圆锥曲线的综合问题简析
河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰
新课标下高考解析几何综合试题常与导数及其应用角逐压轴题。主要考查解决直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程和探索性等问题思想方法。为此，我们应该熟练掌握圆锥曲线的定义、性质，明确解决直线和圆锥曲线位置关系的思想方法，把握曲线轨迹方程的求法，沟通知识间的横纵联系，借助方程理论、不等式性质、向量工具和数形结合、化归转化等思想方法，就能从容应对高考。下面进行简要剖析：
ＡＡＡＡＡ必考知识点
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．
即?????
Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；
Δ<0?直线与圆锥曲线C 相离．
(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
２.弦长公式：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.
易错点解析：1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
[试一试]:1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的交点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
（1）．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
设点 设出弦的两端点坐标
代入 代入圆锥曲线方程
作差 两式相减，再用平方差公式把上式展开
整理 转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解
（2）．函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用
直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．
[练一练]:1．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点? ??
??12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与曲线y ＝2x －1相切，则该双曲线的离心率为________．
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
考点１：直线与圆锥曲线的位置关系
1.过点A 的直线l 与抛物线y 2＝2x 有且只有一个公共点，这样的l 的条数是( )
A ．0或1
B ．1或2
C ．0或1或2
D ．1或2或3
2．双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )
A ．k ＞－b a
B ．k ＜b a
C ．k ＞b a 或k ＜－b a
D ．－b a ＜k ＜b a
[类题通法]：研究直线与圆锥曲线位置关系的方法
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
考点２：弦长问题
[典例] 如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)，M 为直线
l ：y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为A ，B (B 点在A 点右侧)．设抛物线上一点P 到直线l 的距
离为d ，F 为焦点，当d －|PF |＝32，M 的坐标为(2，－2)时，
求抛物线方程和线段AB 的长．
[类题通法]：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
[针对训练]：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．
考点３：中点弦问题
弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点.归纳起来常见的问题有：
(1)求中点弦所在的直线方程；
(2)抛物线中中点弦的应用；
(3)利用中点弦解决对称问题.
问题一 求中点弦所在的直线方程
1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________．
问题二 抛物线中中点弦问题
2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．
问题三 利用中点弦解决对称问题
3．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对
称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．
[类题通法]：处理中点弦问题常用的求解方法
1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并
将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2
，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
题型二 最值、范围、证明问题
考点１：最值问题
圆锥曲线中的最值问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的问题有：
(1)转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；
(2)利用三角函数有界性求最值；
(3)数形结合利用几何性质求最值。
问题一 转化为函数求最值
1．(2013·浙江高考)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．
(1)求抛物线C 的方程；(2) 过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．
问题二 利用有界性求最值
2．(2013·武汉模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )
A ．2 B.2 C ．4 D ．2 2
问题三 利用几何性质求最值
3．(2013·浙江模拟)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M
满足|OM |＝1，且OM ·PM ＝0，则当|PM |取得最小值时的点P 到双曲
线C 的渐近线的距离为( )
A.95
B.125 C ．4 D ．5
[类题通法]：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
考点２：范围问题
[典例] (2014·广东名校质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点到它的两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之和为22，且它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C
交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2
＝59内，求m 的取值范围．
[类题通法]：求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，
只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．
[针对训练]：(2014·东北十校联考)设点A 1，A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A 1、A 2的点P ，使得PO ⊥P A 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．
考点３：证明问题
[典例] (2013·安徽高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
1－a 2
＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．
[类题通法]：圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．
[针对训练]：(2013·北京高考)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．
(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；
(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．
题型三 定点、定值、探索性问题
考点１：定点问题
[典例] (2013·陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，
且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．
[类题通法]：1．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．
[针对训练]：(2014·荆州模拟)如图，已知抛物
线C ：y 2＝4x ，过点A (1,2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .
若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点
的坐标．
考点２：定值问题
[典例] (2013·江西高考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝3
2，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．
[类题通法]：1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
３.解析几何中的定值、定点问题的求解或证明常运用函数的思想方法来解决。具体操作程序如下：（１）变量，选择适当的量作为变量；（２）函数，把要求解或证明为定值、定点的量表示成上述变量的函数；（３）定值、定点，把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值、定点。
[针对训练]：已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .
