X~P(λ),所以，EX =λ,DX =λ, X 1,X 2,?X n 相互独立均服从P(λ) 可求得ET 1=EX =λ,DT 1=DX =λ

n

而ET 2= λ+λn

，DT 2=

λn?1

+

λn

所以ET 1

【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本

二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。）

(9)设f(x)=lim

t→0

x(1+3t)x t,则f′(x)= 。

【答案】e3x(1+3x)。

【解析】

f(x)=lim

t→0x[(1+3t)

1

3t]3x=xe3x

f′(x)=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)

综上所述，本题正确答案是e3x(1+3x)。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算

(10)设函数z=(1+x

y )

x

y,则dz|(1,1)= 。

【答案】(2ln2+1)dx+(?2ln2?1)dy。

【解析】由z=(1+x

y )

x

y，可得

ez ex =e

x

y ln (1+

x

y)[

1

y

ln(1+

x

y

)+

x

y2

+

1

1+

x

y

]

=(1+

x

)

x

y[

1

ln(1+

x

)+

x1

]

ez ey =e

x

y ln (1+

x

y)[?

x

y2

ln(1+

x

y

)?

x

y

1

1+

x

y

x

y2

]

=?(1+x

y )

x

y x

y2

[ln(1+x

y

)+x

x+y

]

所以dz|(1,1)=ez

ex |

(1,1)

dx+ez

ey

|

(1,1)

dy=(2ln2+1)dx+(?2ln2?

1)dy

综上所述，本题正确答案是(2ln2+1)dx+(?2ln2?1)dy。【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算

(11)曲线tan (x +y +π

4

)=e y 在点(0,0)处的切线方程为 。

【答案】y =?2x 。 【解析】

方程tan (x +y +π

4)=e y 两端对x 求导得

sec 2(x +y +π

)(1+y ′)=e y y′

将x =0,y =0代入上式，y ′=?2 故所求切线方程为y =?2x

【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线

(12)曲线y =√x 2?1,直线x =2及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 。 【答案】4π

3

【解析】 由旋转体公式得

V =π∫y 2dx 2

1=π∫(x 2?1)dx 2

1

=π(13x 3

?x)|12

=4π3

综上所述，本题正确答案是4π

3

。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用

(13)设二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换x =Qy 下的标准形为 。

【答案】3y 12

【解析】

A 的各行元素之和为3，即

{a 11+a 12+a 13=3

a 21+a 22+a 23=3a 31+a 32+a 33=3

?[a 11a 12

a 13a 21

a 22a 23a 31a 32a 33][111]=[333

] A [111]=3[1

11

] 所以λ=3是A 的一个特征值。

再由二次型x T Ax 的秩为1?r (A )=1? λ=0是A 的2重特征值。

因此正交变换下标准形为3y 12

综上所述，本题正确答案是3y 12。

【考点】线性代数—二次型—二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形

(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(μ,σ2;μ,σ2;0)，则E (XY 2)= 。 【答案】μσ2+μ3。 【解析】

(X,Y)服从正态分布N(μ,σ2;μ,σ2;0) 所以X 与Y 相互独立，且

EX =EY =μ, DX =DY =σ2

E (XY 2)=EX ?EY 2= μ[DX +(EY )2]=μ(μ2+σ2)= μσ2+μ3 综上所述，本题正确答案是μσ2+μ3。

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤。

(15)求极限lim

x→0√1+2sinx?x?1 xln(1+x)

.

【解析】【方法一】

lim x→0√1+2sinx?x?1

xln(1+x)

=lim

x→0

√1+2sinx?x?1

x2

(等价无穷小代换)

=

x→0

√1+2sinx

?1

2x

(洛必达法则)

=1

2

lim

x→0

cosx?√1+2sinx

x

(极限为非零常数的

因子极限先求)

=1

2lim

x→0

?sinx?cosx

√1+2sinx

1

(洛必达法则)

=?1

2【方法二】

lim x→0√1+2sinx?x?1

xln(1+x)

=lim

x→0

√1+2sinx?x?1

x

(等价无穷小代换)

=lim

x→0

1+2sinx?(x+1)2

2x2

(分子有理化)

=1

2

lim

x→0

2sinx?x2?2x

2x2

=?1

2

+lim

x→0

sinx?x

x2

=?1

2

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算

(16)已知函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，f(1,1)=2是f(u,v)的极

值，z=f(x+y,f(x,y)).求e2z

exey |

x=1 y=1

.

