三角函数任意角和弧度制知识点
第一章三角函数任意角和弧度制知识点
任意角知识点一、任意角 B 终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、
旋转方向、旋转量大小。
α知识点二、直角坐标系中角的分类始边 O 1、象限角与轴线角 A β 2、终边
相同的角与角α终边相同的角β集合为__________________
C 终边轴线角的表示：
终边落在x轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在x轴非正半轴角的集合
为_______；终边落在x轴角的集合为____________________。
终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合
为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。终边落在坐标轴角的集
合为__________________ 。
象限角的表示第一象限的角的集合为_________________ 第二象限的角的集合
为_____________。
第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。
例题1、判断下列各角分别是第几象限角：670°，480°， -150°，45°，405°，120°，
-240°，210°，570°，310°， -50°，-315°
例题2、下列角中与330°角终边相同的角是（）A、30° B、-30° C、630° D-630° 题型一、象限角的判定
例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他
们是第几象限角，并指出在
0°~360°范围内与其终边相同的角。
（1）420° （2）-75° （3）855° （4）1785° （5）-1785° （6）2021° （7）-2021° （8）1450° （9）361° （10）-361° 例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。
迁移：已知α是第三象限角则α+90°，α-90°，270°-α，360°-α分别第几象
限题型二、终边相同的角的表示
例1、写出终边如下图所示直线上的角的集合。 y y y y=x y y y
60° 60° x O x x O x x x -60y=0 O O O O
y=-x y=-x
例2、已知角α的终边如下图中的阴影部分内，请写出角α的取值范围。 y y y 45° 45° 75° 30° O O x x O x 30° -60° y y y 60° 60° 60° x O x x O O 题型三、已知α所在象限确定其倍角和分角所在象限例1、若α是第二象限角，
请确定2α,α/3,α/5,α/7是第几象限角. 例2、若α是第三象限角，请确定
3α,α/4,α/6,α/8是第几象限角. 弧度制
知识点一、弧度制定义
1、角度制：1度的角的大小等于周角(360°)的1/360，单位为°.
2、弧度制：长度
等于半径长的弧所对的圆心角的大小，单位rad.
知识点二、角度制与弧度制的换算
1、弧度数的确定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.
2、角度与弧度的换算公式(rad常省略不写)
3、轴线角、象限角和终边相同的角的弧度制表示，特殊角度数和弧度数①轴线角
的弧度制表示法：
终边落在x轴非负半轴上的角的集合为_____________；终边落在x轴非正半轴上
的角的集合为_____________；终边落在x轴上的角的集合为_______________
终边落在y轴非正半轴上的角的集合为_____________；终边落在y轴非负半轴上的
角的集合为____________。终边落在y轴上的角的集合为_____________________。
终边落在坐标轴上角的集合为____________________。②象限角的弧度制表示法：
第一象限角为__________________；第二象限角为___________________。第三
象限角为___________________；第四象限角为___________________。③终边相同
的角：与角α终边相同的角β的集合为_____________。④ 特殊角的度数与弧度数0° 0 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 4、弧度制
下扇形弧长和面积公式
例将下列角度与弧度进行互化：
（1）20° （2）-15° （3）
7?11? （4）- 512题型一、角度与弧度的换算
例1、（1）将-1500°、1500°表示成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式，并指出它
是第几象限角；
（2）在0°~720°范围内，找出与2π/5终边相同的角。例2、已知α1=-570°，α2=750°，β1=
3??，β2=-. 53 （1）将α1, α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
（2）在-720°~0°范围内，找出与β1，β2它们终边相同的角。
题型二、扇形弧长公式和面积公式的应用
方法总结：①熟练应用角度制、弧度制下的弧长和面积公式，能够利用好方程思想由
已知求未知，利用函数思想求最值。②注意单位的统一，弧度制和角度制不
可混用。
例1、已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积.
例2、已知一个扇形的周长伟12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角。题型三、用弧度表示区域角
方法总结：跟角度制表示区域角方法是一样的，即定边界角化弧度制列不等式
集合。例1、用弧制表示上面例2图中终边落在所示阴影部分内的角的集合。
例2、用弧度制表示终边落在图中所示阴影部分内的角的集合(不包括边界)。
y 240° 75° 60°
60° x x O x O O 240° 330°
例3、若角α的终边与角π/6的终边关于直线y=x对称，且α∈(-4π,4π)，则
α=______.
