1.1.1 正弦定理
教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：
一、复习引入：
1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系准确量化？
2.在ABC ?中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。 二、讲授新课：
探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？
直角三角形中的正弦定理： sin A =
c a sin B =c b
sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C
==. 探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有
sin sin CD a B b A ==,则
sin sin a b A B =. 同理，sin sin a c
A C
=
（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c A B C
==
. 探究三：你能用其他方法证明吗？ 1． 证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中
S △ABC =111
sin sin sin 222
ab C ac B bc A ==.
两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b
B =sin c C
.
2．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a
CD R A D
===， 同理
sin b
B
=2R ，sin c C ＝2R .
3．证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=2R
[理解定理]
1公式的变形：
C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2)1(===C
B A c b a sin :sin :sin ::)3(=,2sin ,2sin ,2sin )2(R
c
C R b B R a A ===B
b C
c C c A a B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin )
4(=
==
2.正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=
； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b
=。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:
①π=++C B A ②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+③C ab S abc sin 2
1
=? 三、 教学例题：
例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===?.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 解：0030,45,10===C A c ∴00105)(180=+-=C A B
由C c
A a sin sin =
得 21030sin 45sin 10sin sin 0
0=?==C A c a 由C
c B b sin sin =得 256575sin 2030sin 105sin 10sin sin 0
0+==?==C B c b 评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先
利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.
例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===?
解：2
3
245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A
c C C c A a
0012060,1800或=∴?<
1360
sin 75sin 6sin sin ,75600
+==
===∴C
B
c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200
-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b
练习：P4 —— 1.2题
例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===?
解：∵
21
3
60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，
∴222=+=c b a
【变式】 02,135,3,ABC a A b B ?===中，求 四、 小结：
五、课后作业
1在△ABC 中，
k C
c
B b A a ===sin sin sin ,则k 为( 2A ) A 2R B R
C 4R
D 2
(R 为△ABC 外接圆半径)
2 在ABC ?中，已知角3
3
4,2245=
==b c B ， ，则角A 的值是 A. 15 B. 75 C.
105 D.
75或
15 3、在△ABC 中,?=?=c b a B A ::,60,30则若 2:3:1
4、在ABC ?中，若14,6760===a b B ，
，则A= 。
5、在△ABC 中，?=?==120,30,6B A AB ,则三角形ABC 的面积为 39 5、在ABC ?中，已知 45,2,3===B b a ，解三角形。
六、心得反思
1.1.1正弦定理学案
学习目标：
①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。 预习自测
1. 正弦定理的数学表达式
2. 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 叫做三角形的元素.已知三角形
的几个元素求其他元素的过程叫做 . 3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2)
问题引入：
1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？
2、在ABC 中，角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,，你能发现它们之间有什么关系吗？ 结论★： 。 二 合作探究：
1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？
2、探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
3、探究三：你能用其他方法证明吗？
4、正弦定理的变形：
5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：
三例题讲解
例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===?
例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===?
例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===?
【变式】02,135,3,ABC a A b B ?===中，求
思考：通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？ 四 课堂练习：必修5课本P4 T1、2 五 课后作业：
1在△ABC 中，
k C
c
B b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A 2R B R
C 4R
D R 2
1
(R 为△ABC 外接圆半径)
2△ABC 中，sin 2A = sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )
A 直角三角形
B 等腰直角三角形
C D 等腰三角形
3在ABC ?中，已知角3
3
4,2245=
==b c B ，
，则角A 的值是 A. 15 B. 75 C.
105 D.
75或
15
4、在ABC ?中，若14,6760===a b B ，
，则A= 。
5、在ABC ?中，已知 45,2,3===B b a ，解三角形。
六 心得反思
1．1．2解三角形的进一步讨论
教学目标
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。 教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法。 教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景]
思考：在?ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.讲授新课 [探索研究]
探究一．在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况
分析：先由sin sin b A
B a
=
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ ，从而A
C
a c sin sin =
1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。 2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解； 3.如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？
三例题讲解
例1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解
[随堂练习1]
（1）在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC 中，若1a =，1
2
c =
，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）
例2.在ABC ?中,已知,cos cos cos a b c
A B C
==判断ABC ?的形状． 解：令
sin a
k A
=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C
==
，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ?为正三角形．
说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断． [随堂练习2]
1.△ABC 中， C B A 2
2
2
sin sin sin += ，则△ABC 为（ A ）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形
2. 已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。 答案： ?ABC 是等腰或直角三角形 Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；