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一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)

一元二次方程根与系数的关系习题

一、单项选择题：

1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0

（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根

（C ）没有实数根（D ）不能确定

2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（）

（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）

（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0

4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）

（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0

5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x ?等于（）

（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1

二、填空题：

1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝。

2、如果关于x 的方程012)14(22

2=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是。

3、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝，21x x ＝，221)(x x -＝

4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝。

5、当m = 时，方程042=++mx x 有两个相等的实数根；

6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m = ，这时方程的另一个根是；

若两根之和为－35

，则m = ，这时方程的两个根为 . 7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m = ；

8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m = ;

9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m = ;

10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为 ;

11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是

12、一元二次方程02

=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p= ,q=

13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，那么它的另一个根是

14、若方程012=-+mx x 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;

15、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，则代数式n m = 。

16、已知方程0132=+-x x 的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;

17、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则m 的值为 ;

18、已知方程0322=+-k x x 的两根之差为212

，则k= 19、若方程03)2(22=--+x a x 的两根是1和－3，则a=

20、①、若关于x 的方程04)1(222=+-+m x m x 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; ②、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则a= 。

21、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

22、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么k= 。

23、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则m= 。

24、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则q ∶p= 。

25、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为

913，那么常数项应改为。 26、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

27、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为21x x ，，且

43x 1x 121-=+，则m= 。 28、关于x 的方程0322=+-m x x ，当时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；

当m 时，方程有一个根为0。

三、解答下列各题：

1、已知3－ 2 是方程072

=++mx x 的一个根，求另一个根及m 的值。

2、m 取什么值时，方程012)14(222=-++-m x m x

（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；

3、求证：方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。

4、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子2)2)(1(k x x ---都可以分解成两个一次因式的积。

5、当k 取什么实数时，二次三项式12)14(222-++-k x k x 可因式分解.

6、已知a 是实数，且方程0122

=++ax x 有两个不相等的实根，试判别方程0)1(2

1122222=---++a x a ax x 有无实根？

7、已知关于x 的方程022=+-nx mx 两根相等，方程0342=+-n mx x 的一个根是另一个根的3倍。求证：方程0)()(2=-++-m k x n k x 一定有实数根。

8、已知方程03522=+-n mx x 的两根之比为2∶3，方程0822=+-m nx x 的两根相等(mn ≠0)。求证：对任意实数k ，方程01)1(2

=++-++k x k n mx 恒有实数根。

9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： )1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2

112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、

12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式

t s st 14++的值。

13、设：011632=--a a ，011632=--b b 且a ≠b ，求44b a +的值。

14、已知a a -=12，b b -=12，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。

15、已知042=-+m m ，

04112=-+n n ，m ，n 为实数，且n m 1≠，求代数式n

m 1+的值

16、已知07422=-+s s ，02472=--t t ，s ，t 为实数，且st ≠1。求下列各式的值： (1)t st 1+； (2)t

s st 323+-。

17、已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;

18、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17

19、已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角

形是正三角形

20、已知关于x 的方程0)1(4)12(2

=-+--a x a x 的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

21、关于x 的一元二次方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。

22、是否存在实数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21x x ，，满足2

321=x x ，如果存在，试求出所有满足条件的k 的值，如果不存在，请说明理由。

23、已知关于x 的方程01)1(22=++--m x m x 的两根满足关系式121=-x x ，求m 的值及两个根。

24、α、β是关于x 的方程044422=++-m m mx x 的两个实根，并且满足2)1)(1(=--βα，求m 的值。

25、已知一元二次方程0)12(82

=++-m x m x ，根据下列条件，分别求出m 的值：

(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；

26、已知方程042=++mx x 和016)2(2=---x m x 有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。

27、已知关于x 的二次方程05)2(22

2=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。

28、已知方程02=++c bx x 有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。

29、已知一元二次方程0524)32(2=-++-k kx x k ，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，方程有两个整数根。

30、已知21x x ，是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1121++x x ，是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，求常数p 、q 的值。

31、已知21x x ，是关于x 的方程022=++n x m x 的两个实数根；21y y ，是关于y 的方程0752=++my y 的两个实数根，且222211=-=-y x y x ，，求m 、n 的值。

32、关于x 的方程0n 4

1mx 2x 22=+-，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。 (1)求证：这个方程有两个不相等的实根；

(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

33、在解方程02

=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?

