符号运算
科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。
符号变量的生成和使用
1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成
（1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式
单个符号变量
sqrt(2)
sym(sqrt(2)) %显示精确结果
a=sqrt(sym(2)) %显示精确结果
double(a)
sym(2)/sym(3) %显示精确结果
2/5+1/3
sym(2/5+1/3) %显示精确结果
sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果
sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法
单个变量定义法
a=sym('a')
b=sym('b')
c=sym('c')
x=sym('x')
f=a*x^2+b*x+c
整体定义法
f=sym('a*x^2+b*x+c')
g=f^2+4*f-2
（2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式
一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3…
syms a b c x
f=a*x^2+b*x+c
g=f^2+4*f-2
（3）、符号方程的生成
函数：数字和变量组陈的代数式
方程：函数和等号组成的等式
用sym函数生成符号方程：
equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1')
2、符号变量的基本操作
（1）、findsym函数用于寻找符号变量
findsym(f)：找出f表达式中的符号变量
findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量
syms a alpha b x1 y
findsym(alpha+a+b)
findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,2) %x1,y
findsym(y*(4+3i)+6j)
findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,1) %x1
findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,3) %x1,y,b
（2）、任意精确度的符号表达式
digits函数设定所用数值的精度
digits：在command window显示当前设定的数值精度
digits(D)：设置数值的精度为D
D=digits：在command window中返回当前设定数值精度
digits
digits(100)
D=digits
vpa函数进行可控精度运算
R=vpa(S)：显示符号表达式S在当前精度D下的值，D是使用digits函数设置的数值精度vpa(S,D)：显示符号表达式S在精度D下的值，D不是当前精度值，只是临时设置的
r=vpa(pi)
r=vpa(pi,1000)
q=vpa(hilb(2))
q=vpa(hilb(2),6)
（3）、数值型变量与符号型变量的转换形式
数值型变量t转换成符号型变量
有理数形式：sym(t)或sym(t,’r’)
浮点数形式：sym(t,’f’)
指数形式：sym(t,’e’)
指数精度形式：sym(t,’d’)
t=0.1
sym(t)
sym(t,'r')
sym(t,'f')
sym(t,'e')
sym(t,'d')
可以通过digits函数改变精度
digits(7)
sym(t,'d')
也可以用于矩阵，但是矩阵只能转换为有理数形式
A=hilb(4)
A=sym(A)
A=sym(A,'d') %报错
A=sym(A,'e') %报错
A=sym(A,'f') %报错
3、符号表达式（符号函数）的操作
（1）、四则运算（与通常算术式一样）
syms x y a b
fun1=sin(x)+cos(y)
fun1+fun2
（2）、合并同类项
collect(S,v)：将符号矩阵S中所有同类项合并，并以v为符号变量输出
collect(S)：使用findsym函数规定的默认变量，代替上式的v
syms x y
collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)
f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)
collect(f)
（3）、因式分解
horner(P)：将表达式P进行因式分解
syms x
fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40
horner(fun1)
fun2=x^3-6*x^2+11*x-6
horner(fun2)
（4）、简化
simplify(S)：将表达式S中的每个元素都进行简化，即便使用多次simplify也不一定能得到最简形式
syms x
fun1=(1/x+7/x^2+12/x+8)^(1/3)
sfy1=simplify(fun1)
sfy2=simplify(sfy1)
simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)
simple(S)：使用多种代数方法对S进行简化，显其中最简单的结果
[R,how]=simple(S)：R为最简结果，how为简化方法的字符串
s=2*cos(x)^2-sin(x)^2
simple(s)
[R how]=simple(s)
simple(f)
（5）、subs函数用于替换求值
subs函数可以将符号表达式的符号变量替换为数值变量
subs(S) ：将S中自由符号变量用调用函数中的值或是MATLAB工作区间值替换
subs(S,new)：将S中自由符号变量用数值型变量或表达式new替换
subs(S,old,new)：将S中符号变量old用数值型变量或表达式new替换
syms x y
f=x^2*y+5*x*sqrt(y)
subs(f)
subs(f,x,3)
subs(f,y,3)
subs(f,3) %与subs(f,x,3)结果相同
用户没指定被替换的符号变量，对单个字母的变量，MATLAB选择在字母表中与x接近的字母，若有两个变量离x一样近，则选择字母表中靠后的那个
findsym(f,1)
g=s+t
findsym(g,1) %找到t
subs(g,1) %替换为s+1
多个变量替换
syms a b
subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})
用矩阵替换
syms t x y
subs(exp(a*t),a,-magic(2))
subs(x*y,{x,y},{[0 1;-1 -1],[1 -1;-2 1]})
（6）、反函数
g=finverse(f)：求函数f的反函数，返回g也是符号函数
g=finverse(f,v)：设定f的自变量是v，当f包括不止一个变量时最好使用该命令
syms x y
f=x^2+y
finverse(f,y)
finverse(f) %由于没指明自变量，给出警告
syms x
f=x^2
g=finverse(f) %x^2的反函数不唯一，默认给出正值
fg=simple(compose(g,f)) %验证反函数正确性
（7）、复合函数
compose(f,g)：返回f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(y))，x是findsym定义的f的符号变量，y是findsym定义的g的符号变量
compose(f,g,z)：返回f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(z))，返回函数以z为自变量
compose(f,g,x,z)：返回f(g(z))，x为函数f的独立变量
compose(f,g,x,y,z)：返回f(g(z))，x为函数f的独立变量，y为函数g的独立变量
syms x y z t u
f=1/(1+x^2)
g=sin(y)
h=x^t
p=exp(-y/u)
compose(f,g)
compose(f,g,t)
compose(h,g,x,z)
