3.1 算术符号操作
命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’
功能符号矩阵的算术操作
用法如下：
A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。
若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。
A*B 符号矩阵乘法。
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A
的列数等于矩阵B的行数。即：若
A n*k*
B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=
C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n；
j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将
返回一出错信息。
A.*B 符号数组的乘法。
A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，
或至少有一个为标量。即：
A n*m.*
B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=
C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，
i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
A\B 矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似
地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩
阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须
是相容的。
A.\B 数组的左除法。
A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，
A n*m.\
B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m=
C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，
i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标
量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A/B 矩阵的右除法。
X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略
地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩
阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须
是相容的。
A./B 数组的右除法。
A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，
A n*m./
B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m=
C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n；
j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另
外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A^B 矩阵的方幂。
计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方
阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回
一错误信息。
A.^B 数组的方幂。
A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列
时，A n*m..^B n*m=(a ij)n*m..^(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij^b ij，
i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量
扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A' 矩阵的Hermition转置。
若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若
A=(a ij)=(x ij+i*y ij)，则。
A.' 数组转置。
A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。
例3-1
>>syms a b c d e f g h;
>>A = [a b; c d];
>>B = [e f; g h];
>>C1 = A.*B
>>C2 = A.^B
>>C3 = A*B/A
>>C4 = A.*A-A^2
>>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;
>>A = [a11 a12; a21 a22];
>>B = [b1 b2];
>>X = B/A; % 求解符号线性方程组X*A=B的解
>>x1 = X(1)
>>x2 = X(2)
计算结果为：
C1 =
[ a*e, b*f]
[ c*g, d*h]
C2 =
[ a^e, b^f]
[ c^g, d^h]
C3 =
[ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c), (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)]
[ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c), (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]
C4 =
[ -b*c, b^2-a*b-b*d]
[ c^2-a*c-d*c, -b*c]
x1 =
(-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22) x2 =
-(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)
3.2 基本运算
命令1 合并同类项
函数collect
格式R = collect(S) %对于多项式S中的每一函数，collect(S)按缺省变
量x的次数合并系数。
R = collect(S,v) %对指定的变量v计算，操作同上。
例3-2
>>syms x y;
>>R1 = collect((exp(x)+x)*(x+2))
>>R2 = collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)
>>R3 = collect([(x+1)*(y+1),x+y])
计算结果为：
R1 =
x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)
R2 =
y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)
