧化还原反应方程式的配平方法 氧化还原反应的实质是反应过程中发生了电子转移，而氧化剂得电子总数(或元素化合价降低总数)必然等于还原剂失电子总数(或元素化合价升高总数)，根据这一原则可以对氧化还原反应的化学方程式进行配平。 配平的步骤： (1)标好价：正确标出反应前后化合价有变化的元素的化合价。 (2)列变化：列出元素化合价升高和降低的数值。 (3)求总数：求元素化合价升高和降低的总数，确定氧化剂、还原剂、氧化产物、还原产物的化学计量数。 (4)配系数：用观察法配平其他各物质的化学计量数。 (5)细检查：利用“守恒”三原则(即质量守恒、得失电子守恒、电荷守恒)，逐项检查配平的方程式是否正确。 [典例]根据FeS2＋O2―→Fe2O3＋SO2，回答下列问题： (1)氧化剂________，还原剂________，氧化产物________，还原产物________。 (2)元素化合价升高的元素为________，元素化合价降低的元素为________。 (3)1“分子”还原剂化合价升高总数为________，1“分子”氧化剂化合价降低总数为________。 (4)配平后各物质的系数依次为____________________。 答案(1)O2FeS2Fe2O3、SO2Fe2O3、SO2 (2)Fe、S O(3)114 (4)4、11、2、8 失误防范配平氧化还原反应方程式的关键是正确标出化合价，找准1“分子”氧化剂化合价降低总数，1“分子”还原剂化合价升高总数，在计算时，往往容易忽略氧化剂、还原剂中的粒子个数。 题组一正向配平类
选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a
5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法．
第1讲探究型实验题 热点一未知产物及物质性质的探究 1．对未知产物的探究 通过化学反应原理猜测可能生成哪些物质，对这些物质逐一进行检验来确定究竟含有哪些物质。正确解答此类试题的关键：(1)猜测要全面；(2)熟记常见物质的检验方法。
4 (2)在烧杯中加入热水(或对烧杯加热)c (3)取少量溶液于试管中，加入KSCN溶液，溶液变成血红色，则有Fe3＋取少量溶液滴入适 量酸性高锰酸钾溶液中，高锰酸钾溶液褪色，则有Fe2＋a(4)b 11m－4n 14n 2．物质性质的探究 无机物、有机物性质的探究，必须在牢牢掌握元素化合物知识的基础上，大胆猜想，细心论证。 对物质性质探究的基本思路如下：
题组一 未知产物的探究 1．实验室中需要22.4 L(标准状况)SO 2气体。化学小组同学依据化学方程式Zn ＋2H 2SO 4(浓)=====△ZnSO 4＋SO 2↑＋2H 2O 计算后，取65.0 g 锌粒与98%的浓H 2SO 4(ρ＝1.84 g·cm －3)110 mL 充分反应，锌全部溶解，对于制得的气体，有同学认为可能混有杂质。 (1)化学小组所制得的气体中混有的主要杂质气体可能是______(填分子式)。产生这种结果的主要原因是________(用化学方程式和必要的文字加以说明)。 (2)为证实相关分析，化学小组的同学设计了实验，组装了如下装置，对所制取的气体进行探究。
①装置B中加入的试剂为________，作用是________。 ②装置D加入的试剂为________________，装置F加入的试剂为________________。 ③可证实一定量的锌粒和一定量的浓硫酸反应后生成的气体中混有某杂质气体的实验现象是________。 ④U形管G的作用为________。 答案(1)H2随着反应的进行，硫酸浓度降低，致使锌与稀硫酸反应生成H2：Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑ (2)①NaOH溶液(或酸性KMnO4溶液，其他合理答案也可) 除去混合气体中的SO2②浓硫酸无水硫酸铜 ③装置E玻璃管中黑色CuO粉末变红色，干燥管F中无水硫酸铜变蓝色 ④防止空气中的H2O进入干燥管F而影响杂质气体的检验 解析(1)从物质的量关系来看，发生反应Zn＋2H2SO4(浓)===ZnSO4＋SO2↑＋2H2O，H2SO4略过量，但是实际上随着反应的进行，硫酸的浓度降低；当硫酸的浓度降到一定程度，反应变为Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑。(2)该实验的目的是为了通过加热还原CuO验证H2的存在，通过F装置进一步确认有H2O生成；具体的实验装置及作用是A—产生待研究的气体，B—除去气体中的SO2(可以利用SO2的性质选取NaOH溶液或酸性高锰酸钾溶液)，C—验证SO2已除尽，D—干燥气体，E—若有H2，则加热E玻璃管，CuO固体由黑色变为红色，F—利用无水硫酸铜吸水变蓝进一步确定气体中H2的存在，G—防止空气中的水蒸气进入F装置而干扰实验。