(1)求证：|MA |，|MC |，|MB |成等比数列；
(2)设MA ＝αAC ，MB ＝βBC ，试问α＋β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
考点３：探究存在性问题
[典例] (2013·成都模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)以抛物
线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点，与直线x ＝
－4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足OP＝OA＋OB(其中O 为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得OP·TQ为定值？若存在，求出点T的坐标及OP·TQ的值；若不存在，请说明理由．变式：本例(2)中条件变为“过椭圆E的右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点，线段OF2上是否存在点M(m,0)使得QP·MP＝PQ·MQ？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
[类题通法]：解决存在性问题应注意以下几点
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
参考答案
１.Ｃ ２.Ａ
１. 解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，
y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222
＋y 22＝1. (x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)
＝－12， 即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12? ??
??x －12， 即2x ＋4y －3＝0.答案：2x ＋4y －3＝0
２. 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a
x ，由????? y ＝±b a x ，
y ＝2x －1，得? ????b a 2x 2－2x ＋1＝0，由渐近线与曲线y ＝2x －1
相切可知Δ＝4－4? ??
??b a 2＝0，得b a ＝1，所以该双曲线为等轴双曲线，离心率为 2. 答案： 2
１. 解析：选D ①当A 在抛物线的外部时，共有三
条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与
抛物线的对称轴平行，如图)；②可以想象，当A 在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点；③当A 在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点．故选D.
２.Ｄ 例１：[解] 依题意，由d －|PF |＝32，得3p 2＝32
，解得p ＝1，故抛物线方程为x 2＝2y .
设过M 点的直线为y ＝k (x －2)－2，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立方程得??? y ＝k (x －2)－2，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2kx ＋4(k ＋1)＝0.(*)
若直线与抛物线相切，则Δ＝4k 2－16(k ＋1)＝0，k ＝2±22， 此时，方程(*)有等根x ＝k ，∴x B ＝2＋22，x A ＝2－22，
x B －x A ＝42，x B ＋x A ＝4. ∵A ，B 在抛物线上，
∴y B －y A ＝x 2B －x 2A 2＝(x B ＋x A )(x B －x A )2
＝8 2. ∴|AB |＝(x B －x A )2＋(y B －y A )2＝32＋128＝410.
训练１：解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，
又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组????? y ＝x ＋c ，
x 2＋y 2b 2＝1. 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c
1＋b 2，x 1x 2＝
1－2b 2
1＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，
即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4
(1＋b 2)2，因为0＜b ＜1.所以b ＝22. １. 解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为 y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0
２. 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，
切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )
位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p ，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同
理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝
12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p
＝12，16＋8p 22p ＝12，解得p ＝1或p ＝
2.
３. 解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则???????
x 21－y 213＝1， ①x 22－y
223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③
y 1＋y 2＝2y 0， ④ 由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2. ∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ?
????－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·? ??
??－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合． １. 解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2＝1，
所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.
由??? y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，
所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.
由????? y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1
x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理点N 的横坐标x N ＝8
4－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2
????????84－x 1－84－x 2＝82????
??x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝8 2 k 2＋1|4k －3|. 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝22
25t 2＋6
t ＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝2 2 ? ??
??5t ＋352＋1625≥85 2. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是85 2.
２. 解析：选C 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ
，|BF |＝2
1＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2 θ≥4. ３. 解析：选B 由OM ·
PM ＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，
∴所求的距离d ＝125，故选 B.
例２：[解] (1)依题意可知??? 2a ＝22，2c ＝2.又b 2＝a 2－c 2，解得
??? a ＝2，b ＝1.则椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.
(2)联立方程????? x 22＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 整理得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.
则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8(－m 2＋3)＞0，解得－3＜m ＜ 3.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m
＝－4m 3＋2m ＝2m 3，即AB 的中点为? ??
??－2m 3，m 3.又∵AB 的中点不在圆 x 2＋y 2＝59内，∴4m 29＋m 29＝5m 29≥59，解得m ≤－1或m ≥1.② 由①②得，－3＜m ≤－1或1≤m ＜ 3.
故m 的取值范围为(－3，－1]∪[1，3)
训练：解析：由题设知∠OP A 2＝90°，设P (x ，y )(x ＞0)，以OA 2
为直径的圆的方程为?
????x －a 22＋y 2＝a 24，与椭圆方程联立，得? ????1－b 2
a 2x 2－ax ＋
b 2＝0.易知，此方程有一实根a ，且由题设知，此方程在区间(0，
a )上还有一实根，由此得0＜
b 2a ? ????1－b 2a 2＜a ，化简得0＜a 2－
c 2c 2＜1，即0＜1－e 2e 2＜1，得e 2＞12，所以e 的取值范围为? ????22，1.答案：? ??