R3 =
[ (y+1)*x+y+1, x+y]
命令2 列空间的基
函数colspace
格式B = colspace(A) %返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基，其中A可以是符号或数值矩阵。而
size(colspace(A),2)等于rank(A)。即由A生成的空间维数等于
A的秩。
例3-3
>>syms a b c
>>A = sym([1,a;2,b;3,c])
>>B = colspace(A)
计算结果为：
A =
[ 1, a]
[ 2, b]
[ 3, c]
B =
[ 1, 0]
[ 0, 1]
[ -(3*b-2*c)/(-b+2*a), (-c+3*a)/(-b+2*a)]
命令3 复合函数计算
函数compose
格式compose(f,g) %返回复合函数f[g(y)]，其中f=f(x)，g=g(y)。其中
符号x为函数f中由命令findsym(f) 确定的符号变
量，符号y为函数g中由命令findsym(g) 确定的符
号变量。
compose(f,g,z) %返回复合函数f[g(z)]，其中f=f(x)，g=g(y)，符
号x、y为函数f、g中由命令findsym确定的符号
变量。
compose(f,g,x,z) %返回复合函数f[g(z)]，而令变量x为函数f中
的自变量f=f(x)。令x=g(z)，再将x=g(z)代入函数
f中。
compose(f,g,x,y,z) %返回复合函数f[g(z)]。而令变量x为函数f
中的自变量f=f(x)，而令变量y为函数g中的自
变量g=g(y)。令x=g(y)，再将x=g(y)代入函数
f=f(x)中，得f[g(y)]，最后用指定的变量z代替变
量y，得f[g(z)]。
例3-4
>>syms x y z t u v;
>>f = 1/(1 + x^2*y); h = x^t; g = sin(y); p = sqrt(-y/u);
>>C1 = compose(f,g) % 令x=g=sin(y)，再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C2 = compose(f,g,t) % 令x=g=sin(t)，再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C3 = compose(h,g,x,z) % 令x=g=sin(z)，再替换h中的变量x。
>>C4 = compose(h,g,t,z) % 令t=g=sin(z)，再替换h中的变量t。
>>C5 = compose(h,p,x,y,z) % 令x=p(y)=sqrt(-y/u)，替换h中的变量x，再将y换成z。
>>C6 = compose(h,p,t,u,z) % 令t=p(u)=sqrt(-y/u)，替换h中的变量t，再将u换成z。
计算结果为：
C1 =
1/(1+sin(y)^2*y)
C2 =
1/(1+sin(t)^2*y)
C3 =
sin(z)^t
C4 =
x^sin(z)
C5 =
((-z/u)^(1/2))^t
C6 =
x^((-y/z)^(1/2))
命令4 符号复数的共轭
函数conj
格式conj(X) %返回符号复数X的共轭复数
例3-5
X=real(X) + i*imag(X)，则conj(X)=real(X) - i*imag(X)
命令5 符号复数的实数部分
函数real
格式real(Z) %返回符号复数z的实数部分
命令6 符号复数的虚数部分
函数imag
格式imag(Z) %返回符号复数z的虚数部分
命令7 余弦函数的整函数
格式Y = cosint(X) %计算余弦函数在点X处的整函数值。其中X可以是数值矩阵，或符号矩阵。余弦函数的整函数定义为：，其中为Euler
常数，=0.060651209…i=1,2,…,size(X)。Euler常数可以通过命
令vpa('eulergamma')获得。
例3-6
>>cosint(7.2)
>>cosint([0:0.1:1])
>>syms x;
>>f = cosint(x);
>>diff(x)
计算结果为：
ans =
0.0960
ans =
Columns 1 through 7
Inf -1.7279 -1.0422 -0.6492 -0.3788 -0.1778 -0.0223
Columns 8 through 11
0.1005 0.1983 0.2761 0.3374
ans =
1
命令8 设置变量的精度
函数digits
格式digits(d) %设置当前的可变算术精度的位数为整数d位
d = digits %返回当前的可变算术精度位数给d
digits %显示当前可变算术精度的位数
说明设置有意义的十进制数值的、在Maple软件中用于做可变算术精度（命令为：vpa）计算的数字位数。其缺省值为32位数字。
例3-7
>>z = 1.0e-16 % z为一很小的数
>>x = 1.0e+2 % x为较大的数
>>digits(14)
>>y1 = vpa(x*z+1) % 大数1“吃掉”小数x*y
>>digits(15)
>>y2 = vpa(x*z+1) % 防止“去掉”小数x*y
计算结果为：
z =
1.0000e-016
x =
100
y1 =
1.00
y2 =
1.001
命令9 将符号转换为MATLAB的数值形式
函数double
格式R = double(S) %将符号对象S转换为数值对象R。若S为符号常
数或表达式常数，double返回S的双精度浮点数值
表示形式；若S为每一元素是符号常数或表达式常数
的符号矩阵，double返回S每一元素的双精度浮点
数值表示的数值矩阵R。
例3-8
>>gold_ratio = double(sym('(sqrt(5)-1)/2')) % 计算黄金分割率。
>>T = sym(hilb(4))
>>R = double(T)
计算结果为：
gold_ratio =
0.6180
T =
[ 1, 1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5]
[ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6]
[ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7]
R =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
命令10 符号表达式的展开
函数expand
格式R = expand(S) %对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对
数函数等表达式的展开式。
例3-9
>>syms x y a b c t
>>E1 = expand((x-2)*(x-4)*(y-t))
>>E2 = expand(cos(x+y))
>>E3 = expand(exp((a+b)^3))
>>E4 = expand(log(a*b/sqrt(c)))
>>E5 = expand([sin(2*t), cos(2*t)])
计算结果为：
E1 =
x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t
E2 =
cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
E3 =
exp(a^3)*exp(a^2*b)^3*exp(a*b^2)^3*exp(b^3)
E4 =
log(a*b/c^(1/2))
E5 =
