《双曲线》练习题
一、选择题:
1.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±4x,则该双曲线的离心率是(A)
A.17
B.15
C.17
4 D.
15
4
2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为(B)
A.x2﹣y2=1 B.x2﹣y2=2 C.x2﹣y2=D.x2﹣y2=
3.在平面直角坐标系中,双曲线C过点P(1,1),且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0,则双曲线C的标准方程为(B)
A.B.C.或D.
4.1(a>b>01有相同的焦点,则椭圆的离心率为( A )
A B C D
5.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)A.(﹣1,3)B.(﹣1,)C.(0,3)D.(0,)
6.设双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0)(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为,则双曲线的离心率为(A)
A.2 B.C.D.
7的圆相切,则双曲线的离心率为( A )
A B C D
8.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为(B)
A.3
B.
6
2 C.
6
3 D.
3
3
9.已知双曲线
22
1(0,0)
x y
m n
m n
-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2,一个顶点到它的一条渐近线的
,则m等于( D )
A.9 B.4 C.2 D.,3
10.已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0)、F 2(10,0),M 是此双曲线上的一点,且满足
12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )
A.x 29-y 2=1 B .x 2-y 2
9=1 C.x 23-y 27
=1
D.x 27-y 2
3
=1 11.设F 1,F 2是双曲线x 2
-y 2
24=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等
于( C )
A .4 2
B .83
C .24
D .48
12.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上,若|PQ |=7,F 2是双曲线的右焦点,则△PF 2Q 的周长是( C ) A .28 B .14-82 C .14+8 2
D .8 2
13.已知双曲线
﹣
=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线
相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( D ) A .
﹣
=1
B .
﹣
=1 C .
﹣
=1 D .
﹣
=1
14.设双曲线﹣
=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 2为圆心,|F 1F 2|为半径的圆与双曲
线在第一、二象限内依次交于A ,B 两点,若3|F 1B |=|F 2A |,则该双曲线的离心率是( C ) A . B .
C .
D .2
15.过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点,若|AB|=4,则这样的直线共有( C )条。 A .1 B .2 C .3 D .4
16.已知双曲线C :
﹣
=1(a >0,b >0),以原点为圆心,b 为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰
好是右焦点与右顶点的中点,此交点到渐近线的距离为,则双曲线方程是( C )
A .﹣=1
B .﹣=1
C .﹣=1
D .﹣=1
17.如图,F 1、F 2是双曲线=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲
线的左右两支分别交于点A 、B .若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的离心率为( B ) A .4
B .
C .
D .
18.如图,已知双曲线﹣
=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=4,P 是双曲线右支上的
一点,F 2P 与y 轴交于点A ,△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ,若|PQ |=1,则双曲线的离心率是(B ) A .3 B .2 C . D . 19.已知点(3,0)M -,(3,0)N ,(1,0)B ,动圆C 与直线MN 切于点B ,过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ,则P 点的轨迹方程为( B )
A .22
1(1)8y x x -
=<- B .221(1)8y x x -=>
C .1822=+y x (x > 0)
D .22
1(1)10y x x -=> 20.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ,)0,2(2F ,椭圆的一个短轴端点为B ,直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行,椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e , 则21e e +取值范围为( D ) A.),2[+∞ B. ),4[+∞ C.),4(+∞ D. ),2(+∞
21.若双曲线的两条渐近线与椭圆的
交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( D )
A
B
C D
22.F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ,B 两点,若双曲线右顶点在以AB
为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围为( A )
A .(2,+∞)
B .(1,2)
C .+∞)
D .(1 23.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F ,直线c a x 2=与其渐近线交于A ,B 两点,且△ABF 为钝
角三角形,则双曲线离心率的取值范围是( D )
A. (∞+,3)
B. (1,3)
C. (∞+,2)
D. (1,2)
24.我们把离心率为e =5+12的双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)称为黄金双曲线.给出以
下几个说法:①双曲线x 2
-2y 2
5+1
=1是黄金双曲线;
②若b 2=ac ,则该双曲线是黄金双曲线; ③若∠F 1B 1A 2=90°,则该双曲线是黄金双曲线; ④若∠MON =90°,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的是( D)
A .①②
B .①③
C .①③④
D .①②③④
二、填空题:
25.如图,椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为e 1,e 2,e 3,e 4,其大小关系为__ ___ e 1 -y 2 3 =1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲 线右支上一点,则PA 1·PF 2的最小值为 ________.-2 27.已知点P 是双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1上除顶点外的任意一点,F 1、F 2 分别为左、右焦点,c 为半焦距,△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ,则|F 1M |·|F 2M |=__ ______. b 2 28.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0)、 F 2(c,0).若双曲 线上存在点P ,使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=a c ,则该双曲线的离心率的取值范围是_____ (1,2+1) 29.已知双曲线x 2 ﹣ =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为双曲线右支上一点,点Q 的坐标为(﹣2,3),则 |PQ|+|PF 1|的最小值为 .7 三、解答题: 30.已知曲线C :y 2λ +x 2 =1. (1) 由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线,垂足为F ,动点P 满足3FP EP =,求点P 的轨迹.P 的轨迹可能是圆吗?请说明理由; (2) 如果直线l 的斜率为2,且过点M (0,-2),直线l 交曲线C 于A 、B 两点,又9 2 MA MB =-,求曲线C 的方程. 31.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为) . (Ⅰ)求双曲线C 的方程 (Ⅱ)若直线:=l y kx A 和B 且2?>OA OB (其中O 为原点),求k 的取值范围 32.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 左支交于A 、B 两点,求k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0,m ),求m 的取值范围. 33.已知椭圆C : + =1(a >b >0)的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点,|AB |=2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)已知点P 是椭圆C 上的动点,且直线PA ,PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点,是否存在点P ,使得以MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P 的横坐标;若不存在,说明理由. 30.已知曲线C :y 2λ +x 2 =1. (1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线,垂足为F ,动点P 满足3FP EP =,求点P 的轨迹.P 的轨迹可能是圆吗?请说明理由; (2)如果直线l 的斜率为2,且过点M (0,-2),直线l 交曲线C 于A 、B 两点,又 9 2 MA MB =-,求曲线C 的方程. 解:(1)设E(x 0,y 0),P(x ,y),则F(x 0,0),∵3,FP EP =, ∴(x -x 0,y)=3(x -x 0,y -y 0).∴00,2.3x x y y =?? ?=?? 代入y 20λ+x 2 0=1中,得4y 29λ+x 2=1为P 点的轨迹方程.当λ=49时,轨迹是圆. (2)由题设知直线l 的方程为y =2x -2,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2 ), 联立方程组22, 2 1.y y x λ ?=-? ?+=??消去y 得:(λ+2)x 2-42x +4-λ=0. ∵方程组有两解,∴λ+2≠0且Δ>0, ∴λ>2或λ<0且λ≠-2,x 1·x 2=4-λ λ+2 , 而MA MB =x 1x 2+(y 1+2)·(y 2+2)=x 1x 2+2x 1·2x 2=3x 1x 2=3(4-λ) λ+2, ∴4-λλ+2 =-32,解得λ=-14.∴曲线C 的方程是x 2-y 214=1. 31.(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 ()2,0,右顶点为) . (Ⅰ)求双曲线C 的方程 (Ⅱ)若直线:=l y kx A 和B 且2?>OA OB (其中O 为原点),求k 的取值范围 解(1)设双曲线方程为22221-=x y a b 由已知得2==a c ,再由222 2+=a b ,得21=b 故双曲线C 的方程为2 213 -=x y . (2)将=y kx 2 213 - =x y 得22(13)90---=k x 由直线l 与双曲线交与不同的两点得() 22 22 13036(13)36(1)0 ?-≠? ? ?=+-=->?? k k 即2 13 ≠ k 且2 1 22 9 ,1313-+= =--A B A B x y x y k k ,由2?>OA OB 得2+>A B A B x x y y , 而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x 22 222 937 (1)2131331 -+=+++=---k k k k k k . 于是2237231+>-k k ,即22 39031 -+>-k k 解此不等式得2 1 3.3< 21 13 < 故的取值范围为3(1,,13 3??-- ? ??? 32. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 左支交于A 、B 两点,求k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0,m ),求m 的取值范围. 解:(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0). 由已知得:a =3,c =2,再由a 2+b 2=c 2,∴b 2=1, ∴双曲线C 的方程为x 23 -y 2 =1. (2)设A (x A ,y A )、B (x B ,y B ),将y =kx +2代入x 23-y 2 =1, 得:(1-3k 2)x 2-62kx -9=0. 由题意知????? 1-3k 2≠0, Δ=36(1-k 2 )>0,x A +x B = 62k 1-3k 2 <0,x A x B =-91-3k 2 >0,解得 3 3 ∴当 3 3 1-3k 2 , ∴y A +y B =(kx A +2)+(kx B +2)=k (x A +x B )+22= 22 1-3k 2 . ∴AB 的中点P 的坐标为? ?? ?? 32k 1-3k 2,21-3k 2. 设直线l 0的方程为:y =-1 k x +m , 将P 点坐标代入直线l 0的方程,得m =42 1-3k 2. ∵ 3 3 (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)已知点P 是椭圆C 上的动点,且直线PA ,PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点,是否存在点P ,使得以MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P 的横坐标;若不存在,说明理由. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,2b=2,即b=1, 又a 2 ﹣c 2 =1,解得a=2,c=,即有椭圆的方程为+y 2 =1; (Ⅱ)设P (m ,n ),可得 +n 2 =1,即有n 2 =1﹣ , 由题意可得A (0,1),B (0,﹣1),设M (4,s ),N (4,t ), 由P ,A ,M 共线可得,k PA =k MA ,即为= , 可得s=1+ , 由P ,B ,N 共线可得,k PB =k NB ,即为 = ,可得s= ﹣1. 假设存在点P ,使得以MN 为直径的圆经过点Q (2,0). 可得QM ⊥QN ,即有?=﹣1,即st=﹣4. 即有[1+ ][﹣1]=﹣4, 化为﹣4m 2 =16n 2 ﹣(4﹣m )2 =16﹣4m 2 ﹣(4﹣m )2 , 解得m=0或8, 由P ,A ,B 不重合,以及|m |<2,可得P 不存在.