??22，1
例３. [解] (1)因为焦距为1，且焦点在x 轴上，所以2a 2
－1＝14，解得a 2
＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1. (2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝
2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝
y 0x 0＋c ， 直线F 2P 的斜率kF 2P ＝
y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c
(x －c )． 当x ＝0时，y ＝cy 0
c －x 0，即点Q 坐标为? ?????0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0
. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0
＝－1. 化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)． ①
将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．
训练：解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂
直平分．所以可设A ? ????t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3. 所以|AC |＝2 3.
(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，
且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由??? x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得
(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ? ?????－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k .
因为k ·? ??
??－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．
例４：[解] (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝
x 2＋42，又|O 1A |＝ (x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝ x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．
又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程 y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .
(2)证明：如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，
P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk
－8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1
＝－y 2x 2＋1
，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③ 将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0，
∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，∴直线l 过定点(1,0)．
训练：解：(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标
分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由??? x ＝my ＋n ，y 2＝4x .得y 2－4my －4n ＝0.
由Δ＞0，得m 2＋n ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n .∵AP ⊥AQ ，
∴AP ·AQ ＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.又x 1＝y 214，x 2＝y 224
， ∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0，∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋
2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5，∵Δ＞0恒成立． ∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)，
∴直线PQ 过定点(5，－2)．
例５：(1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13
c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.
(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为
y ＝k (x －2)?
????k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1， 解得P ? ????8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ? ????4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，
P ? ????8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k 4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1
－0＝0－1x －0，解得N ? ????4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k 2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1
＝ 4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2
＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)． 训练：解析：(1)证明：由题意知，直线l 的斜率存在，可设直线
l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立??? y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，
消去y 并化简整理
得： k 2x 2
＋(4k －4)x ＋4＝0.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ? ????－2k ，0， 则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k 2.②
∵|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝(1＋k 2)·|x 1x 2|＝
圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ，则该椭圆的离心率为 （A ）31 （B ）21（C ）32（D ）4 3 2. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的 焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲 线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是（ ） (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
第六节 圆锥曲线的应用 一、基本知识概要： 解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。 二、例题： 例1、 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨 道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32π π和，求该慧星与地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(22 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴
答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 思考讨论:椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？ 例2：A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο30，相距4Km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2） 解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则)32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(31 3+=-x y （1） 又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ，则
（北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝ 21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1 y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-±