[ 2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)^2-1]
命令11 符号因式分解
函数factor
格式factor(X) %参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。
若X为一正整数，则factor(X)返回X的质数分解式。若
x为多项式或整数矩阵，则factor(X)分解矩阵的每一元
素。若整数阵列中有一元素位数超过16位，用户必须用
命令sym生成该元素。
例3-10
>>syms a b x y
>>F1 = factor(x^4-y^4)
>>F2 = factor([a^2-b^2, x^3+y^3])
>>F3 = factor(sym('890'))
计算结果为：
F1 =
(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)
F2 =
[(a-b)*(a+b), (x+y)*(x^2-x*y+y^2)]
F3 =
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
命令12 符号表达式的分子与分母
函数numden
格式[N,D] = numden(A)
说明将符号或数值矩阵A中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式，其中分子与分母是相对互素的。输出的参量N为分子的符号矩阵，输出的参量D 为分母的符号矩阵。
例3-11
>>syms x y a b c d;
>>[n1,d1] = numden(sym(sin(4/5)))
>>[n2,d2] = numden(x/y + y/x)
>>A = [a, 1/b;1/c d];
>>[n3,d3] = numden(A)
计算结果为：
n1 =
34093
d1 =
40992
n2 =
x^2+y^2
d2 =
y*x
n3 =
[ a, 1]
[ 1, d]
d3 =
[ 1, b]
[ c, 1]
命令13 搜索符号表达式的最简形式
函数simple
格式r = simple(S) %该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形
式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且
返回其中最短的一个。若S为一矩阵，则结果为整个
矩阵的最短形式，而非是每一个元素的最简形式。若
没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用的算
法与表达式，同时返回最短的一个。
[r,how] = simple(S) %没有显示中间的化简结果，但返回能找到的
最短的一个。输出参量r为一符号，how为一
字符串，用于表示算法。
例3-12
>>syms x
>>R1 = simple(cos(x)^4+sin(x)^4)
>>R2 = simple(2*cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R3 = simple(cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R4 = simple(cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2))
>>R5 = simple(cos(x)+i*sin(x))
>>R6 = simple( (x+1)*x*(x-1))
>>R7 = simple(x^3+3*x^2+3*x+1)
>> [R8,how] = simple(cos(3*acos(x)))计算的结果为：
R1 =
1/4*cos(4*x)+3/4
R2 =
3*cos(x)^2-1
R3 =
cos(2*x)
R4 =
cos(x)+i*sin(x)
R5 =
exp(i*x)
R6 =
x ^3-x
R7 =
(x+1)^3
R8 =
4*x^3-3*x
how =
expand
命令14 符号表达式的化简
函数simplify
格式R = simplify(S)
说明使用Maple软件中的化简规则，将化简符号矩阵S中每一元素。例3-13
>>syms x a b c
>>R1 = simplify(sin(x)^4 + cos(x)^4)
>>R2 = simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))
>>S = [(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)];
>>R3 = simplify(S)
计算结果为：
R1 =
2*cos(x)^4+1-2*cos(x)^2
R2 =
(a+b)^(1/2*c)
R3 =
[ x+3, 4]
命令15 符号矩阵的维数
函数size
格式d = size(A) %若A为m*n阶的符号矩阵，则输出结果d=[m，n]。
[m,n] = size(A) %分别返回矩阵A的行数于m，列数于n。
d= size(A, n) %返回由标量n指定的A的方向的维数：n=1为
行方向，n=2为列方向。
例3-14
>>syms a b c d
>>A = [a b c ; a b d; d c b; c b a];
>>d = size(A)
>>r = size(A, 2)
计算结果为：
d =
4 3
r =
3
命令16 代数方程的符号解析解
函数solve
格式g = solve(eq) %输入参量eq可以是符号表达式或字符串。若eq 是一符号表达式x^2 -2*x-1或一没有等号的字符串’
x^2-2*x-1’，则solve(eq)对方程eq中的缺省变量(由命令
findsym(eq)确定的变量)求解方程eq=0。若输出参量g为单一
变量，则对于有多重解的非线性方程，g为一行向量。
g = solve(eq,var) %对符号表达式或没有等号的字符串eq中指定
的变量var求解方程eq(var)=0。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn) %输入参量eq1,eq2,…,eqn可以是符
号表达式或字符串。该命令对方程组eq1,eq2,…,eqn中由命令
findsym确定的n个变量如x1,x2,…,xn求解。若g为一单个变量，
则g为一包含n个解的结构；若g为有n个变量的向量，则分别
返回结果给相应的变量。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn) %对方程组
eq1,eq2,…,eqn中指定的n个变量如var1,var2,…,varn求解。注意：对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解。例3-15
>>solve('a*x^2 + b*x + c')
>>solve('a*x^2 + b*x + c','b')
>>solve('x + y = 1','x - 11*y = 5')
>>A = solve('a*u^2 + v^2', 'u - v = 1', 'a^2 - 5*a +6')
计算结果为：
ans =
[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
ans =
-(a*x^2+c)/x
ans =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
A =
a: [4x1 sym]
u: [4x1 sym]
v: [4x1 sym]
命令17 以共同的子表达式形式重写一符号表达式
函数subexpr
格式[Y,SIGMA] = subexpr(X,SIGMA)
