必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计
四川省简阳中学张秀宜
一.教学内容分析
本课是《普通高中新课程标准实验教科书﹒数学(5)》(人教A版)第一章第一节《正弦定理》。根据我所任教的学生情况,我将《正弦定理》划分为两个课时,这是第一课时。正弦定理的主要内容是用正弦定理解三角形,是典型的用代数方法解决几何问题的类型,在生活、测绘中有广泛的应用。提出一个实际问题,并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系,从而引导学生产生探索愿望,激发学生学习的兴趣,使学生在已有知识的基础上,通过对三角形边角关系的研究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。。在教学过程中,引导学生自主探究三角形的边角关系,先由特殊情况发现结论,再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题:
(1)已知两角和一边,解三角形;
(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形。
二.学生学习情况分析
正弦定理是学生在必修(4)已经系统学习了三角函数,明确了三角函数基本概念,而且已经知道直角三角形的边角关系基础上进行的。高一学生对生产生活问题比较感兴趣,本节课由实际问题出发探究三角形边角之间的关系,激起学生学习新知的兴趣和欲望,得出正弦定理。
三.设计思想
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学,将遵循这个原则而进行设计。在本节课的教学中,我努力做到以下两点:
(1)在课堂中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话,并且在对话之后重视体会、总结、反思,力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学
的方法。
四.教学目标
(1)掌握正弦定理,能用其解三角形;同时能用其解决一些和测量有关的实际问题(2)经历猜想、证明、发现正弦定理的过程,培养学生的创新意识和探究意识
(3)通过学生之间、师生之间的探究、合作、交流,实现教学相长的教学情境
五.教学重点与难点
教学重点:正弦定理的证明及应用
教学难点:(1)正弦定理的证明(2)运用正弦定理解已知“两边及一对角”的三角形
【教学诊断:由于学生年龄、思维结构的限制,知识从理论到应用对学生来说是比较困难的;另外,已知“两边及一对角”,三角形形状不确定;所以,确定以上教学难点。同时,在教学过程中,带领学生共同分析思路,结合图形一起探究,尽量做到把知识直观地展现在学生面前,帮助学生化解本节难点。】
六.教学过程
1.创设情境,引入新知
师:“锄禾日当午,汗滴禾下土”,我想说明了……中午的太阳很大,太阳离我们多远,你能不能测出来。你测不了,因为路太远,去不到,那选一个近的。
师:甲同学在A 岸,对岸有一B 点,你能不能把A 、B 间的距离测出来?
【学情预设:师生共同探讨发现直接测测不了,只能寻求构造图形侧另一些量来求出AB 了】
师:目前我们能够测出哪些量?
【学情预设:学生可能说出很多可以测出的量,包括A 岸的距离和角】 师:能测A 岸的距离,以及角,你能想到构造一个什么图形来求出AB 吗? 【学情预设:构造直角三角形,由直角三角形边角关系可求AB 】
师:地理环境千变万化,C 处恰好就是一水塘,还能以AO 为边构造直角三角形吗,还能求出AB 吗?
【学情预设:学生发现此时不行了】
师:在AO 上另选一点,也可以测出相应的距离和角,这是还能在1A B C 中求出AB 吗?进一步说,任意三角形边角之间有关系吗?什么关系?
引入课题:正弦定理。
【设计意图:从生活中的问题出发,有助于激起学生的兴趣,激发学生学习新知的兴趣和欲望;同时,让学生感受数学存在于生活中,渗透简单的数学建模思想】
2.师生互动,探索新知
(1)任意给出△ABC ,请学生观察出最大的边和角。 【学情预设:学生发现大角对大边】
师:大角对大边说明边与对角有关系,什么关系,能否量化? (2)给△ABC 三边附一组值3,4,5;发现△ABC 是直角三角形,得:
1
请学生观察边和对角之间有什么关系。
【学情预设:学生能发现 】 师:在任意三角形中,这一组等式还成立吗?