34、已知方程02=++b ax x 的两根为21x x ，，且0421=+x x ，又知根的判别式?=25，求a ，b 的值。

35、已知21x x ，是一元二次方程02=++n x m x 的两个实数根，且

5223)(22

212212221=+=+++x x x x x x ，，求m 和n 的值。

届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题测试含答案

精心整理北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题 1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2B．1C．－2D．－1 2 3 4.p，q 5．) 6.2的值为( A．－1B．9C．23D．27 7.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( ) A．x2＋3x－2＝0B．x2＋3x＋2＝0 C．x2－3x－2＝0D．x2－3x＋2＝0 8.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－

6，则a的值为( ) A．－10B．4C．－4D．10 9.菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( ) A．－3B．5C．5或－3D．－5或3 10.2 x1x2 11. 12.＋n＝ 13. 14. 15. 16. 17. (1)求m的取值范围； (2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值． 18.关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若

不存在，说明理由． 19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x2＋2x＋1＝0; (2)3x2－2x－1＝0； (3)2x2＋3＝7x2＋x; 2 20. (1) (2) 21. (1) (2) 10. 11. 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x2－10x＋9＝0 17.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，整理得：4－4m＋4

一元二次方程根与系数的关系典型例题

一元二次方程根与系数的关系【同步教育信息】一. 本周教学容：一元二次方程的根与系数的关系［学习目标］ 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（即：韦达定理及逆定理）； 2. 灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程。 3. 在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力； 4. 提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。 5. 体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，有意培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。二. 重点、难点： 1. 教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用，注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。 2. 教学难点：正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。【典型例题】例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：解得：（方法二）由题意：解得：根据韦达定理设另一根为x，则

点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。解：由已知，根据韦达定理（1）（2）（3）点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

初三数学根与系数关系练习题精选

初三数学根与系数关系式习题精选一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A 、、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x （3） 112112+++x x x x （4）||21x x -

（5）)31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + （7） 21x x 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足022 21=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

一元二次方程的根与系数的关系教学设计

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1）当0>?时，方程有两个不相等的实数根。（2）当0=?时，方程有两个相等的实数根。（3）当0

在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是， =k 。解：变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x -

一元二次方程的根与系数的关系教学案(一)

一元二次方程的根与系数的关系教学案（一）一、素质教育目标（一）知识教学点：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）能力训练点：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学步骤（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知

一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．

根与系数的关系习题

一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0

根与系数关系

一元二次方程根与系数对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴解得； ∵方程（2）没有实数根，∴ 解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 1

二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，(1)若，则方程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若，，则方程有两个负根．三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得： ∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：， 2

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的关系我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.

《一元二次方程根与系数的关系》教案

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题） 1．（2014?宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．（2014?昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（） A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．（2014?玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（） A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．（2014?南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A．10 B．9C．7D．5 5．（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．（2014?烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（） A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．（2014?攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）

A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1 8．（2014?威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．（2014?长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．0 10．（2014?黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 11．（2014?江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（） A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．（2014?峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（） A．19 B．18 C．15 D．13 13．（2014?陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（） A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1 14．（2013?湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）A．﹣1 B．9C．23 D．27

根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系教学目的 1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用． 2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．教学重点、难点重点：韦达定理的推导和初步运用．难点：定理的应用．教学过程一、复习提问 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？二、新课讲解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x 1，x2，那么例1已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．讲解例1

例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．三、学生练习 1．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？ (1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5； (3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0． 2．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？ 3．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k 为何值？ 4、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．提示：这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数．四、课堂小结 1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理． 2．要掌握定理的四个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．三是已知方程求两根的各种代数式的值；四是已知两根的代数式的值，构造新方程；五、布置作业： 1、本节不留书面作业。 2、探究性作业：课本55页探索。