选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；
第1讲 化学实验基础知识和技能 [考纲要求] 1.了解化学实验室常用仪器的主要用途和使用方法。2.掌握化学实验的基本操作，能识别药品安全使用标志。3.了解实验室一般事故的预防和处理方法。 考点一 常用化学仪器的识别与使用 1．可加热的仪器 (1)仪器①的名称为试管，加热液体时，液体体积不能超过其容积的13 ，加热固体时，试管口应略向下倾斜。 (2)仪器②的名称为蒸发皿。使用方法：蒸发浓缩时要用玻璃棒搅拌。 (3)仪器③的名称为坩埚。使用方法：用于固体物质灼烧，把坩埚放在三脚架上的泥三角上加热，取放坩埚必须使用坩埚钳，加热完的坩埚应放在石棉网上冷却。 (4)仪器④的名称为圆底烧瓶。使用方法：a.常用于组装有液体参与反应的反应器；b.加热液 体时，不能超过其容积的12 。 (5)仪器⑤的名称为锥形瓶。使用方法：a.可用于组装气体发生器；b.用于滴定操作；c.作蒸馏装置的接收器。 收集：樱满唯
(6)仪器⑥的名称为烧杯。使用方法：a.可用于物质的溶解与稀释；b.用于称量具有腐蚀性的固体药品；c.组装水浴加热装置。 2．常用的计量仪器 完成下列空白 (1)仪器A的名称：量筒；用途：量取一定体积的液体；精确度：0.1 mL。 特别提醒①无“0”刻度；②不可加热，不可作反应容器，不可用于溶液的稀释；③选取量筒的规则是“大而近”，例如量取5.6 mL NaOH溶液应选取10 mL量筒，而不能选5 mL 或50 mL 量筒。 (2)仪器B的名称：容量瓶；用途：配制一定物质的量浓度的溶液；该仪器能长时间贮存溶液吗？不能。 (3)仪器C的名称：酸式滴定管。 ①使用前需“查漏”；②“0”刻度在上方；③不可盛装碱性溶液；④精确度：0.01 mL。 (4)仪器D的名称：碱式滴定管。 用于盛装碱性溶液，不可盛装酸性和强氧化性液体(如KMnO4溶液)。 (5)仪器E的名称：托盘天平。 ①称量前先调零点；②腐蚀性药品应放于烧杯内称量；③左盘放被称物，右盘放砝码，即“左物右码”；④精确度：0.1 g。 (6)仪器F的名称：温度计。 ①测反应混合液的温度时，温度计的水银球应插入混合液中但不能接触容器内壁；②测蒸汽的温度时，水银球应在液面以上；测馏分温度时，水银球应放在蒸馏烧瓶支管口处。3．常用的分离、提纯仪器
第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
考点一物质分离、提纯的常用方法及装置 1.物质分离、提纯的区别 (1)物质的分离 将混合物的各组分分离开来，获得几种纯净物的过程。 (2)物质的提纯 将混合物中的杂质除去而得到纯净物的过程，又叫物质的净化或除杂。 2.物质分离、提纯的常用方法及装置 (1)常规实验装置 ①过滤：适用条件：不溶性固体和液体的分离。说明：操作中a.一贴：滤纸紧贴漏斗内壁；二低：滤纸上边缘低于漏斗边缘，液面低于滤纸边缘；三靠：烧杯紧靠玻璃棒，玻璃棒轻靠三层滤纸处，漏斗下端尖口处紧靠烧杯内壁；b.若滤液浑浊，需更换滤纸，重新过滤。浑浊
的原因可能是滤纸破损、滤液超过滤纸边缘。 ②蒸发：适用条件：分离易溶性固体的溶质和溶剂。说明：蒸发结晶适用于溶解度随温度变化不大的物质；而对溶解度受温度变化影响较大的固态溶质，采用降温结晶的方法。 在蒸发结晶中应注意：a.玻璃棒的作用：搅拌，防止液体局部过热而飞溅；b.当有大量晶体析出时，停止加热，利用余热蒸干而不能直接蒸干。 ③蒸馏：适用条件：分离沸点相差较大的互溶液体混合物。说明：a.温度计的水银球放在蒸馏烧瓶的支管口处；b.蒸馏烧瓶内要加沸石；c.冷凝管水流方向应为“逆流”。
④萃取和分液：适用条件：分离互不相溶的两种液体。说明：a.溶质在萃取剂中的溶解度大； b.两种液体互不相溶； c.溶质和萃取剂不反应； d.分液时下层液体从下口流出，上层液体从上口倒出。 ⑤升华(如下左图)：适用条件：除去不挥发性杂质或分离不同挥发程度的固体混合物。说明：利用物质升华的性质进行分离，属于物理变化。
⑥洗气(如上右图)：适用条件：除去气体中的杂质气体。说明：长管进气短管出气。 (2)创新实验装置 ①过滤装置的创新——抽滤 由于水流的作用，使图1装置a、b中气体的压强减小，故使过滤速率加快。
§5.4复数
1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.