给学生3分钟时间,结合教材,自主思考,分组讨论。
【设计意图:从三角形大角对大边入手,到一个特殊三角形满足 ,进而引申到任意三角形中的情况,知识的展现由易到难,学生接受更有梯度;同时,将课堂主动权交还给学生,自主探索发现正弦定理】
【学情预设:学生结合教材、相互探讨之后能够发现这一等式直角三角形里成立】 当△ABC 是直角三角形时,请学生说出证明过程,教师演示。 证:
师:证明了直角三角形的情况,还需要证明锐角三角形和钝角三角形的情况。 当△ABC 是锐角三角形时,证明相对复杂,所以教师把证明拆分成多个小问题,依次逐步向学生提问,在问题中解决证明。
①需要证明几个等式,可以怎么组合? (不妨先证明
a b =
sin sin A
B
) ②前边学习了直角三角形中边角关系,这里有没有直角三角形? 怎么产生直角三角形?
③需要找那些量的关系?这些量在哪些三角形里出现了?
④△BCD 、△ACD 有什么关系?能不能建立这些量的关系?怎么建立?
【学情预设:在教师引导下,发现以CD 为中间量,找到等式a ﹒sinB=b ﹒sinA ,进而变形即得
a b =
sin sin A
B
】
【学情预设:学生发现只需再证明b =sin sin c B
C
或=sin sin a c A C 即可,同时经历了以上证明,学生能够观察出只需要再做一高AE ,同理可证
b =
sin sin c B
C
】
当△ABC 为锐角三角形时,证完。
sin sin sin a
b
c
A B C
==sin sin sin a
b
c
A B C
==
sin a A c =?sin a
c
A
=sin sin a
b c
A
B
==sin 1
C =sin sin sin a b c A B C
==D
E
B
A
C
a
b
sin 1
C =4sin 5
B =
c=5
b=4
a=3
3sin 5
A =
sin b c
B
=b sin b B c
=
?
师:把C 角变成钝角,等式还成立吗?
师:能不能类似锐角三角形的情况证明?
教师组织学生分组讨论,根据情况选择一组推荐一人上台演示。
【学情预设:类似锐角三角形的情况,学生由三角函数基本知识,能够逐步找出问题的答案,发现即b ·sin ∠ACB=c ·sinB ,变形即得
b =
sin sin c B
C
】
【设计意图:体现学生的主体地位,让学生在快乐学习中学习,使学生成为知识的发现者和创造者】
成立,指出这即是三角形正弦定理。 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等;即
【设计意图:感受正弦定理的形成过程,通过问答方式把复杂的证明过程简单化,有利于学生理清思路,同时,能在轻松愉悦的环境中学习】
教师带领学生分析定理,总结:(1)正弦定理反映的是边和对角的关系 (2)边和对角的比值相等,分子是边,分母就是对角,结构对称。(3)任取一等式有四个量,两组边和对角,知道三个任意可求。感受数学的美。
3.实际应用,了解新知
例1.在△ABC 中,5,30,45a A B === ,求角C ,边b ,c
【学习难点:不会算sin105°】
师:sin105°=sin (60°+45°) cos15°=cos (30°-15°) 其他三角函数名称类似。
【设计意图:熟悉正弦定理的应用,同时为“定义解三角形”的概念做好准备】 师:在△ABC 中,知道两个角和一边共三个量,通过正弦定理,把剩余的三个量都求出来了,这个过程叫解三角形。
解三角形:已知三角形几个元素,求其他元素的过程。
师:任意给三个量可以是哪些组合?是否任意给出三角形中三个量,就一定能用正弦定理解三角形?
【学习难点:学生不能完全辨别出正弦定理能直接解决哪些问题,教师带领学生逐个分
析】
E
A
B
C
D
c
b
a
﹚1
sin sin sin a b c A
B
C
=
=
sin sin sin a
b
c
A
B
C
==
解:又a=5
sin sin a b A
B
=
5sin 30
sin
45
b
=
b = ∴A=30°B=45°
∴
105
C ∠=
5c
sin 30sin 105
=
同理:∴
2
A
C c
a
b
︶105°
(45°
)
30°
师:不妨一个一个来看。
(1)已知三个角(×) (2)已知三条边(×) (3)已知两角一边(√) (4)已知两边一角(?)
