[学习目标] 1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分.
知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
1.曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示).
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限.
2.求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
思考(1)如何计算下列两图形的面积？
(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？
答案 (1)①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.
(2)为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小. 知识点二 定积分的概念
如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 f (ξi )Δx ＝∑i ＝1 n b －a n f (ξi )， 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作?? a b f (x )d x ，即 ? ?a b f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n f (ξi ).其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ， b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. 思考 (1)如何理解定积分？ (2)用定义求定积分??a b f (x )d x 的一般步骤是什么？ 答案 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即??a b f (x )d x ＝??a b f (u )d u ＝??a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)， 另外，定积分??a b f (x )d x 的值与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不 同，所得的值也不同，例如??01(x 2＋1)d x 与??0 3(x 2＋1)d x 的值就不同. (2)①分割：将区间[a ，b ]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，??a b f (x )d x ≈ ∑i ＝1 n f (ξi )Δx ；③取极限：?? a b f (x )d x ＝lim Δx →0∑ i ＝ 1n f (ξi )Δx . 知识点三 定积分的几何意义与性质 1.定积分的几何意义 由直线x ＝a ，x ＝b (a (1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝??a b f (x )d x ，如图(1)所示，即??a b f (x )d x ＝S . (2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－??a b f (x )d x ，如图(2)所示，即??a b f (x )d x ＝－S . (3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝??a c f (x ) d x －? ?c b f (x )d x ，如图(3) 所示， 即??a b f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积). 2.定积分的性质 (1)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x (k 为常数)； (2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝??a b f 1(x )d x ±??a b f 2(x )d x ； (3)??a b f (x )d x ＝??a c f (x ) d x ＋??c b f (x )d x (其中a < c 思考 设v ＝v (t )在时间区间[t 1，t 2]上连续且恒有v (t )≥0，定积分??t 1t 2 v (t )d t 的意义是什么？ 答案 定积分??t 1t 2 v (t )d t 表示做变速直线运动的物体在时间区间[t 1，t 2]内经过的路程，这就是 定积分??t 1 t 2 v (t )d t 的物理意义. 题型一 求图形的面积问题 例1 用定积分的定义求曲线y ＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积. 解 ①分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间????0，1n ，????1n ，2n ，…，????i －1n ，i n ，…，????n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1 n ，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯 形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . ②近似代替：对区间?? ??i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ????i －1n ＝ ??? ?i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即 ΔS i ≈f ?? ??i －1n Δx ＝????????i －1n 3＋11 n . ③求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n f ????i －1n Δx ＝∑i ＝1 n ????????i －1n 3＋11 n ＝1 n 4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1 ＝1n 4·(n －1)2·n 2 4＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1. ④取极限：当n →∞时，S n 趋近于54， 即S ＝lim n →∞S n ＝5 4 . 所以曲边梯形的面积是54 . 反思与感悟 对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是“以直代曲”方法的应用. 跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积. 解 (1)分割： 将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2 n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间????0，1n ，????1n ，2n ，…，????i －1n ，i n ，…，????n －1n ，n n ， 简写作?? ? ?i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1 n . 过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . (2)近似代替： 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积. 在小区间?? ?? i －1n ，i n 上任取一点x i (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便取x i 为小区间的左端点，以 点x i 的函数值f (x i )＝?? ??i －1n ??? ?i －1n －1为一边，以小区间长度Δx ＝1 n 为邻边的小矩形的面积近 似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈f (x i )·Δx ＝????i －1n ·????i －1n －1·1 n (i ＝ 1,2，…，n ). (3)求和： 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S 的近似值.