圆锥曲线与方程单元测试（高二高三均适用） 一、选择题 1．方程x = （ ） （A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2．椭圆14222=+a y x 与双曲线122 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 2 3 4、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、过抛物线x y 42 =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、有无穷多条 D 、不存在 6、一个椭圆中心在原点，焦点12F F 、在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122|||||| PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为 （ ） A 、22186x y += B 、221166x y += C 、22184x y += D 、22 1164 x y += 7．设0＜k ＜a 2, 那么双曲线x 2a 2–k – y 2b 2 + k = 1与双曲线 x 2a 2 – y 2 b 2 = 1有 （ ） （A ）相同的虚轴 （B ）相同的实轴 （C ）相同的渐近线 （D ）相同的焦点 8．若抛物线y 2= 2p x (p ＞0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值等于 （ ） （A ）2或18 （B ）4或18 （C ）2或16 （D ）4或16 9、设12F F 、是双曲线2 214 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ?=u u u r u u u u r ，则12||||PF PF ?u u u r u u u u r 的 值等于 （ ） A 、2 B 、 C 、4 D 、8 10.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22 =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 （ ）
专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
圆锥曲线与方程 单元测试 时间：90分钟 分数：120分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．椭圆12 2 =+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ． 41 B ．2 1 C ．2 D ．4 2．过抛物线x y 42 =的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线62 2 =-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．315(- ，)315 B ．0(，)315 C ．315(-，)0 D ．3 15 (-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42 =上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ） A ．（2，5） B ．（-2，5） C ．（5，-2） D ．（5，2） （文）过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若 p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6p D ．8p 5.已知两点)4 5,4(),45 ,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②32 2=+y x ;③ 122 2=+y x ;④12 22=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④ 6．已知双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图 象上，若△21F AF 的面积为1，且2 1 tan 21= ∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322 =-y x D ．112 5322=-y x 7．圆心在抛物线)0(22 >=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ） A ．04 1 22 2 =- --+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．04 122 2=+--+y x y x
第三讲圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0 时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点 弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 3．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有
圆锥曲线在生活中的应用 班级：高2012级43班 姓名：叶容杉 指导老师：何志开
圆锥曲线在生活中的应用 高2012级43班 叶容杉 指导老师：何志开 摘要：在初等数学中，圆锥曲线主要指：椭圆、双曲线、抛物线，它是平面解析几何的核心内容，又是高中数学的重点和难点，因而成为高考中必不可少的考查内容。本文总结了三类圆锥曲线的基本概念，并将它在日常生活中的应用进行了简要说明。 关键词：圆锥曲线；基本概念；生活应用 正文： 一、基本概念 圆锥曲线是用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到的不同的截口的曲线，分别是： ①椭圆： 定义1：平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数|)|2(221F F a a >的动点P 的轨迹叫做椭圆。即a PF PF 2||||21=+ 定义2：动点M 到定点)0,(c F 的距离和它到直线l ：c a x 2=的距离的比是常数a c ，)0(>>c a 时，M 点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值)10(< 等于常数2a |)|2(21F F a <的点的轨迹叫做双曲线，即a PF PF 2||||21=- 定义2：动点M 到定点)0,(c F 的距离和它到直线l ：c a x 2=的距离的比是常数a c ，)0(>>a c 时，M 点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值)1(>e e 的点的轨迹叫椭圆。我们把定值a c e =)1(>e ，叫做椭圆的离心率。 ③抛物线： 定义1：平面内与一个定点和一条直线（定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。 定义2：与椭圆、双曲线第2定义相似，仅比值e 不同，当1=e 时为抛物线。 二、在生活中的应用 随着新课程理念的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经进入了我们的教材，并且越来越受到重视．利用椭圆、双曲线、抛物线可以有效地解决数学、物理及生活实际中的许多问题．下面举例说明圆锥曲线在实际生活中的应用 1、生活中的椭圆：油罐车的横截面。 圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的表面积最小也就是容器所用的材料最少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均，而在高度和宽度（即车的允许高度和车的宽度）都有限制的情况下，其横截面作成椭圆形就可以达到既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间”和保证了罐体的稳定性。 2、双曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔 圆锥曲线 1．设椭圆22 2:12 x y M a + =(a >的右焦点为1F ，直线2 :2 2-= a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程； （2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:2 2=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点）， 求PF PE ?的最大值． 2 ． 已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>> 的一个焦点为() 1F , 而且过点12H ???. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值. 3、已知圆O:22 2=+y x 交x 轴于A,B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2 2的椭圆,其左焦点为F,若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交直线x=-2于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切； (Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合), 直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 4设)0(1),(),,(22 222211>>=+b a b x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，满足0),(),(2211=?a y b x a y b x ，椭圆的离心率 ,2 3 = e 短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 圆锥曲线综合测试题 班别 座号 成绩 一、选择题（每小题5分，共60分。） 1.双曲线1322 2=-y x 的离心率为 （ ） A ．13 2 B ．13 3 C ．102 D ．103 2.在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 3. 已知1F 、2F 为双曲线C:14x 2 2=-y 的左、右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060, 则P 到x 轴的距离为（ ）A ．55 B ．155 C ．2155 D ．15 20 4. 已知动点(,)M x y 的坐标满足方程2222 558()()x y x y ++--+=，则M 的轨迹 方程是（ ） A.221169x y += B.221169x y -= C. 2210169()x y x -=> D. 22 10169()y x y -=> 5.