1.1任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1. 角的概念的推广
(1)任意角的形成：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的端点叫作 ，旋转开始时的射线叫作 ，终止时的射线叫作 ．
(2)角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫作 ，按顺时针方向旋转形成的角叫作 ，当射线没有作任何旋转时形成的角叫作 ．
(3)当角的始边相同时，若角相等，则 相同；但终边相同时，角 相等． 2. 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限角，各象限角的集合依次是：(用弧度制表示)
第一象限角： ； 第二象限角： ； 第三象限角： ； 第四象限角： ．
例如，︒
640是第 象限角；︒
-170是第 象限角．
3. 角的终边在坐标轴上的角(轴线角) 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在坐标轴上的角的表示：(用弧度制表示)
终边在x 轴的非负半轴上的角的集合是： ； 终边在x 轴的非正半轴上的角的集合是： ； 终边在x 轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴的非正半轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴上的角的集合是： ． 4. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以用式子Z k k ∈⋅+︒
，360α来表示，它们互称终边相同的角．与角α终边相同的角的集合可以记为： ．
例如，与︒-45终边相同的角的集合为 ，并写出︒
︒-360~360之间的角 ． 5. 判断
n
α
所在象限的问题 例，若α是第四象限角，则
2
α
的终边所在的象限为 ． 1.1.2 弧度制
6. 1弧度的角
把长度等于 长的弧所对的 叫作 ，符号表示为
．用弧度作为单位来度量角的单位制叫作 ．
一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 ．
7. 弧度数的绝对值公式
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 .
8. 角度数与弧度数的换算 =︒
180 rad
=︒
1 rad ≈ rad
=r a d 1 ︒
≈ ︒
= 9. 特殊的角的度数与弧度数的对应表： 度 ︒0
︒
30 ︒
45
︒
90 ︒
120
︒
150
︒210
︒225 ︒
240
︒
360 弧度
3π
4
3π
π
2
3π
10. 扇形的弧长公式和面积公式
(1)在角度制中，扇形的半径为R ，圆心角为︒
n 的扇形的弧长公式和面积公式分别是
=l ，=S ．
(2)在弧度制中，半径为R ，圆心角为α的扇形的弧长=l ，面积=S = ． 知识巩固
1.若10-=α，则α为第 象限角.
2.与︒
-1050终边相同的最小正角是(用弧度制表示) ．
3.已知
1690=α，把α改写成[))2,0,(2πββπ∈∈+Z k k 的形式为 ．
4.设扇形的周长为cm 8，面积是2
4cm ，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．
任意角与弧度制知识点汇总 一、任意角的定义和度量 1.任意角是指不在坐标轴上的角，可以是任意大小的角度。 2.任意角的度量可以使用度数和弧度数来表示。 3.度数是常用的角度度量单位，一个完整的圆为360度，所以一个直角为90度。 4.弧度是另一种角度度量单位，一个完整的圆的周长为2π，所以一个直角对应的弧度为π/2 5.任意角的度数和弧度数之间的关系是180度=π弧度。 二、度和弧度的换算公式 1.由于180度=π弧度，所以度数转换为弧度可以使用如下公式：弧度数=度数×(π/180)。 2.弧度转换为度数可以使用如下公式：度数=弧度数×(180/π)。 三、任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们分别用sin、cos 和tan表示。 2. 正弦函数的值等于任意角的对边与斜边的比值，sinθ = 对边/斜边。 3. 余弦函数的值等于任意角的邻边与斜边的比值，cosθ = 邻边/斜边。
4. 正切函数的值等于任意角的对边与邻边的比值，tanθ = 对边/邻边。 5.三角函数的值可以通过正弦、余弦和正切表或计算器来查找或计算。 四、任意角的三角函数的性质 1.正弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 2.余弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 3.正切函数的值不受限制，但也具有周期性，其周期为180度或π 弧度。 4.三角函数的值可以通过画图或使用计算器来确定。 五、任意角的三角函数的基本关系 1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = cos(90度-θ)。 2. 正切函数和余切函数是互倒函数，即tanθ = cot(90度-θ)。 3. 三角函数的和差公式可以用来求解任意角的三角函数值，如 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。 4.三角函数的倍角公式和半角公式也可以用来求解任意角的三角函数值。 六、任意角与单位圆的关系 1.单位圆是半径为1的圆，它可以用来表示任意角的三角函数值。
1.1任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊂C D．A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和。 k (Z （2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：
1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ） 。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称 D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：
任意角与弧度制知识与题型总结 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C ααα∠αx