概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i
第3讲 硫及其化合物 [考纲要求] 1.了解硫及其重要化合物的主要化学性质及应用。2.了解硫的氧化物对大气的污染与防治。 考点一 硫及其氧化物的性质 1.硫单质的性质及应用 (1)硫元素的存在形态 形态— —游离态—火山喷口附近或地壳的岩层里—化合态—主要以硫化物和硫酸盐的形式存在 (2)硫单质的物理性质 硫单质俗称硫黄，是一种淡黄色固体；不溶于水，微溶于酒精，易溶于CS 2；有多种同素异形体，如单斜硫、斜方硫等。 (3)从化合价的角度认识硫单质的化学性质 S －2 ――→ 氧化性 S 0 ――→ 还原性 S ＋ 4 O 2
2.二氧化硫(SO2) (1)物理性质 二氧化硫是无色，有刺激性气味的有毒气体，是大气污染物之一；易溶于水，通常状况下，1体积水溶解约40体积SO2。 (2)化学性质 按要求完成下列方程式：
SO 2 ??????? ?? 酸性氧化物的通性???? ? 与H 2O 反应：SO 2＋H 2O H 2SO 3与NaOH (足量)反应： 2NaOH ＋SO 2===Na 2SO 3＋H 2O 氧化性 (如与H 2 S 溶液反应)： SO 2 ＋2H 2 S===3S ↓＋2H 2 O 还原性??? ?? O 2：2SO 2＋O 2催化剂△ 2SO 3 Cl 2＋H 2O ：Cl 2＋SO 2＋2H 2O===2HCl ＋H 2SO 4 漂白性：可使品红溶液等有机色质褪色生成不稳定 的化合物 3.三氧化硫(SO 3) SO 3在标准状况下为无色、针状晶体，能与水反应：SO 3＋H 2O===H 2SO 4，放出大量的热，SO 3是酸性氧化物，它跟碱性氧化物或碱都能反应生成硫酸盐。 4.硫的氧化物的污染与治理 (1)来源：含硫化石燃料的燃烧及金属矿物的冶炼等。 (2)危害：危害人体健康，形成酸雨(pH 小于5.6)。 (3)治理：燃煤脱硫，改进燃烧技术。 (4)硫酸型酸雨的形成途径有两个： 途径1：空气中飘尘的催化作用，使2SO 2＋O 2催化剂 2SO 3、SO 3＋H 2O===H 2SO 4。 途径2：SO 2＋H 2O H 2SO 3、2H 2SO 3＋O 2===2H 2SO 4。 深度 思考
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积
第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|，
又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及
[考纲要求] 1.应用离子反应发生的条件，正确判断常见离子在溶液中能否大量共存。2.利用离子的特征反应，能鉴别常见离子以及进行综合推断。 考点一离子共存 1．离子共存问题是离子反应条件和本质的最直接应用 所谓几种离子在同一溶液中能大量共存，就是指离子之间不发生任何反应；若离子之间能发生反应，则不能大量共存。 2．熟记常考离子的性质 注意“两性离子”指既能与酸反应又能与碱反应的离子，一般为多元弱酸的酸式酸根离子。3．常见溶液酸、碱性的判断 酸性溶液：pH<7(常温)；能使pH试纸呈红色的溶液；能使甲基橙呈红色或橙色的溶液；能使石蕊溶液呈红色的溶液。 碱性溶液：pH>7(常温)；能使pH试纸呈蓝色的溶液；能使石蕊溶液呈蓝色的溶液；能使酚酞溶液呈红色的溶液。
