拉格朗日方程的应用及举例
拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。
纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。
应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。
一、动能的计算
对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。
例1-1 已知质量为m ，半径为r 的均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度1
绕通过O
点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。
解：取广义坐标x 和，x 为圆盘与曲杆接触点到曲杆A 点的距离，为曲杆OAB 的转
角， =
1
t 。
应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C 的速度和相对于质心平动坐标系的角速度。若以曲杆OAB 为动参考系，C 为动点，
2
1221e r ,,ωυωυυx x x x
C +=== 再应用刚体绕二平行轴转动的合成方法，圆盘的角速度为
r
x
-
=1ωω 于是圆盘的动能为
2
12212241)(21??? ?
?
-++=r x mr x x m T ωω 若将动能表达式展开，得到
2
12221124
1212143ωωωmr x m x mr x m T ++-=
可以看出，圆盘的动能包含广义速度x
的二次项，广义速度x 的一次项和它的零次项。
二、广义力的计算
概括地说，广义力有三种计算方法： 1）根据广义力的定义，有
N j q z F q y F q x F Q i i iz i i iy j i iz N
i j ,,2,11
=???
? ????+??+??=
∑
=
我们可以按照这个公式来计算，但是，有时计算是繁冗的。
2）我们知道，作用在系统上的诸主动力对于任何虚位移元功之和等于诸广义力对于相应的广义坐标的虚位移元功之和，即
j
j
n
i i i
N
i q
Q δδ1
1
∑∑===
?r F
对于完整系统，广义坐标的变分
q 1，q 2，…，q n 是彼此独立的。若给出某一广义坐标
的变分为q j ，而令其它坐标变分均为零，即 q j ≠0，q 1 = q 2 = … = q j －1 = q j ＋1 = … = q n = 0
则上式为
j j i i
N
i q Q δδ1
?=?∑=r F
于是
n j q Q j
i
i
N
i j ,,2,1,δδ1
=?=
∑=r
F
由于系统的主动力在给定的虚位移中元功之和
i i
N
i r F
δ1
?∑=的计算是我们熟悉的，则广义力Q j
可较易地计算出。依次给出不同序数的坐标变分的同时，令其它坐标变分为零，则可依次计算出与广义坐标对应的广义力。这种方法是我们经常应用的。
3）若作用于系统上的主动力有势，则通过势能函数即可求出广义力。设势能函数为V ，则可应用式
j
j q V
Q ??-
= 进行广义力的计算。
例1-3 均质杆OA 和AB 在A 点铰链连接，并在O 点用铰链支承。杆重分别为P 1和P 2，F 1为作用于B 点的水平力，试求对应于和
的广义力。
解：系统具有两个自由度。依题意，取和
为广义坐
标，对应于和
的广义力以Q 和Q 表示。于是，
ψ
ψ??ψ
?ψψ??ψ??
??δsin 2δcos 2δsin 2sin 2δsin δsin 2δcos cos 2δsin δcos b a x b a x b a y b a y a y a y B B D D C C +=+=--=+=-== 当获得变分，而保持不变，即
= 0时，
????