即 S ＝∑i ＝1 n ΔS i ≈∑i ＝1 n f (x i )Δx ＝∑i ＝1 n ?? ??i －1n ????i －1n －1·1n ＝1n 3∑i ＝1n (i －1)2 －1n 2∑i ＝1 n (i －1) ＝16(n －1)(2n －1)n n 3 －1 2n (n －1)n 2 ＝1－n 26n 2＝－16＋1 6n 2.① (4)取极限： 当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S ，因此，当n →∞，即Δx →0时，和式①的逼近值就是所求曲边梯形的面积. 当Δx →0时，S →－1 6 (负号表示图象在x 轴下方). 所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成图形的面积是1 6. 题型二 求汽车行驶的路程 例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(v 的单位：km/h ，t 的单位：h)，那么它在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？ 解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，即第i 个小区间为????1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n ). 所以Δs ＝f ????1＋i －1n ·1 n ， s n ＝∑i ＝1 n f ????1＋i －1n ·1 n ＝1n ∑i ＝1n ???? ????1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑i ＝1n ??? ?(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ? ?? 3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ? ??＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n . s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ????3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133 . 所以这段时间内行驶的路程s 是13 3 km. 反思与感悟 利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题. §3.4 定积分 1． 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近 似代替、求和、取极限． 2． 定积分的定义 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小 区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝ 1 f (ξi )Δx .当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作?b a f (x )d x . 3． 定积分的运算性质 (1)?b a kf (x )d x ＝k ?b a f (x )d x (k 为常数)． (2)?b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝?b a f 1(x )d x ±?b a f 2(x )d x . (3)?b a f (x )d x ＝?c a f (x )d x ＋?b c f (x )d x (a [考纲要求] 1.了解物质的量的单位——摩尔(mol)、摩尔质量、气体摩尔体积、物质的量浓度、阿伏加德罗常数的含义。2.了解相对原子质量、相对分子质量的定义,并能进行有关计算。 3.理解质量守恒定律的含义。 4.能根据物质的量与微粒(原子、分子、离子等)数目、气体体积(标准状况下)之间的相互关系进行有关计算。 5.了解溶液的含义。 6.了解溶解度、饱和溶液的概念。 7.了解溶液的组成,理解溶液中溶质的质量分数的概念,并能进行有关计算。 8.了解配制一定溶质质量分数、物质的量浓度溶液的方法。 (一)洞悉陷阱设置,突破阿伏加德罗常数应用 题组一气体摩尔体积的适用条件及物质的聚集状态 1.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)2.24 L CO2中含有的原子数为0.3N A(×) (2)常温下,11.2 L甲烷气体含有的甲烷分子数为0.5N A(×) (3)标准状况下,22.4 L己烷中含共价键数目为19N A(×) (4)常温常压下,22.4 L氯气与足量镁粉充分反应,转移的电子数为2N A(×) (5)标准状况下,2.24 L HF含有的HF分子数为0.1N A(×) 突破陷阱 抓“两看”,突破“状态、状况”陷阱 一看“气体”是否处于“标准状况”。 二看“标准状况”下,物质是否为“气体”(如CCl4、H2O、Br2、SO3、HF、己烷、苯等在标准状况下不为气体)。 题组二物质的量或质量与状况 2.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)常温常压下,3.2 g O2所含的原子数为0.2N A(√) (2)标准标况下,18 g H2O所含的氧原子数目为N A(√) (3)常温常压下,92 g NO2和N2O4的混合气体中含有的原子数为6N A(√) 突破陷阱 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中它都有着重要的作用． 因式分解的方法较多，除了初中教材中涉及到的提取公因式法和运用公式法(只讲平方差公式和完全平方公式)外，还有运用公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法等．因式分解的问题形式多样，富有综合性与灵活性，因此，因式分解也是一种重要的基本技能．一、提取公因式法 例13x2－6x＋3. 二、公式法 例2(1)8＋x3；(2)x2＋2xy＋y2－z2. 三、分组分解法 例3(1)2ax－10ay＋5by－bx；(2)x3－x2＋x－1. 四、配方法 例4(1)x2＋6x－16；(2)x2＋2xy－3y2. 五、拆项添项法 例5(1)x3－3x2＋4；(2)x3－2x＋1. 六、求根公式法 例6(1)x2－x－1；(2)2x2－3x－1. 七、十字相乘法 (1)x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解 我们来讨论x2＋(p＋q)x＋pq这类二次三项式的因式分解．这类式子在许多问题中经常出现，它的特点是 (1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和． 对这个式子先去括号，得到x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq，于是便会想到继续用分组分解法分解因式，即x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q)． 因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)． 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例7把下列各式分解因式： (1)x2＋3x＋2；(2)x2－x－20； (3)x2－5 2x＋1；(4)x 2＋11x＋24. 八、ax2＋bx＋c型因式分解我们知道， (a1x＋c1)(a2x＋c2) 3 元素推断题的主要类型与解题方法 解答原子结构、元素在元素周期表中的位置、元素及其化合物的性质间的推断试题的思路一般可用下面的框线关系表示： 推断题大体有下列三种类型： 1.已知元素原子或离子的核外电子排布推断性质。方法为 要注意一些元素原子电子排布的特殊性(短周期元素)。 (1)族序数等于周期数的元素：H、Be、Al。 (2)族序数等于周期数两倍的元素：C、S。 (3)族序数等于周期数3倍的元素：O。 (4)周期数是族序数两倍的元素：Li。 (5)周期数是族序数3倍的元素：Na。 2.已知元素的特殊性质推断其在周期表中的位置： 以下是元素具有的特殊性质： (1)最高正价与最低负价代数和为零的短周期元素：C、Si。 (2)最高正价是最低负价绝对值3倍的短周期元素：S。 (3)除H外,原子半径最小的元素：F。 (4)最高正化合价不等于族序数的元素：O、F。 (5)第一电离能最大的元素(稀有气体除外)：F；第一电离能最小的元素：Cs(放射性元素除外)。 (6)电负性最小的元素：Cs(0.7)；电负性最大的元素：F(4.0)。 3.已知元素的单质或化合物的性质、用途、存在的特殊性推断元素的结构。 