[Y,SIGMA] = subexpr(X,'SIGMA')
说明找出符号表达式X中相同的子表达式，再结合命令pretty(X)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号%1,%2,…代替。而用命令pretty(Y)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号SIGMA代替。
例3-16
>>t = solve('a*x^3+b*x^2+c*x+d = 0');
>> [r,s] = subexpr(t,'s');
>>pretty(t)
>>pretty(r)
计算结果为：（略）
命令18 特征多项式
实验四 MATLAB 符号运算 一、实验目的 掌握符号变量和符号表达式的创建，掌握MATLAB 的symbol 工具箱的一些基本应用。 二、实验内容 (1) 符号变量、表达式、方程及函数的表示。 (2) 符号微积分运算。 (3) 符号表达式的操作和转换。 (4) 符号微分方程求解。 三、实验步骤 1. 符号运算的引入 在数值运算中如果求x x x πsin lim 0→，则可以不断地让x 接近于0，以求得表达式接近什么数，但是终究不能令0=x ，因为在数值运算中0是不能作除数的。MATLAB 的符号运算能解决这类问题。输入如下命令： >>f=sym('sin(pi*x)/x') >>limit(f,'x',0) >> f=sym('sin(pi*x)/x') f = sin(pi*x)/x >> limit(f,'x',0) ans = Pi 2. 符号常量、符号变量、符号表达式的创建 1) 使用sym( )创建 输入以下命令，观察Workspace 中A 、B 、f 是什么类型的数据，占用多少字节的内存空间。 >> A=sym('1') >> B=sym('x') >> f=sym('2*x^2+3*y-1') >> clear >> f1=sym('1+2') >> f2=sym(1+2) >> f3=sym('2*x+3') >> f4=sym(2*x+3) >> x=1 >> f4=sym(2*x+3) > A=sym('1') A = 1
>> B=sym('x') B = x >> f=sym('2*x^2+3*y-1') f = 2*x^2+3*y-1 >> clear >> f1=sym('1+2') f1 = 1+2 >> f2=sym(1+2) f2 = 3 >> f3=sym('2*x+3') f3 = 2*x+3 >> f4=sym(2*x+3) ??? Undefined function or variable 'x'. >> x=1 x = >> f4=sym(2*x+3) f4 =
MATLAB程序设计教程(9)——MATLAB符号计算 by：ysuncn（欢迎转载，请注明原创信息） 第9章MATLAB符号计算 9.1 符号对象 9.2 符号微积分 9.3 级数 9.4 符号方程求解 9.1 符号对象 9.1.1 建立符号对象 1．建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym('符号字符串') 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。
下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。 (2) syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。 2．建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法： (1)利用单引号来生成符号表达式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 9.1.2 符号表达式运算 1．符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
m a t l a b符号运算函数大 全 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
算术符号操作 命令 +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵 A的列数等于矩阵B的行数。即：若 A n*k* B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m= C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则 将返回一出错信息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型 阵列，或至少有一个为标量。即： A n*m.* B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近 似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为 与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗 略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与 另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。
符号运算 科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。 符号变量的生成和使用 1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成 （1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式 单个符号变量 sqrt(2) sym(sqrt(2)) %显示精确结果 a=sqrt(sym(2)) %显示精确结果 double(a) sym(2)/sym(3) %显示精确结果 2/5+1/3 sym(2/5+1/3) %显示精确结果 sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果 sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法 单个变量定义法 a=sym('a') b=sym('b') c=sym('c') x=sym('x') f=a*x^2+b*x+c 整体定义法 f=sym('a*x^2+b*x+c') g=f^2+4*f-2 （2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式 一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3… syms a b c x f=a*x^2+b*x+c g=f^2+4*f-2 （3）、符号方程的生成 函数：数字和变量组陈的代数式 方程：函数和等号组成的等式 用sym函数生成符号方程： equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1') 2、符号变量的基本操作 （1）、findsym函数用于寻找符号变量 findsym(f)：找出f表达式中的符号变量 findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量 syms a alpha b x1 y findsym(alpha+a+b)
