《正弦定理》教学设计
一、教材分析
正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上,通过对三角形边角关系的研究,发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景,从而引导学生产生探索愿望,激发学生学习的兴趣,并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中,要引导学生自主探究三角形的边角关系,先由特殊情况发现结论,再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题:
(1)已知两角和一边,解三角形;
(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形。
二、学情分析
本节授课对象是高一学生,是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上,由实际问题出发探索研究三角形边角关系,得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣,由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣,使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平,制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标:
1.知识与技能:通过创设问题情境,引导学生发现正弦定理,并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。
2.过程与方法:引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角正弦的比值之间的关系,培养学生通过观察,猜想,由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之
间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,激发学生学习的兴趣。
四、教学重点与难点:
重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:
①正弦定理的证明;
②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时,解的情况不唯一。
五、学法与教法
学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:
sin sin sin a
b
c
A B C
=
=
,
接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖,培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教法:运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式 (1)新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。
(2)掌握正弦定理的推导证明——分类讨论,数形结合,动脑思考,由特殊到一般,组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。
(3)例题处理——始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识。 (4)巩固练习——深化对正弦定理的理解。 六、教学过程
创设问题情境:如图,设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测出两点间A 、C 的距离55m ,∠ACB=600,∠BAC=450求
A 、
B 两点间的距离。
引导学生理清题意,研究设计方案,并画出图形,探索解决问题的方法. 启发学生发现问题实质是:已知△ABC 中∠A 、∠C 和AC 长度,求AB 距离.即:已知三角形中两角及其夹边,求其它边.
B
新知探究
1.提出问题:我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢?
2.解决问题:
回忆直角三角形中的边角关系: 根据正弦函数的定义有:
sin ,sin a b
A B c c
==,sinC=1。
经过学生思考、交流、讨论得出:
sin sin sin a b c A B C
==
, 问题1:这个结论在任意三角形中还成立吗?
(引导学生首先分为两种情况,锐角三角形和钝角三角形,然后按照化未知为已知的思路,构造直角三角形完成证明。)
①当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据锐角三角函数的定义,有=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此,得 sin sin a
b
A
B =
,
同理可得 sin sin c
b
C
B
=
, 故有
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
从而这个结论在锐角三角形中成立.
②当?ABC 是钝角三角形时,过点C 作AB 边上的高,交AB 的延长线于点D ,根据锐角三角函数的定义,有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ,sin CD b A = 。
由此,得 =∠sin sin a
b
A
ABC ,
同理可得 =
∠sin sin c
b
C
ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
C
B
A
c
b
a
a
b D
A
B C
A
B C
D
b
a
由①②可知,在?ABC 中,
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
这就是我们今天要研究的—— 正弦定理
思考:你还有其它方法证明正弦定理吗?(由学生讨论、分析)
证明一:(等积法)在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1
==
两边同除以abc 21即得:A a sin =B b sin =C
c sin
证明二:(外接圆法)
如图所示,∠A=∠D ∴R CD D
a A
a 2sin sin ===
同理
B b sin =2R ,C
c
sin =2R 证明三:(向量法)
过A 作单位向量j 垂直于AC 由 AC +CB =AB
两边同乘以单位向量j 得 j ?(AC +CB )=j ?AB 则j ?AC +j ?CB =j ?AB
∴|j ||AC |cos90?+|j ||CB |cos(90?-C)=|j ||AB |cos(90?-A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理,若过C 作j 垂直于CB 得: C c sin =B
b
sin ∴
A a sin =
B b sin =C
c
sin 。 正弦定理:
A a sin =
B b sin =C
c
sin =2R (R 是ABC ?外接圆的半径) a b
c
O
C
A
D
变形:::sin :sin :sin a b c A B C =。
接着给出解三角形的概念:一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.
问题2:你能否从方程的角度分析一下,解三角形需要已知三角形中的几个元素?
问题 3:我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢? (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角。
(2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角。
3. 应用定理:
例1. 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题. 题目见创设问题情境, 引导学生给出解决方法
例2.(1)在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===?.
(2) 在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===?.
解:(1)∵
21
3
60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b , C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角, 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a
(0030150C C ∴==或,而00210180C B +=>)
(2)2
3245sin 6sin sin ,sin sin 0
=?==∴=a A c C C c A a
0012060,sin 或=∴< 1360sin 75sin 6sin sin ,756000 +=====∴C B c b B C 时,当, 1360 sin 15sin 6sin sin ,151200 00 0-=====∴C B c b B C 时,当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 变式训练: 根据已知条件,求解三角形 七、课堂小结:(学生发言,互相补充,老师评价.) 1.用三种方法证明了正弦定理: (1)转化为直角三角形中的边角关系; (2)利用向量的数量积. (3)外接圆法 2.理论上正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. 八、布置作业: 1.思考:已知两边和其中一边的对角,解三角形时,解的情况可能有几种?试从理论上说明. 2.P 10.习题1.1.A 组:1,2. 九、教学反思: 本设计通过解斜三角形的一个实际问题引导学生发现三角形的边角关系,将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理,思路自然,学生乐于接受。通过引导学生发现直角三角形中的正弦定理,进而探究在任意三角形中是否还成立?将学生带入探索新知的氛围,学生从已有的知识经验出发,探索得出新结论,体验了成功的乐趣,对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试,在课堂小结教学中,给学生一个畅所欲言的机会,互相评价,最终得到完善的答案.这样做,可以锻炼学生的语言表达能力,这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程,对于培养意志品质起到了重要作用. 本节课采用探究式课堂教学模式,即在教师的启发引导下,以问题为导向设 计教学情境,以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容,为学生提供表达、质疑、探究问题的机会,让学生在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。 一点感悟:新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台! 教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形. 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,, 等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511 第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项 §1.1 正弦定理第二课时教案 主备人:刘权 备课组长:刘权 共2课时第二课时 一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数 二、重难点: 重点:正弦定理的应用;难点:已知两边及其中一边对角时三角形解的个数 三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化,同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用; 2.利用正弦定理判定三角形形状,常运用变形形式,结合三角函数的有关公式,得出角的大小或边的关系。 四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时,常用的结论 (1)在ABC ?中,A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式: ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理:(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===; (2)正弦定理的变形形式: 1)————————————————————; 2)————————————————————; 3)————————————————————. (3)利用正弦定理和三角形内角和定理,可解决以下两类斜三角形问题: 2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时 一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理; 探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法 作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一 (2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用. §1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点: 重点:正弦定理的探索及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】:习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么? 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示,∠A =∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=,C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===? 解:∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ,C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角, 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
苏教版高中数学必修五正弦定理教案
正弦定理第二课时教案1
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
《正弦定理》教学设计方案
2018年必修五《正弦定理》教案
正弦定理教案