2011年考研数学试题（数学一）
一、选择题
1、 曲线()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 的拐点是（ ）
（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是
()()()()234
12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的
关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===
(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞
→n n a ，()∑===
n
k k n n a S 1
2,1 无界，则幂级数
()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）
(0，2]
【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===
n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R ≤；
{}n a 单调减少，0lim
=∞
→n n a ，说明级数()1
1n
n n a ∞
=-∑收敛，可知幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛
半径1R ≥。 因此，幂级数
()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数
收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。
3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A ） 0)0(1
)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1
)0(>'' 【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''== ，() ()() xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，2 2()()(()) ()() yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00 (0) (0)0(0) xy x y f z f f ==''' '= =，00 (0)ln (0)xx x y z f f ==''''=， 2 200 (0)(0)((0))(0)(0)(0) yy x y f f f z f f f =='''-'' ''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需 (0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''?> 所以有0)0(1 )0(>''>f f ， 4、设44 40 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π ππ= ==? ??，则,,I J K 的大小关系是( ) （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】(0, )4 x π ∈ 时，0sin cos cot 2 x x x << <<，因此ln sin ln cos ln cot x x x << 4 4 4 lnsin ln cos ln cot xdx xdx xdx π π π < < ? ? ? ，故选（B ） 5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单 位矩阵.记1100110001P ????=??????,2100001010P ?? ??=?? ???? ,则A =( ) （A ）12PP （B ）112P P - （C ）21P P （D ）1 21P P - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以 111112121A BP P P P P ----===，故选（D ） 6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，* A 为A 的伴随矩阵，若()T 0,1,0,1是方程组0 =x A 的一个基础解系，则0=* x A 基础解系可为（ ） (A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，， 【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由0 A A A E * ==知，1234,,,αααα都是0=* x A 的解，且0=* x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又 ()1234131100 ,,,01100A αααααα???? ? ? ? ?==+= ? ? ? ????? ，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ） 7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( ) （A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x （C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥； ()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞ +∞ -∞-∞ +==? 。可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。 8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,max =,{}y x V ,min =，则=)(UV E （ ） (A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE 【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV 进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY == 可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题 9、曲线? ??? ? ? ≤≤= x x tdt y 0 40tan π的弧长s = 【答案】14 π - 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 【解析】()2 4 4 4 '2 2 40 tan sec 1tan 14 s y dx xdx x dx x x π π π π π = = = -=-=-? ? ? 10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 【答案】sin x y xe -= 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 11[cos ][cos ][sin ]dx dx x x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----??=?+=+=+?? 由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin x y xe -= 11、设函数()? += xy dt t t y x F 0 2 1sin ,，则=??==2 022y x x F 【答案】4 【考点分析】本题考查偏导数的计算。 【解析】()() 2223 2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-??==?+?+。故2202 4x y F x ==?=?。 12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分2 2 L y xzdx xdy dz ++=? 【答案】π 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。 【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =?? =??=+? ，其中t 从0到2π。