compose(h,g,t,z)
compose(h,p,x,y,z)
compose(h,p,t,u,z)
符号矩阵的生成和运算
1、符号矩阵的生成
（1）、使用sym函数直接生成符号矩阵
a1=sym('[1/3 2/3 5/7;9/11 11/13 13/17;17/19 19/23 23/29]')
a1=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi;2/7,sin(x),cos(x),log(x);sin(x)^2,sin(22*x),exp(x)]') %长度不一致的行补0
（2）、用生成子矩阵的方法生成符号矩阵
与字符串矩阵的直接输入法类似，同一列元素长度须相同（不同补0）
a=['[100,cos(x)]';'[1/s,x ]']
（3）、由数值矩阵转换为符号矩阵
系统首先将自动在MATLAB工作区间将数值型变量转换为符号型变量，用户也可以用sym函数进行转换
M=[30 1 1 1;6 1 5 9;9 8 25 4;32 45 62 0]
S=sym(M)
M1=[0.3 0.33 0.333 1/3;3.14 3.142 3.1416 pi;log(2) log(3) log(5) log(7);sin(1) cos(1) tan(1) atan(1)]
S1=sym(M1)
2、符号矩阵及符号数组的运算
（1）、符号矩阵的四则运算
A+B和A-B同型矩阵可以分别对对应分量进行加减，若A与B至少有一个为标量，则把标量扩大为与另一个同型的阵列
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法
A\B实现左除，X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解，A\B近似等于inv(A)*B，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的
A/B实现右除，X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解，B/A近似等于B*inv(A) ，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的
m=sym('[x,x^2,x*2,1/x]')
n=sym('[2*x,y,x,x^2]')
m+n
m-n
m*n %出错
m\n
m/n %出错
（2）、符号数组的四则运算
若有标量，则扩展为同型阵列
.*乘法
./右除
.\左除
q=sym('[3 4 9 6;x y z w;a b c d]')
p=sym('[x 1/x x^2 x^3;a b c d;5 2 3 6]')
q.*p
q./p
q.\p
r=q*p %矩阵行列不匹配，出错
（3）、矩阵和数组的逆运算
A’实现矩阵的Hermition转置，若A为复数矩阵，则A’为共轭转置
q=sym('[3 4 9 6;x y z w;a b c d]')
q' %符号变量具体值不知，只能用conj给出
q.' %普通转置
（4）、矩阵和数组的幂运算
A^B实现矩阵幂运算，若A为标量B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A、B均为矩阵，则返回错误
A.^B实现数组幂运算，若A与B为同型矩阵，则按对应分量进行计算。若A与B中至少有一个为标量，则现将标量扩大为另一个同型的阵列
p=sym('[x 1/x x^2 x^3;a b c d;5 2 3 6]')
q=sym('[3 4 9 6;x y z w;a b c d;1 3 5 7]')
q^2
p^2 %p矩阵不为方阵，报错
q.^2
p.^2
（5）、符号矩阵的秩
rank(A)：求出方阵A的线性不相关的独立行和列的个数
rank(A,tol)：求出比tol值大的值的个数，在上个命令中默认tol=max(size(A))*norm(A)*eps
a=sym('[1 1/x x^2;xin(x) cos(x) tan(x);log(x) 2 9]')
rank(a)
（6）、符号矩阵的逆和行列式运算
inv(X)：求方阵X的逆，当X奇异或者范数很小时，系统给出一个出错信息
det(X)：求方阵X的行列式
h=sym(hilb(4))
inv(h)
det(h)
b=sym('[1 x x^2;0 0 sin(x);0 0 log(x)]')
inv(b) %b矩阵行列式为0，不存在逆，返回FAIL
b=sym('[1,x;x;x^2]')
inv(b) %矩阵不是方阵，报错
符号微积分
1、符号极限
limit(F,x,a)：计算符号表达式当x趋于a时F=F(x)的极限值
limit(F,a)：x默认为findsym(F)
limit(F)：a默认为0
limit(F,x,a,’right’) 或Limit(F,x,a,’left’)：计算右极限和左极限
limit(sin(x)/x)
limit((x-2)/(x^2-4),2)
limit((1-2*1/x)^(3*x),x,inf)
limit(1/x,x,0,'left')
limit(1/x,x,0,'right')
limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
2、符号微分和求导
（1）、diff函数的使用
diff(x)：根据findsym(x)命令返回的自变量v，求表达式x的一阶导数
diff(x,n)：根据findsym(x)命令返回的自变量v，求表达式x的n阶导数
diff(x,’v’)或diff(x,sym(‘v’))：对v求x的一阶导数
diff(x, ‘v’,n)：对v求x的n阶导数
syms x y
diff(x^3+3*x^2+2*x+5)
diff(sin(x^3),6)
diff(sin(x^3),'x',6)
diff(sin(x^3),'v',6) %对v求x的6阶导数，结果为0
diff(x*y+y^2+sin(x)+cos(y),y)
diff(x*y+y^2+sin(x)+cos(y),y,3)
（2）、jacobian函数的使用
jacobian(f,v)：计算数量或向量f对向量v的jacobi矩阵，所得矩阵的第i行第j列的数是df(i)/dv(j)，当f为数量的时候，该命令返回的是f的梯度，若此时v也是数量，则jacobian(f,v)等价于diff(f,v)
syms x y z
a=[x^2+x*y;sin(x)*cos(y)]
jacobian(a,[x,y])
3、符号积分
int(S)：根据由findsym(S)命令返回的自变量v，求S的不定积分，其中S为符号矩阵或符号数量
int(S,v)：求S对v的不定积分
int(S,a,b)：求a到b的定积分
int(S,v,a,b)：求a到b的定积分
syms x x1 alpha u t;
A=[cos(x*t) sin(x*t);-sin(x*t) cos(x*t)]
int(1/(1+x^2))
int(sin(alpha*u),alpha)
int(besselj(1,x),x)
int(x1*log(1+x1),0,1)
int(4*x*t,x,2,sin(t))
int([exp(t) exp(alpha*t)])
int(A,t)
符号积分变换
1、Fourier变换及其逆变换
（1）、Fourier变换
F=fourier(f)：以x为默认独立变量，返回w的函数，若f是w的函数，则返回的F是t的函数
F=fourier(f,v)：返回的F以v为自变量
fourier(f,u,v)：返回的函数以v为自变量，f以u为自变量
fourier(1/t)
fourier(exp(-x^2),x,t)
fourier(exp(-t)*sym('Heaviside(t)'),v)
fourier(diff(sym('F(x)')),x,w)
（2）、Fourier反变换
f=ifourier(F)：以w为默认独立变量，默认的返回函数是以x为自变量的函数，若F以x为变量，返回函数以t为自变量
f=ifourier(F,u)：返回的函数f以u为自变量
f=ifourier(F,v,u)：返回的函数f以u为自变量，F以v为自变量
syms t u v w x
ifourier(w*exp(-3*w)*sym('Heaviside(w)'))
ifourier(1/(1+w^2),u)
ifourier(v/(1+w^2),v,u)
ifourier(sym('fourier(f(x),x,w)'),w,x)
2、Laplace变换及其逆变换
