一元二次方程根与系数的关系各种类型题与训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，

∴

解得；

∵方程（2）没有实数根，

∴

解得；

于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值围是

其中，的整数值有或

当时，方程（1）为，无整数根；

当时，方程（1）为，有整数根。

解得：

所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0

∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，

∵＜0

∴原方程有两个异号的实数根。

总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把代入原方程，得：

即

解得

当时，原方程均可化为：

，

解得：

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

解法二：设方程的另一个根为，

根据题意，利用韦达定理得：

，

∵，∴把代入，可得：

∴把代入，可得：

，

即

解得

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

总结：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。

分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。

解：∵方程有两个实数根，

∴△

解这个不等式，得≤0

设方程两根为

则，

∵

∴

∴

整理得：

解得：

又∵，∴

总结：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。

四、运用判别式及根与系数的关系解题。

例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值围；若不能同号，请总结理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，

∴则有

∴

又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：

假设、同号，则有两种可能：

（1）（2）

若，则有：；

即有：

解这个不等式组，得

∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。

若，则有：

即有：

解这个不等式组，得；

又∵，∴当时，两根能同号

总结：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的容。

六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。

例：已知、是方程的两个实数根，求的值。

分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。

解法一：由于是方程的实数根，所以

设，与相加，得：

）

（变形目的是构造和）

根据根与系数的关系，有：

，

于是，得：

∴=0

解法二：由于、是方程的实数根，

∴

∴

总结：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。

有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。

七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。

例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。

解：设两方程的相同根为，根据根的意义，

有

两式相减，得

当时，，方程的判别式

方程无实数解

当时，有实数解

代入原方程，得，

所以

于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为

总结：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：

当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；

（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：

且

另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。

【趁热打铁】

一、填空题：

1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。

3、已知关于的方程的两根为，且，则。

4、已知是方程的两个根，那么：；

；。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，

则；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根

是，的值为。

7、已知是的一根，则另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程

为：。

二、求值题：

1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

三、能力提升题：

1、实数在什么围取值时，方程有正的实数根？

2、已知关于的一元二次方程

（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请总结理由。

5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。

6、实数、分别满足方程和，求代数式

的值。

答案与提示：

一、填空题：

1、提示：，，，∴，

∴，解得：

2、提示：，由韦达定理得：，，∴，

解得：，代入检验，有意义，∴。

3、提示：由于韦达定理得：，，∵，

∴，∴，解得：。

4、提示：由韦达定理得：，，

；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则；②设＜0，＞0，则。

5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。

6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。

7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，

∴，∴

8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，

∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：

二、求值题：

1、提示：由韦达定理得：，，∴

2、提示：由韦达定理得：，，∴

3、提示：由韦达定理得：，，

∴

4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。

5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，

∴，∴，化简得：；解得：

，；以下分两种情况：

①当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：；

②当时，，，组成方程组：；

解这个方程组得：

6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：

；①②得：，解这个方程得：；

根与系数的关系习题

一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

初三数学根与系数关系练习题

一元二次方程根的判别式与根与系数的关作业题 一、选择 1、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程 （ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、有实根 2、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( ) （A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn 3、若a x x ++3142为完全平方式，则a 的值为 （ ） A 61 B 121 C 361 D 144 1 4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 （ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±1 5、两根均为负数的一元二次方程是 ( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 6、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =??? ??2 2，则方程的两根 之比为 （ ）

A 、0∶1 B 、1∶1 C 、1∶2 D 、2∶3 7、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为 （ ） A 、－3 B 、5 C 、5或－3 D 、－5或3 二、填空： 8、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中， 无实根的方程是 。 9、关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。 10、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根，则_____=k ； 11、以1313－和+的根为方程是______________。 12、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。 三、解答 13、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+

根与系数的关系练习题 (1)

一元二次方程根与系数的关系练习题 一．选择题（共14小题） 1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（） A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0 2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12 4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3 5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1 6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2 7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（） A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2 8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（） A．365 B．245 C．210 D．175 9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0 的两个实数根，则m的值为（） A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8 10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题 朱发栋 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0

