第11章 动量定理
应用质点运动微分方程求解动力学问题，求微分方程的积分通常是比较麻烦的，特别是对于质点系动力学问题，若要分别确定每个质点的运动，就是必须求微分方程组的积分，这在大多数情况下是非常困难的，一般无法求得精确解。
对于某些动力学问题，往往不必求出各质点的运动情况，而只需要知道质点系整体的运动特征就够了。例如，刚体只需确定质心的运动和绕质心的转动。能够表征质点系运动特征的量有动量、动量矩和动能，这些量与力的作用量之间的关系，即为动量定理、动量矩定理和动能定理，统称为动力学的普遍定理。
动力学的基本定律都可以作为牛顿定律的推导结果，但必须指出这些反映力学现象各个不同方面的普遍性质的定理是前人分别发现的独立的基本规律，但为了讲述的方便，我们仍从牛顿定律出发来推导这三个定理。
§11-1 动量与冲量的概念
例1.图示各均质物体重Q ，物体尺寸与质心速度或绕轴转动的角速度如图示。试计算各物体的动量。
图11-1
解：由c M =P v （a ）2
C l
v ω=，2C C Q Ql P Mv v g g
ω===，方向同C v （b ）0C v =,0C P Mv == （c ）C v R ω=,C C Q Q
P Mv v R g g
ω==
=，方向同C v
（d ）C v v =,C Q P Mv v g
==
,方向同 v 例2.椭圆规尺AB 的质量为2m ，曲柄OC 的质量为1m ，滑块A 和B 的质量均为2m ，OC AC BC l ===，曲柄与尺为均质杆。设曲柄以匀角速度ω转动。求此椭圆规机构的动量的大小与方向。
图11-2
解：取坐标系Oxy 如图所示，机构各部分质心的坐标为 0A x =，2sin A y l t ω= 2cos B x l t ω=，0B y = cos C x l t ω=，sin C y l t ω= cos 2D l x t ω=，sin 2
D l y t ω= 整个机构质心G 的坐标为
1222111212452cos 32322i i
A B C D G
i m m m x m x m x m x m x l x t m
m m m m ω++++=
==?++∑∑
1222111212452sin 32322
i i
A B C D G i
m m m y
m y m y m y m y l
y t m
m m m m ω++++=
=
=?++∑∑
将G x ，G y 分别对时间求一次导数，得
121245sin 322
G m m l x
t m m ω
ω+=-?+
121245cos 322
G m m l y t m m ωω+=?+
则整个机构质心G 的速度
121245322
G m m l v m m ω
+==
?+
设G v 与水平方向的夹角为θ，则
tan G G
y
ctg t x θω=
=- 故 090t θω=+
显然，G v 的方向垂直于OC ，如图所示。
于是，该椭圆机构的动量
()()
11
2122124532453222
G m m l l P Mv m m m m m m ωω
+==+?
?=++ 方向与G v 相同。
本题还可用下面更简便的方法解得
112(22)OC ACB D C m m m =+=++P P P v v
而
2
D l v ω= 方向垂直于OC C v l ω= 方向垂直于OC 所以
11212112()(54)2
2
P m l m m l m m l ωωω=++=+
方向垂直于OC 。
例3 如图所示的椭圆规，OC AB BC l ===，曲柄OC 与连杆AB 质量不计，滑块,A B 的质量均为m ，曲柄以角速度ω转动。试求系统在图示位置时的动量。
图11-3
解：方法一 利用式（1），有
A B m m =+P v v
用点的运动学方法求,A B 两点的速度A v 与B v 的大小
2sin A y l ?= 2cos 2cos Ay v l l ?
?ω?== 2cos B x l ?= 2sin 2sin Bx v l l ?
?ω?=-=- 将该式代入式（1），得系统动量为
2(sin cos )m l ω??=-+P i j 方法二 利用式（3）,有
c M =P v
系统的质量为2M m =，质心在C 点，C 点的速度可表示为 (sin cos )C l ω??=-+v i j 则有
2(sin cos )m l ω??=-+P i j
与方法一的结果相同。
§11-2 动量定理
例1.已知：锤重300N Q =， 1.5m H =，自由落下，锻件发生变形历时0.01s τ=，求锻锤对锻件的平均压力m N
图11-4
解：研究对象：锤，建立坐标系如图。受力分析：Q ，m N
。由质
点动量定理的积分形式
2
1
21t x x x t mv mv F dt -=??