（1）、Laplace变换
L=laplace(F)：F以t为独立自变量，返回函数L以s为变量，若F以s为自变量，则L以t为自变量
L=laplace(F,t)：返回函数以t为自变量
L-laplace(F,w,z)：返回函数L以z为自变量，F以w为自变量
syms a s t w x
laplace(t^5)
laplace(exp(a*s))
laplace(sin(w*x),t)
laplace(cos(w*x),w,t)
laplace(x^sym(3/2),t)
laplace(diff(sym('F(t)')))
（2）、Laplace反变换
F=ilaplace(L)：L以s为独立自变量，返回函数以t为自变量，若L以t为自变量，返回函数以x为自变量
F=ilaplace(L,x)：返回函数以x为自变量
F=ilaplace(L,y,x)：返回函数以x为自变量，L以y为自变量
syms s t w x y
ilaplace(1/(s-1))
ilaplace(1/(t^2-1))
ilaplace(t^sym(5/2),x)
ilaplace(y/(y^2+w^2),y,x)
ilaplace(sym('laplace(F(x),x,s)'),s,x)
3、Z变换及其反变换
（1）、Z变换
F=ztrans(f)：返回函数以z为自变量，f以n为独立自变量，若f以z为自变量，返回函数以w为自变量
F=ztrans(f,w)
F=ztrans(f,k,w)
syms k n w z
ztrans(2^n)
ztrans(sin(k*n),w)
ztrans(cos(k*n),k,z)
ztrans(cos(k*n),n,w)
ztrans(sym('f(n+1)'))
（2）、Z反变换
f=iztrans(F)：F以z为独立自变量，f以n为自变量，若F以n为自变量，f以k为自变量f=iztrans(F,k)
f=iztrans(F,w,k)
syms x z k
iztrans(z/(z-2))
iztrans(exp(x/z),z,k)
符号代数方程的求解
1、符号线性方程组的求解
X=linsolve(A,B)：求解AX=B的解
a=rand(4)
b=[1;2;3;4]
linsolve(a,b)
2、符号非线性方程组的求解
F(X)=0
X=fsolve(fun,X0)：以X0为初始矩阵来求解方程fun，fun接受输入并返回一个向量，使得F=fun(X)
%求解方程组
%3*x(1)^2-x(2)^2=0
%3*x(1)*x(2)^2-x(1)^2-1=0
建立myfun2.m文件
function y=myfun2(x)
y(1)=3*x(1)^2-x(2)^2;
y(2)=3*x(1)*x(2)^2-x(1)^2-1;
运行代码
x=[0.8 0.4]
x=fsolve('myfun2',x)
3、一般符号代数方程组的求解
solve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’)
solve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1,var2,…,varN’)
solve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1’,’var2’,…,’varN’)
eqns是一些具体方程的符号表达式或字符串，而vars是一些未知的符号变量或未知额的字符串
solve('p*sin(x)=r')
[x y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0')
S=solve('x^2*y^2-2*x-1=0','x^2-y^2-1=0') %S是一个结构体
[u v]=solve('a*u^2+v^2=0','u-v=1') %a被作为参数求解关于u和v的方程组
S=solve('a*u^2+v^2=0','u-v=1','a,u') %v作为参数
[a u v]=solve('a*u^2+v^2=0','u-v=1','a^2-5*a+6')
[x y]=solve('sin(x+y)-exp(x)*y=0','x^2-y=2') %系统无法给出符号解，只给出数值解
符号微分方程的求解
dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,’eqn3’,…)：求符号解，初始条件，边界条件也可以算作eqns，默认输出函数的自变量为t，D表示对x一阶微分，D2表示对x二阶微分，以此类推
dsolve('Dx = -a*x')
x = dsolve('Dx = -a*x','x(0) = 1','s')
dsolve('D2y = -a^2*y', 'y(0) = 1, Dy(pi/a) = 0')
图示化符号函数计算器
1、单变量符号函数计算器
使用funtool函数来调用图示化单变量符号函数计算器
（1）、输入框功能
f=显示代表函数f的符号表达式，按Enter显示图像（图形窗口1）
g=显示代表函数g的符号表达式，按Enter显示图像（图形窗口2）
x=显示用于函数f与g的绘制区间，按Enter改变图像
a=显示一个用于改变函数f的常量因子
（2）、控制按钮的功能
运算操作按钮的功能
df/dx：函数f的导数
int f：函数f的积分
simple f：化简函数f
num f：函数f的分子
den f：函数f的分母
1/f：函数f的倒数
finv：函数f的反函数
f+a：用f(x)+a代替函数f(x)
f-a：用f(x)-a代替函数f(x)
f*a：用f(x)*a代替函数f(x)
f/a：用f(x)/a代替函数f(x)
f^a：用f(x)^a代替函数f(x)
f(x+a)：用f(x+a)代替函数f(x)
f(x*a)：用f(x*a)代替函数f(x)
f+g：用f(x)+g(x)代替函数f(x)
f-g：用f(x)-g(x)代替函数f(x)
f*g：用f(x)*g(x)代替函数f(x)
f/g：用f(x)/g(x)代替函数f(x)
g=f: f*g：用f(x)代替函数g(x)
swap：函数f(x)与g(x)互换
系统操作按钮的功能
Insert；将函数f(x)保存到函数内存列表中的最后
Cycle：用内存函数列表中的第二项代替函数f(x)
Delete：从内存函数列表中删除函数f(x)
Reset：重新设计计算器为初始状态
Help：显示在线的关于计算器的帮助
Demo：运行该计算器的演示程序
Close：关闭计算器的三个窗口
2、泰勒级数逼近计算器
使用taylortool函数来调用图示化泰勒级数逼近计算器
绘制函数f 的前N阶泰勒级数
利用Maple的深层符号计算资源MATLAB2010a已经不再支持maple内核
实验四 MATLAB 符号运算 一、实验目的 掌握符号变量和符号表达式的创建，掌握MATLAB 的symbol 工具箱的一些基本应用。 二、实验内容 (1) 符号变量、表达式、方程及函数的表示。 (2) 符号微积分运算。 (3) 符号表达式的操作和转换。 (4) 符号微分方程求解。 三、实验步骤 1. 符号运算的引入 在数值运算中如果求x x x πsin lim 0→，则可以不断地让x 接近于0，以求得表达式接近什么数，但是终究不能令0=x ，因为在数值运算中0是不能作除数的。MATLAB 的符号运算能解决这类问题。输入如下命令： >>f=sym('sin(pi*x)/x') >>limit(f,'x',0) >> f=sym('sin(pi*x)/x') f = sin(pi*x)/x >> limit(f,'x',0) ans = Pi 2. 符号常量、符号变量、符号表达式的创建 1) 使用sym( )创建 输入以下命令，观察Workspace 中A 、B 、f 是什么类型的数据，占用多少字节的内存空间。 >> A=sym('1') >> B=sym('x') >> f=sym('2*x^2+3*y-1') >> clear >> f1=sym('1+2') >> f2=sym(1+2) >> f3=sym('2*x+3') >> f4=sym(2*x+3) >> x=1 >> f4=sym(2*x+3) > A=sym('1') A = 1
>> B=sym('x') B = x >> f=sym('2*x^2+3*y-1') f = 2*x^2+3*y-1 >> clear >> f1=sym('1+2') f1 = 1+2 >> f2=sym(1+2) f2 = 3 >> f3=sym('2*x+3') f3 = 2*x+3 >> f4=sym(2*x+3) ??? Undefined function or variable 'x'. >> x=1 x = >> f4=sym(2*x+3) f4 =