【解析】

由链导法则，ez

ex

=z′u+z′v+v′x，其中u=x+y,v=f(x,y).所以

e2z

exey

=z′′uu+z′′uv v′y+(z′′uu+z′′uv v′y)v′x+z′v v′′xy 由于f(1,1)=2是f(u,v)的极值，则

v′x(1,1)=f′

x (1,1)=0, v′y(1,1)=f′

y

(1,1)=0,

令x=y=1，得

e2z exey |

x=1

y=1

=z′′uu(2,2)+z′v(2,2)v′′xy(1,1)

=f′′

uu (2,2)+f′

v

(2,2)f′′

uv

(1,1)

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值

(17)求不定积分√x+lnx

√x

【解析】

【方法一】

令√x=t，则x=t2,dx=2tdt

arcsin√x+lnx

√x

=2∫(arcsint+2lnt)dt

=2t(arcsint+2lnt)?2∫(

√1?t2

+2)dt

=2t(arcsint+2lnt)+2

√1?t2

?4t

=2t(arcsint+2lnt)+2√1?t2?4t+C =2√x(arcsin√x+lnx)+2√1?x?4√x+C 【方法二】

∫arcsin√x+lnx

√x

=2∫(arcsin√x+lnx)d√x

=2√x(arcsin√x+lnx)?2∫(

2√1?x

+

√x

)dx =2√x(arcsin√x+lnx)+2√1?x?4√x+C

【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18)证明4arctanx?x+4π

3

?√3=0恰有两个实根。

【解析】

令f(x)=4arctanx?x+4π

3

?√3，本题也就是要证明f(x)恰有两个零点

f′(x)=

4

1+x2

?1=

3?x2

1+x2

令f′(x)=0得x=±√3，则

当x∈(?∞,?√3)时，f′(x)<0,f(x)单调减；当x∈(?√3,√3)时，f′(x)>0,f(x)单调增；当x∈(√3,+∞)时，f′(x)<0,f(x)单调减；

又lim

x→?∞f(x)=lim

x→?∞

4arctanx?x+4π

3

?√3=+∞

f(?√3)=4arctan (?√3)+√3+4π

3

?√3=0

f(√3)=4arcta n(√3)?√3+4π

3

?√3=

8π

3

?2√3>0

lim x→+∞f(x)=lim

x→+∞

4arctanx?x+4π

3

?√3=?∞

则x=?√3为f(x)的一个零点，在(√3,+∞)内f(x)还有一个零点故4arctanx?x+4π

3

?√3=0恰有两个实根。

【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函

数单调性的判别

(19)设函数f(x)在[0,1]上有连续导数，f (0)=1且

?f ′(x +y )dxdy = D t

?f(t)dxdy

D

t

,其中D t ={(x,y)|0≤y ≤t ?x,0≤x ≤t}(0

化已知等式左边的二重积分为二次积分计算

?f ′(x +y )dxdy =

D t

∫(∫

f′(x +y)dy t?x

)dx t 0

=

=∫(∫f′(x +y)d(x +y)t?x

)dx t 0

=∫[f(x +y)|y=0t?x ]dx t

0=∫[f (t )?f(x)]dx t

=tf (t )?∫f(x)dx t

0 等式右边的二重积分化为二次积分

?f(t)dxdy

D t

=f(t)?1dxdy

D t

可知?1dxdy D t

为区域D t 的面积，区域易得为三角形，面积为1

2t 2

所以?f(t)dxdy

D t

=f(t) ?1

2

t 2 所以tf (t )?∫f (x )dx t 0=1

2

t 2f(t)

