第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型
§2.1概述
拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范
适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。
§2.2拉格朗日方程
1． 哈密尔顿原理 系统总动能
),,,,,,,(321321N n q q q q
q q q q T T = （2－1）
系统总势能
),,,,(321t q q q q U U N =
（2－2）
非保守力的虚功
N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211
（2－3）
哈密尔顿原理的数学描述：
0)(2
1
21
=+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4）
2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式：
),3,2,1()(N i Q q U
q T q T dt d i
i
i i ==??+??-?? （2－5）
（推导：）
将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有
0)(
22112211221122112
1
=+++??-??-??-??++??+??+??+??+???
dt q Q q Q q Q q q T
q q U q q U q q
T
q q T q q T q q T q q T q q T N N N N
N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6）
利用分步积分
dt q q T
dt d q q
T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ??
??-??=??21212
1
)(][ （2－7）
并注意到端点不变分（端点变分为零）
0)()(21==t q t q i i δδ （2－8）
故
dt q q T dt d dt q q
T
i i t t i t t i δδ)(212
1
??-=????
（2－9）
从而有
0)])([2
1
1
=+??-??+??-
?∑=dt q Q q U
q T q T dt d i i i
t t i i N
i δ （ （2－10）
由变分学原理的基本引理：
（设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导
数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有
?
=f
t t T dt t M t 0
0)()(η
则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ）
我们可以得到：
0)(=+??-??+??-
i i
i i Q q U q T q T dt d （2－11）
即
i i
i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12）
对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，
则阻尼力与广义速度}{q
成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ，
}]{[}{2
1q C q D T
≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
i i q
D
Q ??-
= （2－14） 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：
0)(=??+??+??-??q
D q U q T q T dt d i i i （2－15） 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为i Q ），则系统的拉格朗日方程为：
i i i i Q q
D q U q T q T dt d =??+??+??-?? )( （2－16） §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用
在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。 1． 集中参数模型中应用
【例】质量为M 的长直杆上有一个集中质量m
可在杆上滑动。杆绕固定点摆动，建立其自由振动方程。 势能θcos ]2[mgu L
Mg
U +-=( 以O 点为势能零点) 动能)(21)31(2122222θθ u u m ML T ++= 选广义坐标为θ,u ，且0=u Q ，0=θQ 代入拉格朗日方程得到：
?????=++++=--0sin ]2[2)3
1(0cos 222θθθθθmgu L Mg u mu mu ML mg mu u
m 以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统降阶的途径。
2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用
对一维连续系统，假设位移为：
)()().(1t q x t x u i N
i i ∑==ψ
（2－17）
则系统具有N 个自由度，N 个广义坐标为),2,1()(N i t q i =，)(x i ψ不一定是系统的真实模态，可以是假设的一种变形模态。只要)(x i ψ满足以下条件： （1） 是位移形函数，反映某种可能的位移形状 （2） 构成一组线性无关向量
（3） 连续导数阶次满足势能中所要求的阶次 （4） 满足位移边界条件（不一定满足力边界条件） 2.1 杆的纵向振动
轴向位移为),(t x u u =
dx u A T l )(2
12
0 ?=
ρ (2－14) dx u EA U l
20
)(21?'= (2－15)
将)()(),(t q x t x u i i
i ∑=ψ代得到： }]{[}{2121q M q q q m T T
j i i j ij ==
∑∑ (2－18) }]{[}{2121q K q q q k U T j i i j
ij ==∑∑
(2－19)
其中
dx A m j l
i ij ψψρ?=0
dx EA k j l
i ij ψψ''=?0
(2－20)
分布轴力p(x ，t) 在广义坐标上的虚功
i l i
i l
i
i q p dx t q x t x p dx t x u t x p W δδψδδ?∑?∑===0
))()()(,(),(),( （2－21）
广义力
?=l
i i dx x t x p t p 0)(),()(ψ （2－22）
代入拉格朗日方程得：
i j j
ij
j
j
ij
p q k q
m =+∑∑ ),2,1(N i =
(2－
23)
或
}{}]{[}]{[P q K q
M =+ （2－24）
（2008-3-26） 2.2 梁的横向振动
横向位移函数
)()(),(t q x t x u i i
i ∑=ψ （2－22）
动能
j i j
i ij L q q m dx u A T ∑∑?==
21)(212
0ρ （2－25） 势能
j i j
i ij L q q k dx u EI U ∑∑?=''=21
)(2102 （2－26）
dx A m L j i ij ?=0
ψψρ，dx EI k L
j i ij ?''''=0
ψ
ψ （2－27） 分布外力做的功：
)
()())(),(())()()(,(),(),(0
t q Q t q dx x t x p dx
t q x t x p dx t x u t x p W i i
i i i i
L
i i
i L
L δδψδψδδ∑∑?