MATLAB程序设计教程(9)——MATLAB符号计算 by：ysuncn（欢迎转载，请注明原创信息） 第9章MATLAB符号计算 9.1 符号对象 9.2 符号微积分 9.3 级数 9.4 符号方程求解 9.1 符号对象 9.1.1 建立符号对象 1．建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym('符号字符串') 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。
下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。 (2) syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。 2．建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法： (1)利用单引号来生成符号表达式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 9.1.2 符号表达式运算 1．符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
实验四符号计算 符号计算的特点：一，运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰；二，符号计算，或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）；三，符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近；四，计算所需时间较长，有时难以忍受。 在MATLAB中，符号计算虽以数值计算的补充身份出现，但涉及符号计算的指令使用、运算符操作、计算结果可视化、程序编制以及在线帮助系统都是十分完整、便捷的。 MATLAB的升级和符号计算内核Maple的升级，决定着符号计算工具包的升级。但从用户使用角度看，这些升级所引起的变化相当细微。即使这样，本章还是及时作了相应的更新和说明。如MATLAB 6.5+ 版开始启用Maple VIII的计算引擎，从而克服了Maple V计算“广义Fourier变换”时的错误（详见第5.4.1节）。 5.1符号对象和符号表达式 5.1.1符号对象的生成和使用 【例5.1.1-1】符号常数形成中的差异 a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] % <1> a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) % <2> a3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e') % <3> a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') % <4> a24=a2-a4 a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)] a3 = [ 1/3-eps/12, pi/7-13*eps/165, sqrt(5)+137*eps/280, 6054707603575008*2^(-50)] a4 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] a24 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)] 【例5.1.1-2】演示：几种输入下产生矩阵的异同。 a1=sym([1/3,0.2+sqrt(2),pi]) % <1> a2=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi]') % <2> a3=sym('[1/3 0.2+sqrt(2) pi]') % <3> a1_a2=a1-a2 % a1 = [ 1/3, 7269771597999872*2^(-52), pi] a2 = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi] a3 = [ 1/3, 0.2+sqrt(2), pi] a1_a2 = [ 0, 1.4142135623730951010657008737326-2^(1/2), 0]
m a t l a b符号运算函数大 全 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
算术符号操作 命令 +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵 A的列数等于矩阵B的行数。即：若 A n*k* B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m= C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则 将返回一出错信息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型 阵列，或至少有一个为标量。即： A n*m.* B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij， i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近 似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为 与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗 略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信 息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方 程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与 另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。
实验六符号计算 学院：数计学院班级：1003班姓名：黄晓丹学号：1051020144 一、实验目的 1、了解富符号对象和数值对象之间的差别，以及它们之间的互相转换 2、了解符号运算和数值运算的特点、区别和优缺点 3、掌握符号对象的基本操作和运算，以及符号运算的基本运用 二、实验内容 1、符号常数形成和使用 （1）符号常数形成中的差异 >> a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 >> a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5),
6054707603575008*2^(-50)] >> a3=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') a3 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] >> a24=a2-a3 a24 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)] （2）把字符表达式转化为符号变量 >> y=sym('2*sin(x)*cos(x)') y = 2*sin(x)*cos(x) >> y=simple(y)
y = sin(2*x) （3）用符号计算验证三角等式 >> syms fai1 fai2;y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)) y = sin(fai1-fai2) （4）求矩阵的行列式值、逆和特征值 >> syms a11 a12 a21 a22;A=[a11,a12;a21,a22] A = [ a11, a12] [ a21, a22] >> DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A) DA =