变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x - 变式训练： 1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值： （1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。

根与系数关系知识讲解及练习

0b0a，如果方程有两个实数韦达定理：对于一元二次方，10?? 1）定理成立的条件说明：（b??x?x的负号与b）注意公式重的符号的区别（221a根系关系的几大用处 ①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；? 例如：已知方程2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ x） -3 D. 3, 2， 3，-2 B. -2, 3 C. -2 A．②求代数式的值：在不解方 程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x和x的代数式21的值，如；? ③求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.? ④求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主） （1）计算代数式的值 2x,x?2x?x2007?0的两个根，试求下列各式的值：是方程若例 211122?(x?5)(x?5)|x?x|xx?．(4) ； (2) ； (1) ； (3) 212112xx21x?x??2,xx??2007解：由题意，根据根与系数的关系得：21122222?2(?2007)?4018xx?(x??x)?(x?x2)?2 (1) 212112x?x11?2221????(2) xxxx?200720072211(x?5)(x?5)?xx?5(x?x)?25??2007?5(?2)?25??1972 (3) 212211 222?4(?2007)2)(??22008x)??(xx)x?4x????|xx|(x (4) 21122211说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x?x112222212???4xx?xx?)?(xx2)?x??xx(x?xx)(，，， 212121212211xxxx2121．222，4?|x?x|)x(x??xx?xxxx22121112221112333等等．韦达定理体现了整体思想．)x?x)?3xxx?x(?(x?x21121212（2）构造新方程 为根的一元二次方程是。理论：以两个数 x+y=5 解方程组例??????????? xy=6??? 是方程z-5z+6＝0 ，解：显然，xy=3 =2,z由方程①解得 z21=3 =2,y∴原方程组的2的两根① 解为 x11=2 =3,y???????????????? x22显然，此法比代入法要简单得多。）定性判断字母系数的取值范围（3一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。例 为的两根，则c=2 a、bb解：设此三角形的三边长分别为a、、c，且由题意知2-4 k≤0，k≥4或×△＝k-4×22≥为所求。∴

九年级数学专题04 根与系数的关系_答案

专题 04 根与系数的关系 例1. 15 2 s ≥- 且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设22 3,A βα = +22 3,B αβ= + 31004A B += ① A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得 1 (4038 A =- 例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又1 1,,st t s ≠∴是一元二次方 程 299190x x ++=的两个不同实根, 则11 99,19,t t s s +=-=即199,19.st s t s +=-= 故41994519st s s s t s ++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程 22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴?≥, 即2223221440z az a -+-≤, 由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ?=--??-≥ 解得a ≥故正实数a 的最小值为 (3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11, 6x y xy +=??=? 或 6,()xy 11. x y +=?? =?舍原式=()()2 22222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ?-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2， 且x 1<0

一元二次方程根与系数关系经典例题与练习教程文件

一元二次方程根与系数关系经典例题与练 习

一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B 、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求 下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2） 2221)1()1(+++x x

（3）1121 12+++x x x x （4）||21x x - （5） )31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程 012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足 02221=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根 是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