?????sin 2sin cos 2δδδ)sin 2sin cos 2()
δδδ(δδ2111
211
1P a P a F C A Q a P a P a F z Z y Y x
X A i i i i i i
i
N
i --==
--=++=
?∑=∑=r F
当获得变分，而 = 0时，
ψψψ
ψψψψψsin cos 2δδδsin δcos 2δδ212
212b P b F A Q b P b F A -==
-=?∑=r
F 三、拉格朗日方程的应用
应用拉格朗日方程建立系统的动力学方程时，一般采用以下步骤：
1）分析系统的约束条件，判断系统的类型是否为完整系统，是定常还是非定常的，是保守的还是非保守的。
2）若系统为完整的，在确定其自由度数目后，选择恰当的广义坐标。
3）计算出以广义速度表达的动能T (q ，q ，t )、势能V (q ，t ) 或广义力Q (q ，t )，若主动力有势，计算出拉格朗日函数L (q ，q
，t )。 4）列出拉格朗日方程。
例1-4 半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为r 的固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环的运动微分方程，并求微幅摆动的周期。
解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取为广义坐标，圆环
的动能为
222
1
21ωO O J mv T +=
其中O
O r R
v θ )(-=，瞬心为A ，则 θω
R
r R R v O -==
于是
2222
2
222)()(21)(21θθθ r R m R r R mR r R m T -=-+-=
主动力有势，系统的势能为
V =－mg (R －r ) cos
θθ
θ
θθθθsin )(0)(2d d )(222r R mg V
T r R m T t r R m T
-=??=??-=??? ????-=?? 代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程： 0sin )()(22=-+-θθ
r R mg r R m 即
0sin )(2=+-θθ
g r R 考虑到微幅，有
0)
(2=-+θθ
θ
R g
周期为 g
r R )
2(π
2-=τ 由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数：
θθ
cos )()(22r R mg r R m V T L ---=-= 代入式（1-25）中同样可以得到系统的动力学方程。
2. 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；求此摆的运动微分方程。
解 这是单自由度保守系统，选
为广义坐标，选
= 0为系
统的零势能位置，则
]
cos )()sin [()(2
122θθθθθR l R l mg V R l m T +-+=+=
将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程
θ
θθ??=??-
??? ????V
T T t d d
或将拉格朗日函数L =
T V 代入如下形式的拉格朗日方程
0d d =??-
??
? ????θθL
L t 皆可得运动微分方程
0sin )(2=+++θθθ
θg R R l 3. 已知三均质齿轮，半径皆为r ，质量都是m ，此机构位于水平面内，若无重系杆受矩为M 的力偶作用；求系杆的角加速度
。
解 这是单自由度非保守系统，选系杆的转角为广义坐标，则
有关的角速度和速度为
,24,2,3232==?=?==ωωωωω?
ωr v r v O O
该系统的广义力为
Q = M
动能为
222322222112
1212121ωωmr mv mr mv T O O =+?+=
代入拉格朗日方程 ???Q T
T t =??-???
? ???? d d 得
2
22mr M
==ω
α
例1-9 试求例1-1中圆盘的运动微分方程。又，若t = 0时，x = 10cm ，x = 0，求当x =20cm 时，x
为多少 例1-1 已知质量为m ，半径为r 的均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度1
绕通过O
点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。
解：由例1-1已求得动能T 为
2
12212241)(21??
? ?
?
-++=r x
mr x x m T ωω 水平台为零势面，则圆盘的势能为
V = 0
系统的拉格朗日函数L 为
x m x
L
x m x m x m x L t r x mr x m x L r x mr x x m T L 2112
122122,2321d d 2141)(21ωωωω=??=+=??? ??????
? ??--=????? ?
?
-++==
代入拉格朗日方程，有
02
321=-x x ω 由于系统是非定常的，虽然作用于圆盘上的主动力有势，但并不存在能量积分，由于拉格朗日函数L 不显含时间t ，系统有广义能量积分。由动能表达式得到
2
1
2221011224
121,2
1
,43ωωωmr x m T x mr T x m T +=
==
圆盘的广义能量积分为 T 2－T 0 + V ＝常数.
于是得到
h mr x m x m =--21222124
1
2143ωω 整理后，有
122122
1
43h x m x m =-ω 当t = 0时，x 0 = 10cm ，0x
= 0，则 21150ωm h -=
于是有
212
212502
143ωω-=-x x 当x = 20cm 时，212200ω=x
11.14ω=x
cm/s 例9 质量为m ，半径为r 的圆环O 竖立在一粗糙平面上。圆环的边缘上刚连一质量为m 的质点A 。试写出系统的运动微分方程。
解：由圆环O 和质点A 组成的系统只能在地面上作纯滚动，自由度为1，取OA 与铅垂线的夹角?为广义坐标，以系统为研究对象， O 点处水平面为零势能面，则系统的动能和势能分别为
[]
222222222
22)cos 2(cos )(2)()(2
1
)(2121212121?
