《双曲线》练习题
一、选择题：
1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A )
2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双
曲线方程为（ B ）
A ．x 2
﹣y 2
=1 B ．x 2
﹣y 2
=2 C ．x 2
﹣y 2
=
D ．x 2﹣y 2
=
3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ．
B ．
C ．或
D ．
4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2
2
a x －22
b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22
B ．21
C ．66
D ．36
5．已知方程﹣
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
（ A ）
A ．（﹣1，3）
B ．（﹣1，
） C ．（0，3） D ．（0，）
6．设双曲线
=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直
线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ．
C ．
D ．
7．已知双曲线22219y x a
-=的两条渐近线与以椭圆22
1259y x +=的左焦点为圆心、半径为
165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）
A ．54
B ．53
C ．
43 D ．65
8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B )
9．已知双曲线
221(0,0)x y m n m n
-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐13
，则m 等于( D ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,3
10．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足
12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )
－y 2
＝1 B ．x 2
－y 29＝1 －y 2
7＝1
－y 2
3
＝1
11．设F 1，F 2是双曲线x 2
－y 2
24
＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积
等于( C )
A ．4 2
B ．8 3
C ．24
D ．48
12．过双曲线x 2
－y 2
＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28
B ．14－8 2
C ．14＋8 2
D ．82
13．已知双曲线﹣
=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条
渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．
﹣
=1 B ．
﹣
=1 C ．
﹣
=1 D ．
﹣
=1
14．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆
与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B|=|F 2A|，则该双曲线的离心率是（ C ） A ．
B ．
C ．
D ．2
15．过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
16．已知双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正半轴的
交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ C ）
A ．﹣=1
B ．﹣=1
C ．﹣=1
D ．﹣=1
17．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与
双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A ．4
B ．
C ．
D ．
18．如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支
上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（B ） A ．3 B ．2 C ． D ． 19．已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( B )
A ．22
1(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>
C ．1822=+y x （x > 0）
D ．22
1(1)10y x x -
=> 20.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ， 则21e e +取值范围为（ D ） A.),2[+∞ B. ),4[+∞ C.),4(+∞ D. ),2(+∞
21.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)
0(12
22
2
>>=+
b a b y a
x 的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与
椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )
A ．31
B ．21
C ．33
D ．22
22.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>过其左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若双曲线右顶点
在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A ) A ．（2，+∞）
B ．（1，2）
C ．（
3
2
，+∞） D ．（1，
3
2
） 23.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF
为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ） A. （∞+，3） B. （1，3） C. （∞+，2）
D. （1，2）
24．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲
线．给出以下几个说法：①双曲线x 2
－2y
2
5＋1
＝1是黄金双
曲线；
②若b 2
＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；
③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( D)
A ．①② B．①③ C ．①③④ D．①②③④ 二、填空题：
25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为__ ___
e 1 26．已知双曲线x 2 －y 2 3＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲 线右支上一点，则PA 1·PF 2的最 小值为________．－2 27．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2 分别为左、右焦 点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝__ ______. b 2 28．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、 F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使 sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝a c ，则该双曲线的离心率的取值范围是 _____ (1，2＋1) 29.已知双曲线x 2 ﹣ =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为（﹣2， 3），则|PQ|+|PF 1|的最小值为 ．7 三、解答题： 30．已知曲线C ：y 2λ ＋x 2 ＝1. (1) 由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗请说明理由； (2) 如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又9 2 MA MB =-，求曲线C 的方程． 31．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为) 3,0. （Ⅰ）求双曲线C 的方程 （Ⅱ）若直线:2=l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围 32.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 33.已知椭圆C ： + =1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB|=2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由． 30.已知曲线C ：y 2λ ＋x 2 ＝1. (1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗请说明理由； (2)如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又 9 2 MA MB =-，求曲线C 的方程． 解：(1)设E(x 0，y 0)，P(x ，y)，则F(x 0,0)，∵3,FP EP =， ∴(x－x 0，y)＝3(x －x 0，y －y 0)．∴00,2.3x x y y =?? ?=?? 