∑??====（2－28）
dx x t x p Q i L
i )(),(0
ψ?
= （2－29）
代入拉格朗日方程：
),2,1(N i Q q k q
m i j j
ij
j
j
ij
==+∑∑ （2－30）
或矩阵方程：
}{}]{[}]{[Q q K q
M =+ （2－31）
注意假设模态法与有限元素法的区别：这里的)(x i ψ是对整个结构的假设模态（相当于整个结构变形的形函数），不是单元的位移形函数，对复杂结构，确定精度（品质）较高的假设模态是比较困难的。
3. 粘性阻尼系统中阻尼的处理 假设结构中具有分布粘性阻尼力
),()(),(t x u
x t x p ξ-= （2－32） 广义力
∑?∑?∑?
-=-=-==j
L
j
j ij j i j i L
j
j j i L i t q C dx x x x t q
dx
x t q x x dx x t x p Q 0
)(])()()()[()()]()()([)(),( ψψξψψξψ （2－33）
dx x C L
j i ij ?=0
)(ψψξ （2－34）
代入拉格朗日方程得到
}{}]{[}]{[}]{[Q q K q C q
M =++ （2－35） 上式中}{Q 为其他的广义非保守力
§2.4 坐标约束与拉格朗日乘子
通常对一个N 维结构系统，采用拉格朗日方程建立振动方程时，广义坐标N q q q ,,21是线性独立的，但是实际问题中，有时希望采用一套不是独
立的坐标来建立方程，可能更加方便。 记系统不独立的坐标为)(,,21N M q q q M > 则被约束坐标数
C=M-N
（2－36）
对广义坐标，有C 个约束方程：
),2,1(0),,(21C j q q q f M j ==
（2－37）
如果令每一个坐标i q 取变分，则：
022
11
=??+??+
??=
M M
j j j j q q f q q f q q f f δδδδ
（2－38）
),2,1(0C j q q
f i
i i
j
==??∑δ
（2－39）
上式说明这M 个i q δ不独立，而是由上述C 个方程联系起来。
在哈密尔顿原理式中，将坐标数由N 扩展到M ，即得到：
0}])({[2
1
1
=+??-??+??-
?
∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i
i i t t M
i δ （2－40）
注意，由于此时的i q δ不独立，不能直接由变分学基本原理，得出方括号内的项等于零的结论。
对上面的约束方程引入拉格朗日乘子（或称为拉格朗日乘子函数）
),2,1()(C j t j =λ，得到：
011
1
1
=??=??∑
∑∑∑====C
j i i
j
M i j C j M
i i i
j
j q q f q q
f δλδλ
（2－41）
代入哈密尔顿原理方程式中，
0}])({[2
1
1=??++??-??+??-∑?
∑=dt q q f Q q U
q T q T dt d i C j
i j j i i i i t t M
i δλ （2－42）
我们可以选择C 个j λ，使C 个i q δ相应的方括号表达式为零，那么其余N=M-C 个独立的i q δ对应的方括号内的项必为零。
从而得到带约束的拉格朗日方程（修正的拉格朗日方程）为：
)
,2,1(0),,()
,2,1()(211C j q q q f M i Q q f q U q T q T dt d M j i
C
j i j j i i i ====??-??+??-??∑=λ (2－43)
联立上两个方程，就可确定M+C 个未知数),2,1;,2,1(,C j M i q j i ==λ 【应用实例】
求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。
【解】令，221)()(),(q L x
q L x t x u += （2－44
即假设模态为
221)()(,)(L
x
x L x x ==
?? （2－45） 约束边界条件：
),(0
),0(==t L u t u
（2－46）
第一个条件由形函数满足，第二个条件实际为：
0),(),(2121=+=≡q q t L u q q f
（2－47）
这就是约束方程。
根据2.3节的公式（2-20），可以求出轴向振动的杆的质量矩阵和刚度矩阵为：
????
?
???
??=514
1413
1
][AL M ρ ????
????=34111][L EA K (2－48)
现在用修正的拉格朗日方程来建立方程:
本例只有一个约束方程，故只需一个拉格朗日乘子λ，即在拉格朗日方程中引入)(
1q f ???λ和)(2
q f ???λ项，且 12
1=??=??q f
q f （2－49）
代入修正的拉格朗日方程中，并联立约束方程得到：
0043111)(51414131212121=+?