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆 222x y += Ｂ．必在圆 22 2x y +=上 Ｃ．必在圆 22 2x y +=外 Ｄ．以上三种情形都有可能 6. 设双曲线)0,0(122 2 2>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方 程为（ ）A x y 2±= B x y 2±= C x y 22± = D x y 21 ±= 7.已知等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则下列关于1e 、2e 的关系式不正确的是( ) 圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题： 这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的 动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动 点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． ◆解：由条件知(20)F ， ，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B 的坐标分别为(2 ，(2， ，此时则有 (12)(11CA CB =?=-，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有 2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以212241k x x k +=-，2122421 k x x k +=-，于是 212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2) CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2 2 2 1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222 22 (1)(42)4(21)4111 k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB 为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由 CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-??=+?，即1212 2x x x y y y +=+??+=?，于是AB 的中点坐标为222x y +?? ???，． 第三讲圆锥曲线的综合问题 考点整合 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与椭圆的位置关系的判定法： 将直线程与椭圆程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次程?若少0,则直线与椭圆相交；若A= 0,则直线与椭圆相切；若A<0,则直线与椭圆相离. (2) 直线与双曲线的位置关系的判定法： 将直线程与双曲线程联立，消去y或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①若a工0，当A>0时，直线与双曲线相交；当A= 0时，直线与双曲线相切；当A<0 时，直线与双曲线相离. ②若a= 0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3) 直线与抛物线的位置关系的判定法： 将直线程与抛物线程联立，消去y(或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①当a z 0时，用△判定，法同上. ②当a= 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点. 2. 有关弦的问题 (1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算. ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P i(x i,y i), P2(x2, y2)，则所得弦长|P i P2|=』1 + k2 |x2- X1或|P1P2= - , 1 +胡2—y1|,其中求|x2- X1|与|y2- y11时通常使用根与系数的关系, 即作如下变形： |x2 —X1 = \/ X1 + X2 2—4X1x2 , ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式). (2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算. 3. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 第二章测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 解析 由条件可知p 2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x . 答案 B 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 2 4＝1 B.x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 2＝1 D.x 24＋y 2 3＝1 解析 依题意知c ＝1，e ＝c a ＝1 2，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3＝1. 答案 D 3．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m >12 B ．m ≥1 C ．m >1 D ．m >2 解析 由e 2 ＝? ?? ??c a 2＝1＋m 1＝1＋m >2，m >1. 答案 C 4．椭圆x 225＋y 2 9＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( ) A ．(5,0)或(－5,0) B ．(52，332)或(52，－332) C ．(0,3)或(0，－3) D ．(532，32)或(－532，32) 解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2 )2 ＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2 108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 2 36＝1 D.x 227－y 2 9＝1 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题． 圆锥曲线的综合 【复习目标】 1、在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上，把握有关圆锥曲线的知识的内在联系，灵活运用解析几何的常用方法解决问题，培养运用各种知识解决问题的能力； 2、通过问题的解决，理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想。 【教学重点、难点】 1.灵活运用圆锥曲线的几何性质解决问题； 2.理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想，通过问题解决的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，同时培养运算能力。 【教学过程】 一、圆锥曲线的几何性质在高考中的地位 圆锥曲线的几何性质是在每年的高考中必考的一个知识点，这一类问题的考查大多数出现在填空题中，属于中低档题，有时也会出现在解答题的第一、第二问中，分值大约在4至8分。 【相关知识链接】 1.椭圆、双曲线第一、第二定义各是什么？ 2.圆锥曲线的标准方程形式反应了其怎样的特点？ 3.椭圆、双曲线中c b a ,,存在什么样的等量关系? 4.性质中的不等关系： 对于圆锥曲线标准方程中变量y x ,的范围、离心率的范围等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值，最小值时，经常用到这些不等关系。 5.求椭圆、双曲线的离心率问题的一般思路： 求椭圆、双曲线的离心率时，一般是依据题设得出一个关于c b a ,,的等式（或不等式），利用c b a ,,之间的等量关系消去b ，即可求得离心率（或离心率的范围）。 题型一 活用圆锥曲线的几何性质 1.若椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（, 以点2F 为圆心，半径为c 画圆，圆2F 交椭圆于点M ，直线1MF 与圆2F 相切，则该椭圆离心率为 圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 一、 圆锥曲线的光学性质 1．1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另 一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。 证明：由导数可得切线l 的斜率0 20 20x x b x k y a y =-' ==， 而1PF 的斜率010 y k x c =+，2PF 的斜率020y k x c =- ∴l 到1PF 所成的角α'满足()()200 2 2222 2000001222 2 001000 2 00 tan 11y b x x c a y a y b x b cx k k b x y kk a b x y a cy x c a y α++++-'===+-+-+， ()00,P x y 在椭圆上，∴20tan b cy α'=，同理，2PF 到l 所成的角β'满足2 220 tan 1k k b kk cy β-'==+， ∴tan tan αβ''=，而,0, 2παβ?? ''∈ ?? ? ，∴αβ''= 1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)． 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． 图1.3 图1.2 图1.1圆锥曲线大题综合测试含详细答案(供参考)
圆锥曲线综合测试题
圆锥曲线的综合应用及其求解策略
圆锥曲线的综合问题-教案
选修1-1圆锥曲线测试卷(含答案)
圆锥曲线的综合应用
圆锥曲线的光学性质
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