注意1t =
100()()m Q t N ττ-=?++-? 解得
1()
16.9KN m Q t N ττ
+=
=
m N 是工件对锻锤的平均反力，则由作用力与反作用力定律，锻锤对工件的平均压力也是16.9KN 。
例2.质点A 的质量为M ，沿倾角为α的斜面向上运动，初速度为
0v ，质点与斜面间的动滑动摩擦系数为f ，求停止前所经过的时间。
图11-5
解：以质点A 为研究对象并受力分析，受有重力P 、斜面支承力N 和摩擦力F ，且F N f =，建立图示坐标系。质点沿斜面作直线运动，计算初始及停止时质点的动量
00M =p v ，0=p （1） 列质点积分形式的动量定理
0()t -=++?p p P N F （2） 将上式投影到y 轴和x 轴上，得
0(cos )N Mg t α=- （3） 00(sin )Mv F Mg t α-=-+ （4）
由式（3）得 cos N Mg α=，所以cos F Mgf α=代入式（4）得 0
(cos sin )
v t g f αα=
+
本题也可由质点的运动微分方程求解，即
(sin )Mx
F Mg α=-+ （5） 即
(cos sin )x g f αα=-+
（6） 对式（6）进行积分，即可求得t 。由此可见，用动量定理解质点动力学问题比牛顿第二定律较为直接，较为方便。
例3.炮弹的质量为M ，发射速度为0v ，仰角为α，不计空气阻力，求炮弹的运动规律。
图11-6
解：以炮弹为研究对象，建立如图所示坐标系，发射点为坐标原点，水平轴为x 轴，铅垂轴为y 轴。炮弹仅受有重力P ，瞬时t 运动至图示位置，速度大小方向均为未知，设为如图方向。列积分形式的动量定理，可得
0cos 0x Mv Mv α-= （1） 0sin y Mv Mv Mgt α-=- （2） 由式（1）得
0cos x v v α= （3） 由式（2）得
0sin y v v gt α=- （4） （3）式和（4）式也是炮弹的运动微分方程式
0x =
y g =-
的第一次积分。
将x dx v dt =
，y dy
v dt
=代入式（3）和式（4），积分一次，即可得到炮弹的运动方程。
0cos dx
v dt α= 0sin dy
v gt dt
α=-
000cos x t
dx v dt α=?? 000(sin )y
t
dy v gt dt α=-?? 可得
0cos x v t α= （5） 201sin 2
y v t gt α=- （6） 这是熟知的炮弹在真空中的运动方程.由（5）式和（6）式消去时间t ，便得到炮弹的轨迹方程：
2
220tan 2cos gx y x v αα
=-
例 1.机车以72km/h v =的速度沿直线轨道行驶。平行推杆ABC 的质量200kg m =，近似看作沿长度均匀分布。曲柄123O A O B O C === 0.3m l =，质量忽略不计，车轮半径1m r =，在轨道上滚动而不滑动。求车轮对轨道压力的最大值。
图11-7
解：研究对象：整个机车，为质点系
受力分析：五个力，连杆重力P ，三个轮子重力3M g ，轨道支反力y N 。
运动分析：写出轮子的动量：13M =P v ，方向水平向右。
平行推杆的动量：2()A e r m m ==+P v v v 质点系的动量：12=+P P P 式中e v v =，r vl
v r
=
垂直于1O A ，方向如图。 列质点系的动量定理 y e iy dP F dt
=∑
sin 3y d vl m N Mg mg dt r ???-=-- ??? cos 3y vl d m N Mg mg r
dt
?
?-?=-- 由于
d v
dt r
?ω==代入上式，可得 2
23cos y lv N Mg mg m r
?=+-
其中3Mg mg +是静约束力，2
2cos lv m r
?-是动约束力，显然，当?π=
时，cos 1?=-（此时平行推杆在最低位置），动约束力最大，其数值为24KN 。机车对轨道的动压力为动约束力的反作用力，其最大值亦为24KN ，方向向下。
例 3.如图所示，质量为1m 的矩形板可在垂直于板面的光滑平面上运动，板上有一半径为R 的圆形凹槽，一质量为2m 的甲虫以相对速度r v 沿凹槽匀速运动。初始时板静止，甲虫位于圆形凹槽的最右端（即00θ=）。试求甲虫运动到图示位置时，板的速度和加速度及地面作用在板上的约束力。
图11-8
解：研究对象：板和甲虫组成的质点系
受力分析：只分析外力，不分析内力，受力如图。 运动分析：板作平动，设其速度为1v ，
则板的动量：111m =p v
甲虫的动量：221()r m =+p v v
质点系的动量：121121()r m m =+=++P p p v v v
因0e ix F ≡∑，有x P =常量，即 0x x P P =
根据初始条件，当0t =时100v = ，r v
垂直于x 轴，所以00x P =，在任一时刻
1121(sin )0x r P m v m v v θ=+-= 解得
2112
sin r m v v m m θ
=
+
将上式对时间求导，可得板的加速度
12112
cos r dv m v a dt m m θ
θ==
+ 式中r
v R
θ=
代入上式，得 22112cos ()r m v a m m R
θ
=+
求地面作用在板上的约束力，列出质点系的动量定理在y 方向上的投影式
12y N dP F m g m g dt
=--
式中2cos y r P m v θ=代入上式，可得
212
(sin )()r N m v F m m g θθ-=-+ 则有
22sin ()r N m v F m m g R
θ
=+-
例4.如图所示，质量为m 的滑块A 可以在水平光滑槽中运动，具有刚度系数的弹簧一端与滑块相连，另一端固定。杆AB 长l ，质量不计，A 端与滑块A 铰接，B 端装有质量为1m ，在铅垂平面内可绕A 点转动，设在力矩M 作用下转动角速度ω为常数，如在初瞬时0?=，弹簧恰为原长，求滑块的运动规律。
解：取滑块、连杆和小球组成的质点系为研究对象，如图以弹簧原长自由端为原点建立Oxy 坐标系，对该质点系受力分析有1m g ，m g ，N ，kx =-F i 。滑块A 为平动，设其速度为v ；小球视为动点，滑块为动系，小球相对滑块A 作圆周运动，设相对速度为r v ，由点的速度合成定理，小球的绝对速度为r v +v 。质点系的动量可写为
1()r m m =++P v v v
质点系的动量在x 轴方向上的投影为
1(cos )x P mv m v l t ωω=++
由质点系动量定理
图11-9
e x
ix dP F dt
=∑ 有
21(sin )x
A A A dP mx m x l t kx dt
ωω=+-=- 整理得 211()sin A A m m x
kx m l t ωω++= 即
2111
sin A A m l k
x x t m m m m ωω+=++ 令
21n
k m m ω=+，211
m l
h m m ω=+
则有
2
sin A n A x x h t ωω+=
这是一个单自由度无阻尼强迫振动的微分方程，其通解为