有些单质或化合物的性质、用途、存在等具有特殊性,可作为推断元素的依据： (1)地壳中含量最多的元素或通常氢化物呈液态的元素：O。 (2)空气中含量最多的元素或气态氢化物水溶液呈碱性的元素：N。 (3)所形成化合物种类最多的元素或有单质是自然界中硬度最大的物质的元素：C。 (4)地壳中含量最多的金属元素或常见氧化物、氢氧化物呈两性的元素：Al。 (5)最活泼的非金属元素或气态氢化物(无氧酸)可腐蚀玻璃或氢化物最稳定的元素：F。 (6)最活泼的金属元素或最高价氧化物对应水化物碱性最强的元素：Cs。 (7)焰色反应呈黄色、紫色的元素：Na、K。 (8)最轻的单质元素：H；最轻的金属元素：Li。 (9)元素的气态氢化物和它的最高价氧化物对应水化物能够化合的元素：N；能起氧化还原反应的元素：S。 (10)单质在常温下能与水反应放出气体的短周期元素：Li、Na、F。 (11)单质易溶于CS2的元素：P、S。 (12)单质常温下呈液态的元素：Br、Hg。 4.核外电子数相同的微粒相互推断 (1)与稀有气体原子电子层结构相同的离子 ①与He原子电子层结构相同的离子有H－、Li＋、Be2＋； ②与Ne原子电子层结构相同的离子有F－、O2－、N3－、Na＋、Mg2＋、Al3＋； ③与Ar原子电子层结构相同的离子有Cl－、S2－、P3－、K＋、Ca2＋。 (2)核外电子总数为10的粒子 ①阳离子：Na＋、Mg2＋、Al3＋、NH＋4、H3O＋；②阴离子：N3－、O2－、F－、NH－2、OH－；③分子：Ne、HF、H2O、NH3、CH4。 (3)核外电子总数为18的粒子 ①阳离子：K＋、Ca2＋；②阴离子：P3－、S2－、HS－、Cl－； ③分子：Ar、HCl、H2S、F2、H2O2、PH3、SiH4、C2H6、CH3OH、N2H4。 (4)核外电子总数及质子总数均相同的粒子 ①Na＋、NH＋4、H3O＋；②F－、OH－、NH－2；③Cl－、HS－；④N2、CO、C2H2。 【典例6】元素A、B、C都是短周期元素,它们的原子序数大小为A 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第二章点、直线、平面之间的位置关系 §2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1平面 1．A 2.D 3.C 4.D 5．0 6．A∈m 7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 即点S在交线上， 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示． ∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. ∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD 和平面SAC的 交线． 8．证明∵l1?β，l2?β，l1D∥\l2， ∴l1、l2交于一点，记交点为P. ∵P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3交于一点． 9．C10.C 11．③ 12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上． 13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1， 又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上， ∴C1、O、M三点共线． (2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E、C、D1、F四点共面． 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1．D2．C3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60°(2)45° 7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD， 可得GH 綊12AD .又BC 綊1 2AD ， ∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解 由BE 綊1 2AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°. (2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ， ∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ， ∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形， 又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°. 9．D 10．B 11．①③ 12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相 交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在 Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝1 2AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 13．解 如图，取AC 的中点P . 连接PM 、PN ， 则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝1 2CD ， 所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 章末检测 一、选择题 1．方程x 2 ＋y 2 ＋2ax ＋2by ＋a 2 ＋b 2 ＝0表示的图形是 ( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 2．点P (m,3)与圆(x －2)2 ＋(y －1)2 ＝2的位置关系为 ( ) A ．点在圆外 B ．点在圆内 C ．点在圆上 D ．与m 的值有关 3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2 B ．－8 C ．2或－8 D ．8或－2 4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2 ＋y 2 ＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线 的方程是 ( ) A ．4x －3y －2＝0 B ．4x －3y －6＝0 C ．3x ＋4y ＋6＝0 D ．3x ＋4y ＋8＝0 6．圆x 2 ＋y 2 －4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为 ( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0 7．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2 ＋y 2 ＝2的位置关系一定是 ( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心 8．已知圆O ：x 2 ＋y 2 ＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积为 ( ) A ．5 B ．10 C.252 D.254 9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为 ( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10 D ．1或11 10．已知圆C ：x 2 ＋y 2 －4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则 ( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2 ＋y 2 －4x －2y －4＝0的周长，则 步步高学年高一化学人教版必修学案简单的分类方法及其应用 文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 第二章化学物质及其变化 第一节物质的分类 第1课时简单的分类方法及其应用[学习目标定位] 学会物质分类方法，会从不同角度对物质进行分类，熟悉酸、碱、盐、氧化物等之间的转化关系。 化学物质及其变化是化学科学的重要研究对象，对于多达千万种的化学物质，要想认识它们的规律性，就必须运用分类的方法，分门别类地进行研究。