因此 2 220 23222 2 sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22L y xzdx xdy dz t t t t t t t t t dt t t t t t t dt π π π ++=+-++-=--+-=? ?? 13、若二次曲面的方程为222 32224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为 221144y z +=，则a = 【答案】1- 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。 【解析】本题等价于将二次型2 2 2 (,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后 化为了22114f y z =+。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1,4,0。 该二次型的矩阵为1131111a A a ?? ?= ? ??? ，可知2 210A a a =---=，因此1a =-。 14、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 【答案】32μμσ+ 【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。 【解析】：由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。因此 22()E XY EX EY =?。 由于(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，可知()2 222 ,EX EY DY EY μμσ==+=+，则 ()22232()E XY μμσμμσ=+=+。 三、解答题 15、（本题满分10分）求极限1 1 0ln(1)lim x e x x x -→+?? ??? 【答案】1 2 e - 【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞ 形式的极限。计算时先按1∞ 未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。 【 解析 】 ： 1 1 11 00ln(1)ln(1)lim lim 1x x e e x x x x x x x --→→++-????=+ ? ????? 2 0001 1 1 ln(1)ln(1)1lim lim lim 1 2x x x x x x x x x x e x x e e e →→→-+-+-+-=== 01lim 2(1)2 x x x x e e →-- +== 16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导，且在1x =处取得极值(1)1g =，求21,1 z x y x y ?==?? 【答案】' ' 1,11,2(1,1)(1,1)f f + 【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。 【解析】： ''' 12(,())(,())()z f xy yg x y f xy yg x yg x x ?=+? 2'' '1,11,21''''''2,12,22(,())(,())()(,())(,())()(,())()()(,())() z f xy yg x xy f xy yg x yg x f xy yg x x x y f xy y g x xyg x f xy yg x yg x g x f xy yg x g x ?=++??+++ 由于()g x 在1x =处取得极值(1)1g =，可知'(1)0g =。 故 2'' '1,11,21''''''2,12,22''1,11,2(1,(1))(1,(1))(1)(1,(1)) 1,1 (1,(1))(1)(1,(1))(1)(1)(1,(1))(1)(1,1)(1,1) z f g f g g f g x y x y f g g f g g g f g g f f ?=++==??+++=+ 17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 【答案】1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。 【解析】：令()arctan f x k x x =-，则(0)0f =，2 22 1()111k k x f x x x --'=-=++， （1） 当1k <时，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，故此时()f x 的图像与x 轴与只有一个交点，也即方程arctan 0k x x -=只有一个实根 （2） 1k =时，在(,0)-∞和(0,)+∞上都有()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(0,) +∞是严格的单调递减，又(0)0f =，故()f x 的图像在(,0)-∞和(0,)+∞与x 轴均无交点 （3） 1k > 时，x ()0f x '>，()f x 在(上单调 增加，又(0)0f =知，()f x 在(上只有一个实根，又()f x (,-∞ 或)+∞都有()0f x '<，()f x 在(,-∞ 或)+∞ 都单调减，又 (0,lim ()x f f x →-∞ <=+∞ ，0,lim ()x f f x →+∞ >=-∞，所以()f x 在 (,-∞与x 轴无交点，在)+∞上与x 轴有一个交点 综上所述：1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有111 ln(1)1n n n <+<+ （2）设1 1 1ln (1,2,)2 n a n n n =+ ++ -=，证明数列{}n a 收敛 【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。 【解析】：（1）令 1x n =，则原不等式可化为ln(1),01 x x x x x <+<>+。 先证明ln(1),0x x x +<>： 令()ln(1)f x x x =-+。由于' 1 ()10,01f x x x =- >>+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增。又由于(0)0f =，因此当0x >时，()(0)0f x f >=。也即ln(1),0x x x +<>。 再证明 ln(1),01 x x x x <+>+： 令()ln(1)1x g x x x =+- +。由于' 2 11()0,01(1)g x x x x =->>++，可知()g x 在[)0,+∞上 单调递增。由于(0)0g =，因此当0x >时，()(0)0g x g >=。也即ln(1),01 x x x x <+>+。 因此，我们证明了 ln(1),01 x x x x x <+<>+。再令由于，即可得到所需证明的不等式。 （2）111 ln(1)1n n a a n n +-=-++，由不等式 11ln(1)1n n <++可知：数列{}n a 单调递减。 又由不等式11 ln(1)n n +< 可知： 1 111 1ln ln(11)ln(1)...ln(1)ln ln(1)ln 02 2n a n n n n n n =+ ++->++++++-=+->。 因此数列{}n a 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列{}n a 收敛。 19、（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==， (,)D f x y dxdy a =??，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分 (,)xy D I xyf x y dxdy ''= ?? 【答案】：a 【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。 【解析】：将二重积分 (,)xy D xyf x y dxdy ''??转化为累次积分可得 11 (,)(,)xy xy D xyf x y dxdy dy xyf x y dx ''''= ?? ?? 首先考虑 1 (,)xy xyf x y dx ''?，注意这是是把变量y 看做常数的，故有 1 1 1 1 1 (,)(,)(,)(,)(1,)(,)xy y y y y y xyf x y dx y xdf x y xyf x y yf x y dx yf y yf x y dx '''''''==- =- ? ? ? ? 由(1,)(,1)0f y f x ==易知'' (1,)(,1)0y x f y f x ==。 故 11 (,)(,)xy y xyf x y dx yf x y dx '''=-??。 