第五章 二次型
一、 温习巩固
1、写出下列二次型的矩阵
1）3111A -??= ?-??
2）1112133223112
A ??- ?
? ?
= ? ? ?-- ??
? 3）11102133022
311020
00A ?
?- ?
? ? ?= ? ?
-- ? ??
?
4）2
1
12
132********
23
3
a a a a a A a a a a a a a a a a ??
?= ? ???
5）2221A ??= ??? 6）135357579A ??
?
= ? ?
??
1. 写出下列矩阵对应的二次型
1）2
1232
13(,,)2f x x x x x x =+ 2）222
123123(,,)32f x x x x x x =-+
3）22212312
3121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+++++ 4）222
123412
3121323(,,,)23246f x x x x x x x x x x x x x =+++++ 2. 判定下列二次型的正定性
1）解： 222
1231132233(,,)3648f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为303012328A ??
?=- ? ?-??
，
130A =>，2303001
A =
=>，3303
01230328
A A ==-=>-，
所以123(,,)f x x x 为正定
2）解: 此二次型的矩阵为320222021A ??
??=??
????
顺序主子式320
32
33,
20,22240.22
021
==>=-<所以此二次型不是正定二次型.
3）22212312233(,,)(1)6f x x x x x x x x λλλ=-+-+，当λ取何值时，二次型f 为正定．
解 123(,,)f x x x 的矩阵为
1000303A λλλ-??
?=- ? ?-??
，
110A λ=->，()210
100A λλλλ
-=
=->，()()23190A A λλ==-->
3λ>从而，故当3λ>时，二次型f 为正定．
二、 练习提高
1.求一正交变换X PY =，把二次型2
123132(,,)2f x x x x x x =+化为标准型。
解：此二次型的矩阵为001010100A ??
??=??
????
，特征多项式201()010(1)(1)10f λλλλλλ-=-=-+-， 对应121λλ==有特征向量10,1?????????? 01,0??????????对应31λ=-有特征向量10,1????????-??
取00
10,0
P =??并令X PY =，则二次型2
123132
(,,)2f x x x x x x =+可化为222123y y y +-。 2.求一个正交变换X PY =，把二次型312322
212x x x x x f -++=化为标准形。 解：此二次型的矩阵为101010101A -??
??=??
??-??
，特征多项式101()010(1)(2)101f λλλλλλλ-=-=---， 对应10λ=有特征向量10,1??????????对应21λ=有特征向量01,0??????????对应32λ=有特征向量10,1????????-??
取00
10,0
P =??并令X PY =，则二次型312322
212x x x x x f -++=可化为22
232y y +。 3. 确定t 使3231212
32
22
13214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型。
解：此二次型的矩阵为1112125t A t -??
??=??
??-??，二次型正定的充要条件为此矩阵正定，即要求 11
10,120,1125
t t t t ->>-解得4
05
t -<<。 4. 已知二次型())0(2332,,322322
21321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换Py x =可以化为标 准形2
3222152y y y f ++=，试求参数a 和正交矩阵P 。
解：此二次型的矩阵为2000303A a a ????=??????，由题意知道2000303A a a ????=??????与对角矩阵100020005??
??Λ=??
????
相似。 所以200
0310,03
A a a == 解得2a =。也已知道矩阵A 的特征值为1，2，5。
对应11λ=有特征向量01,1????????-??对应22λ=有特征向量10,0??????????对应35λ=有特征向量01,1??????????
所以可以取01000
P ??
?
?=。 5. 证明：
(1) 设U 为可逆矩阵,,U U A T = 证明：Ax x f T =为正定二次型。
证明：0,0x Ux ?≠≠（因为U 为可逆矩阵）
2
()()()()()0T T T T T T f x Ax x U U x x U Ux Ux Ux Ux =====>，所以Ax x f T =为正定二次型。
(2) 设对称矩阵A 为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵U ,使得U U A T =。 证明：参考135P 推论5.2。
(3) 设对称矩阵A 为正交矩阵，证明：对于任何向量x 成立Ax x =。
证明：若A 为正交矩阵，则T
A A E =，
从而()()()()()22
T
T T T T T Ax Ax Ax x A Ax x A A x x Ex x =====
。
三、 思考与深化
1．验证并思考：二次型222
123112223133(,,)25202216416f x x x x x x x x x x x x =++--+
经过正交变换
1
2211333212223
332
21333
3
3x y x y x y ---??????
