古典概型解题技巧 摘要 概率论是数学学科中从数量的侧面来研究部分随机现象的规律性方面，其理论和方法渗透到了自然科学的各个领域，而古典概型是古典概率论的主要研究内容之一，也是概率论的研究中的一个经典的研究概型。古典概型的主要研究对象是等可能事件，深入研究古典概型有助于我们更好地理解概率论中一些基本的概念，掌握概率论中的基本规律，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。本文主要研究古典概型中的摸球问题，分球入盒问题，随机取数问题等几种模型，分析其解题思路，总结解题技巧以及思考其应用范围。 关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题 Title Abstract Keywords：
1 古典概型简介 随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。 在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。 在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。 2 古典概型的计算 我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。 如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。假设Ω是一个古典概型的样本空间，则对事件A：P（A）=A中的样本点数/Ω中的样本点数=m/n。在计算m 和n时，经常使用排列与组合计算公式。在确定一个实验的每个基本事件发生的可能性相同的时候，往往依据问题本身所具有的某种对称性，即利用人们长期积累的关于对称性的实际经验，认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或者偏小。【1】曾宏伟古典概型的概率计算方法与应用 3．1 分球问题 分球问题一般为将n个球分别放到N个盒子中去，这需要考虑各种不同的情况，比如，这n个球是否可辨，每个盒子是否有储存球的上线。而根据这些情况的不同，解题的方法与技巧也有所不同，得到的结论更是相差巨大。所以计算时需要仔细理解该题目的各项条件。例题如下： 四个可分辨的球，随机的投入到三个不同的盒子中，试求三个盒子都不空的概率。【2】安永红古典概型问题的推广 这一类题目可以从2种不同的角度去思考： 第一种从多余球的角度，有四个不同的球，而有三个盒子，那么基本
概率知识点总结 随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。 随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。 样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本 样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。 随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生， 则这一事件称为随机事件。 &必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。 9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。 10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。 11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生, 则该事件发生。利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。 事件的包含A 互不相容事件（互斥事件） AI B 1、 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。 2、 3、 概率论：是研究随机现象统计规律的科学。 4、 5、 占 八 6、 7、 事件的并（和） AUB 事件的交（积） AI B 事件的差A B A A B A B
(7)完备事件组：事件A,A 2,L ,A n 两两互不相容，且AUAUL U A n (8)事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、 De Morgan 定理 12、概率 P( ) 1 , P( ) 0 如果 A I ,A 2,L ,A n 两两互不相容，则 P (AUAUL U A n ) P (A i ) P(A 2)L P (AJ 如果A,B 是任意两个随机事件，则P(A B) P(A) P(AB) P (AUB) P(A) P (B) P (AB) n P(A)P(A j )P(A k ) L ( 1)n1 P(A ,A 2L A n ) 1 i j k n 12、古典概型 每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同 P(A) A 包含的基本事件数 I 丿试验的基本事件总数 13、条件概率：P HB)篇为事件B 发生的条件下’事件A 发生的条件 概率 力口法公式：P (AUB) P (A) P (B) P (AB)，若 A, B 互斥，贝 Jp( AUB) P (A) P(B) (6)对立事件(互逆事件) AUB AI B ，记 B A 如果 B A ，贝J P(A B) P(A) P(B) P (AUBUC) P (A) P (B) P(C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC) n P(A 1 UAUL U AJ P(A) i 1 1 i j P(A) P(A j )
2019学年高二数学古典概型知识点 古典概型是一种概率模型，是概率论中最直观和最简单的模型，小编准备了高二数学古典概型知识点，具体请看以下内容。 知识点总结 本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型 (1)定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。 (2)特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 (3)古典概型的解题步骤; ①求出试验的总的基本事件数 ; ②求出事件A所包含的基本事件数 ; 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能 事件除外)。 常见考法 本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查
古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。 误区提醒 在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)。 【典型例题】 例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率. 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44=256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有433=36(种)涂法.②若△AOB与△COD不同色，它们共有43=12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4322=48(种)涂法.故相邻三角形均不同色的概率 例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地
知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21 121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 6 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） （1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈
古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析：1.C 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析：2.A 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以 小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 求解．所以本题求小花朵落在小正 方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）
统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.