师:已知“两边一角”的情况不确定了,看一个实例(已知“两边一对角”和“两边一夹角”的情况)
例2:已知a=16,b=3
16
,A=30°,求B,C 和边c.
解:由正弦定理:
B
b A
a sin sin =
16
30sin 3
16sin
=
∴
B 2
3s i n =
∴B
B=60°或120°
当B=60°时,C=90°,c=32 当B=120°时,C=30°,c=16
变式:把A=30°改为B=30°,求B,C 和边c.
师:从公式分析:正弦定理只能解已知“两角一边”和“两边一对角”的三角形。 【设计意图:进一步熟悉正弦定理,明确用它解三角形需要什么条件】 4.合作交流,巩固新知
师:请同学们设计方案测出太阳到到地球的距离。分组讨论,教师根据情况选择一组的代表展示他们的设计方案。
【设计意图:新课程标准要求,把课堂的主动权交还给学生,充分调动学生,在探究活动中感受数学的乐趣;同时,训练学生对正弦定理的应用】
【学情预设:由于在创设情境时,学生已经具备了构造三角形来求距离的建模思想,这里容易想到测出AB 、∠CAB 、∠ABD ,构造出△ABC,发现是已知两角一边的情况,解三角形】
300
A
B
C
16
3
16300
A
B
C
16
3
1616
1
B
太阳)
∴
∴解:
5.反思小结,回味新知
师:本节课你学到了什么,最难忘的是什么。
【学情分析:学生可能会说到正弦定理,解三角形;教师适时引导同学们想想关于正弦定理的证明,用正弦定理可以测出达不到的两点间的距离】
【设计意图:(1)再次回顾正弦定理及其应用 (2)感受这堂课所涉及的数学思想方法】
6.习题演练,强化新知
(1)已知三角形的两角分别为45°和60°,它们所夹边的长度是1,求最小的边长。
,=10??
(2)在ABC 中,A=30c ,解ABC 。 【设计意图:强化应用正弦定理解三角形】
最后是课后作业及思考:(1)还能用其他方法证明正弦定理吗?(2)已知“两边一对角”,最终三角形可能有多少种解,怎么判断的?
作业:课本p10 A 组:1、2题
【设计意图:激发学生的探究意识,同时为正弦定理第二课时做准备】
七.教学反思
本课采用探究发现式教学方法,以问题为教学出发点,设计问题情境激发学生的学习动机,激励学生去取得成功,重视思维训练,发挥学生的主体作用,注重数学方法的融入和渗透。整个教学设计中,特别注重以下几个方面:
(1)重视学生的学习体验,突出他们的主体地位,训练他们从特殊到一般,归纳总结的学习方法。
(2)注重将正弦定理的学习和生活实例结合起来,让学生感受带数学源于生活。 (3)开放课堂,注重学生参与知识的形成过程,动手、动口、动脑相结合,使他们“听”有所思,“学”有所获,增强学习数学的信心,体验学习数学的乐趣。
第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理;
探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法
作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
正 弦 定理教 学 设 计
《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用, 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的 基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,形成疑问,激发学生探究欲望,提出斜三角形的边 角关系的猜想;第二,带着疑问,对猜想进行验证,首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证,其次是严密的数学推导证明;第三,得到正弦定理,解决引例,首尾呼 应,并学以致用,简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化,从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次,探索——发现——证明,从实际中来,到实际中去。通过课堂,体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发,通过观察、实验、猜想、验证、证明,从特殊到一般得到 正弦定理,掌握正弦定理,了解正弦定理的一些推导方法,并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题; 2、通过对实际问题的探索,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养学生的缜密思维;
课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c