2
2
sin()A n n h
x A t ωαωω=++
- 式中A 与α为由初始条件确定的积分常数。
例 5.小车质量为M ，人的质量为m ，以共同速度0v 沿着光滑水
平直线轨道匀速前进，如人以相对于车的速度r v 向后跳出，求车前进的速度。
图11-10
解：研究对象：整个系统
受力分析：由于不计摩擦，作用于系统上的外力都沿铅垂方
向，所以系统在水平方向上动量守恒。
人跳车前系统的动量为0()M m +v ，
人跳车后系统的动量为()r M m ++v v v ，其中v 是待求的车的速度，()r +v v 是人的绝对速度，注意牵连速度是v 而不是0v ，即人相对于车的速度r v 是相对于变化后的车速v ，而不是变化前的车速0v ，人不跳出时，相对于车的速度为零。
根据质点系的动量守恒定理可得
0()()r M m v Mv m v v +=+- （以车前进的方向为正方向） 所以
0r m
v v v M m
=+
+ 车的速度增加了
r m
v M m
+，若当车的质量远大于人的质量时，增加的车速是微不足道的。
例 6.不可压缩流体在弯曲管道中作定常流动，即流体流过管内每一点的速度都不随时间而变，流量Q 是常量（流量为每秒钟流过一断面的流体的体积，以3m /s 计），流体的质量密度为ρ，已知流体流
入弯管的速度为1v ，流出的速度为2v
，求流体对管道的附加动压力。
图11-11
解：研究对象：管道中ABCD 一段中的流体
受力分析：体积力：作用在系统中每一质点上的重力，其合力为G
。面积力：作用质点系表面上的力，其中包括截面AB 、CD 上
的总压力1F 、2F
和待求的管壁约束力的合力N 。
瞬时t ，设所考虑质点系占有的体积是ABCD ，经微小时间间隔t ?，占有的体积为A B C D ''''，在时间间隔t ?内，系统动量的增量为：
21[()][()]A B C D ABCD A B CD CDC D ABA B A B CD ''''''''''''?=-=+-+P P P P P P P
由于流体为定常流动，故21()()A B CD A B CD ''''=P P ，则有 CDC D ABA B ''''?=-P P P
由于定常流动还有流量Q 是常量，故t ?时间内流经AB 、CD 两断面的体积都是Q t ?，质量都是Q t ρ?，这也就是ABA B ''及CDC D ''两部分的质量。由于所取时间间隔t ?很小，A B ''接近于AB ，C D ''接近于CD ，所以ABA B ''部分的速度可以认为等于1v ，CDC D ''部分的速度可以认为等于2v ，则有
21()CDC D ABA B Q t ρ''''?=-=?-P P P v v 所以
21()Q t ρ?=-?P
v v 210lim ()t d Q dt t
ρ?→?==-?P P
v v 根据质点系动量定理知：
12d dt
=+++P
G F F N 即
1221()Q ρ=---+-N G F F v v
其中最后一项是由于流体在管中流动且改变方向而产生的附加动压力，即
21()Q ρ=-动N v v
由上式可知，若已知流体流入和流出速度1v 和2v ，流量Q ，则附加动约束力的大小和方向可由图（c ）三角形确定。附加动约束力与流量和密度成正比，还和管道的形状和弯曲程度有关，管道弯曲越烈，附加动约束力也越大，对于弯曲管道，即使流速大小不变，也有附加动约束力产生。流体对管壁的附加动压力是附加动约束力的反作用力，与动N 大小相等，方向相反。
例7.重1P 的物块A 沿斜面D 下降，同时借一绕过光滑滑轮C 的绳索使重2P 的物块B 运动。斜面与水平面的倾角为α，绳索重量不计，且不可伸长。试求斜面D 给地面凸出部分的水平压力。
解：先取物块B 为研究对象，受力分析及运动分析如图所示，列
出运动微分方程
2
222P a T P g
=- 再取物块A 为研究对象，受力分析及运动分析如图，列出运动微分方程
图11-12
1
111sin P a P T g
α=- 因不计滑轮C 处摩擦，滑轮C 的质量，绳索重量不计且不可伸长，
故有
12a a =，12T T = 代入前面二式，可解得 12
1212
sin P P a a g P P α-==
+
最后取整个系统为研究对象，受力分析及运动分析如图所示。设
物块A 的速度为1v ，物块B 的速度为2v
，则由质点系的动量定理
()e x
ix dP F dt
=∑ 得
1
1cos 0x P d v N dt g α??+= ???
即
1
1cos x P dv N g dt α= 因为
112
112
sin dv P P a g dt P P α-==+代入上式，得
11212sin cos x P P P N g P P αα??-= ?+??
例8.皮带输送机沿水平方向输送煤炭72000kg/h ，皮速速度为
1.5m/s ，试求在匀速传动时，皮速带作用于煤炭上的水平推力为多少？
图11-13
解：取皮带上I-II 两截面间的煤炭为考察的质点系，所受的外力
有皮带的水平推力x F
、重力W 以及法向反力N 。
由质点系的动量定理有
()e x
ix dP F dt
=∑ 设dt 时间内由料斗输入煤炭的质量为dm ，速度为u
，方向竖直向
下，而输出煤炭的质量亦为dm ，速度为v
，方向水平向右。故质点系的动量在水平方向的改变为
0x x x dP dm v dm u dm v =?-?=?- 而 1
72000203600
dm dt dt =?= 所以
20x
dP v dt
= 代入动量定理，得
2020 1.530N x F v ==?=
例9.小车重12kN W =，车上有一装着沙子的箱子，其重21kN W =，小车以速度0 3.5km/h v =的速度在光滑直线轨道上匀速前进。今有一重30.5kN W =的物体铅直落入沙箱中如图所示。求此后小车的速度v 。又设重物落入后，沙箱在小车上滑动0.2秒，方与车面相对静止，求车面与箱底相互作用的摩擦力的平均值。
图11-14
解：先以小车、沙箱、重物组成的系统为研究对象。所受的外力
有重力1W 、2W 、3W ，约束反力A N 、B N
，这些力均沿竖直方向。故该系统在水平方向的动量守恒，即
0x x P P ==常量
设重物落入沙箱后，小车最后的速度为v ，则有
12312
0W W W W W v v g g
+++= 所以 12012321
3.53km/h 210.5
W W v v W W W ++=
=?=++++
注意当重物落入沙箱中的瞬时，沙箱的速度首先减低，如箱底与
车面之间的摩擦系数较小，则沙箱与车面间有一相对滑动的阶段。求此时间段内车面与沙箱相互作用的摩擦力时，可选车子为研究对象，受力如图。在0.2s t =内使车子的速度从3.5km/h 减到3km/h ，由质点动量定理的积分形式，有
00t
x x ix p p F dt -=∑? 即
1
00()t W v v Fdt Ft g
-=-=-? 所以摩擦力的平均值
101000
2000(33.53)()
3600141.7N 9.82
W v v F gt
?-?