?????=??????-??????????????+???????????
?????q q q q L EA q q
AL λλρ （2－50）
可由此解出λ,,21q q 。
§2.5 受约束结构的振动
此处的约束是指结构的附加惯性约束或附加弹性约束，即一个结构由于添加了质量或弹簧而对结构表现为一种约束，而不是指通常的坐标约束。
一般说来，给结构添加一个弹簧，弹簧将对结构的运动表现为一种弹性约束而使系统的固有频率增加，相反，添加一个质量，也表现为对系统的惯性约束，但使其固有频率降低。看一个例子：
对于一个未受约束的一维结构，受分布力),(t x f 和分布力矩),(t x μ作用，现求其强迫振动。
假定其主模态)(x i ?、固有频率i ω已知，则其任一点处的挠度可以表示为：
∑=i
i i t q x t x y )()(),(?
（2－51）
代入拉格朗日方程可得到广义坐标满足的方程：
??'+=+L i L
i i i i i dx x t x dx x t x f M t q t q
00
2])(),()(),([1)()(?μ?ω (2－52)
i M 为对应主模态)(x i ?的广义质量。
如果在a x =处还作用了集中力),(t a F 和集中力矩),(t a M ，则相应的广义力虚功由下式确定：
)()(),()()(),()
,(),(),(),(t q a t a t q a t a F t a y t a t a y t a F W i i
i i
i i δ?M δ?δM δδ∑∑'+='+= （2－53）
则广义力为：
)(),()(),(a t a a t a F Q i i i ?M ?'+= （2－54）
所以，运动方程为：
)](),()(),([1
)()(2a t a a t a F M t q t q
i i i
i i i ?M ?ω'+=+ (2－55) 方程 (2－53)就是本节分析受约束结构振动的基本方程。
当结构上a x =处添加一个刚度系数为k 的弹簧时
∑-=-=j
j j t q a k t a ky t a F )()(),(),(? （2－56）
当结构上a x =处添加一个集中质量0m 时
∑-=-=j
j j t q a m t a y
m t a F )()(),(),(00 ? （2－57） 【注意】在讨论受约束结构时，均假定未受约束结构的模态参数是已知的，相当于在结构有修改时，求解修改后结构的振动问题。
【例】如图所示的一个简支梁，受弹簧约束，求其运动方程 对线弹簧k ，
∑-=-=j
j j t q a k t a ky t a F )()(),(),(? （2－58）
对扭簧K ，
∑'-='-=j
j j t q a K t a y K t a F )()(),(),(? （2－59）
代入上基本方程：
)]()()()()([1
)()(2t q a a K t q a k M t q t q
j j
j i j j j i i i i i ∑∑''--=+????ω （2－60） 受弹性约束后结构的主振动仍然是简谐的，所以：
t i i i e q q ω=
（2－61）
代入上方程得到：
)]()()()([)
(12
2
a q a K a q a k M q j j
j i j j
j i i
i i ????ωω''---=
∑∑
),2,1(N i = （2－62）
由上式中N 个i q 的系数行列式为零，就得到受约束结构的频率方程。
【例】如图所示，在简支梁的a x =处添加一个质量0m ，求运动方程。
∑-=-=j
j j a q m t a y
m t a F )(),(),(00? （2－63）
与上例推导相同，可得到：
])()()([1
)()(02∑-=+j
j j i i i i i t q
a a m M t q t q
??ω （2－64）
从而：
m
)]()([)
(10222a q a m M q j j
j i i i i ??ωωω∑-=
（2－65）
当仅取未受约束简支梁的第一阶振型时，上方程简化为：
)()(21022211a m M ?ωωω=-
（2－66）
)(11)(
211
02
1
a M m
?ωω+= （2－67）
由此式可以看到，如果添加的质量放置在该阶振型的节点处，由于
0)(1=a ?，故此时1ωω=。同样，如果添加的弹簧放置在该处，同样不会对固有频率产生影响。因此，要通过附加质量或附件弹簧（刚度）的方式来对结构进行修改，要避开原结构固有振型的节点。当然，实际中质量和刚度元件不会是一个点，不会出现本例中1ωω=的理想情形，但越靠近节点，附加约束对固有特性影响越小的结论是肯定的。
【例】已知简支梁第一阶固有频率和振型函数为：
3
2
1ML EI
πω=（M 为梁的总质量） （2－68） L
x
π?sin
21=
（2－69）
求上例的第一阶固有频率。 则：
M AL L
A dx L
x
A dx A M L
L ==?