两边对t 求导得 (2?t )f ′(t )=2f(t) 解得 f (t )=C (2?t)2

，由f (0)=1得 C =4

所以f (t )=

4(2?t)2

，(0≤x ≤1)

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算，二重积分的几何意义

高等数学—常微分方程和差分方程—齐次微分方程，一阶线性微

分方程

(20)设向量组α1=(1,0,1)T ，α2=(0,1,1)T ，α3=(1,3,5)T 不能由向量组β1=(1,1,1)T ，β2=(1,2,3)T ，β3=(3,4,a)T 线性表示 (I)求a 的值；

(II)将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示。 【解析】

(I)因为|α1,α2,α3|=|10

1

01

3115

|=1≠0，所以α1,α2,α3线性无关。

那么α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表示?β1,β2,β3线性相关，即

|β1,β2,β3|=|11

312

413a |=|11301102a ?3|=a ?5=0 所以a =5

(II)如果方程组x 1α1+x 2α2+x 3α3=βj (j =1,2,3)都有解，即β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示，因为现在的三个方程组系数矩阵是相同的，故可拼在一起加减消元，然后再独立的求解 对(α1,α2,α3?β1,β2,β3)做初等行变换，有

[10101311

5 ?113124135]→[10101301

4 ?113124022]→[101013001 ?1131

24?102]→[100010001 ?2154

210?1

0?2

] 所以β1=2α1+4α2?α3，β2=α1+2α2

β3=5α1+10α2?2α3

【考点】线性代数—向量—向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关

(21)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A[

11

00

?11

]=[

?11

00

11

]

(I)求A的所有特征值与特征向量；

(II)求矩阵A

【解析】

(I)因r(A)=2知|A|=0，所以λ=0是A的特征值

又A[

1

?1

]=[

?1

1

]=?[

1

?1

]，A[

1

1

]=[

1

1

]

所以按定义，λ=1是A的特征值，α1=(1,0,1)T是A属于λ=1的特征向量；

λ=?1是A的特征值，α2=(1,0,?1)T是A属于λ=?1的特征向量。

α3=(x1,x2,x3)T是A属于λ=0的特征向量，作为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，因此

{α1Tα3=x1+x3=0

α2Tα3=x1?x3=0

解出α3=(0,1,0)T

故矩阵A的特征值为1,?1,0；特征向量依次为

k1(1,0,1)T,k2(1,0,?1)T,k3(0,1,0)T,其中k1,k2,k3均是不为0的任意常数。

(II)由A(α1,α2,α3)=(α1,?α2,0)，有

A =(α1,?α2,0)(α1,α2,α3)?1=[1?10000110][11

000

11?1

]?1 =[001000100

] 【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵

(22)设随机变量X,Y 的概率分布分别为

且P {X 2=Y 2}=1

(I)求二维随机变量(X,Y)的概率分布； (II)求Z =XY 的概率分布； (III)求X,Y 的相关系数ρXY 。 【解析】

(I)由P {X 2=Y 2}=1得P {X 2≠Y 2}=0

而P {X 2≠Y 2}=P {X =0,Y =?1}+P {X =0,Y =1}+P{X =1,Y =0}

即P {X =0,Y =?1}=P {X =0,Y =1}=P {X =1,Y =0}=0 (X,Y)的概率分布的边缘分布为

已知P{X=0,Y=?1}=P{X=0,Y=1}=P{X=1,Y=0}=0最后可得

(II)Z=XY的可能取值?1,0,1,由(X,Y)的概率分布可得Z的概率分布

(III)由X,Y及Z的概率分布得

EX=2

3,DX=2

9

, EY=0， DY=2

3

,EXY=E(Z)=0，

Cov(X,Y)=E(XY)?EXEY=0, 所以ρXY=0。

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的

数学期望(均值)、方差、标准差及其性质

(23)设二维随机变量(X,Y)服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由x ?y =0,x +y =2与y =0所围成的三角形区域 (I)求X 的概率密度f X (x)； (II)求条件概率密度f X|Y (x|y)。 【解析】