??????=??????????????????
则椭球面方程2
221
122
23133
2520221641636x x x x x x x x x ++--+=化成了标准形式22
2
123
142y y y ++=. 2. 设0:()f U P R →是定义在12
00
00(,,)m
P x x x =的邻域0()U P 上的多元实值函数且属于
()(2)0(),C U P R 的函数（即所有二阶偏导数在此邻域内连续）
。 若
00012()()()0m f f f
P P P x x x
???====???，称0P 是函数f 的临界点。 （1） 在临界点的泰勒展开式
()22
11
22
120
00
0,11(,,
,)(,,
,)()2!m m m
m i j i j i j f
f x h x h x h f x x x P h h o h
x x
=?+++=++??∑ （14）
（2） 当二次型20,1()m
i j
i j i j f P h h x x
=???∑正定的时候，f 在0P 取得局部极小值；
当二次型20,1()m
i j i j i j f
P h h x x
=???∑负定的时候，f 在0P 取得局部极大值。
（3） 求二元函数(,)sin()sin()f x y x y =在正方形区域[0,2][0,2]ππ?上的极值。
分析： 记二次型 20,1()m
i j i j i j f
P h h x x
=???∑ （15）
注： 二次型（15）对应的矩阵是
222111212222122222212()m m
m m m m f f f x x x x x x f f f x x x x x x x f f f x x
x x x x ????????????????????
???????????
????????????????
通常称为是函数 给定点的Hesse 矩阵。
解：（3）考虑函数(,)sin()sin()f x y x y =在开区域(0,2)(0,2)ππ?内可能的极值点。
由cos()sin()0,sin()cos()0f
x y x f x y y
??==??????==???
解得可能的极值点1233(,),(,),(,),2222P P P ππππππ===45
333(,),(,)2222
P P ππππ
==
又记()()()()222222sin()sin()cos()cos()
()cos()cos()sin()sin()f f
P P x y x y x x y A P x y x y f f
P P y x y ??????-???????==????-?????????????
1510()()01A P A P -??
==??-??，此矩阵负定，所以f 在15,P P 点取得局部极大值； 2410()()01A P A P ??
==????
，此矩阵正定，所以f 在24,P P 点取得局部极大值； 301()10A P ??
=????，此矩阵不定，所以f 在3P 点不取局部极值。从几何图形上看，这些结论是明显的。
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
一单选题 1. 兰州大学网络教育学院成立于 1999年 2000年 2001年 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答： 2000年 标准答案： 2000年 2. 网络协议确定了计算机网络传递和管理信息的规范，其中TCP/IP属于 超文本传输协议 传输控制协议 邮件传输协议 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答：传输控制协议 标准答案：传输控制协议 3. 被录取的学生须持录取通知书、身份证和学历证明书，在规定日期内到哪里办理入学手 续 学习中心 报名点 网络学院 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答：学习中心 标准答案：学习中心 4. 曾参加兰州大学网络教育并取得专科或本科毕业证书者，继续修读兰州大学网络教育时
可免修部分学分 可免考部分学分 可免考公共课 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答：可免修部分学分 标准答案：可免修部分学分 5. 远程教育作为一种独立的教育形态，起源于 19世纪50年代 19世纪40年代 19世纪70年代 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答： 19世纪40年代 标准答案： 19世纪40年代 6. 网络协议确定了计算机网络传递和管理信息的规范，其中HTTP属于超文本传输协议 传输控制协议 邮件传输协议 本题分值： 5.0 用户得分： 0.0 用户解答：传输控制协议 标准答案：超文本传输协议 7. 学院的教学管理平台有许多功能，学生学习主要使用（）功能 教师平台 管理平台
学生平台 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答：学生平台 标准答案：学生平台 8. 我国批准网络教育试点的时间是 1998年 2000年 1999年 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答： 1999年 标准答案： 1999年 二多选题 1. 兰州大学网络教育已经建成那些系统，为学生提供服务 管理系统 服务系统 学习系统 人事系统 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 用户解答：管理系统 | 服务系统 | 学习系统 标准答案：管理系统 | 服务系统 | 学习系统 2. 现代远程教育的特征有 突破了学习空间的局限 突破了学习时间的局限
第四章 线性方程组 1．线性方程组的基本概念 (1)线性方程组的一般形式为： 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0). 即[] n a a ,,a 21ΛΛ??? ?? ? ??????n x x x M 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a ΛΛ 如下 ????????????= 121111m a a a M α ，????????????=222122m a a a M α，………，????????????=mn n n n a a a M 21α, ? ? ??? ???????=m b b b M 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21ΛΛ线性表示。 矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0). ? ? ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ M O M M Λ Λ 2 122221 11211 ，????????????=n x x x X M 2 1 ???? ? ???????=m b b b M 21β 其中A 为m n ?矩阵，则： ① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。 矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21ΛΛ，β），称矩阵A 为方 程组的增广矩阵。 2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合 c 1η1+ c 2η2+? + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。 