呈酸性或碱性的溶液：和Al反应放出H2的溶液(HNO3除外)；能使甲基橙呈黄色的溶液；c(H ＋)水或c(OH－)水等于10－a mol·L－1(a>7)的溶液。 深度思考 (1)OH－不能和________________________________________________________大量共存(填具体离子，下同)。 答案H＋、NH＋4、Fe2＋、Fe3＋、Cu2＋、Zn2＋、Mg2＋、Al3＋、Cr3＋、HCO－3、HS－、HSO－3、H2PO－4、HPO2－4 (2)H＋不能和____________________________________________________大量共存。 答案OH－、CO2－3(HCO－3)、S2－(HS－)、SO2－3(HSO－3)、PO3－4(H2PO－4，HPO2－4)、SiO2－3、AlO－2、ClO－、F－、CH3COO－、NO－2 (3)CO2－3不能和________________________________________________大量共存。 答案H＋、Mg2＋、Ba2＋、Ca2＋、Fe3＋、Al3＋、Fe2＋、Cu2＋ (4)SO2－3不能和__________________________________________大量共存。
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1
§3.1导数的概念及运算
1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B
第三章常见的金属及其化合物钠及其氧化物钠的其他常见化合物 碱金属元素 一、选择题(本题包括12个小题，每小题5分，共60分) 1．下列有关NaHCO3和Na2CO3性质的比较中，正确的是 ( ) A．热稳定性：Na2CO3
卤代烃 一、卤代烃水解反应与消去反应的比较 1．卤代烃发生水解反应与消去反应的条件有何异同？ 2．卤代烃发生水解反应与消去反应的产物是什么？ 3．简述卤代烃发生取代反应和消去反应的规律条件。 典例导悟1 已知烃A 的分子式为C 6H 12，分子中含有碳碳双键，且仅有一种类型的氢原子，在下面的转化关系中，D 1、D 2互为同分异构体，E 1、E 2互为同分异构体。 (1)反应②的化学方程式为________________________________________________ ________________________________________________________________________； (2)C 的化学名称是__________________；E 2的结构简式是___________________； (3)④、⑥的反应类型依次是____________________________________________。 变式演练1 以溴乙烷为原料制1,2-二溴乙烷，下列转化方案中最好的是( ) A ．CH 3CH 2Br ――→NaOH 溶液△CH 3CH 2OH ――→浓H 2SO 4170 ℃ CH 2===CH 2――→Br 2CH 2BrCH 2Br B ．CH 3CH 2Br ――→Br 2CH 2BrCH 2Br C ．CH 3CH 2Br ――→NaOH 的醇溶液△CH 2===CH 2――→HBr CH 3CH 2Br ――→Br 2CH 2BrCH 2Br D ．CH 3CH 2Br ――→NaOH 的醇溶液△CH 2===CH 2――→Br 2 CH 2BrCH 2Br 二、检验卤代烃分子中卤素的方法 1．如何检验卤代烃分子中的卤素原子，用化学方程式表示出实验原理。
【步步高】高考化学大一轮总复习第三章《常见的金属及其化合物铁及其化合物》同步训练 一、选择题(本题包括12个小题，每小题5分，共60分) 1．有NaCl、FeCl2、FeCl3、MgCl2、AlCl3五种溶液，用一种试剂就可把它们鉴别开来，这种试剂是 ( ) A．盐酸 B．烧碱溶液 C．氨水 D．KSCN溶液 2．下列实验中，金属或固体可以完全溶解的是 ( ) A．在H2O2溶液中加入少量MnO2粉末 B．镀锌铁皮加入足量的NaOH溶液中 C．1 mol铜片与含2 mol H2SO4的浓硫酸共热 D．常温下，1 mol铜片投入含4 mol HNO3的浓硝酸中 3．