Matlab符号运算符的使用 一、&&/||/&/| |：数组逻辑或 ||：先决逻辑或 &：数组逻辑与 &&：先决逻辑与 &&和||被称为&和|的short circuit形式。 先决逻辑符号含义： 先判断左边是否为真；若为真，则不再判断右边；若为假，才继续进行或运算 先判断左边是否为假；若为假，则不再判断右边；若为真，才继续进行与运算两种运算符号的区别： 先决逻辑运算的运算对象只能是标量 数组逻辑运算可为任何维数组，运算符两边维数要相同 举例分析： A&B ：首先判断A的逻辑值，然后判断B的值，然后进行逻辑与的计算。 A&&B：首先判断A的逻辑值，如果A的值为假，就可以判断整个表达式的值为假， 就可以判断整个表达式的值为假，就不需要再判断B的值。这种用法非常有用， 如果A是一个计算量较小的函数，B是一个计算量较大的函数，那么首先判断A 对减少计算量是有好处的。 另外这也可以防止类似被0除的错误。 Matlab中的if和while语句中的逻辑与和逻辑或都是默认使用short-circuit形式。// 这可能就是有时候用&和| 会报错的原因。
二、系统结构体内的变量 一般都是小写。 matlab区分大小写。 三、== 表示逻辑相等，返回结果，相等为1，不等为0。 四、.*（times）点乘 times Array multiply 数组乘 Syntax c = a.*b c = times(a,b) Description c = a.*b multiplies arrays a an d b element-by-element and returns th e result in c. Inputs a and b must have the same size unless one is a scalar. 注释：a、b要同尺寸，或其中一个为标量。 c = times(a,b) is calle d for th e syntax a.*b when a or b is an object. Example a = [1 2 3]'; b = [5 6 7]'; c = a.*b; 五、矩阵或向量共轭转置“’”和转置“.’” 若矩阵由实数构成，二者作用一样；
第9章MATLAB符号计算 习题9 一、选择题 1 .设有a=sym(4)。则1/a+1/a 的值是( A . 0.5 B . 1/2 2 .函数factor(sym(15))的值是( A . '15' B. 15 3 .在命令行窗口输入下列命令： >> f=sym(1); >> eval(i nt(f,1,4)) 则命令执行后的输 出结果是 A . 3 4 . MATLAB A . tailor 5. MATLAB A . solve 二、填空题 1. 在进行符号运算之前首先要 建立符号对象，sym, syms 2. 对于“没有定义”的极限， 大的极限，MATLAB给出的结果为 3. 在命令行窗口输入下列命 令： >> syms n; >> s=symsu m(n ,1,10) 命令执行后s的 值是 ________________________ ， 4. 在MATLAB 中，函数 )。B C . 1/4+1/4 D . 2/a )。D C . [ 1, 3, 5] D . [ 3, 5] ,所使用的函数或命令有__________ 和 ________________________________ 代表________ 。符号代数方程，求解变量 5. 在MATLAB符号计算中 三、应用题 1 .分解因式。 (1) x9-1 (3) 125X6+75X4+15X2+1)。A B . 4 C . 5 D . 1将函数展开为幕级数，所使用的函数是( )。D B . tayler C . diff 用于符号常微分方程求解的函数是( )。C B . solver C . dsolve D . taylor D . dsolver MATLAB给出的结果为 _________ ;对于极限值为无穷 _______ 。 NaN, Inf 55 solve(s,v)用于代数方程符号求解，其中s代表________ , v y的二阶导数表示为__________ 。D2y (2) X4+X3+2X2+X+1 / 、 2 2 2 (4) X +y +z +2(xy+yz+zx) (1):
Matlab的符号运算功能强大，看了些资料，都比较啰嗦，然后再次总结为一个m 文件测试大部分符号运算功能%% 符号变量与符号表达式%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %1.符号变量与符号表达式 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all ; clc; close all; % f =sym( 'sin(x)+5x') % f ——符号变量名 % sin(x)+5x——符号表达式 % ' '——符号标识 % 符号表达式一定要用' ' 单引号括起来matlab才能识别 % ' ' 的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。 % 例： % f1=sym('a*x^2+b*x+c') ——二次三项式 % f2=sym('a*x^2+b*x+c=0' )——方程 % f3=sym('Dy+y^2=1') ——微分方程 % 符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算 % syms 命令用来建立多个符号量，一般调用格式为： % syms 变量1 变量2 ... 变量n %% 符号矩阵的创建 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %2.符号矩阵的创建 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 数值矩阵A=[1,2;3,4] % A=[a,b;c,d] ——不识别 % @1.用matlab函数sym创建矩阵（symbolic的缩写) % 命令格式：A=sym('[ ]') % ※ 符号矩阵内容同数值矩阵 % ※ 需用sym指令定义 % ※ 需用' '标识 % 例如： A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]') % A = % [ a, 2*b] % [3*a, 0] % 这就完成了一个符号矩阵的创建。 % 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵的一个重要区别。%@2.用字符串直接创建矩阵(这种方法创建的没有什么用处)
MATLAB符号计算函数用法总结 符号计算是对未赋值的符号对象（可以是常数、变量、表达式）进行运算和处理。MTALAB具有符号数学工具箱（Symbolic Math toolbox），将符号运算结合到MATLAB的属具运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。 算术符号操作： 命令有：+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 用法如下： A+B、A-B符号阵列的加法和减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。即：若 An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错 信息。 A.*B符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。即： An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。 A\B矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要
求方程组必须是相容的。 A.\B数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A./B数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij/bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时， An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij^bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A'矩阵的Hermition转置。 若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则 。
2.1 算术符号操作 命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的 行数。即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。或者 至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为 标量。即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X 不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵）， 但此时要求方程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若A与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操 作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X 不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵）， 但此时要求方程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操 作。 A^B 矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征 向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B 数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时， A n*m..^ B n*m=(a ij)n*m..^(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij^b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B 中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操 作。 A' 矩阵的Hermition转置。 若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(a ij)=(x ij+i*y ij)，则。 A.' 数组转置。 A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。 例2-1
3.1算术符号操作 命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩 阵B的行数。即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信 息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一 个为标量。即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。 若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方 形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若 A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应 的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。 若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方 形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A 与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的 分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值 与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B 数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时， A n*m..^ B n*m=(a ij)n*m..^(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij^b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若 A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应 的分量进行操作。
3.1 算术符号操作 命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A 的列数等于矩阵B的行数。即：若 A n*k* B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m= C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将 返回一出错信息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列， 或至少有一个为标量。即： A n*m.* B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似 地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩 阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须 是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标 量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略 地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩 阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须 是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另 外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。