代入y 2 0λ＋x 20＝1中，得4y 2 9λ＋x 2 ＝1为P 点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆． (2)由题设知直线l 的方程为y ＝2x －2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立方程组222, 2 1.y x y x λ ?=-??+=??消去y 得：(λ＋2)x 2 －42x ＋4－λ＝0. ∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0， ∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x 1·x 2＝ 4－λ λ＋2 ， 而MA MB ＝x 1x 2＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1·2x 2＝3x 1x 2＝3(4－λ) λ＋2， ∴4－λλ＋2＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C 的方程是x 2－y 2 14 ＝1. 31．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为) 3,0. （Ⅰ）求双曲线C 的方程 （Ⅱ）若直线:2=l y kx A 和B 且2?>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围 解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b 由已知得2==a c ，再由222 2+=a b ，得21=b 故双曲线C 的方程为2 213 -=x y . （2 ）将=y kx 2 213 -=x y 得22(13)90---=k x 由直线l 与双曲线交与不同的两点得() 22 22 13036(13)36(1)0 ?-≠? ? ?=+-=->?? k k 即2 13 ≠ k 且2 1 2 9 13-+= =-A B A B x y x y k ，由2?>OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x 22 22937 (1)21331 -+=+=--k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即22 39031-+>-k k 解此不等式得21 3.3 < 21 13 < 3??-- ? ??? 32. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，∴b 2 ＝1， ∴双曲线C 的方程为x 2 3 －y 2 ＝1. (2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 2 3－y 2 ＝1， 得：(1－3k 2 )x 2 －62kx －9＝0. 由题意知????? 1－3k 2 ≠0， Δ＝361－k 2 >0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2 <0， x A x B ＝－91－3k 2 >0， 解得 3 3 3 3 62k 1－3k 2， ∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝22 1－3k 2. ∴AB 的中点P 的坐标为? ????32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为：y ＝－1 k x ＋m ， 将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝42 1－3k 2. ∵ 33 <0.∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)． 33.已知椭圆C ： + =1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB|=2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1， 又a 2 ﹣c 2 =1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y 2 =1； （Ⅱ）设P （m ，n ），可得 +n 2 =1，即有n 2 =1﹣ ， 由题意可得A （0，1），B （0，﹣1），设M （4，s ），N （4，t ）， 由P ，A ，M 共线可得，k PA =k MA ，即为= ， 可得s=1+ ， 由P ，B ，N 共线可得，k PB =k NB ，即为 = ，可得s= ﹣1． 假设存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点Q （2，0）． 可得QM ⊥QN ，即有?=﹣1，即st=﹣4． 即有[1+][﹣1]=﹣4， 化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8， 由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在． 双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222??=c a c Θ ∴223a c =，∴333 1-=e ． 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R 双曲线经典练习题总结（带答案） 一、选择题 1．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A ．x 216－y 2 48＝1 B ．y 29－x 2 27 ＝1 C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27＝1 D ．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2 48＝1；当顶点为(0， ±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2 27＝1. 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 [解析] 双曲线 2x 2－y 2＝8 化为标准形式为x 24－y 2 8 ＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4. 3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( C ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2 ) C ．(1，2) D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1 a . ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1 a 2<2，∴1 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A ) 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方 程为（ B ） A ．x 2 ﹣y 2 =1 B ．x 2 ﹣y 2 =2 C ．x 2 ﹣y 2 = D ．x 2﹣y 2 = 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． 4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2 2 a x －22 b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22 B ．21 C ．66 D ．36 5．已知方程﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1，） C ．（0，3） D ．（0，） 6．设双曲线 =1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距 离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线22219y x a -=的两条渐近线与以椭圆22 1259y x + =的左焦点为圆心、半径为165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ．54 B ．5 3 C ． 43 D ．6 5 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B ) 9．已知双曲线 22 1(0,0)x y m n m n -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 双 曲 线 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程 为122 22=-b y a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252 222=--b y .1121322 22=-b y 解方程组???????=-=--(2) 11213(1) 1)55(12252 2 222 2 22b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程 （1）得,1)55125(12252222 =--b b 化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为： .1625 1442 2=-y x 例2. ABC ?中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 2 1sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程． 解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)， )0,2(c ．利用正弦定理，从条件得242 1 =?= -b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为13 2 2=- y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准 线的距离为l . （1）求双曲线的方程； （2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值. 