(I)f X (x )=∫f(x,y)dy +∞

?∞

当x <0或x >2时，f X (x )=0； 当0≤x ≤1时，f X (x )=∫dy x

0=x ； 当1

=2?x

所以f X (x )={x, 0≤x ≤12?x,1

(II)f Y (y )=

∫f(x,y)dx +∞

?∞

={

∫dx 2?y

y

,0≤y ≤10,其他

=

{2(1?y ),0≤y ≤1

0,其他

f Y (y )>0等价于0≤y ≤1

在Y =y(0≤y ≤1)时，条件概率密度

f X|Y (x |y )=f(x,y)

f Y (y )

={1

2(1?y),0≤y ≤x ≤2?y,0,其他

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—多维随机变量及其分布函数，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常见二维随机变量的分布

历年考研数学三真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-） ，其中n为正整数，则 (0) f' =（ ） （A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（） （A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（） （A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2

（5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，， （C ） 134ααα，， （D ） 234ααα，， （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（） （A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝ （ ） （A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（ ） （A ） N （0，1） （B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→

2011年考研数学二真题答案解析

2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 = XC I €Jk +C J r->)故选( （5）鲁案:（X ） 【解答】 “姻?3铁广他3 占=釜=/V )€ V) X=^|= /f (x)g(y) C i 篇二《/他 3 在(0.0)点 4 = /r (0)g(0) B =?f 伽g “ C= AC-B^ >0 M ^>0=> r (0)<0 g*(0) > 0 故选 A ⑹答案：2 【解存】 x e (0,―) A $m x 0 $ h ?n xdx < $ In cs x

2011年考研数学试题及参考答案(数学一)

2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =

2010年考研数学三真题及答案

2010年考研数学三真题 一.选择题 1.若1])1(1[lim =--→x o x e a x x 则a = A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使 21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则 A 21,21== μλ B 21 ,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3 2,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是 A 0)(<'a f B 0)(>'a f C 0)(<''a f D 0)(>''a f 4设10 10 )(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02 =+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于 A ??????? ??0111 B ??????? ??-0111 C ??????? ??--0111 D ????? ? ? ??---0111 7.设随机变量X 的分布函数?????≥-<≤<=-1 ,110,21 ,0)(x e x x x F x ，则P （X=1)= A0 B 21 C 12 1--e D 1 1--e

2011年考研数三大纲

考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 微积分 56% 线性代数 22% 概率论与数理统计 22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题(包括证明题) 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性复合函数.反函数.分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念. 6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理.介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数.反函数和

2011年考研数学一试卷真题及答案解析

2011年考研数一真题及答案解析 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()() ()() 2 34 12340 y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数() 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域 为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2x =时 幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>''

2011年全国考研数学三真题

2011年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 《数学三》试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()() 233 02lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1n n u ∞ =∑收敛，则2121 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1n n u ∞ =∑收敛，则2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π=?，40 ln cot J x dx π=?，40ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小 关系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<

(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第 二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ? ? ?? ，2100001010P ?? ? = ? ???，则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P (6) 设A 为43?矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+- (C) 23121231()()2 k k ηη ηηηη++-+- (D) 23 121231()()2 k k ηηηηηη-+-+- (7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( ) (A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x (C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该 总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和12111 1n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0 lim 13x t t f x x t →=+，则()f x '= .

2004年考研数学三试题解析超详细版

备注：前期已经传了2003-2011年9年的真题，现将答案发布供大家参考！想只要真题的童鞋请搜索CZ_Victor 的文库下载，谢谢！ 2004年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0 =--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥-<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -= ?. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=> }{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==??-+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.

2011考研数学一真题及答案解析-新修正版

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． (1) 曲线234 (1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( ) (A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞ =，1 (1,2,)n n k k S a n == =∑ 无界，则幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数 ()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<． (4) 设40 ln sin I x dx π = ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组 0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( ) (A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．

2011年考研数学真题及标准答案解析(考研必备!)