根与系数的关系练习题一

一元二次方程的根与系数的关系 关系：如果1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=-，12c x x a = eg2．已知α、β是方程x 2-7x+8=0两个，且α＞β，不解方程，求下列各式的值. （1）α2β＋αβ2 （2） α2＋β2 （3） （1+2/α）（1+2/β） （4）α－β （5）2/α+3β2 1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______． 2、关于x 的一元二次方程2 0x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______． 3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a =或2a =- C ．2a = D ．2a =或0a = 4、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值. 5.已知关于x 的一元二次方程22 (21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围； （2）当22120x x -=时，求m 的值． 6、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0 6、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=g .则k 的值为 （ ） A 、－1或34 B 、－1 C 、34 D 、不存在 7、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求 2112x x x x +的值. 8、已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，求m 的值. 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程(2)()(2)()x x m p p m --=-- 的两个实数根． （1）求1x ，2x 的值；（2）若1x ，2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值． 10、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A ．3 C ．6 D ．9 11、已知,a b 是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两个实数根,则式子 b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系 1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。 2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ； 2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。 3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。 4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。 5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。 6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。 7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。 8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。 9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。 10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ， (x 1+x 2)21x x ?= 。 11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913 ，那么常数项应改为 。 12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。 13、若α 、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程 为 。(其中二次项系数为1) 14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。若方程的两根互为倒数，则m= ； 若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。 15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。 16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。 18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。 19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m= 。 20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍，则所求的方程为 。 21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 。 22、已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。 23、已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。 24、证明：如果有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A 、B 均为有理数)， 那么另一个根必是A －B 。 25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

因式分解与根与系数关系经典习题

因式分解与根与系数关系主标题 副标题 一、选择题（本大题共9小题，共27.0分） 1.若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是 A. B. 且 C. D. 2.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4.下列方程没有实数根的是 A. B. C. D. 5.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围 为 A. B. C. D. 6.下列一元二次方程中，没有实数根的是 A. B. C. D. 7.一元二次方程的根的情况是 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8.一元二次方程的解是 A. B. ， C. D. ， 9.如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB 落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 10.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ______． 11.关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为______． 12.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______． 13.已知直角三角形两边x、y的长满足，则第三边长为 ______ ． 14.一元二次方程的根是______． 三、计算题（本大题共8小题，共48.0分）

15.解方程：． 16.解下列方程． 17.关于x的一元二次方程有两个实数根． 求m的取值范围； 若m为正整数，求此方程的根． 18.解方程 ． ． 19.用适当的方法解下列一元二次方程 直接开平方法 配方法 因式分解法 公式法

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题 主编：闫老师 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0

在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ， =k 。 解： 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x -

初三数学根与系数关系练习题

一元二次方程根的判别式与根与系数的关系复习题 一、选择 1、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程 （ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、有实根 2、若方程02=++n mx x 中有一个根为零，另一个根非零，则n m ,的值为 ( ) （A ） 0,0==n m （B ） 0,0≠=n m （C ） 0,0=≠n m （D ） 0≠mn 3、若a x x ++3142为完全平方式，则a 的值为 （ ） A 61 B 121 C 36 1 D 1441 4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 （ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±1 5、两根均为负数的一元二次方程是 ( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 6、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =??? ??2 2，则方程的两根 之比为 （ ）

A 、0∶1 B 、1∶1 C 、1∶2 D 、2∶3 7、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为 （ ） A 、－3 B 、5 C 、5或－3 D 、－5或3 二、填空： 8、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中， 无实根的方程是 。 9、关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。 10、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根，则_____=k ； 11、以1313－和+的根为方程是______________。 12、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。 三、解答 13、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+

一元二次方程根与系数关系经典例题与练习

一、填空题与选择题： 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A B 、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题： 8、设21,x x 是一元二次方程 01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3）1121 12+++x x x x （4）||21x x -

（5） )31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程 012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根 是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。 11、已知关于x 的方程 04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.

一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案） 一．选择题（共22小题） 1．（2014?宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．（2014?昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（） A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．（2014?玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成 立？则正确的结论是（） A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．（2014?南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A．10 B．9C．7D．5 5．（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．（2014?烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（） A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．（2014?攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（） A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D． +=﹣1 8．（2014?威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（） A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．（2014?长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（） A．2B．1C．﹣1 D．0 10．（2014?黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 11．（2014?江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（） A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．（2014?峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（） A．19 B．18 C．15 D．13 13．（2014?陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别

一元二次方程根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系练习题 一、 填空： 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么 m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ， n = . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么 2 22 1x x += . 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: １、1x 2+2x 2= ；2、 2 11 1x x += ； 3、=-221)(x x = ；4、)1)(1(21++x x = . 三、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值