4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若角的终边与 58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ 的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180， -∈θ． )(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ
5.1 任意角和弧度制 （基础知识+基本题型） 知识点一 任意角 1.角的概念 (1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (2)角的表示：如图 射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 拓展： （1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。 （2）角的范围不再限于0 360. B O A O A B O A B A （B O
知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角 （1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （2）象限角的集合表示 }360 90360,x k k Z <<+⋅∈ }90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈ 2.终边相同的角 （1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 （2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 ,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈ }180,k k Z ⋅∈ }90360,k k Z +⋅∈ }90 360,k k Z +⋅∈
知识点一：任意角的表示 ?????正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 知识点二：象限角的范围 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
任意角及弧度制知识点总结 一、任意角 1.任意角是指一个初始边在x轴正方向上的角度为α，终边在平面内可以任意取向的角。 2.任意角可以通过360度的整数倍来表示，例如α=30°+360°n，其中n为任意整数。 3.任意角也可以通过2π的整数倍来表示，例如α=π/6+2πn，其中n为任意整数。 4.任意角的定义并没有限制其大小范围，可以取正、负、零值。 5.任意角中，如果终边与x轴正方向相同，角度为正；如果终边与x 轴正方向相反，角度为负；终边在x轴上，角度为零。 二、弧度制 1.弧度制是角度的一种度量方式，用弧长与半径的比值来表示角的大小。 2. 弧度制的基本单位为弧度，用符号“rad”表示。 3.一圆的弧长等于该圆的半径时，对应的角度大小为1弧度。 4.弧度制与度数制之间的关系为：1圆周=360°=2π弧度。 5.角度与弧度之间的转换关系为：α(弧度)=α(度数)×π/180，或α(度数)=α(弧度)×180/π。 三、常见角度值的对应关系
1. 30°=π/6 rad，45°=π/4 rad，60°=π/3 rad，90°=π/2 rad，180°=π rad 2. 120°=4π/6 rad，150°=5π/6 rad，210°=7π/6 rad， 240°=8π/6 rad，300°=10π/6 rad 四、任意角的三角函数 1. 任意角中的正弦值（sinα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与半径的比值。 2. 任意角中的余弦值（cosα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的横坐标与半径的比值。 3. 任意角中的正切值（tanα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与横坐标的比值。 4. 三角函数的周期性：sin(α+2nπ)=sinα，cos(α+2nπ)=cosα，tan(α+π)=tanα，其中n为任意整数。 5. 其他三角函数的关系式：cotα=1/tanα，secα=1/cosα， cscα=1/sinα。 五、任意角的三角函数性质 1. sinα是奇函数，即sin(-α)=-sinα。 2. cosα是偶函数，即cos(-α)=cosα。 3. tanα是奇函数，即tan(-α)=-tanα。 4. 在特殊角度上的三角函数值：sin0=0，sinπ/6=1/2， sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2，sinπ/2=1；
任意角及弧度制 知识点： 一、 任意角 1． 任意角的概念 2． 正角、负角、零角 二、直角坐标系中的角的分类 1．象限角：一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角 2．轴线角 3．终边相同的角 三、弧度制的定义 1．弧度的概念：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．弧度数：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 3．角度与弧度之间的转化 1___rad ︒=,1___rad =度 四、 扇形面积与弧长公式 1． 弧长公式：l R α= 2． 扇形面积公式：212S R α= 12 S lR = 五、 三角函数的定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； 说明:
(1)当()2k k Z π απ= +∈时，α的终边在y 轴上， 终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数. (2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. 六、 三角函数的定义域和函数值的符号 1． 三角函数的定义域： 三角函数的定义域、值域 2． 三角函数值在各象限的符号 七、 诱导公式一 ,sin )2sin(απα=+k cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=， 八、 三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延 正切、余切 余弦、正割正弦、余割