-=
==?
例10.皮带输送机的皮带以匀速2m/s v =将质量为120kg m =的重物M 送入小车。已知小车的质量250kg m =，试求M 进入小车后，小车与重物共同的速度u 。如人用手挡住小车，M 进入小车后，经过0.2s 而停止运动，试求小车作用于人手的水平力。假定地面的摩擦可以不计。
图11-15
解：研究对象：小车+重物，受力如图所示。该系统在水平方向无外力，故在水平方向动量守恒。取x 轴为水平方向，则有
21x x P P ==常量 重物进入小车前，系统的动量为 11x P m v = 重物进入小车后，系统的动量为 212()x P m m u =+ 于是有
112()m v m m u =+ 故小车与重物M 的共同速度 11220
20.571m/s 2050
m u v m m =
=?=++ 若人用手挡住小车，即小车受到人手作用的水平力F 如图所示，
则重物M 进入小车后，经0.2s 而停止运动，则由质点系动量定理的积分形式
()
210t
e x x ix P P F dt -=∑?
有 ()100t
m v F dt -=-? 即 1m v F t -=-?
所以 1202
200N 0.2
m v F t ?=
== 式中F 为人手作用于小车的水平力，而小车作用于人手的水平力与F
大小相等，方向相反。
例11.图示一移动式皮带输送机，输送机的输送量3109m /h Q =，
物料的密度31400kg/m ρ=，设物料流入速度1v
铅垂向下，物料抛出速度2 1.6m/s v =，沿水平方向，求输送机所受的水平约束力。
图11-16
解：以输送机及输送带上的物料为研究对象。作用在系统上的外力有输送机及物料的重力P ，约束力x N 和y N 。
在dt 时间内输入质量为dm Qdt ρ=，其动量为 ()1Qdt ρv 在dt 时间内输出质量亦为dm Qdt ρ=，其动量为()2Qdt ρv 则dt 时间内系统动量的增量为 21()d Q dt ρ=-P v v 即 21()d Q dt
ρ=-P
v v 根据质点系的动量定理
()e i d dt
=∑P
F 有 21()x y Q ρ-=++v v P N N 投影到x 轴上得
2109
1400 1.667.8N 3600
x N Qv ρ===?
?= 例12.滑块C 的质量19.6kg m =，在686N P =的力的作用下沿与水平面成倾角030β=的导杆AB 运动，已知力P 与导杆之间的夹角045α=，滑块C 与导杆的动滑动摩擦系数0.2f '=，初瞬时滑块C 处于
静止。试求滑块C 的速度增大到2m/s v =所需的时间。
图11-17
解：研究对象：滑块
受力分析：滑块所受的外力有作用力P ，重力m g ，导杆的法向反力N ，摩擦力F 。到坐标轴Ax 如图所示，由质点动量定量的积分式有
00(cos sin )t
x x mv mv P F mg dt αβ-=--?
式中2m/s x v v ==，00x v =，(sin cos )F f N
f P m
g αβ''==- 代入上式得 (cos sin cos sin )mv P f P
f m
g mg t ααββ''=-+- 即
0019.62(686cos450.2686sin 450.2?=?-?+ 0019.69.8cos3019.69.8sin30)t ??-? 解得
0.12s t =
§11-3质心运动定理
例1.电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，外壳与定子的总质量为1m 。质心位于转轴的中心1O ，转子质量为2m ，如图所示。由于制造和安装时的误差，转子的质心2O 到1O 的距离为e 。若转子匀速转动，角速度为ω，求基础的支座反力。
图11-19
解：取电动机外壳，定子与转子组成的质点系为为研究对象。这样就可不考虑使转子转动的电磁内力偶和转子轴与定子轴承间的内 约束力。外力有重力1m g ,2m g 及基础的反力x F ,y F 和反力偶0M ，取坐 标系如图所示，质心坐标为 212
sin c m e t x m m ω=
+ 212cos c m e t
y m m ω-=+
由质心运动定理得
12()cx x m m a F +=
1212()()cy y m m a F m m g +=-+
将质心坐标对时间求二阶导数，代入上式整理后可得基础的支座反力为
22sin x F m e t ωω=-
2122()cos y F m m g m e t ωω=++
电机不转时，基础上只有向上的反力，可称为静反力；电机转动时基础的反力可称为动反力。动反力与转速2ω成正比，当转子的转速很高时，其数值可达到静反力的几倍，甚至几十倍。而且，这种约束力时周期性变化的，必然引起电机和基础的振动。
例2.如图所示，在例1中若电动机没有用螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度ω转动时电动机外壳的运动。
图11-20
解：电动机受到的作用力有外壳，定子，转子的重力和地面的法向反力，而在水平方向不受力，且初始静止，因此系统质心的坐标c x 保持不变。
取坐标轴如图所示。转子在静止时，设1c x b =，当转子转过角度t ?ω=时，定子应向左移动，设移动距离为s ，则质心坐标为
12212
()(sin )
c m b s m b e t s x m m ω-++-=
+
因为在水平方向质心守恒，所以有12c c x x =，解得 2
12
sin m s e t m m ω=
+ 由此可见，当转子偏心的电动机未用螺栓固定时，将在水平面上作往复运动。
例3.均质杆AB ，长度为2l ，B 端放置在光滑水平面上，与水平面成0?角。若突然由静止释放，杆在铅垂面内倒下，求A 端点的轨迹方程。
图11-21
解：研究对象：AB 杆，选取如图坐标，坐标原点在0B
受力分析：受有外力重力P 和约束力B N 。因为0ix F =∑，由质心运动守恒条件知0Cx a =，Cx v =常数，由于质心C 是从静止开始进入运动的，所以0Cx v =，则其x 坐标永不变化，即0cos C x l ?=，也就是说质心C 沿铅垂线作直线运动。
根据上面分析，即可建立A 点轨迹的参数方程：
0cos cos 2sin A A
x l l y l ??