2011年考研数学真题试卷及标准答案解析 ---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！ 一选择题 1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点 A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2设数列{}n a 单调减少，∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数 ∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数 )(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''

2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版

2011年概率论考研真题与答案 1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与 2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥ 1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞ -∞ ∴ ? 12()() F x F x +∞=-∞ 1= 2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记 {}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】 A. ()()E U E V B. ()()E X E Y C. ()()E U E Y D. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==. 所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = 根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =. 3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是 来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=1 1n i i T X n =∑和12=111 1n i n i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】 A. 1212()(),()()E T E T D T D T >> B. 1212()(),()()E T E T D T D T >< C. 1212()(),()()E T E T D T D T <> D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ (), ()E X D X λλ∴ == 1=1=1 11()()()n n i i i i E T E X E X n n λ∴ ===∑∑ 12=11111()()(1)11 n i n i E T E X X n n n n n n λ λλλ-=+=?-?+?=+--∑ 12()()E T E T ∴ <

2011年考研数学三真题及答案解析

2011年考研数学（三）真题及答案详解 一．选择题 1.已知当错误!未找到引用源。0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-错误!未找到引用源。与k cx 是等价无穷小，则 （A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 错误!未找到引用源。 （D ）3,4k c ==- 2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= （A ）()' 20f - （B ）()'0f - (C) ()' 0f (D)0 3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 （B ）若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 （C ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 （D ）若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 4．设44 40 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ π = ==? ??，则,,I J K 的大小关系是 （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵. 记1100110001P ????=??????,2100001010P ????=?????? ,则A =

2011年考研数学三真题及标准答案

2011年考研数学三真题 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。) (1)已知当x→0时,f(x)=3sinx?sin3x与cx k是等价无穷小,则 (A）k=1,c=4(Ｂ) k=1,c=?4 (Ｃ)k=3,c=4 （D) k=3,c=?4 【答案】C。 【解析】 【方法一】 lim x→03sinx?sin3x cx =lim x→0 3cosx?3cos3x ckx （洛必达法则） =3lim x→0 ?sinx+3sin3x ck(k?1)x k?2 (洛必达法则） =1 c (lim x→0 ?sinx 2x +lim x→0 3sin3x 2x )（k=3) =1 c (?1 2 +9 2 )=1 由此得c=4。【方法二】 由泰勒公式知 sinx=x?x3 +o(x3) sin3x=3x?(3x)3 3! + o(x3) 则f(x)=3sinx?sin3x=3x?x 3 2?3x+(3x)3 3! + o(x3) =4x3+ o(x3)~4x3 (x→0)故k=3,c=4。

【方法三】 lim x→03sinx?sin3x cx k =lim x→0 3sinx?3x+3x?sin3x cx k = 1 c [lim x→0 3(sinx?x) x k +lim x→0 3x?sin3x x k ] = 1 c [lim x→0 3?(? 1 6x 3) x k +lim x→0 1 6(3x) 3 x k ] = 1 (? 1 + 9 ) (k=3) = 8 2c =1 故c=4 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(Ｌ'Ｈoｓpiｔａl)法则 (2)已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则lim x→0x2f(x)?2f(x3) x3 = (A)?2f′(0)(B)?f′(0) (C) f′(0) (D)０ 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑x=0处导数定义 lim x→0x2f(x)?2f(x3) x3 =lim x→0 x2f(x)?x2f(0)?2f(x3)+2f(0) x3

2010-2011年考研数学(三)真题

2010年考研数学（三）真题 一选择题（） 1.若1])1(1[lim =--→x o x e a x x 则a = A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程) ()(x q y x p y =+ '的两个特解，若常 数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则 A 21,2 1==μλ B 2 1,2 1- =-=μλ C 3 1,32= =μλ D 3 2,3 2= =μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是 A 0)(<'a f B 0)(>'a f C 0)(<''a f D 0)(>''a f 4设10 10 )(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于 A ?????? ? ? ?01 1 1 B ?????? ? ? ?-01 1 1