典型例题 双曲线 考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题． [基础梳理] 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程与几何性质 x2y2y2x2 [三基自测] 1．双曲线x 23－y 2 2＝1的焦距为( ) A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45 答案：C 2．若双曲线E ：x 29－y 2 16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1| ＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 答案：B 3.x 22＋m －y 2m ＋1 ＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－ y 2 3＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x 考点一 双曲线定义及应用|易错突破 [例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2 都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝0 B.x 22－y 2 14＝1(x ≥2) C.x 22－y 2 14＝1 D.x 22－y 2 14 ＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43 |PF 2|，求△F 1PF 2的面积． [解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2. 故得|MC 1|－|MC 2|＝22； 经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又 故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直， 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及 准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. 【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线22 1x y a b -=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2， P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 22a m - D. a m - ()121PF PF ∴+= ()122PF PF ∴-=± ()() ()22 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. F 为右焦点，若双曲 【例2】已知双曲线127 92 2=-y x 与点M （5，3）， 线上有一点P ，使PM PF 2 1 + 最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的1 2 是什么是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为3 2 l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， X Y O F(6,0)M(5,3) P N P ′N ′ X= 3 2 连FP ，则1 22 PF e PN PN PN PF ==?= .此时 PM 13752 2 5 PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127 92 2 =-y x 中，令3y =，得212x x x =?=±∴0，取x =所求P 点的坐标为 （）. （2）渐近线——双曲线与直线 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2 1 ±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2 214 x y k -= 点（1，3）代入：135 944 k =-=- .代入（1）： 2222 3541443535 x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b -=?±=即为其渐近线.根据这一点， 高二数学双曲线知识点及经典例题分析 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。 3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上的：y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线的几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>() <>≤-≥1范围：，或x a x a <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 e 越大，双曲线的开口就越开阔。<>=>41离心率：e c a e ()<>±5渐近线：y b a x = <>=±62准线方程：x a c 5．若双曲线的渐近线方程为：x a b y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22 22≠=-λλb y a x 【典型例题】 例1. 选择题。 121122 .若方程表示双曲线，则的取值范围是（） x m y m m +-+= A m B m m ..-<<-<->-2121或C m m D m R ..≠-≠-∈21且 2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（ ） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（ ）ααααx y -= A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在x 轴上的双曲线 416913 221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9633393) 例2. (已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-?? ??? 例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且 本文来自https://www.doczj.com/doc/3113150994.html, 整理 、【例1】若椭圆 ()0122 n m n y m x =+与双曲线22 1x y a b -=)0( b a 有相同的焦点F 1 ，F 2 ，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 22a m - D. a m - 【解析】椭圆的长半轴为()1221m PF PF m ∴+=， 双曲线的实半轴为 ()1222a PF PF a ∴-=±， ()() ()22 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线12792 2=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 2 1+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的1 2 是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为3 2 l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则1 22 PF e PN PN PN PF ==?=.此时 PM 13752 2 5 PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127 92 2=-y x 中，令3y =，得2122 3.x x x =?=±∴ 0， 取23x =.所求P 点的坐标为233（，）. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为 x y 2 1 ±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2 214 x y k -= 点（1，3）代入：135 944 k = -=-.代入（1）： 2222 3541443535 x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b -=?± =即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为22 22 x y k a b -=，而无须考虑其实、虚轴的位置. X Y O F(6,0)M(5,3)P N P ′ N ′X= 3 2 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( A ) 2．中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为 （ B ） A ． x 2﹣ y 2=1 B ． x 2﹣y 2=2 C ． x 2﹣ y 2= D ．x 2﹣y 2= 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点 P （ 1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x ﹣ y=0，则双曲 线 C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． x 2 y 2 x 2 y 2 4. 已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝ 1（a ＞ b ＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝ 1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） 2 1 6 6 A ． 