是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么 2 11 1x x +=（ ） (A )－3 1 (B) 3 1 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－2 1 (B) －6 (C ) 2 1 (D) － 25

初二数学根与系数的关系练习题

初二一元二次方程根与系数的关系习题 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0

)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ， =k 。 解： 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x -

根与系数关系练习题

根与系数关系练习题 姓名： 一、填空题与选择题 1、若一元二次方程 )0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032 =--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ． 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A 、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3）11211 2+++x x x x （4）||21x x - （5） )31)(31(1221x x x x ++ （6）3231x x + （7）21x x 9、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足 02221=-x x ，求m 的值； 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ， 求m 和n 的值。

根与系数关系经典题

一. 填空题 令狐采学 1. 如果x x 12、是方程 x x 2720 -+=的两个根，那么 x x 12+=____________。 2. 已知一元二次方程x x 2350--=的两根分别为x x 12、，那么 x x 1222 +的值是_________。 3. 若方程 x x k 220 -+=的两根的倒数和是 83 ，则 k =____________。 二. 选择题 1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（） A. x x 2230+-= B. x x 2230-+= C. 22302x x --= D. 36102x x -+= 2. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么 x x 12+与x x 12的值分别为（） A. 3，2 B. --32， C. 32，- D. -32， 3. 如果方程26302 x x -+=的两个实数根分别为x x 12、，那么 x x 12的值是（） A. 3 B. -3C. - 32 D. 3 2 4. 如果x x 12、是方程x x 2 310-+=的两个根，那么 1112 x x +的值等 于（） A. -3B. 3C. 13D. -13

5. 已知关于x 的方程x k x k 2260-++-=()有两个相等的正实数 根，则k 的值是（） A. 2 B. -10 C. 2或-10 D. 25 6. 若方程x x m 280-+=两实数根的平方差为16，则m 的值等于（） A. 3 B. 5 C. 15 D. -15 7. 如果x x 12、是两个不相等的实数，且满足x x 12 121-=， x x 22 221-=，那么x x 12等于（） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 8. 对于任意实数m ，关于x 的方程()()m x mx m 2221240+-++=一定（） A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根 C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根 三. 解答题 1. 已知关于x 的方程x k x k 2110--++=()的两上实数根的平方和等于4，求实数k 的值。 2. 已知一元二次方程x x m 2210-+-= （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x x 12、是方程的两个实数根，且满足x x x 12121+=，求 m 的值。 3. 已知关于x 的方程x k x k 2211 4 10-+++=() （1）k 取什么值时，方程有两个实数根？ （2）如果方程的两个实数根x x 12、满足||x x 12= ，求 k 的值。

根与系数的关系练习题-

一元二次方程根与系数的关系练习题 班别： 姓名： 一、 填空： 1、 如果一元二次方程c bx ax ++2 =0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么 1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322 =--x x 的两根为1x ，2x ，那么 1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02 =++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2 =-++n mx x 的两个根是2和－4，那么 m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程 是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 10、已知方程04322 =-+x x 的两根为1x ，2x ，那么 2 221x x += . 11、若方程062 =+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 12、若方程01)1(2 =----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 13、如果是关于x 的方程02 =++n mx x 的根是2 - 和3，那么n mx x ++2 在实数范围内可分解为 14、已知方程0232 =--x x 的两根为1x 、2x ，则 １>1x 2+2x 2 = _；2> 2 11 1x x + = ； 3>=-221)(x x __；4>)1)(1(21++x x = . 二、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122 -+x x =0的两根是1x ，2x ，那么 =++12 21221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322 =--x x 的两根为1x ，2x ，那么 2 11 1x x + =（ ）(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322 =-+x x （B ） 0322 =+-x x （C ）0322 =--x x （D ）0322 =++x x 5、若方程04)103(42 2=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么 )1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－ 21 (B) －6 (C ) 21 (D) －2 5 三、解答题: 1、若关于x 的方程02352 =++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值. 2、关于x 的方程04)2(22 2 =++-+m x m x 有两个实 数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.