???????? -=-+++=++=
mr r r r m r m mr mv mv J T A
O O ?cos mgr V -=
于是有
???sin mgr V Q -=??-=
代入拉格朗日方程，导出
0sin )()cos 2(22=++-???
?r g
例1-7 三角楔块A 可沿水平光滑面作直线运动，楔块A 的质量为m 1，其上受有简谐力F ＝
H sin t 的作用（H 和均为常量）。楔块斜边BD
上有一质量为m 2、半径为r 的圆柱体，沿BD 滚动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为k 1和k 2。试建立系统的运动微分方程。
解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移x 和圆柱体相对于楔块的位移为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。
楔块A 作平动，x
v A =，圆柱体作平面运动，质心速度v C 为
αξξcos 222 x x
v C ++= 角速度为
r
ξω
=
系统的动能T 为
α
ξξξαξξcos 4
3)(2141)cos 2(212122222122222221 x m m x m m r r m x x m x m T +++=
???? ??++++=
系统的势能V 为
220221012)(2
1
)(21sin δξδαξ++++-=k x k g m V
在平衡位置有关系式
0sin ,
0)(2022101=+-=+δαδk g m x k
于是势能V 为
)(2
1212202221δξ++=
k x k V 非有势力F 相应的广义力分别为
x k x
V
m x m m x
T t x T
m x m m x
T Q t H x x
t
H Q x 1221221,cos )(d d 0,cos )(0
sin δδsin =??++=??? ????=???++=??===
αξξαωωξ
又，
ξξ
αξξξ
αξξ22222,cos 23d d 0,cos 23k V
x m m T t T
x m m T =??+=???
? ????=??+=??
代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程：
02
3cos sin cos )(2221
221=++=+++ξξαωαξk m x m t H x k m x m m
《物质结构》第一章习题(上) 1. 首先提出能量量子化假定的科学家是 ( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schrodinger (D) Planck 2. 光波粒二象性的关系式为______________________。 3. 德布罗意关系式为________；宏观物体的λ值比微观物体___。 4. 在电子衍射实验中，2 ψ对一个电子来说，代表____________。 5. 求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。 6. 波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电 子的速率。已知铯的临阈波长为600 nm 。 7. 光电池阴极钾表面的逸出功是2.26 eV 。当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？ (1 eV=1.602×10-19J ， 电子质量m e =9.109×10-31 kg) 8. 计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。 9. 一个自由实物粒子的波长为λ，求其能量，须用哪个公式 ( ) (A) λ c h E = (B) 2 2 222λm h m p E = = (C) A,B 都可以 10. 对一个运动速率c <<υ的自由粒子，有人作了如下推导 ： υυ υ ν λ υm E h h p m 2 1 = = = = = ① ② ③ ④ ⑤ 结果得出2/11=的结论。问错在何处？ 说明理由。 11. 测不准关系是_______，它说明了_____________________。 12. “根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而 只能求其平均值”。对否？ 13. 写出一个合格的波函数所应具有的条件。 14. “波函数绝对值的平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否. 15. 一组正交、归一的波函数 ，321,,ψψψ，正交性的数学表达式为 _____，归一性的表达式为_____。 16. 2 222111);,,,,,(t z y x z y x ψ代表______________________。 17. 任何波函数);,,(t z y x ψ都能变量分离成),,(z y x ψ与)(t f 的乘积，对否？ 18. 下列哪些算符是线性算符 ( ) (A)dx d / (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积 分 19. 下列算符哪些可以对易( ) (A) x ?和y ? (B)x ??/和y ??/ (C)x p ?和x ? (D)x p ? 和y ? 20. 下列函数中 (A)kx cos (B)kx e - (C) ikx e - (D) 2 kx e - ① 哪些是dx d /的本征函数 ( ) ② 哪些是的22/dx d 本征函数 ( ) ③ 哪些是dx d /和22/dx d 的共同本征函数 ( ) 21. 在什么条件下， 22??)??)(??(B A B A B A -=-+ 成立？ 【1-21答案】 1. (D) 2.νh E =，λ h p = 3. υ λm h p h ==，小 4. 电子几率密度 5. 1-24s m k g 1062 6.6???== -λ h p ，J 10410.22172 -?== m p T 6. ???? ??-=-=0011 λλννhc h h T 22 1 υm = 150s m 1003.6112 -??=???? ??-=∴λλυm hc 7. J 1006.22119002-?=-= -=W hc W h m λ νυ，15m 1073.6-??=s υ 8. m 10226.110226.12119 --?=?== =V mT h p h λ 9. (B) 10. ①②两步都是对的。 υ是自由粒子的运动速率, 它不等于物质波的传播速率u , ③中用了λ= υ/ν, 这就错了，因为λ= u /ν。 ④中E =h ν是粒子的相对论能量, 而⑤中E =m υ2/2仅为v < 关于薛定谔方程 一．定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提 出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定， 其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合 建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都 有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式 以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基 本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二．表达式 三．定态方程 ()() 2 2 2 V r E r m η ψψ + ?? -?= ?? ?? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E是粒子本身的能量；v(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。 2 2 22222 z y x ??????++=? 可化为 d 0)(222 =-+ψψv E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ). ()()((3) ) ,(),()( ,,(2) )(),( 311212 2111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==?????=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα βα 拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。 一、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1 已知质量为m，半径为r的均质圆盘D， 沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过 O点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x和?，x为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A点的距离，?为曲杆OAB的转角，? = ω1t。 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C的速度和相对于质心平动坐标- - 优质资料 一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院 势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U () U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱 建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+= 利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???， 实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法 一．实验目的 1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。 二．实验内容 1．问题描述 以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-， 其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。 用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2．问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>> 11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3．程序编写 子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章 徐士良，P97 4．实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5．实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6．实验结果 程序设计： 第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分 dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1 q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为： 1 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心 C 的速度和相对于质心平动坐标 拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（ 1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最 少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的 n 个方程，是一个包含 n 个二阶常微 分方程组，方程组的阶数为 2n 。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。 （2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取 而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（ 3 ）所有的理想约束的约束反力均 不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（ 4）拉格 朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用 的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（ 5）拉格朗日方程不但可以建立 相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对 运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐 标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描 述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论 上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和 规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们 将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过 于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时， 应首先建立以广义坐标 q 和广义速度q 表示的动 能函数和广义力 Q 。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉 格朗日方程的应用。 、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度 q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用 理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1 已知质量为m ,半径为r 的均质圆盘D ， 沿OAB 直角曲杆的 AB 段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度-'1绕通过 O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x 和;:，x 为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A 点的距离，：为曲杆OAB 的转角，：=rt 。 B 1 拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n 个方程，是一个包含n 个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n 。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q 和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q 。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。 一、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1 已知质量为m ，半径为r 的均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x 和?，x 为圆盘与曲杆接触点到曲杆A 点的距离，?为曲杆OAB 的转角，? = ω1t 。 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C 的速度和相对于质心平动坐标 一、选择题（只有一个正确答案，每小题1.5分，1.5×20＝30分） 1.已知),()()()()(φθφθψY r R r R ?=ΦΘ=,其中各函数均已归一化，则下列式中成立的是( ) A ??=dr r d 2224ψπτψ B ??=dr R r d 2224πτψ C ????∞=00202222sin ππφθθτψd d Y dr r R d D ????∞=00202222ππφθτψd d Y dr r R d 2.用来表示核外某电子运动状态的下列各组量子数 ( n ，l ，m ，m s )中，合理的是 ( ) A ( 2，1， 0， 0 ) B( 0，0， 0， 1/2 ) C ( 3， 1， 2， 1/2 ) D ( 2， 1， -1， -1/2 ) 3.电子自旋存在的实验依据是( ) A 斯特恩-盖拉赫实验 B 光电效应 C 电子衍射 D 红外光谱 4.氢原子处在310ψ的电子波函数，其轨道角动量与z 轴的夹角为 ( ) A 0°B 30° C 45° D 90° 5.4s 的径向分布函数的极大值与节面数为( ) A 3,2 B 2,1 C 4,2 D 3,1 6.下列分子可能具有单电子π键的是( ) A N 2+ B C 2- C B 2+ D O 2- 7.不属于σ型分子轨道的特点是 ( ) A 由相同的原子轨道组成的σ型成键分子轨道能量低于成反分子轨道能量 B 其分布关于键轴呈圆柱型对称 C 无节面 D 可由s 型原子轨道组成 8.下列分子键角的大小顺序是( ) A CH 4 ＞ NH 3 ＞ H 2O B CH 4 ＜ NH 3 ＜ H 2O C NH 3 ＞CH 4＞ H 2O D NH 3 ＞H 2O ＞CH 4 9.正方形场中d 轨道分裂能级最高的是( ) A dx 2-y 2 B dz 2 C dxy,dyz D dxz,dyz 10.已知丁二烯的四个分子轨道为： ψ 1 = A Ф1 +B Ф2 + B Ф3 + A Ф4 ψ 2 = B Ф1 +A Ф2 - A Ф3 + B Ф4 ψ 3 = B Ф1 -A Ф2 - A Ф3 + B Ф4 ψ 4 = A Ф1 -B Ф2 + B Ф3 - A Ф4 则其基态的п 键键级p 12 , p 23分别为多少( ) A 2A B ，B 2+A 2 B 4AB ，B 2+A 2 C 4AB ，2（B 2+A 2） D 4AB ，2（B 2-A 2） 11.下列氯化物中，氯最活波的是( ) A C 6H 5Cl B CH 2=CHCl C (C 6H 5)3CCl D (C 6H 5)2CHCl 12.下列各组分子中，哪些有极性但无旋光性 ( ) (1)I 3- (2)O 3 (3)CS 2 A 1，2，3 B 1，3 C 2，3 D 2 13.配合物(a) [CoF 6]3– , (b) [Co (NH 3)6]3+, (c) [Co(CN)6]3 –的d-d 跃迁的频率大小顺序为 ( ) A a ＞b ＞c B a ＜b ＜c C a ＞b ＜c D a ＜b ＞c 14.Cr 可与 CO 形成羰基化合物(CO)n ，其n 为 ( ) A 6 B 3 C 4 D 5 15.d 5 电子组态在八面体强场中的CFSE 是( ) A 0Dq B 20 Dq-2P C 20 Dq+2P D 12 Dq 16.