性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线 性方程组的一个解。 3.线性方程组解的情况的判别 （1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ). 若有非零解? r(A ) 第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T + 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T 1. Children need many things, but ___they need attention. in all for all above all after all 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： in all 标准答案： above all 2. Many people believe we are heading for environmental disaster ___ we radically change way we live. but although unless lest 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： but 标准答案： unless 3. He glanced over at her, ______ that though she was tiny, she seemed very well put together. noting noted to note having noted 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： noting 标准答案： noting 4. Even though he has lived in China for many years, Mark still can not _______ himself to the Chinese customs. adopt adjust adapt accept 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： adopt 标准答案： adapt 5. Sometimes you may even find several children share one patched paper, which has traveled from one hand to ____ driven by the curious nature. the others some others another others 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： the others 标准答案： another 6. ____ hard I tried, I couldn’t catch up with him. No matter how much Although No matter how 第四章 二 次 型 练习4、1 1、写出下列二次型的矩阵 （1）),,(321x x x f =32312 221242x x x x x x -+-； （2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。 解：（1）因为 ),,(321x x x f =),,(321x x x ????? ??---01211020 2??? ?? ??321x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：??? ? ? ??---01211020 2。 （2）因为 ),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ?? ? ?? ?? ??010********* 1110 ?????? ? ??4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：?? ? ? ? ? ? ? ?010********* 1110。 2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： （1）??? ??? ?? ??--- - 22 2 12021 212 11； （2）?????????? ? ??---1212102102112121 12101210。 解：（1）设T 321),,(x x x X =，则 ),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ?????? ? ? ?? --- - 22 2 12021212 11????? ??321x x x =3231212 32142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T 4321),,,(x x x x X =，则 ),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ????????? ? ? ? ?---121210 210211************??????? ??4321x x x x =43423231212 4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。 练习4、2 1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。 （1）),,(321x x x f =32212 221442x x x x x x --+； （2）),,(321x x x f =322122x x x x -； （3）),,(321x x x f =32212 322214432x x x x x x x --++。 兰州大学网络教育英语作业 1. You can take ______ seat you like. no matter what no matter which what whichever 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： whichever 标准答案： whichever 2. Our talk was completely ________out by the roar of the machines. As a result, we had to communicate with gestures. decreased reduced smashed drowned 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： drowned 标准答案： drowned 3. Meeting my uncle after all these years was an unforgettable moment, ___ I will always treasure. that one it what 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： one 标准答案： one 4. Snap judgments, if ________, have usually been considered signs of immaturity or lack of common