符号运算 科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。 符号变量的生成和使用 1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成 （1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式 单个符号变量 sqrt(2) sym(sqrt(2)) %显示精确结果 a=sqrt(sym(2)) %显示精确结果 double(a) sym(2)/sym(3) %显示精确结果 2/5+1/3 sym(2/5+1/3) %显示精确结果 sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果 sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法 单个变量定义法 a=sym('a') b=sym('b') c=sym('c') x=sym('x') f=a*x^2+b*x+c 整体定义法 f=sym('a*x^2+b*x+c') g=f^2+4*f-2 （2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式 一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3… syms a b c x f=a*x^2+b*x+c g=f^2+4*f-2 （3）、符号方程的生成 函数：数字和变量组陈的代数式 方程：函数和等号组成的等式 用sym函数生成符号方程： equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1') 2、符号变量的基本操作 （1）、findsym函数用于寻找符号变量 findsym(f)：找出f表达式中的符号变量 findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量 syms a alpha b x1 y findsym(alpha+a+b)
第 2 章符号计算 符号计算： 解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。 符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，所得结果完全准确。 特点： 一．相对于MATLAB的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的。 二．在相当一些场合，符号计算解算问题的命令和过程，显得比数值计算更自然、更简明。 三．大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式。 2.1符号对象和符号表达式 MATLAB依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量）、运算符及一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程。 2.1.1基本符号对象和运算算符 1.生成符号对象的基本规则 ●任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式、函数）都必须借助 专门的符号命令sym、syms、symfun定义。 ●任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。
2.精准符号数字和符号常数 符号（类）数字的定义： sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号数字（推荐格式!） sc=sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号常数sc（推荐格式!） 说明：若输入量Num是精准的浮点数（如0.321、10/3等），能生成精准的符号数字； 若输入量Num是诸如sin(0.3)的数值表达式，那么就只能生成由数字表达式获得的16位精度的近似符号数字。 sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号数字 sc=sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号常数sc 说明： Num必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于字符串参见附录A）； 只有当字符串数字'Num'采用诸如321/1000、10/3等整数构成的有理分数形式表达时，sym('Num') 才能生成精准的符号数字； 若字符串数字用诸如0.321、3.21e-1等“普通小数或科学记述数”表达，那么只能产生“近似符号数字”。在默认情况下，该近似符号数字为32位精度。 【例2.1-1】 （1）创建完全精准的符号数字或数字表达式 clear all R1=sin(sym(0.3)) % 输入量为普通小数 R2=sin(sym(3e-1)) % 输入量为科学记述数 R3=sin(sym(3/10)) % 输入量为有理分数 R4=sin(sym('3/10')) % 输入量为“整数构成的有理分数”字符串数字 disp(['R1属于什么类别？答：',class(R1)]) disp(['R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：',int2str(logical(R1==R4))]) R1 = sin(3/10) R2 = sin(3/10) R3 = sin(3/10) R4 = sin(3/10) R1属于什么类别？答：sym R1与R4是否相等？（是为1，否为0）答：1 （2）产生具有32位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！） S1=sin(sym('0.3')) % sym的输入量是字符串小数，生成32位精度下的 % 近似符号数，进而在sin作用下给出近似符号数。 S2=sin(sym('3e-1')) % syms的输入量是字符串科学记述数。 eRS=vpa(abs(R1-S1),64); disp(['S1属于什么类别？答：',class(S1)]) disp(['S1与R1是否相同？答: ',int2str(logical(R1==S1))]) disp('S1与R1的误差为') disp(double(eRS)) S1 = 0.29552020666133957510532074568503
Matlab符号运算符的使用 一、&&/||/&/| |：数组逻辑或 ||：先决逻辑或 &：数组逻辑与 &&：先决逻辑与 &&和||被称为&和|的short circuit形式。 先决逻辑符号含义： 先判断左边是否为真；若为真，则不再判断右边；若为假，才继续进行或运算 先判断左边是否为假；若为假，则不再判断右边；若为真，才继续进行与运算两种运算符号的区别： 先决逻辑运算的运算对象只能是标量 数组逻辑运算可为任何维数组，运算符两边维数要相同 举例分析： A&B ：首先判断A的逻辑值，然后判断B的值，然后进行逻辑与的计算。 A&&B：首先判断A的逻辑值，如果A的值为假，就可以判断整个表达式的值为假， 就可以判断整个表达式的值为假，就不需要再判断B的值。这种用法非常有用， 如果A是一个计算量较小的函数，B是一个计算量较大的函数，那么首先判断A 对减少计算量是有好处的。 另外这也可以防止类似被0除的错误。 Matlab中的if和while语句中的逻辑与和逻辑或都是默认使用short-circuit形式。// 这可能就是有时候用&和| 会报错的原因。
二、系统结构体内的变量 一般都是小写。 matlab区分大小写。 三、== 表示逻辑相等，返回结果，相等为1，不等为0。 四、.*（times）点乘 times Array multiply 数组乘 Syntax c = a.*b c = times(a,b) Description c = a.*b multiplies arrays a an d b element-by-element and returns th e result in c. Inputs a and b must have the same size unless one is a scalar. 注释：a、b要同尺寸，或其中一个为标量。 c = times(a,b) is calle d for th e syntax a.*b when a or b is an object. Example a = [1 2 3]'; b = [5 6 7]'; c = a.*b; 五、矩阵或向量共轭转置“’”和转置“.’” 若矩阵由实数构成，二者作用一样；