===?
?ρρπρ?ρ2
2sin 22
210
1（2－70） 当质量附加在3
L
x =
处时， 2/63
sin
2)3
(1==π
?L （2－71）
从而受约束简支梁在单一振型下的固有频率近似值为：
M
m 0
2
1
5.111)(
+=ωω （2－72）
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1 q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
2、第二类拉格朗日方程 的应用
例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计 。 A C O x
A O C x
例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接 。M 1 M 2 φ C 求：此系统的运动微分方程。 2、第二类拉格朗日方程的应用 解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广 义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示： 111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j ===-=将上式两端对时间t 求导数得： 111212,0;cos sin x x y x x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&2 2212111()(2cos )22 m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为： ) cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。 d 0(12)d k T T Q k N t q q ????--==?÷??L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。选取原则：计算方便
代入拉格朗日方程得到： 1212110()cos T T m m x m l x x j j ??==+-??&&&，2 121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j ?=+-+×?&&&&&&1 0x V Q x ?=-=?先计算)cos 1(2j -=gl m V 22 212111()(2cos )22 m l T m m x l x j j j =++-&&&&2 21221sin cos T T m lx m l m lx j j j j j j ??==-??&&&&&，2 22121d ()cos sin d T m l m lx m lx t j j j j j ?=-+×?&&&&&&&2sin V Q m gl j j j ?=-=-?2 12122()cos sin 0m m x m l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl j j j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用 x 1φ 再计算
拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。 简介 拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。 通常可写成： 式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n 为系统的质点数；k为完整约束方程个数。 从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。 拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如
果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。 通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。 应用 用拉格朗日方程解题的优点是：①广义坐标个数通常比x坐标少，即N<3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解；②广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力；③T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。下面是两个例子： ①图1是一个半径为a、质量为m1的圆盘，它的中心用铰链与质量为m2的直杆相连。此杆的另一端用铰链固接在半径为b的空心圆筒的中心O；杆长l=b-a。圆盘绕O点摆动。杆的动能为
+ 第二章控制系统的数学模型 一．是非题 1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√） 2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√） 3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题 1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s C 。 τs D 。以上都不是 2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1 S B 。 21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。 () () 12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。() () 12G s G s 三． 填空题 1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22 21k s s τζτ++ 3．21 2 t 的拉普拉斯变换为 3 1 s 4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法 四．计算题 §2-1 数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+? = c i C u =? c c c u u C R u C L +'??+''??=