2 B ． 2 C ． 6 D ． 3 5．已知方程﹣ =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣ 1， 3） B ．（﹣ 1，） C ．（ 0， 3） D ．（ 0，） 6．设双曲线 =1（ 0＜ a ＜ b ）的半焦距为 c ，直线 l 过（ a ， 0）（ 0， b ）两点，已知原点到直线 l 的距离为，则双 曲线的离心率为（ A ） A ． 2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线与以椭圆 x 2 y 2 1的左焦点为圆心、半径为 16 的圆相切，则双曲 a 2 9 25 9 5 线的离心率为（ A ） A ． 5 B ． 5 C ． 4 D ． 6 4 3 3 5 8．双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点为 F 1、 F 2，∠ F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为 ( B ) 9．已知双曲线 x 2 y 2 1(m 0, n 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离是 2，一个顶点到它的一条渐近线的 m n 距离为 6 ，则 m 等于 ( D ) 13 A ． 9 B ． 4 C ． 2 D ．,3 10．已知双曲线的两个焦点为 F 1(－ 10，0)、F 2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足 uuuur uuuur uuuur uuuur MF 1 gMF 2 0,| MF 1 |g| MF 2 | 2, 则该双曲线的方程是 ( A ) 2 2 y 2 y 2 y 2 － y ＝ 1 B ． x － 9＝1 － 7＝1 － 3＝1 2 y 2 3| PF 1| ＝ 4| PF 2| ，则△ PF 1F 2 的面积等于 11．设 F 1，F 2 是双曲线 x － ＝ 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且 24 ( C ) A ．4 2 B ． 8 3 C ． 24 D ． 48 12．过双曲线 x 2－y 2＝ 8 的左焦点 F 1 有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ |＝ 7， F 2 是双曲线的右焦点，则△ PF 2Q 的周 【例1】若椭圆()0122φφn m n y m x =+与双曲线22 1x y a b -=)0(φφb a 有相同的焦点F 1 ，F 2 ，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 22a m - D. a m - 【解析】椭圆的长半轴为()121PF PF ∴+= ()122PF PF ∴-=± ()() ()22 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线12792 2=-y x 与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 2 1+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的1 2 是什么是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为3 2 l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则1 22 PF e PN PN PN PF ==?=.此时 PM 13752 2 5 PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127 92 2=-y x 中，令3y =，得212x x x =?=±∴Q f 0， 取x =所求P 点的坐标为（）. （2）渐近线——双曲线与直线 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为 x y 2 1 ±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2 214 x y k -= 点（1，3）代入：135 944 k = -=-.代入（1）： 2222 3541443535 x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b -=?± =即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为22 22 x y k a b -=，而无须考虑其实、虚轴的位置. X Y O F(6,0)M(5,3)P N P ′ N ′X= 3 2 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一.双曲线的定义及双曲线的标准方程: 1 双曲线定义:到两个定点Ｆ1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（<｜Ｆ1Ｆ2｜)的点的轨迹(21212F F a PF PF <=-(a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点. 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.(2）２ａ<|Ｆ1Ｆ２｜，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF １|－|MF ２|＝２ａ时,曲线仅表示焦点F ２所对应的一支; 当|MF 1|-｜ＭF 2|=－2a 时,曲线仅表示焦点Ｆ1所对应的一支； 当２a =｜Ｆ１Ｆ2｜时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线; 当2a ＞｜F １F 2｜时,动点轨迹不存在. ２.双曲线的标准方程:12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0,b>0).这里222a c b -=,其中 |1F 2F |=2ｃ．要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. ３.双曲线的标准方程判别方法是:如果2x 项的系数是正数，则焦点在ｘ轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部: (１)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->． (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三．双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b y ±=. (２）若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3）若双曲线与122 22=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上， 0<λ，焦点在y 轴上)． 四.双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1(ａ＞0,b ＞０) ⑴范围：|x |≥a ,y ∈Ｒ ⑵对称性:关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点:轴端点A 1(－a ,0)，A 2（a ,0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x 高中数学双曲线经典例题． 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 2222，，动圆Mx﹣4）与两圆+yC=21．已知两圆C：（x+4）+y（=2，C：112）都相切，则动圆圆心CM的轨迹方程是（2 B．A．x=0 ．C． D 、求适合下列条件的双曲线的标准方程：2 ，离心率为 x轴上，虚轴长为12；（1）焦点在 2）顶点间的距离为6．，渐近线方程为 （ 的双曲线的标、与双曲线3有相同的焦点，且过点准方程是 ）22，﹣）和B4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（﹣（，两点的双曲线的标准方 程． 是双曲线的两个焦点，是双曲线P=1F，上一点，F、已知521|=17，则|PF|的值为|PF ．若21 第2页（共11页） 二、离心率为该双曲线上一点，分别是双曲线的两个焦点，1、已知点F、FP21若△PFF 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．21 ）的两个焦点．若0，b＞a是双曲线C：（＞02、设F，F21．的离心率为 PFF=30°，则C⊥在C上存在一点P．使PFPF，且∠2121 ）0a，的焦距为2c，直线l过点（3、双曲线l0，）到直线）到直线l的距离与点（﹣1和（0，b），且点（1，0 ．则双曲线的离心率e的取值范围是（）的距离之和 C． D． BA．． 3、焦点三角形 2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，是双曲线1、设Px 已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 22=75的左右焦点，P﹣5y是双曲线3x、2．已知F，F分别是双曲线21上的一点，且∠FPF=120°，求△FPF的面积．21123、已知双曲线焦点在y轴上，F，F为其焦点，焦距为10，焦距是21实轴长的2倍．求：（1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠FPF=60°，求△PFF的面积．2211第3页（共11页） 4、直线与双曲线的位置关系 只有一个公共点，则L与双曲线，已知过点P（11）的直线＿＿＿＿的斜率直线Lk= 5、综合题型 222yx如图，已知椭圆(a>b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和1??222ab 椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程；双曲线专题经典练习及答案详解
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