初中化学把元素分为________元素和____________元素；化合物可分为____、____、____和氧化物。化学反应按反应前后反应物、产物的多少和种类分为________________、________________、________________、________________；按得氧失氧分为________________、________________。下面将进一步探究学习物质的分类方法及其应用。 知识点一物质的分类方法 [探究活动] 1．对物质进行分类，首先要确定分类的标准，然后按标准进行分类。例 如对下列化合物进行分类：①NaCl②HCl③CaCl 2④CuO⑤H 2 O ⑥Fe 2 O 3 (1)依据________________________为标准，可分为________________、____________和____________。 (2)依据________________为标准，可分为________、________和________________。 (3)依据______________为标准，可分为__________、____________和________________。 2．试从不同的角度对下列各组物质进行分类，将其类别名称分别填在相应的空格内。 3．根据物质的组成和性质，对下表中的物质进行分类： [归纳总结] (1)单一分类法： 。 (2)交叉分类法： 。 (3)树状分类法： 。 [迁移应用] 1．从对化合物的分类方法出发，指出下列各组物质中与其他类型不同的一种物质是 (1)Na 2O、CaO、SO 2 、CuO________________。 (2)NaCl、KCl、NaClO 3、CaCl 2 ______________。 (3)HClO 3、KClO 3 、HCl、NaClO 3 ____________。 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 等比数列前n 项和 一、选择题 1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2 B.(－1)n ＋1 ＋12 C.(－1)n ＋12 D.(－1)n －12 答案 D 解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12. 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C 解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2， ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84. 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 答案 D 解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0， ∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25) a 1(1－2 2)＝－11. 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C 解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， 即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19 . 5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A 解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×????128＝2993964 ≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43 ，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3 －10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3 －10) D ．3(1＋3－10) 答案 C 解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13 的等比数列． 又a 2＝－43 ，可得a 1＝4. 所以S 10＝4????1－(－13)101－??? ?－13＝3(1－3－10)． 二、填空题 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3 解析 ∵S 6＝4S 3?a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ?q 3＝3. ∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1 解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n － 1， 章末检测卷(三) (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题(本题包括15小题，每小题3分，共45分。每小题只有一个选项符合题意) 1.将固体X投入过量的Y中，能生成白色沉淀并放出一种无色气体，该气体能燃烧，不易溶于水，则X和Y分别可能是() A.钠和氯化铝溶液 B.铝和烧碱溶液 C.过氧化钠和氯化亚铁 D.锌和稀硫酸 答案 A 解析Na与水反应生成NaOH和H2，NaOH与过量的AlCl3溶液反应生成白色沉淀Al(OH)3，A正确；2Al＋2NaOH＋2H2O===2NaAlO2＋3H2↑，无沉淀生成，B错误；2Na2O2＋2H2O===4NaOH＋O2↑，NaOH与过量FeCl2溶液反应，生成Fe(OH)2白色沉淀，然后迅速变成灰绿色，最终变为红褐色沉淀，C错误；Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑，无沉淀生成，D 错误。 2.下列说法错误的是() A.钠在空气中燃烧最后所得产物为Na2O2 B.镁因在空气中形成了一薄层致密的氧化膜，保护了里面的镁，故镁不需要像钠似的进行特殊保护 C.铝制品在生活中非常普遍，这是因为铝不活泼 D.铁在潮湿的空气中因生成的氧化物很疏松，不能保护内层金属，故铁制品往往需涂保护层答案 C 解析铝因易与O2反应生成致密的氧化物保护膜而耐腐蚀，我们日常用的铝制品常采用特殊工艺将氧化膜变厚，保护作用更好，并不是铝不活泼。 3.下列反应，其产物的颜色按红色、红褐色、淡黄色、蓝色顺序排列的是() ①金属钠在纯氧中燃烧②FeSO4溶液中滴入NaOH溶液并在空气中放置一段时间 ③FeCl3溶液中滴入KSCN溶液④无水硫酸铜放入医用酒精中 A.②③①④ B.③②①④ C.③①②④ D.①②③④ 答案 B 解析Na2O2、Fe(OH)3、Fe(SCN)3、CuSO4·5H2O的颜色分别是淡黄色、红褐色、红色、蓝色。 [学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一 导数与定积分的关系 ??a b f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ). 以路程和速度之间的关系为例解释如下： 如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝??a b v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有??a b v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分??a b v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ). 思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1 ·x n ＋1； (3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)； (4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ； (5)若f (x )＝a x ，则F (x )＝a x ln a (a >0且a ≠1)； (6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么??a b f (x )d x ＝F (b )－F (a ).(整理)高中数学新课标步步高34
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