当配位场提供低能的п占有轨道形成分子轨道时( ) A 配合物畸变 B 分裂能增大 C 分裂能减小 D 分裂能无变化 17. X-射线的产生是由于 ( ) A 原子内层电子能级间的跃迁 B 原子的价电子能级间的跃迁 C 分子轨道能级间的跃迁 D 分子转动能级间的跃迁 18. 与b 轴垂直的晶面的晶面指标可能是 ( ) A (011) B (010) C(100) D (001) 19. 对于立方面心，下列衍射指标的衍射不会出现的是( ) A (111) B (210 ) C (200) D (220) 20. 已知某金属晶体的结构属A 3型堆积，其原子半径为r ，则它的边长a,b,c 等于( ) A a=b=c=2r B a=b=2r; c=3/62r C a=b=2r; c=3/64r D a=2r; b= c=3/6r 二、填空题（每空1分，1×20 =20分） 1. Li 2+ 的薛定谔方程为 ；其在原子单位制下的薛定谔方程为 。 2. 电子处于p 态时它的角动量的大小为 ；角动量在磁场方向的分量为 。 3. LCAO-MO 的成键三原则是________，________，________。 4. 氯代乙烯中(CH 2CHCl)含有______离域∏键。 宝鸡文理学院试题 课程名称 适 用 时 间 试卷类别 适用专业、年级、班 薛定谔方程应用举例II---原子系统 氢原子的定态薛定谔方程 ??? ? §16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 （一）一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程． 将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程： ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i （16.3.1） ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程． 请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式?． 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明． （二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4） 将此式代入（16.3.3）式得： 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得： 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版. （16.4.4） （16.4.5） (图16.4a )球极坐标 薛定谔方程对氢原子的应用 （一）氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与前一节有两点不同： （1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t ）应换成ψ（x,y,z,t ） 或ψ（r ,t ）,而2 2 x ?? 应换成=??+??+??2 2 22 22 z y x ▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符． ???? ??<<的薛定谔方程 三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? （16.4.1） （2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能E p 表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下 ?? ，见〔附录16D 〕． ??? ???<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 2 2E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? （16.4.2） *（二）氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r ,t ）分离为空间部分u （r ）和时间部分f （t ），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E 〕． ψ（r ,t ）=u （r ）f （t ）， f （t ）=C /iEt e - （16.4.3） ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 2 2 πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕核转动．其电势能可表成E p =－e 2/4πε0r ．此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a ）,O 表氢核，e 表电子，r 为e 至O 的距离．θ为r 与z 轴的夹角，θ称天顶角或极角．?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角．故有 x=rsin θcos ?； y=rsin θsin ?； z=rcos θ （16.4.6） 拉氏算符 2 2 22222 z y x ??+??+??=? 改用球坐标（r,θ,?）表示如下：?? ()() 2 2 222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程． ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19，34—35页，1978年版. ? 程守洙、江之永编，王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页，1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页，1978年版. 关于薛定谔方程 一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理 学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。 