?=+??
=?
消去参变量?，即得A 点的轨迹方程：
2
2
20(cos )4
A
A y x l l ?-+=
这是中心坐标为0(cos ,0)l ?，长半轴为2l ，短半轴为l 的椭圆方程。
动量矩定理 1２－１ 质量为m 的点在平面Ｏx ｙ内运动,其运动方程为: t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点Ｏ的动量矩。 解:由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v ? t mab ωω3 cos 2= 1２-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ,质心为Ｃ，A Ｃ ＝ e ；轮子半径为Ｒ，对轴心A 的转动惯量为ＪA ;C 、Ａ、B 三点在同一铅直线上。（１)当轮子只滚不滑时，若v Ａ已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（２)当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知,求轮子的动量和对地面上Ｂ点的动量矩。 解：(1)当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 ? 轮子角速度R v A =ω? 质心C 的速度)(e R R v C B v A C += =ω? ?轮子的动量(A C mv R e R mv p += =?方向水平向右） ?对Ｂ点动量矩ω?=B B J L ? 由于? 2 22)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故[ ] R v e R m me J L A A B 2 2)( ++-=? (２）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量( )(e v m mv p A C ω+==?方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 m ｍ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下,设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解:取轮子为研究对象,轮子受力如图(ａ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ? F mg ma C -=θsin ? (1) J Ｃα = Ｆr ? ?（2） 因轮子只滚不滑，所以有 a Ｃ ＝αr （3）
第十一章动量定理 11-1如图所示，质点的质量为ｍ，以匀速率ｖ沿圆周逆钟向运动。经过一定的时间后，质点由点Ａ运动到Ｂ点，则作用在该质点上的力在此时间内的冲量大小为多少？（答：S x= -m v；S y= -m v） 11-2如图所示匀质圆盘质量为ｍ，半径为Ｒ，可绕轮缘上垂直于盘面的轴转动，转动角速度为ω。试计算圆盘在图示瞬间的动量，并标出其方向。（答：mRω竖直向上） 11-3如图所示机构中，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ和连杆ＡＢ皆可视为质量为ｍ、长为２ｒ的匀质细杆，图示瞬时，连杆ＡＢ水平，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ铅直。曲柄Ｏ１Ａ角速度为ω，试计算系统的动量，并标出其方向。（答：4mωv） 11-4物体Ａ和Ｂ各重ＧＡ和ＧＢ，ＧＡ＞ＧＢ；滑轮重Ｇ，并可看作半径为ｒ的匀质圆盘。不计绳索的质量，试求物体Ａ的速度是ｖ时整个系统的动量。（答：K x=0；K y= -（G A-G B）v/g）
11-5正方形框架ABCD的质量是m1，边长为ｌ，以角速度ω１绕定轴转动；而匀质圆盘的质量是m2，半径是ｒ，以角速度ω２绕重合于框架的对角线ＢＤ的中心轴转动。试求这物体系的动量。（答：K=（m1+m2）lω/2，方向为垂直框架平面，顺着ω前进方向。） 11-6跳伞者质量为60kg，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经５ｓ后跳伞者的速度减为4.3ｍ／ｓ。求阻力的大小。（答：1068N） 11-7水流以速度V０=2m/s流入固定水遭，速度方向与水平面900角。如图所示；水流进口截面积为0.02m ２，出口速度V 0角．求水作用在水道壁上的水平和铅垂的附加压力。 1=4m/s。它与水平面成30 （答：F x=-138.6N，F y=0）
第10章 动量定理习题 1.是非题（对画√，错画×） 10-1.质点的动量与冲量是等价的物理量。（ ） 10-2.质点系的动量等于外力的主矢量。（ ） 10-3.质点系动量守恒是指质点系各质点的动量不变。（ ） 10-4.质心运动守恒是指质心位置不变。（ ） 10-5.质点系动量的变化只与外力有关，与内力无关。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 10-6.各均质物体，其质量均为m ，其几何尺寸及运动速度和角速度，如图所示。则各物体的动量为（a ） ；(b) ；（c ） ；(d) 。 题10-6图 (a) (b) (C) (d) 10-7.一质量为m 的质点作圆周运动，如图所示。当点位于点A 点时，其速度大小为1v ，方向为铅垂向上，当运动到点B 时，其速度大小为2v ，方向为铅垂向下，则质点从点A 点运动到点B 时，作用在该质点上力的冲量大小为 ；冲量的方向为 。 A B 2 题10-7图 题10-9图
3.简答题 10-8.质点作匀速圆周运动，则质点的动量守恒吗？ 10-9.两物块A 、B ，质量分别为A m 、B m ，初始静止。如A 沿斜面下滑的相对速度为r v ，如图所示。若物块B 的速度为v ，则根据动量守恒，有 v m cos v m B r A =θ 对吗？ 10-10.小球沿水平面运动，碰到铅直墙壁后返回，设碰撞前和后小球的速度大小相等，则作用在小球上力的冲量等于零。此说法对吗？为什么？ 10-11.刚体受有一群力的作用，无论各力的作用点如何，刚体质心的加速度都不变吗？ 4.计算题 10-12.有一木块质量为2.3kg ，放在光滑的水平面上。一质量为0.014kg 的子弹沿水平方向射入后，木块以速度3m/s 前进，试求子弹射入前的速度。 10-13.跳伞者质量为60kg ，从停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将伞打开。设开伞前的空气阻力忽略不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经5s 后跳伞者的速度减为4.3m/s ，试求阻力的大小。 10-14.电动机的质量为M ，放在光滑的基础上，如图所示。电动机的转子长为l ，质量为1m ，转子的另一端固结一质量为2m 的小球，已知电动机的转子以匀角速度ω转动，使求：（1）电动机定子的水平运动方程；（2）若将电动机固定在基础上，作用在螺栓上的水平和竖直约束力的最大值。 题10-14图 题10-15图 10-15.如图所示的曲柄滑块机构，设曲柄OA 以匀加速度ω绕O 轴转动，滑块B 沿水平方向滑动。已知OA=AB=l ，OA 及AB 为均质杆，其质量均为1m ，滑块B 的质量为2m 。 试求：（1）系统质心的运动方程；（2）质心的轨迹；（3）系统的动量。 10-16.如图所示质量为1m 的小车A ，悬挂一质量为2m 的单摆B ，单摆的摆长为l ，按规律kt sin o ??=摆动，其中k 为常数。不计水平面的摩擦和摆杆的质量，试求小车的运动方程。
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
动量近代物理
链式反应C(2) 61.普朗克 能量子假 说黑体 和黑体辐 射 Ⅰ T12 C(1) 62.光电效 应 Ⅰ T12 C(1) T12 C(3) T12 C(2) 63.光的波 粒二象性 物质波 Ⅰ T12 C(1) T12 C(2) T12 C(2)实验十：验 证动量守 恒定律 第1讲动量动量定理 一、动量 1.定义：物体的质量与速度的乘积. 2.表达式：p＝mv，单位：kg·m/s. 3.动量的性质 (1)矢量性：方向与瞬时速度方向相同. (2)瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻而言的. (3)相对性：大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量.