必修四_任意角与弧度制__知识点汇总【知识点一】弧度制的定义与计算 弧度（radian）是一个无量纲的量，用符号“rad”表示，是角度制的补充和扩展。弧度制的基本单位是弧度，一个完整的圆周有2π弧度，等于360度。 1.弧度与角度的转换关系： 弧度=角度×π/180 角度=弧度×180/π 2.弧度与弧长、半径之间的关系： 弧长=弧度×半径 3.弧度与角度的比较： 当两个角所对的弧长相等时，这两个角的弧度相等； 当两个角的弧度相等时，它们所对的弧长相等。 【知识点二】弧度制与角度制的换算 1.已知角的弧度，求角的度数： 角度=弧度×180/π 2.已知角的度数，求角的弧度： 弧度=角度×π/180 【知识点三】任意角的三角函数
1.任意角的终边与坐标轴正方向的夹角称为角的标准位置角。 2.在单位圆上定义任意角的三角函数： 弧度为θ的任意角的正弦、余弦、正切分别记作sinθ、cosθ、tanθ。 3.三角函数的正负性：正弦和正切函数在每个周期内正负变化，余弦函数在每个周期内正负不变。 4.基本三角函数的关系： sin^2θ + cos^2θ = 1 1 + tan^2θ = sec^2θ 1 + cot^2θ = csc^2θ 5.任意角的三角函数的周期性： sin(θ + 2π) = sinθ cos(θ + 2π) = cosθ tan(θ + π) = tanθ 【知识点四】任意角的三角函数的定义域、值域和奇偶性 1.三角函数的定义域和值域： sinθ的定义域为R，值域为[-1, 1] cosθ的定义域为R，值域为[-1, 1] tanθ的定义域为R - {(2n + 1) × π / 2 ，n∈Z}，值域为R
1.1任意角和弧度制 1.1.1 任意角 1. 角的概念的推广 (1)任意角的形成：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的端点叫作 ，旋转开始时的射线叫作 ，终止时的射线叫作 ． (2)角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫作 ，按顺时针方向旋转形成的角叫作 ，当射线没有作任何旋转时形成的角叫作 ． (3)当角的始边相同时，若角相等，则 相同；但终边相同时，角 相等． 2. 象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限角，各象限角的集合依次是：(用弧度制表示) 第一象限角： ； 第二象限角： ； 第三象限角： ； 第四象限角： ． 例如，︒ 640是第 象限角；︒ -170是第 象限角． 3. 角的终边在坐标轴上的角(轴线角) 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在坐标轴上的角的表示：(用弧度制表示) 终边在x 轴的非负半轴上的角的集合是： ； 终边在x 轴的非正半轴上的角的集合是： ； 终边在x 轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴的非正半轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴上的角的集合是： ． 4. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以用式子Z k k ∈⋅+︒ ，360α来表示，它们互称终边相同的角．与角α终边相同的角的集合可以记为： ． 例如，与︒-45终边相同的角的集合为 ，并写出︒ ︒-360~360之间的角 ． 5. 判断 n α 所在象限的问题 例，若α是第四象限角，则 2 α 的终边所在的象限为 ． 1.1.2 弧度制 6. 1弧度的角 把长度等于 长的弧所对的 叫作 ，符号表示为
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若0|cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站y T A x α B S O M P
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算： 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角 为，则 所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式： ；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角；
(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角； (2)集合，,那么两集合的关系是什么？ 解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：， 则令， 得 解得，从而或 代回或. (2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集 合，从而：. 总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.
任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．三个三角函 数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠k π＋π 2 ，k ∈Z } ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T . 三角函数线
有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线 1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C 解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2 sin 1 答案 C 解析 设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1 sin 1， ∴2弧度的圆心角所对弧长为2r ＝2 sin 1 . 3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝____________. 答案 －8 解析 因为sin θ＝ y 42＋y 2 ＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π 3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥1 2 .