实验五：Matlab多项式和符号运算 一、实验目的 1．掌握Matlab多项式的运算。 2．了解符号运算。 二、实验内容 1．将多项式()(2)(3)(7)(1) =-+-+化为x的降幂排列。 P x x x x x syms x; y=(x-2)*(x+3)*(x-7)*(x+1); expand(y) ans = x^4-5*x^3-19*x^2+29*x+42 2．求一元高次方程的根。 98765432 --++--++= 53015027313658204100576-28800 x x x x x x x x x syms x y; y=x^9-5*x^8-30*x^7+150*x^6-1365*x^4-820*x^3+410 0*x^2+576*x-2880; solve(y,x) ans = 6.81947687944124431946 1.42761488953013276419+.8192491831*i 2.865487219+2.49263348244446271927*i
-1.887673354+1.812452594*i -.9583509633 -5.922730991 -1.887673354-1.812452594*i 2.865487219-2.49263348244446271927*i 1.42761488953013276419-.8192491831*i 3．求一元高次方程的根，并画出左边多项式函数在[2,2] x∈-区间内的曲线。 42 -+= x x 210 a=[1 0 -2 0 1]; r=roots(a) syms x; x=-2:2; y=[1 0 -2 0 1]; plot(x,y) r = 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i -1.0000 -1.0000
MatLab常见函数和运算符号 基本运算 convhull :凸壳函数 cumprod :累计积 cumsum :累计和 cumtrapz :累计梯形数值积分 delaunay :Delaunay三角化 dsearch :求最近点(这是两个有趣的函数 factor :质数分解inpolygon :搜索多边形内的点 max :最大元素 mean :平均值 median :数组的中间值 min :最小值 perms :向量所有排列组成矩阵 polyarea :多边形的面积 primes :生成质数列表 prod :数组元素积 sort :元素按升序排列 sortrows :将行按升序排列
std :标准差 sum :元素和 trapz :梯形数值积分 tsearch :搜索Delaunay三角形var :方差 voronoi :Voronoi图 del2 :Laplacian离散 diff :差分和近似微分gradient:数值梯度 corrcoef :相关系数 cov :协方差矩阵 xcorr :互相关系数 xcov :互协方差矩阵 xcorr2 :二维互相关 conv :卷积和多项式相乘conv2 :二维卷积 deconv :反卷积 filter :滤波 filter2 :二维数字滤波
傅立叶变换 abs :绝对值和模 angle :相角 cplxpair :按复共扼把复数分类 fft :一维快速傅立叶变换 fft2 :二维快速傅立叶变换 fftshit :将快速傅立叶变换的DC分量移到谱中央ifft :以为逆快速傅立叶变换 ifft2 :二维逆快速傅立叶变换 ifftn :多维逆快速傅立叶变换 ifftshift :逆fft平移 nextpow2 :最相邻的2的幂 unwrap :修正相角 cross :向量叉积 intersect:集合交集 ismember :是否集合中元素 setdiff :集合差集 setxor :集合异或(不在交集中的元素 union :两个集合的并
1. 已知x=6,y=5, 利用符号表达式求z =>> syms x >> z=(x+1)/(sqrt(x+3)-sqrt(y)); >> subs(z,x,5) ans =6/(8^(1/2)-y^(1/2)) >> subs(ans,6) ans = 15.8338 2. 分解因式。 （1）x y -44； >> syms x y >> factor(x^4-y^4) ans =(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2) （2）x x x +++642 12575151 >> syms x >> factor(125*x^6+75*x^4+15*x^2+1) ans =(5*x^2+1)^3 3. 化简表达式 （1）sin cos cos sin ββββ-1212； >> syms x y >> f=sin(x).*cos(y)-cos(x).*sin(y)； >> sfy1=simple(f) 结果：sfy1 =sin(x-y) （2）x x x +++248321 >> syms x >> f=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1);sfy1=simplify(f) sfy1 =2*x+3 4、求下列极限，将完成实验的程序写到文件sy1.m 中： （1） （2） （3） （4） （5） （1）>> syms x >> F1=atan(x)/(x); >> w=limit(F1) w =1 （2）>> syms x F2=((1+x)/(1-x))^(1/x); >> w=limit(F2) w =exp(2) （3）>> syms x F3=(x.*log(1+x))/(sin(x^2)); >> w=limit(F3) w =1 （4）>> syms x F4=atan(x)/(x); >> w=limit(F4,x,inf) w =0 （5）>> syms x F5=(1/(1-x)-1/(1-x^3)); >> w=limit(F5,x,1) w =NaN 5、求下列函数的导数，将完成实验的程序写到文件sy2.m 中： 1、 >> x = sym('x'); >> y1=(cos(x))^3-cos(3*x); >> diff(y1)ans =-3*cos(x)^2*sin(x)+3*sin(3*x) 2、 >> x = sym('x'); >> y2=x.*sin(x).*(log(x)); >> diff(y2)ans =sin(x)*log(x)+x*cos(x)*log(x)+sin(x) 3、 >> x = sym('x'); >> y3=(x.*exp(x)-1)/sin(x); >> diff(y3) ans =(exp(x)+x*exp(x))/sin(x)-(x*exp(x)-1)/sin(x)^2*cos(x) 4、 x x x x F 1011lim 2??? ??-+=→3 1115lim()11x F x x →=---20sin )1ln(lim 3x x x F x +=→x x F x arctan lim 10→=arctan 4lim x x F x →∞=x x y 3cos cos 13-=x x x y ln sin 2=x xe y x sin 13-=cos x y e x =
实验一符号运算 班级:电气4班姓名:叶元亮学号:B2012052409 一、实验目的 1、了解符号、数值、字符等数据类型的差别 2、了解符号运算的特点、优缺点 3、掌握符号变量的创建和运算，以及其运算的基本应用 4、掌握基本的符号绘图指令 二、实验内容 1、指出下面的 M1，M2，M3 分别是什么，并上机验证。 取a=1、b=2、c=3、d=4，M1=[a,b;c,d]，M2='[a,b;c,d]'，M3=sym('[a,b;c,d]'); >> a=1,b=2,c=3,d=4 a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 >> M1=[a,b;c,d] M1 =