第二章控制系统的数学模型 控制系统的数学模型 本章主要内容： 引言 微分方程模型 传递函数模型 脉冲响应模型 方框图模型 信号流图模型 频域特性模型 数学模型的实验测定方法（辨识） 2.0 引言 主要解决的问题： 什么是数学模型 为什么要建立系统的数学模型 对系统数学模型的基本要求 2.0.1 什么是数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。 亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式） 控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型
动态模型 静态模型：在稳态时（系统达到一平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。 动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。 关系：静态模型是t时系统的动态模型。 控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。 2.0.2 为什么要建立控制系统的数学模型 控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此） 一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。 建立系统数学模型的方法很多，主要有两类： 机理建模白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱 系统辨识 2.0.3 对系统数学模型的基本要求 亦：什么样的数学表达式能用于一个工程系统的描述。 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
电力系统各元件的参数和数学模型
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2电力系统元件的运行特性和数学模型 2－1隐极式发电机的运行限额和数学模型 1. 发电机的运行额限 发电机的运行总受一定条件，如绕组温升、励磁绕组温升、原动机功率等的约 束。这些约束条件决定了发电机组发出的有功、无功功率有一定的限额。 （1） 定子绕组温升约束。定子绕组温升取决于定子绕组电流，也就是取决于发电机 的视在功率。当发电机在额定电压下运行时，这一约束条件就体现为其运行点 不得越出以O 为圆心，以BO 为半径所作的圆弧S 。 （2） 励磁绕组温升约束。励磁绕组温升取决于励磁绕组电流，也就是取决于发电机 的空载电势。这一约束条件体现为发电机的空载电势不得大于其额定值E Qn ,也 就是其运行点不得越出以O ’为圆心、O ’B 为半径所作的圆弧F 。 （3） 原动机功率约束。原动机的额定功率往往就等于它所配套的发电机的额定有功 功率。因此，这一约束条件就体现为经B 点所作与横轴平行的直线的直线 BC 。 （4） 其它约束。其它约束出现在发电机以超前功率因数运行的场合。它们有定子端 部温升、并列运行稳定性等的约束。其中，定子端部温升的约束往往最为苛刻， 从而这一约束条件通常都需要通过试验确定，并在发电机的运行规范中给出， 图2－5中虚线T 只是一种示意，它通常在发电机运行规范书中规定。 归纳以上分析可见，隐极式发电机的运行极限就体现为图2－5中曲线OA 、AB 、BC 和虚线T 所包围的面积。 发电机的电抗和等值电路： 2－2变压器的参数和数学模型 一、 双绕组变压器的参数和数学模型 变压器做短路实验和空载实验测得短路损耗、短路电压、空载损耗、空载电流可以用来求变压器参数。 F P O C Q B S A O 图2－5运行极
第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 学习要点 1 控制系统数学模型的概念、描述形式与相互转换； 2 物理系统数学模型的编写方法和步骤； 3 非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法； 4 系统方框图等效变换原则与应用； 5 信号流图等效变换与梅逊增益公式应。 2.2 思考与习题祥解 题2.1思考与总结下述问题。 （1）我们学习的动态物理系统的数学模型有哪些形式？ （2）非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法。 （3）传递函数的意义、作用和性质；与微分方程模型相比，这种模型有何优点？ 答：（1）自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动特性的数学描述。 我们学习的动态物理系统的数学模型有微分方程、传递函数和频率特性等表达式描述形式，还有方框图和信号流图等图形化描述形式。 （2）实际系统中变量之间的关系都或多或少地具有某种非线性特性。由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。如果控制系统的工作状态是在工作点的一个小偏差范围内变化，就可以用一条过工作点的切线代替工作曲线在这个小偏差范围内的变化关系，这样，就把非线性特性线性化了。应用线性化的数学模型就可以简化系统分析和设计的过程，虽然这是一种近似的处理方法，但却很有实际意义。 只要这样做所造成的误差在允许范围内，不会对控制系统的分析和设计造成本质影响，就可以进行非线性系统线性化。 具体方法是：对任意函数，在某一点（工作点）处对函数进行泰勒级数展开，忽略二阶以上高次项，就可以得到线性化的函数关系。 （3）系统输入和输出在零初始条件下拉氏变换的比)(s G 称为系统的传递函数。传递函数表示了系统输入输出之间的关系，是控制系统的一种数学模型，可以直接从微分方程导出。 传递函数只与系统结构与参数有关，与外部输入无关，传递函数反映了系统的结构特征和参数特性。由于传递函数是以复数s 为变量，避免了许多求解微分方程的麻烦。因此，经典控制论中更常用传递函数这种数学模型形式对控制系统进行分析和设计。 题2.2 试建立题2.2图所示各系统的微分方程。其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。
概述 (1) 1课程设计任务与要求 (2) 2异步电动机动态数学模型 (3) 2.1三相异步电动机的多变量非线性数学模型 (4) 2.2 坐标变换 (6) 2.2.1坐标变换的基本思路 (6) 2.2.2三相-两相变换（3/2变换） (6) 2.2.3 静止两相-旋转正交变换（2s/2r变换） (8) 2.3状态方程 (9) 3模型实现 (11) 3.1AC Motor模块 (11) 3.2坐标变换模块 (12) 3.3仿真原理图 (15) 4仿真结果及分析 (17) 5结论 (20) 参考文献 (21)