4.动量与动能、动量的变化量的关系
(1)动量的变化量：Δp＝p′－p. (2)动能和动量的关系：E k＝p2 2m. 自测1质量为0.5kg的物体，运动速度为3m/s，它在一个变力作用下速度变为7 m/s，方向和原来方向相反，则这段时间内动量的变化量为( ) A.5kg·m/s，方向与原运动方向相反 B.5kg·m/s，方向与原运动方向相同 C.2kg·m/s，方向与原运动方向相反 D.2kg·m/s，方向与原运动方向相同 答案A 二、冲量和动量定理 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量. (2)公式：I＝Ft. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量. (2)公式：mv′－mv＝F(t′－t)或p′－p＝I. 3.动量定理的理解 (1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结果. (2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和. (3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义. 自测2(多选)质量为m的物体以初速度v 0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这段时间内物体动量变化量的大小为( ) A.m(v－v0) B.mgt C.m v2－v20 D.m2gh 答案BCD
第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
第12章 动量矩定理 通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。 在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。因为不论刚体转动快慢如何，质 心速度C v 总是等于零，所以刚体的动量也总是零。但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。 §12-1 质点动量矩定理 例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。地球半径6370km R =。 图12-5 解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。卫星运行时只受地球引力的作用，即 2 2 () R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。当卫星沿第一圆形轨道运动时，有
22 2 ()()v R m mg R h R h =++ 即 2 2 () gR v R h =+ （b ） 将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度 17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为 7.5530.6468.199km/s A v =+= 卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。设卫星在远地点B 的速度为B v ，则有 A A B B r v r v = 所以 4 63706008.199 5.715km/s 10A B A B r v v r += ?=?= 设卫星沿新的圆形轨道运行时所需的速度为2v ，则 22 2 2 4 9.86370 6.306km/s 10gR v r ?=== 由此可见，为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B 点时，应再开动火箭，使其速度增加一个值 20.591km/s B B v v v ?=-= 顺便指出，在（b ）式中令0h →，就得到7.9km/s v =，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。 §12-2 质点系动量矩定理 例1.质量为1m 、半径为R 的均质圆轮绕定轴O 转动，如图所示。轮上缠绕细绳,绳端悬挂质量为2m 的物块,试求物块的加速度。均质圆 轮对于O 轴的转动惯量为211 2 O J m R =。
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
第11章 动量矩定理 上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。 11.1 动量矩定理 11.1.1质点和质点系动量矩 1．质点的动量矩 如图11-1所示，设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ，与力F 对点O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O 的动量矩为 v r v M m ×=)(m o （11-1） 图11-1 图11-2 质点对固定点O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固 定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍，即 mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中，h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离，称为动量臂。 单位为kg.m 2/s 。
质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似，如图11-2所示，质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩，定义质点对固定轴z 的矩，同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。质点对z 轴的动量矩是代数量，即 z o xy o m =m M =m M Z )]([])[()(v M v v （11-2） 2．质点系的动量矩 质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和，即 ∑==n i i i o )(m 1v M L o （11-3） 质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即 Z o n i i i z z )(m =L ][L v M =∑=1 （11-4） 刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计 算。 刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i 的质量为m i ，到转轴的垂直距离为i r ，某瞬时的角速度为ω，刚体对转轴z 的动量矩由式（11-4）得 图11-3 ω J =ω)r m (=) r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z n i i i n i i i i n i i i i n i i i z ∑∑∑∑====1 21 1 1v z 即 ωJ =L z z （11-5）
第十一章 动量定理 §11—1 动量与冲量 一、动量 质点的质量与速度的乘积。 单位：kg ·m/s 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。 质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。 如图1所示，几种几何形状规则的均质刚体和刚体系动量。 图 1 C C i i v m r m dt d r m dt d p ===∑i n i i m ∑==1 i i i i i i m dt d dt r d m m ∑∑∑===m m i i C ∑= m =
二、冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。 若力F 为变量，在d t 时间间隔内，力F 的冲量称为元冲量 力在时间t 内的冲量为 单位：N ·s 例1 OA 杆绕O 轴逆时针转动，均质圆盘沿OA 杆纯滚动。已知圆盘的质量m ＝20 kg ，半径R ＝100 mm 。在图示位置时，OA 杆的倾角为30o ，其角速度ω1＝1 rad/s ，圆盘相对OA 杆转动的角速度ω2＝4 rad/s ，求圆盘的动量。 解： 取C 为动点，动系与OA 固连 于是 所以 方向水平向右。 ?=t dt dt d =t =120.210.2m/s 0.140.4m/s e r v OC v R ωω=?=?===? =sin 600.40.3464m/s 2C a r v v v ===?=200.3464 6.93N s C p mv ==?=?
