2011年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
(1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4
(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()
233
02lim
x x f x f x x
→-=
( )
(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1n n u ∞
=∑收敛，则2121
()n n n u u ∞
-=+∑收敛
(B) 若2121()n n n u u ∞
-=+∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛
(C) 若1n n u ∞
=∑收敛，则2121
()n n n u u ∞
-=-∑收敛
(D) 若2121
()n n n u u ∞
-=-∑收敛，则1
n n u ∞
=∑收敛
(4) 设40
ln sin I x dx π=?，40
ln cot J x dx π=?，40ln cos K x dx π
=?，则,,I J K 的大小
关系是( )
(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<
(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第
二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ?
?
??
，2100001010P ??
?
= ? ???，则A = ( )
(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P
(6) 设A 为43?矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ) (A)
23
121()2
k ηηηη++-
(B)
23
121()2
k ηηηη-+-
(C) 23121231()()2
k k ηη
ηηηη++-+-
(D)
23
121231()()2
k k ηηηηηη-+-+-
(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( ) (A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x
(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x
(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该
总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和12111
1n i n i T X X n n
-==+-∑，有 ( )
(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9) 设()()0
lim 13x
t
t f x x t →=+，则()f x '= .
(10) 设函数1x y
x z y
??
=+ ??
?
，则()
1,1=dz
.
(11) 曲线tan 4y
x y e π??++= ??
?
在点()0,0处的切线方程为 .
(12)
曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .
(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .
(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则
()2E XY = .
三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)
求极限
x →
(16) (本题满分10分)
已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，
()(,,)z f x y f x y =+.求
()
21,1z
x y
???
(17) (本题满分10分)
求不定积分
(18) (本题满分10分)
证明方程4
4arctan 03
x x π
-+=恰有两个实根.
(19)(本题满分10分)
设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足
'()()+=????t
t
D D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t
D x y y t x x t t ，求()f x 的
表达式.
(20) (本题满分11分)
设向量组()11,0,1T
α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T
α= 不能由向量组
()11,1,1β=T
, ()21,2,3T
β=,()33,4,β=T
a 线性表出.
(I)求a 的值 ；
(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出.
(21) (本题满分11分)
A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
1111
0000
1111 A
-
???? ? ?
=
? ? ? ?
-????
(I) 求A的所有特征值与特征向量;
(II) 求矩阵A.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y的概率分布分别为
且22
()1
P X Y
==.
(I) 求二维随机变量(,)
X Y的概率分布；(II) 求Z XY
=的概率分布；
(III) 求X与Y的相关系数
ρ.
XY
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(,)
X Y服从区域G上的均匀分布，其中G是由0,2
x y x y
-=+=与0
y=所围成的三角形区域.
(I) 求X的概率密度()
X
f x；
(II) 求条件概率密度
|(|)
X Y
f x y.
2011年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 答案： (C)
解：本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，
03sin sin 3lim
k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim
k
x x x x x x
cx →--= ()
20
sin 3cos 22cos lim
k
x x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x
cx -→--= ()221
32cos 12cos lim
k x x x
cx -→---=221
10044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 3
4
lim
14,3k x c k cx
-→==?==， 故选择(C). (2) 答案：(B)
解：本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()
lim
()x f x x f x f x x
→+-'=
在本题中，
()()
()()()()
232233
30
20220lim
lim
x x x f x f x x f x x f f x f x x →→---+=
()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →??
--'''??=-=-=-????
故应选(B)
(3)答案：(A)
解：本题涉及到的主要知识点：
级数的基本性质 若级数1n n u ∞
=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并
把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.
在本题中，由于级数2121
()n n n u u ∞
-=+∑是级数1
n n u ∞
=∑经过加括号所构成的，由收敛
级数的性质：当1
n n u ∞=∑收敛时，2121
()n n n u u ∞
-=+∑也收敛，故（A ）正确.
(4) 答案：(B)
解：本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则
()()b
b
a
a
f x dx
g x dx ≤?
?()a b <
在本题中，如图所示： 因为04
x π
<<
，所以0sin cos 1cot <<< 又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以 lnsin lncos lncot x x x << (0,)4 x π ∈ 4440 ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ ?< 即I K J <<.选（B ）. (5) 答案：(D) 解：本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ?? ? = ? ??? 即111,AP B A BP -==故 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ?? ? = ? ??? 即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D) (6) 答案：(C) 解：本题涉及到的主要知识点： （1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通 解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数. 在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥?≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A = 由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又23 23112 22A A A ηηηηβ+= +=，故231 ()2 ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.
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