11 11 (,)(,)(,)xy xy y D xyf x y dxdy dy xyf x y dx dy yf x y dx '''''= =- ?? ?? ?? 对该积分交换积分次序可得：1 1 1 1 (,)(,)y y dy yf x y dx dx yf x y dy ''- =-???? 再考虑积分 1 (,)y yf x y dy '? ，注意这里是把变量x 看做常数的，故有 1 1 1 1 1 (,)(,)(,)(,)(,)y yf x y dy ydf x y yf x y f x y dy f x y dy '==-=- ??? ? 因此 11 11 00 00 (,)(,)(,)(,)xy y D D xyf x y dxdy dx yf x y dy dx f x y dy f x y dxdy a '''=- = = =?? ?? ?? ?? 20、（本题满分11分）()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T T ααα===不能由 ()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T T a βββ===线性表出。①求a ；②将123,,βββ由123 ,,ααα 线性表出。 【答案】：①5a =；②()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。 【解析】：① 由于321,,ααα不能由321,,βββ表示 可知053142 13 11321=-==a a βββ，解得5=a ②本题等价于求三阶矩阵C 使得()()123123,,,,C βββααα= 可知()()1 1123123101113,,,,013124115135C αααβββ--???? ? ? == ? ? ? ????? 计算可得2154210102C ?? ? = ? ?--?? 因此()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 21、（本题满分11分）A 为三阶实矩阵，()2R A =，且111100001111A -???? ? ? = ? ? ? ?-???? （1）求A 的特征值与特征向量（2）求A 【答案】：（1）A 的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，??? ?? ??010 （2）001000100A ????=?????? 【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。 2002数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? ∞+e x x dx 2ln = _____________. (2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1 (0)1,(0)2 y y '== 的特解是_____________. (4)已知实二次型3231212 32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则 a =_____________. (5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题(每小题3分.) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?① (D)③?①?④ (2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11 ()1(11+++ -∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(x f 在+ R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞ →x f x 时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (B)当)(lim x f x '+∞ →存在时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (C) 当0)(lim 0=+ →x f x 时,必有0)(lim 0='+ →x f x (D) 当)(lim 0x f x '+ →存在时,必有0)(lim 0='+ →x f x . (4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和 )(y F Y ,则 (A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-） ，其中n为正整数，则 (0) f' =（ ） （A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（） （A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（） （A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2 （5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，， （C ） 134ααα，， （D ） 234ααα，， （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（） （A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝ （ ） （A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（ ） （A ） N （0，1） （B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→ 2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()() 4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()2 3 4 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函 数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1ΛΛ无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径 1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ， 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0 x = 2011考研数学一真题试卷 一选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A(1，０) B(2,０） C （3，0) D(４，０） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-n k n k x a 1)1(的收敛域 A （-1，1] B ［-1，1) Ｃ［0，2) D （0，2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数)(ln )(y f x f z =在点(0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年考研数一真题及答案解析 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()() ()() 2 34 12340 y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数() 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域 为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2x =时 幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>'' 2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1 n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π= ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小关 系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得 单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 1 21-P P (6) 设A 为43?