§11—2 动量定理 一、质点的动量定理 二、质点系的动量定理 三、质点系的动量守恒定理 （1）当作用在质点系上外力的主矢量等于零时，即∑==n i e i 10F ，质点系动 量=P 恒矢量，则质点系动量守恒。 （2）当作用在质点系上外力的主矢量在某一轴上投影等于零时，例如 01 =∑=n i e xi F ，质点系沿该轴x 的动量=x P 恒量，则质点系沿该轴x 的动量守恒。 () I dt F v m v m m dt d t ==-=?00() ()()()()dt dt dt m d i i e i i i e i i i +=?? ? ??+=() () () ∑∑∑===+=n i i i n i e i n i i i dt F dt F v m d 1 1 1 () ∑==-n i e i I p p 1
2 动量和动量定理 [学习目标] 1.知道动量的概念，知道动量和动量变化量均为矢量，会计算一维情况下的动量变化量．(重点)2.知道冲量的概念，知道冲量是矢量．(重点)3.知道动量定理的确切含义，掌握其表达式．(重点、难点)4.会用动量定理解释碰撞、缓冲等生活中的现象．(难点) 一、动量及动量的变化量 1．动量 (1)定义 物体的质量与速度的乘积，即p＝m v. (2)单位 动量的国际制单位是千克米每秒，符号是kg·m/s. (3)方向 动量是矢量，它的方向与速度的方向相同． 2．动量的变化量 (1)定义：物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差(也是矢量)，Δp＝p′－p(矢量式)． (2)动量始终保持在一条直线上时的矢量运算：选定一个正方向，动量、动量的变化量用带正、负号的数值表示，从而将矢量运算简化为代数运算(此时的正、负号仅表示方向，不表示大小)． 二、动量和动量定理 1．冲量
2．动量定理 (1)内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量． (2)表达式：m v′－m v＝F(t′－t)或p′－p＝I. 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动量的方向与物体的速度方向相同．(√) (2)物体的质量越大，动量一定越大．(×) (3)物体的动量相同，其动能一定也相同．(×) (4)冲量是矢量，其方向与力的方向相同．(√) (5)力越大，力对物体的冲量越大．(×) (6)若物体在一段时间内，其动量发生了变化，则物体在这段时间内的合外力一定不为零．(√) 2．(多选)关于动量的概念，下列说法正确的是() A．动量大的物体，惯性不一定大 B．动量大的物体，运动一定快 C．动量相同的物体，运动方向一定相同 D．动量相同的物体，动能也一定相同 [解析]物体的动量是由速度和质量两个因素决定的．动量大的物体质量不一定大，惯性也不一定大，A对；同样，动量大的物体速度也不一定大，B错；动量相同指的是动量的大小和方向均相同，而动量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同，C对；由动量和动能的关系p＝2mE k可知，只有质量相同的物体动量相同时，动能才相同，故D错．
y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
第10章 动量定理 10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？ (A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。 (B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。 (C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。 (D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。 答：（C ）。 10-2 以下说法正确吗？ （1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。 （2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。 （3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。 答：（1）× （2）× （3）√。 10-3 试求图中各质点系的动量。各物体均为均质体。 答：(a) ? ?? ??++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←）， (c) K =0， (d) v )2(1m m K +=（→）， (e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←）， v m K y 1=（↓）， v m m K 2 221+=。
题10-3图 10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。 答：S x = 200 ?2 N?s（→），S y = 246 ?7 N?s（↓）。 题10-4图题10-5图 10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s， 另一部分偏离一角α。忽略水重和摩擦，试确定角α和水对薄板的压力，假设水柱速度υ1 ＝υ2＝υ＝28m/s，总流量Q＝21L/s。 答：α= 30?，F N = 249N。 10-6扫雪车（俯视如图示）以4.5m/s的速度行驶在水平路上，每分钟把50吨雪扫至 路旁，若雪受推后相对于铲雪刀AB以2.5m/s的速度离开，试求轮胎与道路间的侧向力F R 和驱动扫雪车工作时的牵引力F T。 答：F R =1975 N，F T = 30377 N。
1 1 1 碰撞 2 动量 一、碰撞中的动能变化及碰撞分类 1.碰撞的定义做相对运动的两个(或几个)物体相遇而发生相互作用，在很短的时间内，它们的运动状态会发生显著变化，这一过程叫做碰撞. 2.碰撞的分类 (1)弹性碰撞：碰撞前后两滑块的总动能不变. (2)非弹性碰撞：碰撞后两滑块的总动能减少了. (3)完全非弹性碰撞：两物体碰后粘在一起，以相同的速度运动. 3.弹性碰撞和非弹性碰撞的区分 (1)从形变的角度：发生弹性碰撞的物体碰后能够恢复原状，发生非弹性碰撞的两物体碰后不能恢复原状. (2)从动能的角度：弹性碰撞的两物体碰撞前后动能守恒，非弹性碰撞的两物体碰撞后的动能减少，完全非弹性碰撞中动能损失最多. 二、动量 1.动量的概念 (1)概念：物体的质量和速度的乘积定义为该物体的动量. (2)公式：p ＝m v . (3)单位：国际单位制为千克·米/秒(kg·m/s) 2.对动量的理解 (1)动量的矢量性：动量是矢量，它的方向与速度v 的方向相同. (2)动量是相对量：因为速度与参考系的选择有关.一般以地面为参考系. 3.对动量变化Δp ＝p ′－p 的理解 (1)矢量性：与速度变化的方向相同. (2)若p ′、p 不在一条直线上，要用平行四边形定则求矢量差；若p ′、p 在一条直线上，先规定正方向，再用正、负表示p ′、p ，则可用Δp ＝p ′－p ＝m v ′－m v 进行代数运算. 4.动量p ＝m v 与动能E k ＝1 2 m v 2的区别 动量和动能表达式分别为p ＝m v 和E k ＝1 2m v 2.动量是矢量，而动能是标量.当速度发生变化时，物体的动 量发生变化，而动能不一定(填“一定”或“不一定”)发生变化. 