2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )() ,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法 的值及确定常数ββα βα （16.4.4） （16.4.5） (图16.4a )球极坐标 薛定谔方程对氢原子的应用 （一）氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及 其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与 前一节有两点不同： （1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定 谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t ）应换成ψ（x,y,z,t ） 或ψ（r ,t ）,而22x ??应换成=??+??+??222222z y x ▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符． ??????<<的薛定谔方程三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? （16.4.1） （2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能E p 表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下??，见〔附录16D 〕． ??????<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 22E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? （16.4.2） *（二）氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r ,t ）分离为空间部分u （r ）和时间部分f （t ），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E 〕． ψ（r ,t ）=u （r ）f （t ）， f （t ）=C /iEt e - （16.4.3） ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 22πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕核转动．其电势能可表成E p =－e 2/4πε0r ．此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a ）,O 表氢核，e 表电子，r 为e 至O 的距离．θ为r 与z 轴的夹角，θ称天顶角或极角．?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角．故有 x=rsin θcos ?； y=rsin θsin ?； z=rcos θ （16.4.6） 拉氏算符 2222222z y x ??+??+??=?改用球坐标（r,θ,?）表示如下：?? ()() 22222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程． ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19，34—35页，1978年版. ? 程守洙、江之永编，王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页，1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页，1978年版. ? 周世勋编《量子力学》59—72页，1961年版. 第２７卷第ｌ期２０００年１月 华北电力大学学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈＣｈｉｎａＥＩｅｃｔｒｉｃＰｏ聊ｒＵⅡｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｍ２７Ｎ０１ Ｊａｎ２０００ 文章编号：１００７—２６９１（２０Ｄ０）０ｌ，００８３—０４ 拉格朗日方程在点的运动分析中的应用 王养丽１，王璋奇２，马岗３ （１．西安武警工程学院，陕西西安７１００８６；２．华北电力大学机械工程系，河北保定 ０７１００３；３．保定供电局，河北保定０７】０００） 摘要：利用拉格朗日方程，推证了质点复合运动的加速度合成定理和球坐标系下质点运动加速度的计算公 式。研究结果表明了力学理论中的动力学和运动学之间的统～性。 关键词：质点动力学；质点运动学：加遗度合成 中图分类号：Ｏ３１６文献标识码：Ａ 拉格朗日（Ｌａｇｒ∞ｇｅ）方程是解决具有理想的完整约束的质点系统动力学问题的基本方程，通常用来研究复杂的非自由质点系统动力学问题。如用拉格朗日方程建立复杂系统的运动微分方程等。 本文将Ｌａｇｒａｎｇｅ方程应用到质点运动学中，研究质点运动学的基本问题，推证质点运动分析中的有关计算公式和定理。若质点系的动能用壤示，则系统的Ｌａｇｒａｎｇｅ方程可表示为 爿矧一器屯ｍ式中，ｘ表示广义坐标，聩示与广义坐标对应的广义力。动力学理论中的牛顿第二定律描述了质点受力和运动加速度之间的关系，由此得到质点运动加速度的计算公式 ａ＝鲁（２）式中，口表示质点运动的加速度，ｍ表示质点的质量，，为作用在质点上的合力。利用动力学理论研究运动学问题的基本过程是：首先写出质点系统动能的表达式，再由动力学的Ｌａｇｒａｎｇｅ方程式（１）计算与广义坐标相对应的广义力，最后由式（２）计算质点运动的加速度，得到运动学中点运动加速度的计算公式。 本文按照这一思路，推证点的运动学中点复合运动的加速度合成定理和球坐标系中质点运动加速度的计算公式，证明过程具有规范、清晰、物理含义明确，并且易于理解等特点。 １质点复合运动加速度合成定理的推证 质点复合运动是点的运动分析的主要内容，速度合成定理和加速度合成定理是它的核心内容。在现有的教课书中”ｌ，对这两个定理的证明均采用运动分析的几何方法。应用几何方法证明速度合成定理时，证明过程直观、易理解，但对加速度合成定理的证明，尤其是当牵连运动为转动时的加速度合成定 收稿日期：１９９９－０８．３０． 作者简介：王养耐（１９６８一），女，西安武警工程学院物理教研室讲师 万方数据 一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。 可化为 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二．边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 有限元方法 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。 