异步电动机又称感应电动机，是由气隙旋转磁场与转子绕组感应电流相互作用产生电磁转矩，从而实现机电能量转换为机械能量的一种交流电机。异步电动机按照转子结构分为两种形式：有鼠笼式、绕线式异步电动机。 异步电动机的转子绕组不需与其他电源相连，其定子电流直接取自交流电力系统；与其他电机相比，异步电动机的结构简单，制造、使用、维护方便，运行可靠性高。但它的转速与其旋转磁场的同步转速有固定的转差率，因而调速性能较差，在要求有较宽广的平滑调速范围的使用场合（如传动轧机、卷扬机、大型机床等），不如直流电动机经济、方便。因此，在需要高动态性能的调速系统或伺服系统，异步电动机就不能完全适应了。要实现高动态性能的系统，必须首先认真研究异步电机的动态数学模型。 系统建模与仿真一直是各领域研究、分析和设计各种复杂系统的有力工具。建模可以超越理想的去模拟复杂的现实物理系统；而仿真则可以对照比较各种控制策略和方案，优化并确定系统参数。长期以来，仿真领域的研究重点是放在仿真模型建立这一环节上，即在系统模型建立以后，设计一种算法，以使系统模型为计算机所接受，然后再将其编制成计算机程序，并在计算机上运行。显然，为达到理想的目的，在这一过程中编制与修改仿真程序十分耗费时间和精力，这也大大阻碍了仿真技术的发展和应用。 近年来逐渐被大家认识的Matlab软件则很好的解决了系统建模和仿真的问题。异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。本次设计就是借助于Matlab软件的Simulink组件来建立异步电动机的动态数学模型，再按照定子磁链定向的方法来仿真分析异步电动机的运行特性。
第3章拉格朗日方程 以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。 3.1 第二类拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。 3.1.1 几个关系式的推证 为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。 质点系由n个质点、s个完整的理想约束组成，它的自由度数为k＝ 3n–s，广义坐标数与自由度数相等。该系统中，任一质点M i的矢径r i可表示成广义坐标q1，q2，…，q k和时间t的函数，即 r i＝r i(q1，q2，…，q k，t) i＝1,2,…,n 它的速度 (3-1) i＝1,2,…,n 式中称为h个广义坐标的广义速度，分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度没有直接的关系。式(3-1)对求偏导数，则有 (3-2) 这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j求偏导数， 或 (3-3) 这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于
2电力系统元件的运行特性和数 学模型 2－1隐极式发电机的运行限额和数学模型 1. 发电机的运行额限 发电机的运行总受一定条件，如绕组温升、励磁绕组温升、原动机功率等的约束。这些约束条件决定了发电机组发出的有功、无功功率有一定的限额。 （1） 定子绕组温升约束。定子绕组温升取决于定子绕组电流，也就是取决于发电机 的视在功率。当发电机在额定电压下运行时，这一约束条件就体现为其运行点不得越出以O 为圆心，以BO 为半径所作的圆弧S 。 （2） 励磁绕组温升约束。励磁绕组温升取决于励磁绕组电流，也就是取决于发电机 的空载电势。这一约束条件体现为发电机的空载电势不得大于其额定值E Qn ,也就是其运行点不得越出以O’为圆心、O’B 为半径所作的圆弧F 。 （3） 原动机功率约束。原动机的额定功率往往就等于它所配套的发电机的额定有功 功率。因此，这一约束条件就体现为经B 点所作与横轴平行的直线的直线 BC 。 （4） 其它约束。其它约束出现在发电机以超前功率因数运行的场合。它们有定子端 部温升、并列运行稳定性等的约束。其中，定子端部温升的约束往往最为苛刻，从而这一约束条件通常都需要通过试验确定，并在发电机的运行规范中给出，图2－5中虚线T 只是一种示意，它通常在发电机运行规范书中规定。 归纳以上分析可见，隐极式发电机的运行极限就体现为图2－5中曲线OA 、AB 、BC 和虚线T 所包围的面积。 发电机的电抗和等值电路： 2－2变压器的参数和数学模型 一、 双绕组变压器的参数和数学模型 变压器做短路实验和空载实验测得短路损耗、短路电压、空载损耗、空载电流可以用来求变压器参数。 F P O’ C Q B S A O 图2－5运行极限图
论文提要 拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。 拉格朗日推导出两种形式的拉式方程，即第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待定乘子法），因而方程组中的方程很多；第二类方程使用广义坐标、广义力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义做表数或自由度数）。 拉式方程由动力学普遍方程导出，他秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点。因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。
摘 要：拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。 拉式方程由动力学普遍方程导出，他秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点。因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。 关键词：拉格朗日方程 约束力 广义力 拉式方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉式方程为把力学规律推广到其它物理学领域开辟了可能性，成为力学与其它物理学分支相联系的桥梁。 一、 基本形式的拉格朗日方程 设体系由n 个质点组成，受k 个理想完整约束，其自由度为s=3n-k ，即需要s 个独立坐标即广义坐标，则 i r =i r ()12,,,,s q q q t ()5.3.1 i r δ =11i r q q δ?? +22i r q q δ?? +...,+i s s r q q δ?? =1s i s s r q q αδ=??∑ , 1,2,...,s α= ()2.3.5 在理想约束下，有 ()0=?-∑r r m F i i i i i δ ()3.3.5 将()2.3.5式代入()3.3.5式， ()() 011 1 1 =???? ? ??? ????-=????-∑∑∑∑====q q r r m F q q r r m F s n i i i i i s i n i i i i α ααα αα