sense. taking seriously taken seriously take seriously to be taken seriously 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： taken seriously 标准答案： taken seriously 5. He was punished ________ he should make the same mistake again. unless if provided lest 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： lest 标准答案： lest 6. Have you ever noticed that Jack always ________ a picture of quiet self-worth? impresses focuses projects communicates 线性代数练习册第四章习题及答案 ： 篇一：线代第四章习题解答 第四章空间与向量运算 习题4.1 4-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离． 解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0) (2) AB? ?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上 C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v． 解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c 4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解： 设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。 4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u 上的投影． ? 解：. p rju ?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r 。 3 ＝23 2 4-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z ） p rjx AB?(2?x0)?4 p rjy AB?(?1? y)??4 p rjz AB?(7?z0)?7 解得： x ??2y?3z0?0 4-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位 线代练习册第五章B 卷 1、 一，填空题 二次型f(1x ,2x ,3x )=222312132322448x x x x x x x x ++-+的矩阵 A=022224242-?? ? ? ?-?? ,经正交变换二次型的标准形是f=222123264y y y +-。 解：E A λ-=222 2 42 42λλλ------=22066242λλλλ-----=24 060242 λλλ---+ =(2)(6)(4)λλλ--+ 令E A λ-=0，则12λ=，26λ=，34λ=- 当12λ=时，2E-A=222204240-?? ?-- ? ?-??→ 120102000-?? ? ? ???,R(2E-A)=2<3, ∴同解方程组12 132020x x x x -=??+=?，令3x =1，则1α= 211-?? ?- ? ? ?? ； 当2λ=6时，6E-A= 622240244-?? ?- ? ?-?? →100011000?? ? - ? ??? ,R(6E-A)=2<3, ∴同解方程组12300x x x =??-=?,令3x =1, 则2α=011?? ? ? ? ?? ；- 当3λ=-4时，-4E-A= 422264246--?? ?--- ? ?--?? → 110011000?? ? ? ??? ,R(-4E-A)=2<3, ∴同解方程组122300x x x x +=??+=?,令2x =1, 则3α= 111-?? ? ? ? -?? 将1α、2α、3α单位化，得 Q= 0? ? ? ? ? 做正交替换得X=QY, f= 264T Y ?? ? ? ?-?? Y=222 123264y y y +- 财务1201 包晓燕 2.二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的正、负惯性指数分别为p=2,q=0 解： 222 11213223322123232 212 222222113 2()()222322f x x x x x x x x x x x x x x y y =+++-+=+ ++-=+ 其中112311 22 y x x x =++ 223y x x =- 所以正惯性指数为2 负惯性指数为0 财务1201 陈思怡 3．二次型22212312323123(,,)(2)(23)(3)f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++正定，则a 的取值为1a ≠ 解：2 2 212313122313(,,)2(13)(26)(212)(24)f x x x x a x a x x a x x a x x =+++++++- 第四章复习题答案 一、选择题 1、向量组ααα１２３，，线性无关的充要条件为（ C ） A 、ααα１ ２３，，均不是零向量 B 、ααα１ ２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１ ２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关 解析：（1）线性相关?至少一个向量能由其余两个向量线性表出 （2）线性无关?任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ） A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关 C 、Ａ的两行元素成比例 D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ） A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0 B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关 C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关 D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0 4、设12,s ααα 均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα 线性相关 B 、若向量组12,s ααα 线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示 C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠ k ，则向量组12,s ααα 线性无关 D 、若向量组12,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示 解析：（1）线性相关?