知识点一：任意角 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几 象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 ,k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 3、终边相同的角： 与角 终边相同的角的集合为 k 360 ,k * 4、已知 是第几象限角，确定 n * 所在象限： 若 是第 k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧 n n 等分，并从 x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域是角 终边所在的范围。 n 知识点二、弧度制的转换： 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度． 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l ． r 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ，1 ， 1 180 57.3 ． 180 特殊角的弧度数： 知识点五：扇形 8、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ， 则弧长公式： l r ，扇形周长： C 2r l ，扇形面积： S 21lr 12 r 2． 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k
1-1任意角与弧度制 知识梳理： 一'任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点0按一定的方向旋转到另一位置 OB，就形成了角，记作：角或可以简记成。 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、(1) A= ｛小于90°的角｝，B= ｛第一象限的角｝，则AnB=(填序号)・ ①｛小于90°的角｝②｛0。〜90°的角｝ ③｛第一象限的角｝④以上都不对 (2)已知A= ｛第一象限角｝，B= ｛锐角｝，C= ｛小于90。的角｝，那么A、B、C 矢系是() A・ B=ADC B ・ BUC=C C・ AC D ・ A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： (1)终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k (kZ)个周角的和o ( 2)所有与终边相同的
角连同在内可以构成一个集合 k 360 ,k Z
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 1、kZ 2、是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360。的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、( 1 )若角的终边与8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54同的角为。 (2)若和是终边相同的角。那么在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： (1 ) 210 : (2) 1484 37 ・ 例3、求，使与900角的终边相同，且180，1260 2、终边在坐标轴上的点： 终边在X轴上的角的集合：| k 180 ,k Z 终边在y轴上的角的集合：| k 180 90 ,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：| k 90 ,k Z 3、终边共线且反向的角： 终边在y=X轴上的角的集合：| k 180 45 ,k Z 终边在yx轴上的角的集合：|k 18045,kZ
任意角的概念及弧度制基础知识 一、角的定义: 1、小学和初中对角的定义： 2、高中对角的定义： 3、正角、负角、零角的定义： 4、角的加减法的几何意义： 5、终边与某一角相同的角的表示法: 6、象限角的定义: 7、轴线角的定义： 8、若角α是某一象限的角，则α 2、α 3 分别是什么象限的角: 二、弧度制、弧度制与角度制的换算 1、角度值的定义： 2、弧度制的定义: 3、弧度制与角度制的换算
4、 特殊角的弧度： 5、 弧度、弧长、半径之间的关系: 6、 扇形的面积的计算公式： 任意角的概念及弧度制练习题 1、 在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系一定是 ．若角α与角β的终边互相垂直，则α与β的关系可以是 ． 2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是 ． 3、已知集合{第一象限的角｝，{锐角｝，｛小于90o 的角},下列四个命题： ① ② ③ ④ 正确的命题个数是 ． 4、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ． 5、若是第四象限角,则是 ． 6、－1120°角所在象限是 ． 7、下列命题是真命题的是( ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={} Z k k ∈+⋅=,90180| αα 8、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 9、两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为 。 =A =B =C C B A ==C A ⊂A C ⊂B C A =⊂ααπ-
知识点一：任意角 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、终边相同的角： 与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域是角 n α 终边所在的范围。 知识点二、弧度制的转换： 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180π = ，180157.3π⎛⎫ =≈ ⎪⎝⎭ ． 特殊角的弧度数： 00 030 045 060 090 0120 0135 0150 0180 知识点五：扇形 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211 S lr r α==．
任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在 第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 3、终边相同的角与象限角： 与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角． 知识点二：弧度制 弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). (2)弧度与角度互换公式： 1rad=≈°=57°18′，1°=≈(rad) (3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：.
要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正 角的弧度数是 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算： 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则 所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式： ；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角； (1)在区间内找出所有与角有相同终边的角； (2)集合，,那么两集合的关系是什么？ 解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：， 则令， 得 解得，从而或 代回或. (2)因为表示的是终边落在四个象限的平分