1 2 3 4 >> M2='[a,b;c,d]' M2 = [a,b;c,d] >> M3=sym('[a,b;c,d]') M3 = [ a, b] [ c, d] 结论:M1是矩阵，2是字符串，M3是字符变量。 2、下面2种取值情况下，计算b a b a- + 并赋给相应情况下的c1、c2，问c1、c2相等吗，为什么？上机验证。 （1） a1=1010; b1=10-10; （2）将a1、a2作为符号变量赋给a2、b2; >> a1=1e10; b1=1e-10; >> c1=(a1+b1-a1)/b1 c1 = >> a2=sym(a1); b2=sym(b1); >> c2=(a2+b2-a2)/b2 c2 = 1
结果:c1~=c2，因为c1=0,c2=1,a1、b1是具体的数值，a2、b2是符号变量。 3、符号表达式中自由变量的确定生成符号变量a 、b 、x 、X 、Y 、 k=3、z=a y w c sin +，表达式为 Y k bx azX f )(2++=。 （1）找出f 中的全部自由符号变量 （2）在f 中确定最优先的自由符号变量 （3）在f 中确定2个和3个自由变量时的执行情况 （4）试通过对各符号变量与x 的ASCII 值做绝对差值，分析自 由变量优秀顺序，能得出什么结论？ >> syms a b x X Y k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(w)+y*sin(a)'); f=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; >> findsym(f) ans = X, Y, a, b, c, w, x, y >> findsym(f,1) ans = x >> findsym(f,2) ans = x,y
实验3 Matlab 符号运算及求函数极值一、实验目的和要求 掌握用Matlab软件进行符号运算以及求函数的极值。 二、实验环境 Windows系列操作系统，Matlab软件。 三、实验内容 1.用MATLAB进行符号运算； 2.编程求函数的极值。 四、实验步骤 3.开启软件平台——Matlab，开启Matlab编辑窗口； 4.根据求解步骤编写M文件； 5.保存文件并运行； 6.观察运行结果(数值或图形)； 7.根据观察到的结果和体会写出实验报告。 五、示例 1．计算一元函数的极值 例1求 2 2 344 1 x x y x x ++ = ++ 的极值 解首先建立函数关系： s yms x y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); 然后求函数的驻点： dy=diff(y); xz=solve(dy) xz= [0] [-2] 知道函数有两个驻点x 1=0和x 2 =-2， 接下来我们通过考察函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。而借助MATLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。 例2 画出上例中函数的图形
解 syms x y=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); 得到如下图形 ezplot(y) 2．计算二元函数的极值 MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。 例1 求函数42823z x xy y =-+-的极值点和极值. 首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即348,84z z x y x y x y ??=-=-+??再求解方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解方程的MA TLAB 代码为：
实验二MATLAB的符号计算与可视化 1:完成教材实验三第1节“1.创建符号表达式和符号表达式的操作”中（1）-（5）部分的内容，分别用sym和syms创建符号表达式f和g，并对它们进行相关操作，思考每一条命令的作用是什么，并提交命令行和结果； （1）创建符号变量。 ①使用sym命令创建符号表达式： >> f=sym('sin(x)') f = sin(x) >> g=sym('y/exp(-2*t)') g = y*exp(2*t) ②使用syms命令创建符号表达式： >> syms x y t >> f=sym(sin(x)) f = sin(x) >> g=sym(y/exp(-2*t)) g = y*exp(2*t) （2）：自由变量的确定：
>> symvar(g) ans = [ t, y] >> symvar(g,1) ans = y >> findsym(g,2) ans = y,t （3）：用常数替换符号变量： >> x=0:10; >> y=subs(f,x) y = Columns 1 through 8 0 0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 0.6570 Columns 9 through 11 0.9894 0.4121 -0.5440 练习：用y替换x，查看结果及其数据类型。 z=subs(f,y) z = Columns 1 through 8
0 0.7456 0.7891 0.1407 -0.6866 -0.8186 -0.2758 0.6107 Columns 9 through 11 0.8357 0.4006 -0.5176 >> class(z) ans = double （4）：符号对象与数值的转换和任意精度控制： >> f1=subs(f,'5') f1 = sin(5) >> y1=double(f1) y1 = -0.9589 >> y2=eval(f1) y2 = -0.9589 练习：将y1用sym函数转换为符号对象，并用’d’,’f’,’e’,’r’4种格式表示。>> y2=sym(y1,'d') y2 = -0.95892427466313845396683746002964
第9章MATLAB符号计算 习题9 一、选择题 1 .设有a=sym(4)。则1/a+1/a 的值是( A . 0.5 B . 1/2 2 .函数factor(sym(15))的值是( A . '15' B. 15 3 .在命令行窗口输入下列命令： >> f=sym(1); >> eval(i nt(f,1,4)) 则命令执行后的输 出结果是 A . 3 4 . MATLAB A . tailor 5. MATLAB A . solve 二、填空题 1. 在进行符号运算之前首先要 建立符号对象，sym, syms 2. 对于“没有定义”的极限， 大的极限，MATLAB给出的结果为 3. 在命令行窗口输入下列命 令： >> syms n; >> s=symsu m(n ,1,10) 命令执行后s的 值是 ________________________ ， 4. 在MATLAB 中，函数 )。B C . 1/4+1/4 D . 2/a )。D C . [ 1, 3, 5] D . [ 3, 5] ,所使用的函数或命令有__________ 和 ________________________________ 代表________ 。符号代数方程，求解变量 5. 在MATLAB符号计算中 三、应用题 1 .分解因式。 (1) x9-1 (3) 125X6+75X4+15X2+1)。A B . 4 C . 5 D . 1将函数展开为幕级数，所使用的函数是( )。D B . tayler C . diff 用于符号常微分方程求解的函数是( )。C B . solver C . dsolve D . taylor D . dsolver MATLAB给出的结果为 _________ ;对于极限值为无穷 _______ 。 NaN, Inf 55 solve(s,v)用于代数方程符号求解，其中s代表________ , v y的二阶导数表示为__________ 。D2y (2) X4+X3+2X2+X+1 / 、 2 2 2 (4) X +y +z +2(xy+yz+zx) (1):