高中数学必修（3）导学案 2013-2014学年第二学期高一年级班姓名编写者使用时间2018-6-23 课题：§3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 1 课时学习目标： 1、知识与技能 （1）正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数； （2）正确理解古典改性的两个特征； （3）掌握古典概型的概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率. 2、过程与方法 鼓励学生通过实践、观察、类比，归纳总结出古典概型的概率计算公式，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力. 3、情感态度与价值观 通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，进一步培养学生用随机的观点认识世界，激发学生学习数学的热情和兴趣. 学习重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式. 学习难点：计算试验的所有可能结果数以及某事件所包含的结果数. 基础达标： 1、古典概型 （1）定义：具有以下两个特征的的数学模型称为古典概型（古典的概率模型）． ①试验的所有可能结果，每个试验只出现其中的结果． ②每一个试验结果出现的可能性． （2）基本事件 试验的称为基本事件． 2、随机事件A的概率 对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由组成．如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝．合作交流： 1、判断下列事件是否为古典概型． （1）在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽； （2）射击运动员向一靶心进行射击，射中与射不中； （3）向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的； （4）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次有放回摸球，每次摸一个； （5）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次无放回摸球，每次摸一个． 2、一个口袋装有大小相同的1个白球和与它编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个 球．求： （1）找出所有基本事件；（2）事件“摸出2个黑球”包括多少个基本事件？ 3、袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球， 求下列事件的概率． （1）A：取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． 思考探究： 1、在标准化的考试中既有单选题，又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有的正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？ 2、使用古典概型概率的计算公式时应注意些什么？
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
《古典概型的特征和概率计算公式》说课稿（1） 《古典概型的特征和概率计算公式》说课稿 一、教材分析： 《古典概型的特征和概率计算公式》是北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修3第三章第二节第一小节的内容。本节课内容是在学生已经学习了随机事件概率的概念基础上的延续和拓展。古典概型是一种特殊的数学模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率的精确值。它也为后面学习几何概型在思路上做了一个铺垫，在教材中起着承前启后的作用。同时，学习本节课的内容，能够大大激发学生学习数学、应用数学的兴趣。因此本节知识在概率论中占有相当重要的地位。 由于在这节课之前，教材中并没有安排排列组合知识，所以这节课的重点我认为不是“如何计算”，而是让学生通过生活中的实例与数学模型，来理解古典概型的两个特征，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型。所以我设计了这节课的重点和难点为： 1.重点：理解古典概型及其概率计算公式 2.难点：古典概型的判断 二、教学目标分析： 基于上述我对教材的地位和内容的剖析，根据新课程标准中发展学生数学应用意识的基本理念，结合学生已有的知识结构与心理特征，我制定了以下的教学目标： 知识与技能： 1.通过试验理解基本事件的概念和特点； 2.在数学建模过程中，抽象出古典概型的两个基本特征，推导概率的计 算公式； 3.掌握用列举法和分类讨论法解决概率的计算问题。 过程与方法： 通过模拟试验让学生理解古典概型的特征，观察类比各个试验，让学生归纳总结出古典概型公式。 情感态度与价值观：
1.用现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、善 于发现的创新精神，发展学生的数学应用意识； 2.经历公式的推导过程，体验由特殊到一般的归纳推理的数学思想方 法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度； 3.培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩证思想。 三、教法与学法分析： 数学是一门培育人的思维，发展人的思维的主要学科，因此，在教学中，基于这节课的特点我主要采用引导发现法和问题式教学法教学，运用多媒体等手段构造数学模型，激发学生学习兴趣，引导学生进行观察讨论、归纳总结。鼓励学生自做自评。 五、教学过程分析： （一）提出问题，引入新课 课前，老师已布置学生分组完成2个试验： ① 掷一枚质地均匀的硬币试验 ② 掷一枚质地均匀的骰子的试验。 各组学生展示模拟试验方法，并汇总试验结果，教师汇总并提出问题： ①两个试验的结果分别有几个？ 设计意图：引出基本事件的概念。 ②在掷骰子的试验中，随机试验“出现偶数点”可以由哪些基本事件 组成？ 设计意图：这一环节主要采用学生思考讨论，教师引导和学生归纳的方法，鼓励学生用自己的语言描述基本事件的特点。一方面激发学生的学习兴趣，另一方面，通过分析，加深对事件与基本事件关系的认识，为引出古典概型定义做好铺垫。 （二）思考交流，形成概念 例1．从字母a、b、c、d中任意取出两个不同的字母， ①在这个试验中，有哪些基本事件？(ab、ac、ad、bc、bd、 cd)
1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 3.2.1古典概型（教学设计） 宁夏彭阳县第一中学 张有花 一、 教材分析 （一） 教材地位、作用 《古典概型》是高中数学人教A 版必修3第三章概率3.2的内容，教学安排是2课时，本节是第一课时。是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值，同时古典概型也是后面学习条件概率的基础，它有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。 （二）教材处理： 学情分析：学生基础一般，但师生之间，学生之间情感融洽，上课互动氛围良好。他们具备一定的观察，类比，分析，归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备，反映在解题中就是思维不慎密，过程不完整。 教学内容组织和安排：根据上面的学情分析，学生思维不严密，意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。通过对问题情境的分析，引出基本事件的概念，古典概型中基本事件的特点，以及古典概型的计算公式。对典型例题进行分析，以巩固概念，掌握解题方法。 二、三维目标 知识与技能目标： （1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）理解古典概型的概率计算公式 ：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A （3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2．1 古典概型的特征和概率计算公式 整体设计 教学分析 本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标 1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神． 2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数 的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法，试验的所有可能结果数 学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度． 重点难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率． 教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．
概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。