有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。 求解非线性薛定谔方程的一类数值解法 张艳敏,刘明鼎 (青岛理工大学琴岛学院,山东青岛266106) 摘要:利用非标准有限差分方法构造了求解非线性薛定谔方程的两个非标准有限差分格式。对于离散后的差分格式,把关于时间和空间的步长函数作为分母逼近导数项。对于非线性项,通过非局部的离散方法计算了这两个非标准有限差分格式的局部截断误差。数值实验结果验证了非标准有限差分格式的有效性。关键词:非线性薛定谔方程;局部截断误差;数值解法中图分类号:O241.82 文献标识码:A 文章编号:2095-7726(2019)03-0008-03 薛定谔方程是物理学中量子力学的一个重要方程,可以用于研究深水波浪理论。柱(球)非线性薛定谔方程常用于描述单色波的一维自调适、光学的自陷现象、固体中的热脉冲传播和等离子体中的Langnui 波[1–5],因此对于此类方程的研究具有非常重要的意义。 薛定谔方程有线性和非线性两种,在本文中,我们研究的是非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程解的解析表达式是很难得到的,因此求解此类方程最常用的就是数值解法。求非线性薛定谔方程数值解的方法主要有差分方法、配置谱方法[6]、有限元方法[7]和平均离散梯度方法[8]等。在本文中,我们利用非标准有限差分方法研究了非线性薛定谔方程的数值解,这种方法已在求解偏微分方程中得到了广泛的应用[9],其优点是对非线性项作非局部离散,对导数项作离散后用步长函数作分母,这样不仅能保持差分方程的数值解与原方程的解析解具有相同的正性,而且能保持较好的数值稳定性。 1非标准有限差分格式的构造 现在我们利用文献[10-12]给出的方法构造非线 性薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,要考虑的非线性薛定谔方程为 (1)相应的初边值条件为 其中:为虚数单位;、、和均为连续函数;和均为正数。 为了得到非线性薛定谔方程的差分格式,需要对式 (1)进行离散。首先,需要利用网格对区域进行分割,取空间步长时间步长其 次,在网格点处,定义数值解其中,且下面将分别构造式(1)的两种非标准有限差分格式。 1.1第一种非标准有限差分格式的构造 为了构造式(1)的第一种非标准有限差分格式,我们利用R.E.Mickens 提出的构造非标准有限差分格式的原理[10]和文献[13-14]中提到的方法,并利用给定的记号,对式(1)进行离散。离散后的差分方程为 其中,和为分母函数,且,且分母是通过步长函数逼近得到的。 从式(4)可以看出,和分别取代了和分母函数的选择依据了薛定谔方程解的性质[4]。 记对式(4)进行整理,可得第36卷第3期Vol.36No.3 新乡学院学报 Journal of Xinxiang University 2019年3月Mar.2019 收稿日期:2018-12-21 基金项目:山东省高校科技计划项目(J17KB053);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A)作者简介:张艳敏(1981—),女,山东东营人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。通信作者:刘明鼎(1982—),男,辽宁大连人,副教授,硕士,研究方向:偏微分方程数值分析。 222 (,)(,) (,)(,)(,),i u x t u x t u x t u x t g x t t x ??=++??(,0)(), u x f x =(2) 01(0,)(), (,)()u t p t u L t p t =ìí =?。 (3)0,0;x H t T <￡<￡i (,)g x t ()f x 0()p x 1()p x H T [0,][0,]H T ′,h H M =Δt T N =。(,)m n x t (,),n m m n u u x t =(0,1,2,,),m x mh m M ==L Δ(0,1,2,,),n t n t n N ==L ,M N ++??Z Z 。111212 2(),i n n n n n m m m m m n n n m m m u u u u u u u g D D ++---+=++(4) 1D 2D 12exp(Δ)1,D t D =-=24sin ()2 h 1D 2D Δt 2,h 11122 ,,D R D R D ==最新薛定谔方程及其解法
拉格朗日方程的应用及举例08讲
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法
第二章 用拉格朗日方程建立系统数学模型
拉格朗日方程的应用及举例08讲
(完整word版)拉格朗日方程的应用及举例08讲
物质结构试题
固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II
? 氢原子 ? 电子自旋 ? 多电子原子
1
?原子由一个原子核和核外电子构成，属于多粒子体系。多粒 子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量 之和。
?氢原子包括一个原子核和电子，库仑场是各向同性的，哈密 顿量可记作（绝热近似）：
H?
=
?
h2 2me
?2
+
qeU(r)
me为电子质量，qe是电子电荷。U(r)为原子核静电场中的库 仑势，记作：
U(r) = ? Zqe = ? Z h2
4πε0r a1meqer
Z为核的电荷数，a1 = 4πε0?2/(meqe2) = 0.529?，为氢原子的第
一波尔轨道半径。
2
h2 2me
?2
?
Zh 2 a1meqer
??ψ
?
(r)
=
E
?ψ
(r)
中心力场问题，采用球坐标，薛定谔方程为：
? ?? ??
h2 2me
?
????
1 r2
? ?r
r2
? ?r
?
L?2 r2
???? ?
Zh2
?
?ψ (r,?,θ ) =
a1mer ??
E ?ψ (r,?,θ )
用分离变量法求解，令：
ψ (r,θ ,φ) = R(r) ?Y (?,θ )
分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(?,θ)。
3§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例
§16.2 薛定谔方程对氢原子的应用
薛定谔方程及其解法
薛定谔方程对氢原子的应用
拉格朗日方程在点的运动分析中的应用
薛定谔方程及其解法
求解非线性薛定谔方程的一类数值解法
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