Matlab的符号运算功能强大，看了些资料，都比较啰嗦，然后再次总结为一个m 文件测试大部分符号运算功能%% 符号变量与符号表达式%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %1.符号变量与符号表达式 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all ; clc; close all; % f =sym( 'sin(x)+5x') % f ——符号变量名 % sin(x)+5x——符号表达式 % ' '——符号标识 % 符号表达式一定要用' ' 单引号括起来matlab才能识别 % ' ' 的内容可以是符号表达式，也可以是符号方程。 % 例： % f1=sym('a*x^2+b*x+c') ——二次三项式 % f2=sym('a*x^2+b*x+c=0' )——方程 % f3=sym('Dy+y^2=1') ——微分方程 % 符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算 % syms 命令用来建立多个符号量，一般调用格式为： % syms 变量1 变量2 ... 变量n %% 符号矩阵的创建 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %2.符号矩阵的创建 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 数值矩阵A=[1,2;3,4] % A=[a,b;c,d] ——不识别 % @1.用matlab函数sym创建矩阵（symbolic的缩写) % 命令格式：A=sym('[ ]') % ※ 符号矩阵内容同数值矩阵 % ※ 需用sym指令定义 % ※ 需用' '标识 % 例如： A = sym('[a , 2*b ; 3*a , 0]') % A = % [ a, 2*b] % [3*a, 0] % 这就完成了一个符号矩阵的创建。 % 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵的一个重要区别。%@2.用字符串直接创建矩阵(这种方法创建的没有什么用处)
MATLAB符号计算函数用法总结 符号计算是对未赋值的符号对象（可以是常数、变量、表达式）进行运算和处理。MTALAB具有符号数学工具箱（Symbolic Math toolbox），将符号运算结合到MATLAB的属具运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。 算术符号操作： 命令有：+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 用法如下： A+B、A-B符号阵列的加法和减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。即：若 An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。 或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错 信息。 A.*B符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。即： An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。 A\B矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要
求方程组必须是相容的。 A.\B数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A/B矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A./B数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij/bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A^B矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时， An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij^bij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。 A'矩阵的Hermition转置。 若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则 。
3.1算术符号操作 命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’ 功能符号矩阵的算术操作 用法如下： A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。 若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。 A*B 符号矩阵乘法。 A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩 阵B的行数。即：若A n*k*B k*m=(a ij)n*k.*(b ij)k*m=C n*m=(c ij)n*m，则，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信 息。 A.*B 符号数组的乘法。 A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一 个为标量。即：A n*m.*B n*m=(a ij)n*m.*(b ij)n*m=C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij* b ij，i=1,2,…,n； j=1,2,…,m。 A\B 矩阵的左除法。 X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。 若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方 形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A.\B 数组的左除法。 A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m.\ B n*m=(a ij)n*m.\(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij\ b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若 A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应 的分量进行操作。 A/B 矩阵的右除法。 X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。 若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方 形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。 A./B 数组的右除法。 A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时， A n*m./ B n*m=(a ij)n*m./(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij/b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A 与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的 分量进行操作。 A^B 矩阵的方幂。 计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值 与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。 A.^B 数组的方幂。 A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时， A n*m..^ B n*m=(a ij)n*m..^(b ij)n*m= C n*m=(c ij)n*m，则c ij= a ij^b ij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若 A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应 的分量进行操作。