第五节古典概型 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.理解古典概型及其概率计算公式． 2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事 件发生的概率. 高考对本节内容的考查多为选择题或填空 题，难度中低档，如2012年广东T7，上海 T11等. [归纳·知识整合] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． [探究] 1.在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？ 提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的．2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． [探究] 2.如何判断一个试验是否为古典概型？ 提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝ A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 [自测·牛刀小试] 1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为() A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3D．1
解析：选C 基本事件总数为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种．甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为2 3 . 2．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D ．1 解析：选C 用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个． 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( ) A.35 B.25 C.34 D.23 解析：选A 由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为610＝3 5 . 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5的下方的概率为________． 解析：点P 在直线x ＋y ＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P ＝66×6＝1 6 . 答案：16 5．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________． 解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足在圆x 2＋y 2＝9内部，所以所求概率为26＝1 3 . 答案：13
第5节古典概型 最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. 知识梳理 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等， 那么每一个基本事件的概率都是1 n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事 件A的概率P(A)＝m n. 4.古典概型的概率公式 P(A)事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数 . [常用结论与微点提醒] 1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法. 2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( ) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( ) (4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( ) 解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112 解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2， 3)，(3，2)，(4，1)共4个. 故所求概率为P ＝436＝19. 答案 B 3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 解析 甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25 ＝410＝25. 答案 B 4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由 这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则 口袋中原有小球的个数为( ) A.5 B.6 C.10 D.11
关于古典概率的计算（抽签问题） 1. 两种抽样方法 在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。 （1） 每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放 回的抽样。显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限 地进行下去。 （2） 每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称 为无放回的抽样。显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸 球只能进行有限次。 2. 计算古典概型的基本原则 初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算 当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。 3．例1 （抽签问题）袋中有a 根红签，b 根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别， 现有a+b 个人依次无放回的去抽签，求第k 个人抽到红签的概率。 解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k 次抽到红签的概率。如 考虑把签一一抽 排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法： 记A k =“第k 个人抽到一根红签”。 （1） 把a 根红签和b 根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的 签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就 等于a+b 根不同签的所有全排列的总数为（a+b ）！ 事件A k 包含的基本事件的特点是：在第k 个位置上排列的一定是红签，有 a 种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以A k 包 含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为： P A k =a . a +b?1 ！ a + b ！=a a + b （1≤k ≤a +b ） （2） 把a 根红签、b 根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一 列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本 事件，基本事件总数就等于（a+b ）根含有相同签的全排列总数为 a +b ！ a ！. b ！。 事件A k 可看成在第k 个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个 位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b 根是没有区 别的白签，共有 a +b?1 ！ a?1 ！b ！种放法，所以A k 包含的基本事件数为 a +b?1 ！ a?1 ！b ！，