矩阵， 123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+- n ∑a (x -1) ? ? ? ? 1 2 2 1 0 0 2011 年考研数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的 四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上． (1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3(x - 4)4 的拐点是( ) (A) (1, 0) ． (B) (2, 0) ． (C) (3, 0) ． (D) (4, 0) ． (2) 设数列{a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n = ∑a k (n = 1, 2, 无界，则幂级数 n →∞ k =1 ∞ n 的收敛域为( ) n =1 (A) (-1,1] ． (B) [-1,1) ． (C) [0, 2) ． (D) (0, 2] ． (3) 设函数 f (x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 f (x ) > 0 ， f '(0) = 0 ， 则 函 数 z = f (x ) l n f ( y ) 在点(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) > 1， f ''(0) > 0 ． (B) f (0) > 1， f ''(0) < 0 ． (C) f (0) < 1， f ''(0) > 0 ． (D) f (0) < 1， f ''(0) < 0 ． π π π (4) 设 I = ? 4 ln sin xdx ， J = ? 4 ln cot xdx ， K = ? 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大 小关系是( ) (A) I < J < K ． (B) I < K < J ． (C) J < I < K ． (D) K < J < I ． (5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 ? 1 0 0 ? 行得单位矩阵，记 P = 1 1 0 ? ， P ? 1 0 0 ? = 0 0 1 ? ，则 A = ( ) 1 ? 0 0 1 ? 2 ? 0 1 0 ? (A) P 1P 2 ． (B) P -1 P ． (C) P 2 P 1 ． (D) P P -1 ． (6) 设 A = (α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵， A * 为 A 的伴随矩阵，若(1, 0,1, 0)T 是方程组 1 2 3 4 ) n 2011年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版 附答案分析及详解 一、选择题 1、 曲线()()()()4 324321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0， 2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()11n n n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． (1) 曲线234 (1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( ) (A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞ =，1 (1,2,)n n k k S a n == =∑ 无界，则幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数 ()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<． (4) 设40 ln sin I x dx π = ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组 0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( ) (A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα． 2011年考研数学真题试卷及标准答案解析 ---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！ 一选择题 1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点 A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2设数列{}n a 单调减少，∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数 ∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数 )(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年概率论考研真题与答案 1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与 2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥ 1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞ -∞ ∴ ? 12()() F x F x +∞=-∞ 1= 2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记 {}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】 A. ()()E U E V B. ()()E X E Y C. ()()E U E Y D. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==. 所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = 根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =. 3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是 来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=1 1n i i T X n =∑和12=111 1n i n i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】 A. 1212()(),()()E T E T D T D T >> B. 1212()(),()()E T E T D T D T >< C. 1212()(),()()E T E T D T D T <> D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ (), ()E X D X λλ∴ == 1=1=1 11()()()n n i i i i E T E X E X n n λ∴ ===∑∑ 12=11111()()(1)11 n i n i E T E X X n n n n n n λ λλλ-=+=?-?+?=+--∑ 12()()E T E T ∴ < 2011年考研数学（三）真题及答案详解 一．选择题 1.已知当错误!未找到引用源。0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-错误!未找到引用源。与k cx 是等价无穷小，则 （A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 错误!未找到引用源。 （D ）3,4k c ==- 2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= （A ）()' 20f - （B ）()'0f - (C) ()' 0f (D)0 3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 （B ）若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 （C ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 （D ）若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 4．