C ?????? ? ? ?--01 1 1 D ?????? ? ? ?---01 1 1 7.设随机变量X 的分布函数?????≥-<≤<=-1 ,110,21 ,0)(x e x x x F x ，则P （X=1)= A0 B 21 C 12 1--e D 11--e 8.设 )(1x f 为标准正态分布概率密度，) (2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密 度，若 ???<>≥≤=) 0,0(0),(0),()(2 1b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足： A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二填空题 9.设可导函数y=y(x),由方程? ?= +-x y x t dt t x dt e 2 sin 2 确定，则 __ __________0 ==x dx dy 10.设位于曲线) () ln 1(12 +∞<≤+= x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为 G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________ 11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为3 1p +，其中p 为价格，且 R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线12 3 +++= bx ax x y 有拐点(-1,0),则 b=_____________ 13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31 =+==-B A B A ， 则_________ 1 =+-B A 14.设 _ __________ ET , 1 T )0)(,(N ,,1 2 2 321== >?∑=则计量的简单随机样本。记统 是来自总体n i i X n X X X σσμ

2011年考研数学三真题

2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 （A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= （A ）()'20f - （B ）()'0f - (C) ()'0f (D) 0 3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 （B ）若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 （C ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 （D ）若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 4．设4440 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π π π = ==? ??，则,,I J K 的大小关系是 （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得 单位矩阵.记1100110001P ????=??????,2100001010P ????=?? ???? ,则 A = （A ）12P P （ B ）112P P - （ C ）21P P （ D ）1 21P P -

2011年考研数学三真题及答案

2011年考研数学三真题 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)已知当x→0时，f(x)=3sinx?sin3x与cx k是等价无穷小，则 (A)k=1,c=4 (B) k=1,c=?4 (C)k=3,c=4 (D) k=3,c=?4 【答案】C。 【解析】 【方法一】 lim x→03sinx?sin3x cx =lim x→0 3cosx?3cos3x ckx (洛必达法则) =3lim x→0 ?sinx+3sin3x ck(k?1)x k?2 (洛必达法则) =1 c (lim x→0 ?sinx 2x +lim x→0 3sin3x 2x ) (k=3) =1 c (?1 2 +9 2 )=1 由此得c=4。【方法二】 由泰勒公式知 sinx=x?x3 +o(x3) sin3x=3x?(3x)3 3! + o(x3) 则f(x)=3sinx?sin3x=3x?x 3 2?3x+(3x)3 3! + o(x3) =4x3+ o(x3)~4x3 (x→0)故k=3,c=4。

【方法三】 lim x→03sinx?sin3x cx k =lim x→0 3sinx?3x+3x?sin3x cx k = 1 c [lim x→0 3(sinx?x) x k +lim x→0 3x?sin3x x k ] = 1 c [lim x→0 3?(? 1 6x 3) x k +lim x→0 1 6(3x) 3 x k ] = 1 (? 1 + 9 ) (k=3) = 8 2c =1 故c=4 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则 (2)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则lim x→0x2f(x)?2f(x3) x3 = (A)?2f′(0) (B)?f′(0) (C) f′(0) (D)0 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑x=0处导数定义 lim x→0x2f(x)?2f(x3) x3 =lim x→0 x2f(x)?x2f(0)?2f(x3)+2f(0) x3

考研数学三真题及答案解析

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2011年考研数学（三）真题及答案详解 一．选择题 1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 （A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()23302lim x x f x f x x →-= （A ）()'20f - （B ）()'0f - (C) ()'0f (D)0 3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若1 n n u ∞=∑收敛，则()2121n n n u u ∞ -=+∑收敛 （B ）若()2121 n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞ =∑收敛 （C ）若1 n n u ∞=∑收敛，则()2121n n n u u ∞ -=-∑收敛 （D ）若()2121n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞ =∑收敛 4．设4 44000ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π ππ===???，则,,I J K 的大小关系是 （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行 得单位矩阵.记1100110001P ????=?????? ,2100001010P ????=??????,则A = （A ）12P P （B ）112P P -