将Cu片放入0.1 mol/L FeCl3溶液中，反应一定时间后取出Cu片，溶液中c(Fe3＋)∶c(Fe2＋)＝2∶3，则Cu2＋与Fe3＋的物质的量之比为 ( ) A．3∶2 B．3∶5 C．3∶4 D．4∶3 4．向某晶体的溶液中加入Fe2＋的溶液无明显变化，当滴加几滴溴水后，混合液出现红色，由此得出下列的结论错误的是 ( ) A．Fe3＋的氧化性比溴的氧化性强 B．该晶体中一定含有SCN－ C．Fe2＋与SCN－不能形成红色化合物 D．Fe2＋被溴氧化成Fe3＋ 5．下列反应的离子方程式正确的是 ( ) A．硫酸铁溶液与氢氧化钡溶液反应：Fe3＋＋3OH－===Fe(OH)3↓ B．硫化钠溶液与氯化铁溶液反应：2Fe3＋＋3S2－===Fe2S3 C．过量的铁与很稀的硝酸溶液反应无气体放出：4Fe＋10H＋＋NO－3===4Fe2＋＋3H2O＋NH＋4 D．硫化氢气体通入氯化亚铁溶液：H2S＋Fe2＋===FeS↓＋2H＋ 6．下列离子方程式中，正确的是 ( ) A．氧化亚铁和稀硝酸反应FeO＋2H＋===Fe2＋＋H2O B．铜和三氯化铁溶液反应Cu＋Fe3＋===Fe2＋＋Cu2＋ C．氯化亚铁溶液中滴入氯水Cl2＋2Fe2＋===2Cl－＋2Fe3＋ D．金属铝投入NaOH溶液中2Al＋2OH－＋H2O===2AlO－2＋2H2↑ 7．某溶液由Na＋、Cu2＋、Ba2＋、Fe3＋、AlO－2、CO2－3、SO2－4、Cl－中的若干种离子组成，取适量该溶液进行如下实验：
物质结构 元素周期律第1讲 元素周期表 一、选择题(本题包括12个小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是 ( ) A ．12 C 、13 C 、14 C 、金刚石、石墨都是碳元素的同位素 B ．同种元素的原子，质量数一定相同 C ．互为同位素的原子，质子数一定相同 D ．由一种元素组成的物质，一定是纯净物 2．一个12 C 原子的质量为a kg ，一个12C 16 O 2分子的质量为b kg ，若以12C 16 O 2中的一个氧原子质量的1/16作为相对原子质量标准，则12C 16 O 2的相对分子质量为 ( ) A ．32b /(a －b ) B ．32b /(b －a ) C ．16b /(b －a ) D ．8b /(b －a ) 3．下列化学符号表示同一种元素的是( ) ①35 17X ②37 17X ③ ④ A ．①③ B ．②③ C ．①②③ D ．全部 4．某元素的某种离子X 2－ 核外共有a 个电子，核内有b 个中子，表示该X 原子的下列符号中正确的是 ( ) A.a ＋b a X B.a ＋b a －2X C.a ＋ b －2 a －2X D.a ＋ b ＋2 a ＋2X 5．原子序数为z 的元素R ，在周期表中位于A 、B 、C 、D 四种元素的中间，A 、B 、C 、D 四种元素的原子序数之和为下列数据，其中不可能的是 ( ) A ．4z B ．4z ＋10 C ．4z ＋5 D ．4z ＋14 6．下列说法中正确的是 ( ) A ．所有主族元素的正化合价数，等于它的族序数 B ．第ⅦA 族元素的原子随核电荷数的增加，得电子能力逐渐减弱 C ．第ⅠA、ⅡA 族元素的阳离子与同周期稀有气体元素的原子具有相同的核外电子排布 D ．前三周期元素中共有非金属元素12种 7．下列各元素中，一定属于主族元素的是 ( ) A ．X 元素能形成＋7价的含氧酸及其盐 B ．Y 元素原子最外层电子数为2 C ．Z 元素的阴离子与同一周期稀有气体元素的原子电子层结构相同 D ．R 元素的最高价氧化物是酸性氧化物 8．短周期元素X 、Y 的原子序数相差7，下列有关判断错误的是 ( ) A ．X 和Y 可能处于同一周期 B ．X 和Y 可能处于相邻周期 C ．X 和Y 可能处于同一主族 D ．X 和Y 可能处于相邻主族