三、动量定理 如图1所示，一个质量为m 的物体在碰撞时受到另一个物体对它的力是恒力F ，在F 的作用下，经过时 间t ，速度从v 变为v ′，应用牛顿第二定律和运动学公式推导物体的动量改变量Δp 与恒力F 及作用时间t 的关系. 答案 这个物体在碰撞过程的加速度a ＝v ′－v t ① 根据牛顿第二定律F ＝ma ② 由①②得F ＝m v ′－v t 整理得：Ft ＝m (v '－v )＝m v ′－m v 即Ft ＝m v ′－m v ＝Δp 1.冲量 (1)冲量的定义式：I ＝Ft . (2)冲量是过程(填“过程”或“状态”)量，反映的是力在一段时间内的积累效果. (3)冲量是矢量，冲量的方向与力F 的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个过程始末，所受合力与作用时间的乘积等于物体的动量变化. (2)数学表达式：Ft ＝m v ′－m v ，其中F 为物体受到的合外力. (3)对动量定理的理解 ①动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因. ②动量定理的表达式是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向. ③公式中的F 是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F 应是合外力在作用时间内的平均值. 一、碰撞的分类及其特点 例1 一个质量为2 kg 的小球A 以v 0＝3 m/s 的速度与一个静止的、质量为1 kg 的小球B 正碰.试根据以下数据，分析碰撞性质. (1)碰后A 、B 的速度均为2 m/s. (2)碰后A 的速度为1 m /s ，B 的速度为4 m/s. 二、对动量及变化量的理解 例2 羽毛球是速度较快的球类运动之一，运动员扣杀羽毛球的速度可达到100 m /s ，假设球飞来的速度为50 m/s ，运动员将球以100 m/s 的速度反向击回.设羽毛球的质量为10 g ，试求： (1)羽毛球的动量变化量； (2)羽毛球的动能变化量. 三、对动量定理的理解和应用 例3 质量为0.5 kg 的弹性小球，从1.25 m 高处自由下落，与地板碰撞后回跳高度为0.8 m ，g 取10 m/s 2 .
1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。求质点对原点 O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 V x dx sin t dt a V y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为 L O M o (mV x ) M 0( mV y ) mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。 轮子角速度 V A R 质心C 的速度V C BC R e 轮子的动量 p mv C mv A (方向水平向右) R 对B 点动量矩L B J B 2 2 2 由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2 食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速 度。 V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩 L B mv C BC J C m(v A 2 e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2） 因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ? 12
第十二章 动量矩定理 一、填空题 1．如下（1）图所示，在提升重为Ｇ的物体Ａ时，可在半径为ｒ的鼓轮上作用一力偶Ｍ。已知鼓轮对轴Ｏ的转动惯量为Ｉ，某瞬时鼓轮的角加速度为α，则该瞬时，系统对轴Ｏ的动量矩定理可写成______________。 2．如下（2）图所示，轮Ｂ由系杆ＡＢ带动在固定轮Ａ上无滑动滚动，两圆的半径分别为Ｒ，ｒ。若轮Ｂ的质量为ｍ，系杆的角速度为ω，则轮Ｂ对固定轴Ａ的动量矩大小是_______________。 3．图（3）中匀质圆盘在光滑水平面上作直线平动，图（4）中匀质圆盘沿水平直线作无滑动滚动。设两圆盘的质量皆为ｍ，半径皆为ｒ，轮心Ｏ速度皆为ｖ，则图示瞬时，它们各自对轮心Ｏ和对与地面接触点Ｄ的动量矩分别为：（3）ＬO ＝___________ ；ＬD ＝_____________________； （4）ＬO ＝_____________；ＬD ＝_____________________。 二、选择题 1．如下图（1）所示，已知两个匀质圆轮对转轴转动惯量分别为I Ａ，I Ｂ，半径分别为ＲＡ，ＲＢ，作用在Ａ轮上的转矩为Ｍ，则系统中Ａ轮角加速度的大小为（ ）。 2 2A 2 2B 2 A A B A A 222A D C I I M B A B A B A B A A B B R I R I MR I M R I R I MR +==+=+=αααα、；、；、；、 2．如下图（2）所示，两匀质细杆ＯＡ和ＢＣ的质量均为ｍ ＝ ８ｋｇ，长度均为ｌ ＝ ０．５ｍ， 固连成图所示的Ｔ字型构件，可绕通过点Ｏ的水平轴转动。当杆ＯＡ处于图示水平位置时，该构件的角速度ω ＝ ４ｒａｄ／ｓ。则该瞬时轴Ｏ处反力的铅垂分力ＮＯｙ的大小为（ ）。 Ａ．ＮＯ=２４．５Ｎ；Ｂ．ＮＯ=３２．３Ｎ；Ｃ．ＮＯ=７３．８Ｎ；Ｄ．ＮＯ=１５６．８Ｎ 3．如果把下图（3）中重为G A 的物体换为图（4）所示的力G A ，在这两种情况下，若把匀质滑轮的角加速度ε１和ε２的大小比较，则有（ ）。 A ． ε１ ＜ ε； B ． ε１ ＞ ε； C ． ε１ ＝ ε２ (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)
习题 11-1质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为： 。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点 O的动量矩。 11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。<1）杆重忽略不计；<2）杆为均质杆，质量为2m。b5E2RGbCAP 图11-25 (1> (2> 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。 图11-26 (a>
(b> (c> (d> 11-4如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。 图11-27 面密度为 在y处 微小区域对于z轴的转动惯量 11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。p1EanqFDPw 图11-28 11-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1> 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2> 边长为4a，质量为
m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。DXDiTa9E3d 图11-29 (1> (2> 11-7如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1>当轮子只滚不滑时，已知vA；(2>当轮子又滚又滑时，已知vA、w。RTCrpUDGiT 图11-30 (1>