根与系数关系知识讲解及练习

0b0a，如果方程有两个实数韦达定理：对于一元二次方，10?? 1）定理成立的条件说明：（b??x?x的负号与b）注意公式重的符号的区别（221a根系关系的几大用处 ①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；? 例如：已知方程2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ x） -3 D. 3, 2， 3，-2 B. -2, 3 C. -2 A．②求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x和x的代数式21的值，如；? ③求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.? ④求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主）（1）计算代数式的值 2x,x?2x?x2007?0的两个根，试求下列各式的值：是方程若例 211122?(x?5)(x?5)|x?x|xx?．(4) ； (2) ； (1) ； (3) 212112xx21x?x??2,xx??2007解：由题意，根据根与系数的关系得：21122222?2(?2007)?4018xx?(x??x)?(x?x2)?2 (1) 212112x?x11?2221????(2) xxxx?200720072211(x?5)(x?5)?xx?5(x?x)?25??2007?5(?2)?25??1972 (3) 212211 222?4(?2007)2)(??22008x)??(xx)x?4x????|xx|(x (4) 21122211说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x?x112222212???4xx?xx?)?(xx2)?x??xx(x?xx)(，，， 212121212211xxxx2121．222，4?|x?x|)x(x??xx?xxxx22121112221112333等等．韦达定理体现了整体思想．)x?x)?3xxx?x(?(x?x21121212（2）构造新方程为根的一元二次方程是。理论：以两个数 x+y=5 解方程组例??????????? xy=6??? 是方程z-5z+6＝0 ，解：显然，xy=3 =2,z由方程①解得 z21=3 =2,y∴原方程组的2的两根① 解为 x11=2 =3,y???????????????? x22显然，此法比代入法要简单得多。）定性判断字母系数的取值范围（3一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。例为的两根，则c=2 a、bb解：设此三角形的三边长分别为a、、c，且由题意知2-4 k≤0，k≥4或×△＝k-4×22≥为所求。∴

一元二次方程根与系数关系(附答案)解析

一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人得分

三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值． 14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．

根与系数之间关系应用一

2013根与系数关系应用一．填空题（共30小题） 1．（2012?泸州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为_________．2．（2012?鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a= _________． 3．（2011?苏州）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于_________． 4．（2011?德州）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=_________． 5．（2010?雅安）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是 _________． 6．（2010?芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_________． 7．（2010?成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_________． 8．（2009?天津）若分式的值为0，则x的值等于_________． 9．（2008?鄂州）已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=_________． 10．（2007?芜湖）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_________．11．（2007?宿迁）设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则|x1﹣x2|=_________．12．（2006?株洲）已知a、b是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是_________．13．（2006?日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．14．（2006?南充）如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是_________． 15．（2001?甘肃）如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是_________． 16．（2001?东城区）若2x2﹣5x+﹣5=0，则2x2﹣5x﹣1的值为_________． 17．（2000?辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为_________． 18．（1999?温州）若m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于_________．

根与系数的关系练习题 (1)

一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题） 1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（） A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0 2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12 4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3 5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1 6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2 7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（） A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2 8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（） A．365 B．245 C．210 D．175 9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0 的两个实数根，则m的值为（） A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8 10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011

根与系数的关系资料系数公式

系数公式一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程及应用求根公式求出方程即根的判别式的两个根存在的三种情况，以，进而分解因式，。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）根，且关于的方程（2）方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数没有实数根，问取什么整数时，∴解得； ∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定既要求出判别式的值，又要确定或或的正负情况。因此解答此题的关键是：的正负情况。解：∵，∴△＝--4×2×(--7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中若＞0，仍需考虑＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，的一个根为2，求另一个根及的先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当，解得：时，原方程均可化为：∴方程的另一个根为4，的值为3或--1。解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：， ∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或--1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程和比两根的积大21，求的值。有两个实数根，且两个根的平方分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。解：∵方程有两个实数根，∴△解这个不等式，得则，≤0 设方程两根为∵∴∴整理得：解得：又∵，∴ 说明：当求出意的。后，还需注意隐含条件，应舍去不合题四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的两个非的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方