正弦定理教学设计
《正弦定理》教学设计
颍上一中施培松
一、教材分析
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》(北师大教A版)第一章,正弦定理第一课时,它既是初中解直角三角形在高中知识下的直接延拓,也是对高中坐标和圆等相关知识的综合运用,是生产和生活中解决实际问题的重要工具。正弦定理给出了任意三角形边角的一个等量关系,它与后面即将要讲授的另一个边角关系——余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课的主要内容是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用,在实际教学中,正弦定理这部分内容被分成了三个层次:第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索,并大胆提出猜想;第二层次由猜想入手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式;第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明,感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对我们高二的学生来说,已学的平面几何,解直角三角形,三角函数,向量等知识,有一定观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,多加以前后知识间的联系,带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。学生通过对定理证明的探究和讨论,体验到数学理论发现和发展的过程,进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
三、设计思想:
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面,也是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?这就要求在教学过程中以学生为主体,充分的发挥学生的主观能动性,也就是使学生在教师的指导下,自主进行思考和探究活动。本节课采用的是探究式课堂教学模式,即在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为主,以问题为导向设计教学情境,以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标:
1.在创设日常生活的问题情境中,让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发,由简单到复杂,步步推进,探索和证明正弦定理。
2.通过对实际问题的探索,培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养创造性思维的能力。
3.认识数学知识之间的相互联系,体会数学知识的不断探索和发展的过程,同时培养学生严谨的数学思维。
4.培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法,通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点:正弦定理的探索与证明;正弦定理的基本应用。
A
B
C
教学难点:正弦定理的探索与证明。 六、教学过程:
(一)创立情景,导入新课 师生活动:
教师:展示情景图如图1,船从港
口B 航行到港口C ,测得BC 的距离为
600m ,船在港口C 卸货后继续向港口A 航行,由于船员的疏忽没有测得CA 距
离,如果船上有测角仪我们能否计算出A 、B 的距离?
学生:思考提出测量角A ,C 教师:若已知测得75BAC ∠=?, 45ACB ∠=?,要计算A 、B 两地距离,你 (图1) 有办法解决吗?
学生:思考交流,画一个三角形A B C ''',使得B C ''为6cm ,
75B A C '''∠=?,
45A C B '''∠=? ,量得A B ''距离约为4.9cm ,利用三角形相似性质可知AB 约为 490m 。
老师:对,很好,在初中,我们学过相似三角形,也学过解直角三角形,大家还记得吗?
师生:共同回忆解直角三角形,①直角三角形中,已知两边,可以求第
三边及两个角。②直角三角形中,已知一边和一角,可以求另两边及第三个角。
。 教师:引导,ABC ?是斜三角形,能否利用解直角三角形,精确计算AB
呢?
学生:思考,交流,得出过A 作AD BC ⊥于D 如图2,把ABC ?分为两
个直角三角形,解题过程,学生阐述,教师板书。 解:过A 作AD BC ⊥于D 在Rt ACD ?中,sin AD
ACB AC
∠=
sin 600AD AC ACB ∴=∠== 45ACB ∠=?,75BAC ∠=?
18060ABC ACB ACB ∴∠=-∠-∠=
在Rt ABD ?中,sin AD
ABC AB
∠=
sin AD AB ABC ∴=
==∠
教师:表示对学生赞赏,那么刚才解决问题的过程中,若AC b =,
AB c =,能否用B 、b 、C 表示c 呢?
教师:引导学生再观察刚才解题过程。 学生:发现sin AD C b =,sin AD
B c
= sin sin AD b C c B ∴==
sin sin b C
c B
∴=
教师:引导
,在刚才的推理过程中,你能想到什么?你能发现什么?
学生:发现即然有sin sin b C c B =
,那么也有sin sin a C c A =,sin sin b A
a B
=。 A
B
C
D (图2)
教师:引导
sin sin b C c B =
,sin sin a C c A =,sin sin b A
a B
=,我们习惯写成对称形式sin sin c b C B =,sin sin c a C A =,sin sin a b
A B =
,因此我们可以发现sin sin a b A B =sin c
C
=
,是否任意三角形都有这种边角关系呢? 设计意图:兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头,那就意味着成功的一半。因此,我通过从学生日常生活中的实际问题引入,激发学生思维,激发学生的求知欲,引导学生转化为解直角三角形的问题,在解决问题后,对特殊问题一般化,得出一个猜测性的结论——猜想,培养学生从特殊到一般思想意识,培养学生创造性思维能力。 (二)数学实验,验证猜想
教师:给学生指明一个方向,我们先通过特殊例子检验
sin sin a b A B =sin c
C
=
是否成立,举出特例。 (1)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 分别为?60,?60,?60,对应的边长a :b :c 为1:1:1,对应角的正弦值分别为23,23,2
3,引导学生考察
A a sin ,
B b sin ,C
c
sin 的关系。(学生回答它们相等) (2)、在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 分别为?45,?45,?90,对应的边长a :b :c 为1:1:2,对应角的正弦值分别为22,2
2,1;(学生回答它们相等)
(3)、在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 分别为?30,?60,?90,对应的边长a :b :c 为1:3:2,对应角的正弦值分别为21
,23,
1。(学生回答它们相等)(图3)
B
B C
(图3)
教师:对于Rt ABC
?呢?
学生:思考交流得出,如图4,在Rt?ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,
则有=
sin
a
A
c
,=
sin
b
B
c
,又sin1
c
C
c
==,
则
sin sin sin
a b c
c
A B C
===
从而在直角三角形ABC中,
sin sin sin
a b c
A B C
==
教师:那么任意三角形是否有
sin sin sin
a b c
A B C
==呢?学生按事先安排分组,出示实验报告单,让学生阅读实验报告单,质疑提问:有什么不明白的地方或者有什么问题吗?(如果学生没有问题,教师让学生动手计算,附实验报告单。)
学生:分组互动,每组画一个三角形,度量出三边和三个角度数值,通
过实验数据计算,比较
sin
a
A
、
sin
b
B
、
sin
c
C
的近似值。
教师:借助多媒体演示随着三角形任意变换,
sin
a
A
、
sin
b
B
、
sin
c
C
值仍然保持相等。
我们猜想:
A
a
sin
=
B
b
sin
=
C
c
sin
设计意图:让学生体验数学实验,激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验,体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
(三)证明猜想,得出定理
师生活动:
B
a
A
c
b
(图4)
第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理;
探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法
作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
正 弦 定理教 学 设 计
《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用, 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的 基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,形成疑问,激发学生探究欲望,提出斜三角形的边 角关系的猜想;第二,带着疑问,对猜想进行验证,首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证,其次是严密的数学推导证明;第三,得到正弦定理,解决引例,首尾呼 应,并学以致用,简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化,从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次,探索——发现——证明,从实际中来,到实际中去。通过课堂,体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发,通过观察、实验、猜想、验证、证明,从特殊到一般得到 正弦定理,掌握正弦定理,了解正弦定理的一些推导方法,并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题; 2、通过对实际问题的探索,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养学生的缜密思维;
课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c