设44 40 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ π = ==? ??，则,,I J K 的大小关系是 （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵. 记1100110001P ????=??????,2100001010P ????=?????? ,则A = 2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1 2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A == 2011年考研数学试题（数学二） 一、选择题 1. 已知当时，函数 A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2. A B C D0 3. 函数的驻点个数为 A0 B1 C2 D3 4. 微分方程 A B C D 5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A B C D 6.设 A I 16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区 间及拐点。 17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取 得极值g(1)=1,求 18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原 点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。 19.证明：1）对任意正整数n，都有 2）设,证明收敛。 20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。 （1）求容器的容积。 （2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为） 21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。 22. X01 P1/32/3 Y-101 P1/31/31/3 求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3） 23.A为三阶实矩阵，，且 （1）求A的特征值与特征向量；（2）求A 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-． (2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()23302lim x x f x f x x →-=( ) (A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( ) (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()x x x ae be λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+． (5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''>< (6) 设40ln sin I x dx π=?，4 0ln cot J x dx π =?，40ln cos K x dx π=?，则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?= ? ??? ，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -． (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组 2011年考研数学试卷各科分数分布比例 2011年考研数学真题各学科分数详细分布比例 题的内容，考查的内容基本一致，但难度有所提升，加强了对知识的综合运用能力。 从内容方面来看，考试大纲中的内容都有所涉及，在三份试卷当中相同的题目很多，这也是这些年命题非常重要的特点，数学一和数学二有相同的，数学二和数学三也有相同的，甚至数学一、数学二、数学三都相同的题目也有，这是带有规律性的。 从难度方面看，虽然比去年有所提升，但对广大考生来说，难度比较适中。只要能够掌握并理解考试大纲中的内容，在规定的时间内，答完题目没有问题。 从考查重点来看，很多知识点都是每年必考的，如高等数学中的极限、微分、积分、级数，线性代数中的矩阵、向量、方程组的特征值和特征向量，还有概率论中随机变量的分布等。 整体来看，2011年考研数学的三份试卷能充分地检验了考生对知识的掌握、理解、运用能力。只要考生平时多看、多写、多练，通过考试是没有问题的。 2011年考研数学（三）试题分析 今年数学三的试题整体难度不大，以考查考生的计算能力和综合运用知识的能力为主。对于基础扎实，经过良好训练的考生可以获得比较理想的成绩。首先分析一下高数部分。 第1题、第9题和第15题可以归结为求极限的题目，考查的是等价无穷小的概念，洛必达法则求导，常用的等价无穷小公式替换等等非常常用的求极限的方法。这类题目在同学的复习当中想必做得已经滚瓜烂熟，只要认真些，拿全分完全没问题。 第2题考查的导数的概念，和极限四则运算法则，这在平时的复习训练中也是很基本很常见的。 第3题考查的判断级数的敛散性，拿到这个题目同学们可能有似曾相识的感觉，不错，与04年真题类似。级数部分是广大考生比较薄弱的部分，但通篇关于级数部分只有这么一道选择题，因此可以说试卷难度真的不大。 第4题考查利用定积分的性质进行估值，第10题求全微分在某点的值，这类问题也属于常见题目。第11题求曲线在一点处的切线方程，第12题求旋转体体积这些题目大家在练习中，上课的讲义中再常见不过了，相信只要仔细，高数的选择题和填空题应该拿全分不成问题。 第16题综合考查二元函数取极值的条件和复合函数求偏导，第17题考查不定积分的计算，也属于比较常规的类型。主要考察考生的计算能力，对考生解题的熟练度和准确度有较高要求。 第18题考查方程根的个数的讨论，综合考查导数的应用与闭区间上连续函数的性质部分的知识。这类题目解题时应该先利用导数求出函数的单调区间，再在每个单调区间上运用闭区间上连续函数的介质定理(零点存在定理)就可以证明题目所要求的结论。关于利用微分中值定理证明的这部分内容一直是学员认为的难点，但这个题目相对来讲，用的思想和方法比较常见，难度不大。 高数的最后一道大题比较新颖，结合了二重积分和微分方程。考生解题时需要先利用二重积分的计算方法，将题目中所给的二重积分的不等式转化为微分方程，然后再利用相应类型方 2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)已知当时，与是等价无穷小，则 (A)(B) (C)(D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 (洛必达法则) (洛必达法则) () 由此得。 【方法二】 由泰勒公式知 则 故。 【方法三】 故 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则 (2)已知在处可导，且,则 (A)(B) (C)(D)0 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑处导数定义 【方法二】拆项用导数定义 由于，由导数定义知 所以 【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则 而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B) 【方法四】由于在处可导，则 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数 和微分的四则运算 (3)设是数列，则下列命题正确的是 (A)若收敛，则收敛。 (B)若收敛，则收敛。 (C)若收敛，则收敛。 (D)若收敛，则收敛。 【答案】A。 【解析】 若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件 (4)设,则的大小 关系为 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小， 由于当时， 又因为为上的单调增函数，所以考研数学一历年真题(2002-2011)版)
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