至少一有个向量能由其余两个向量线性表出 不是任意 二、填空 1、设12311112010ααα===T T T （，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22 ()33 a a ≠= 2、设Ａ为35?的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2 3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，， 则四阶行列式12312αααββ+= ，，，（）m n + 4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。 5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b = 三、判断 1、若向量组123,,n αααα 线性相关，则1α可有23n ααα ，线性表示。 （ × ） 2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。 （ √ ） 3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。 （ × ） 4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关 （ √ ） 5、向量组12,,m ααα 线性相关，则向量组12,,,m αααβ 也线性相关。 （√ ） 6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示 （√ ） 7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的 （√ ） 8、若12,ξξ为齐次线性方程组 0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解 （√ ） 三、计算及证明 1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。 解：设12345(,,,,)A ααααα= 1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =- ----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3] [19,1,0,10,11] T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使 11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 11223,k k k βααα=++则表示系数123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关. 解：正确。因12,αα线性相关，即存在不全为零的数12,,k k 使 11221122120,000k k k ααααββ+=+++=从而k .因12,,0,0k k 不全为零，所以 1212,,,ααββ线性相关。 4.判断向量β能否由向量组1234,,,αααα线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) [][][]121,1,2,2,1,1,0,0,2,2,0,0, T T T βαα===[] 30,0,1,1T α=， []40,0,1,1T α=-- 解：显然 131342βααααα=+=+- (2) [][][]121,2,5, 1,1,1,1,2,3,T T T βαα=-==[]32,1,1T α=-，[]40,0,0.T α= 解： 设112233,βχαχαχα=++得到方程组 1232233 2321 2535 x x x x x x x x x ++=?? +-=??++=? 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 211231321 1211 12110541 2120133 013321 3 1502 140 5 10r r r r A r r r r ???? ?? --??????=------??????---???????????? 23132351 0541 00650133010330 1 20 1 2r r r r r -????-????--????+???????? 故 1236,3,2,x x x =-==12 3 46320. βαααα∴ =-+++ 入学教育秋第一套作业答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： :1 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容: 我国首批批准网络教育的试点高校有几所（p004) A、4所 B、3所 C、5所 学员答案:A 题号:2 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容: 远程教育专家德斯蒙德·基更将远程教育培训机构分为几种类型（p006） A、5种 B、3种 C、4种 学员答案:C 题号:3 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容: 远程教育发源于(p001) A、英国 B、美国 C、中国 学员答案:A 题号:4 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容: 我国批准网络教育试点的时间是（p004) A、1998年 B、2000年 C、1999年 学员答案:C 题号:5 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:5 内容: 远程教育作为一种独立的教育形态，起源于（p001） A、19世纪50年代 B、19世纪40年代 C、19世纪70年代 学员答案:B 题号:6 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:5 内容: 网络教育教学资源主要包括哪几类（P023，教学资源） A、文字教材 B、音像教材 C、网络课程 学员答案:ABC 题号:7 题型:是非题本题分数:5 内容: 现代远程教育是利用互联网来学习的一种新型教育方式（P045） 1、错 2、对 学员答案:2 题号:8 题型:是非题本题分数:5 内容: 学生可在所学课程的[学习情况查询]模块下查询论坛发帖、作业完成等课程学习情况。（P051） 1、错 2、对 学员答案:2 题号:9 题型:是非题本题分数:5 内容: 论文写作前，要仔细查看论文写作办法和要求，并下载开题报告模板，按照模板要求写作（P059） 1、错 2、对 学员答案:2 题号:10 题型:是非题本题分数:5 内容: 学院的每套网上作业可以多次提交（P054） 1、错 2、对 第二章 矩阵及其运算 1. 已知线性变换: ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 21332123 11542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 201 3514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z , 所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x . 3. 设???? ??--=111111111A , ??? ? ??--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503, ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积: (1)??? ? ?????? ??