§3.2.1 古典概型学案 学习目标：(1)理解古典概型及其概率计算公式； (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 学习重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 学习难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含 的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 学习过程： 一．复习旧知 1.什么是随机事件？ 2.什么是互斥事件？ 当事件A 、B 互斥时：___________)(=B A P Y ； 3.概率是怎样定义的？ 一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可 以将事件A 发生的频率()n f A 作为事件A 发生的概率的近似值,___)()(=≈A f A P n 二．预习课本P125-128,并回答以下问题： 1.试验一：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察可能出现几种结果？ 试验二：掷一颗均匀的骰子一次，观察可能出现几种结果？ 我们把试验中可能出现的每一个随机事件称为__________. 2.问题：（1）在一次试验中，会同时出现 “1点” 与 “2点” 这两个基本事件吗？ （2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？事件“出现的点数不大于4”呢？ 从以上两个问题归纳出基本事件的特点： （1）任何两个基本事件都是_________; （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成_________________. 3. 从a ，b,c,d 中任意取出两个不同字母的实验中，有几个基本事件？分别是什么？ 三．新课探究 1.古典概型 问题：试验一、二中每个基本事件出现的可能性是多大？ 观察对比，发现上述两个试验的共同特点： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有___________; （2）每个基本事件出现的可能性___________________. 我们将具有这两个特点的概率模型称为_______________. 例：判断下列是否为古典概型？为什么？ （1）同时抛掷两枚质地均匀的硬币； （2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个： 命中10环、命中9环……命中5环和不中环。 【归纳总结】 2.古典概型的概率 在上面的掷骰子的试验中，事件A “出现偶数点”发生的概率是多少？
知识点：古典概型 目录知识点总结常见考法误区提醒 知识点难易度 (中) 知识点总结 本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型 （1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。 （2）特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 （3）古典概型的解题步骤； ①求出试验的总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数； 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。 常见考法 本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。 误区提醒
在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。 【典型例题】 例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率． 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44＝256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率 例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品． 解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有62＝36(种)不同取法．
海南大学 毕业论文（设计） 题目：浅谈古典概型及其解题方法 学号：201116153100047 姓名：覃怀森 年级：12 级 学院：信息科学技术学院 系别：数学系 专业：数学与应用数学专业 指导教师：刘金容
摘要（是对论文内容的概括总结） 古典概型在概率论中占据着极为重要的地位。它既是概率论的基础入门，又是学习概率论过程的难点所在，因为其直白简洁的概念和计算公式，让我们更难掌握精准的解题方法。 古典概型之所以难以理解是因为:首先,古典概型涉及到的实际问题千变万化,需要敏锐的洞察力和深人细致的分析,才能解决古典概型问题;其次,古典概型的计算涉及到诸如加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识,特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆,而排列与组合则更难,都可能导致错误的计算结果。古典概型本身尽管复杂有关,但更重要的是:对古典概型的理解不深、不透彻,从而思考问题不得要领。（第二段可以简写） 对古典概型及其解题方法的研究，能系统地加深对概率论的理解和应用。本文通过系统的学习古典概型的概念和解题方法，达到更深层次对古典概型的的理解和更好的运用。（对论文干了什么工作可以写更详细点）在概率论中我们最先学到的知识就是古典概型，古概型是概率论的起源，是一切概率问题的基础，如何看清古典概型的本质是需要研究的问题，我们要让让古典概型这个既熟悉又陌生的名字，努力使之成为懂的人爱之越深，不懂的人不再一脸茫茫然。在此，需要我们系统的去深入学习和理解。 关键词：古典概型，样本空间，基本事件，解题方法
Abstract做相应修改 Classical probability plays a very important role in the theory of probability. It is not only the basis of probability theory, but also is learning probability on the process difficulty, because the concept and formula of the straightforward and simple, let us have more difficulty to grasp accurate method of solving problems. Classical probability type because it is difficult to understand .the reasons: first, classical probability relates to a kaleidoscope of practical problems and need keen insight and deep and careful analysis, in order to solve the classical type of probability; secondly, the classical probability calculations related to such as the addition principle, the principle of multiplication, permutation and combination, mathematical knowledge, especially it is easy to get confused about the application of the principle addition and multiplication, and arranged and combination is more difficult and may lead to incorrect results. , classical probability itself although complex, but more important is: on the classical probability type understanding is not deep, not thorough and think to no avail. The understanding and application of the theory of probability can be systematically studied by the research of the classical model and its solution method. In this paper, through the systematic study of the concept of classical concept and problem-solving methods, to achieve a deeper understanding of the classical model and better use of. In probability theory, we first learn the knowledge is the classical type of probability, the ancient probability is probability theory origin, is the basis of all probability problems, how to see the essence of classical probability is a need to study the problem, we must let the classical type of probability that both familiar and unfamiliar names, efforts to become people who understand the love more deep, do not understand the people no longer look blankly. Here, we need to go deep into the system to learn and understand. keywords:Classical probability model, Sample space, Basic event, Symmetry .