-127075321134; 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635. (2)???? ??123)321(; 解 ??? ? ??123)321(=(1?3+2?2+3?1)=(10). 第三章 行列式 习题3.1 3-1-6.用定义计算行列式 （1）()2,1,0,,,0 0000002 2 221111 4=≠= i d c b a d c b a d c b a D i i i i 解：设4 44?=ij a D 则4D 中第1行的非0元为113111, b a a a ==，故11,3j = 同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j === ∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --= (2)010...0002 0 000...000 0 n D n =M M M M 解：由行列式的定义121212()12(1)n n n j j j n j j nj j j j D a a a τ= -∑L L L 仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零 12121()(231)1212231(1) (1) (1)(1)(1) 12(1) ! n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-?=-?L L L L L 习题3.2 3.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γ γ γ βββ α αα 证明: 222222222 22222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c ααααααα ββ βββββγγ γ γ γ γγ -=-+-左0= (2) 3 2 2)(11122b a b b a a b ab a -=+ 证明:23 22 2 212()()2()1100 1 c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a b a b b a b a b a b --------==---左 右=-=3)(b a (3) 1212112 21100001000001n n n n n n n n x x x a x a x a x a x a a a a a x -------=+++++-+L L M M M O M M L L L 证明: 按最后一行展开，得 1211000000010001000 (1)(1)0 0010000100 10001 n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L L L 左 1. 毕业证书遗失后的处理办法是（P088） 补办毕业证办理毕业证明书办理毕业成绩单 标准答案：办理毕业证明书 2. 兰州大学网络教育规定每门课程考试的时间是（P083） 90分钟120分钟150分钟 标准答案： 90分钟 3. 1409批次及以后的学生，课程讨论参与成绩满分10分，每学期每门课程参与有效讨论多少次以上即可获得相应成绩（P077） 1次2次3次4次 标准答案： 2次 4. 远程教育发源于(p001) 英国美国中国 标准答案：英国 5. 远程教育作为一种独立的教育形态，起源于（p001） 19世纪50年代19世纪40年代19世纪70年代 标准答案： 19世纪40年代 6. 一般的电子邮箱地址有几部分组成（P043） 43 2 标准答案： 3 7. 网络协议确定了计算机网络传递和管理信息的规范，其中TCP/IP属于（P037，网络协议） 超文本传输协议传输控制协议邮件传输协议 标准答案：传输控制协议 8. 电子数字计算机：所有信息以几进制数表示（P029,计算机分类） 十进制十六进制二进制 标准答案：二进制 二多选题 1. 兰州大学网络教育已经建成那些系统，为学生提供服务（P013) 管理系统服务系统学习系统人事系统 标准答案：管理系统 | 服务系统 | 学习系统 2. 网络教育教学资源主要包括哪几类（P023，教学资源） 文字教材音像教材网络课程 标准答案：文字教材 | 音像教材 | 网络课程 三判断题 1. 当前，学院的学习支持服务类型有热线电话、短信、论坛、QQ、邮件等形式。（P066） 错对 标准答案：对 2. 全国高校远程教育协作组的主要任务是制定网络教育管理规定（P019第四段） 对错 标准答案：错 3. 目前学校以知识点为单元制作教学资源，每节课讲授时间不超过30分钟，便于学生利用较短的时间学习知识 错对 标准答案：对 4. 计算机病毒，是指编制成单独的或者附着在其他计算机程序上用以破坏或降低计算机功能或者毁坏数据，影响计算机使用，并能够自我复制的一组计算机指令或者程序代码。（P044） 错对 标准答案：对 5. 现代远程教育的学生主要是依靠院校提供的各种教学资源进行自主学习 (P023，教学资源） 错对 标准答案：对 第五章 相似矩阵及二次型 一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 不一定等价.( ) 5.若n 阶矩阵A 有n 不同的特征值，则A 相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n 阶矩阵A 和B 相似，则它们一定有相同的特征值.( ) 9．n 阶实对称矩阵A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A 是正定矩阵，则A 的特征值全为正.( ) 二、单项选择题 1. 设,则001010100A ?????=????? A 的特征值是( ). (A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2 2. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是1122k x k x +A 的特征向量的充分条件是( ). (A) (B) (C) 120k k ==且00120k k ≠≠且120k k = (D) 1200k k ≠=且 3. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( ). (A) A B = (B) ||||A B = (C) A 与B 相似 (D) A 与B 合同 4. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则的特征根之一是( ). *A (A) (B) (C) 1||n A λ?1|A λ?|||A λ (D) ||n A λ5. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）. (A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. ||||A B =是阶矩阵n A 与B 相似的( ). (A)充要条件 (B)充分而非必要条件 第三章 习题与答案 习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα， 其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性线性代数第五章 课后习题及解答
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