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任意角与弧度制知识点汇总 一、任意角的定义和度量 1.任意角是指不在坐标轴上的角，可以是任意大小的角度。 2.任意角的度量可以使用度数和弧度数来表示。 3.度数是常用的角度度量单位，一个完整的圆为360度，所以一个直角为90度。 4.弧度是另一种角度度量单位，一个完整的圆的周长为2π，所以一个直角对应的弧度为π/2 5.任意角的度数和弧度数之间的关系是180度=π弧度。 二、度和弧度的换算公式 1.由于180度=π弧度，所以度数转换为弧度可以使用如下公式：弧度数=度数×(π/180)。 2.弧度转换为度数可以使用如下公式：度数=弧度数×(180/π)。 三、任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们分别用sin、cos 和tan表示。 2. 正弦函数的值等于任意角的对边与斜边的比值，sinθ = 对边/斜边。 3. 余弦函数的值等于任意角的邻边与斜边的比值，cosθ = 邻边/斜边。
4. 正切函数的值等于任意角的对边与邻边的比值，tanθ = 对边/邻边。 5.三角函数的值可以通过正弦、余弦和正切表或计算器来查找或计算。 四、任意角的三角函数的性质 1.正弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 2.余弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 3.正切函数的值不受限制，但也具有周期性，其周期为180度或π 弧度。 4.三角函数的值可以通过画图或使用计算器来确定。 五、任意角的三角函数的基本关系 1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = cos(90度-θ)。 2. 正切函数和余切函数是互倒函数，即tanθ = cot(90度-θ)。 3. 三角函数的和差公式可以用来求解任意角的三角函数值，如 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。 4.三角函数的倍角公式和半角公式也可以用来求解任意角的三角函数值。 六、任意角与单位圆的关系 1.单位圆是半径为1的圆，它可以用来表示任意角的三角函数值。
三角函数任意角和弧度制知识点 第一章三角函数任意角和弧度制知识点 任意角知识点一、任意角 B 终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、 旋转方向、旋转量大小。 α知识点二、直角坐标系中角的分类始边 O 1、象限角与轴线角 A β 2、终边 相同的角与角α终边相同的角β集合为__________________ C 终边轴线角的表示： 终边落在x轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在x轴非正半轴角的集合 为_______；终边落在x轴角的集合为____________________。 终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合 为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。终边落在坐标轴角的集 合为__________________ 。 象限角的表示第一象限的角的集合为_________________ 第二象限的角的集合 为_____________。 第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。 例题1、判断下列各角分别是第几象限角：670°，480°， -150°，45°，405°，120°， -240°，210°，570°，310°， -50°，-315° 例题2、下列角中与330°角终边相同的角是（）A、30° B、-30° C、630° D-630° 题型一、象限角的判定 例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他 们是第几象限角，并指出在 0°~360°范围内与其终边相同的角。 （1）420° （2）-75° （3）855° （4）1785° （5）-1785° （6）2021° （7）-2021° （8）1450° （9）361° （10）-361° 例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。 迁移：已知α是第三象限角则α+90°，α-90°，270°-α，360°-α分别第几象 限题型二、终边相同的角的表示 例1、写出终边如下图所示直线上的角的集合。 y y y y=x y y y
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ， tan α＝y x (x ≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
三角函数-任意角与弧度制 知识点 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 2. 角的分类为了区别起见，我们规定: （1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； （2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角； （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角 （2）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”。 3.终边相同的角的表示方法：与α终边相同的角构成一个集合： { } 360,S k k Z ββα==+?∈o 注:（1） Z k ∈； （2）α是任意角； （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 非象限角：终边落在x 轴或y 轴上的夹角。 5.弧度与角度的互化 （1）弧度制的定义 比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。
或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。 因此我们有如下定义： 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r （2）. 弧度角的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 弧度单位：rad 。（此单位写不写都可以） （3）. 弧长公式：r l ?=α （4）. 角度与弧度的换算3602π=o rad ；180π=o rad 。 1°＝ π180rad ；1 rad ＝(180 π )° (3)特殊角的度数与弧度制对应表： （5）. 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12＝12|α|·r 2 题型一 终边相同的角的表示 【例1】写出与ο 75角终边相同的角的集合，并求在ο ο 1080~360范围内与ο 75角终边相同的角
任意角及弧度制知识点总结 一、任意角 1.任意角是指一个初始边在x轴正方向上的角度为α，终边在平面内可以任意取向的角。 2.任意角可以通过360度的整数倍来表示，例如α=30°+360°n，其中n为任意整数。 3.任意角也可以通过2π的整数倍来表示，例如α=π/6+2πn，其中n为任意整数。 4.任意角的定义并没有限制其大小范围，可以取正、负、零值。 5.任意角中，如果终边与x轴正方向相同，角度为正；如果终边与x 轴正方向相反，角度为负；终边在x轴上，角度为零。 二、弧度制 1.弧度制是角度的一种度量方式，用弧长与半径的比值来表示角的大小。 2. 弧度制的基本单位为弧度，用符号“rad”表示。 3.一圆的弧长等于该圆的半径时，对应的角度大小为1弧度。 4.弧度制与度数制之间的关系为：1圆周=360°=2π弧度。 5.角度与弧度之间的转换关系为：α(弧度)=α(度数)×π/180，或α(度数)=α(弧度)×180/π。 三、常见角度值的对应关系
1. 30°=π/6 rad，45°=π/4 rad，60°=π/3 rad，90°=π/2 rad，180°=π rad 2. 120°=4π/6 rad，150°=5π/6 rad，210°=7π/6 rad， 240°=8π/6 rad，300°=10π/6 rad 四、任意角的三角函数 1. 任意角中的正弦值（sinα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与半径的比值。 2. 任意角中的余弦值（cosα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的横坐标与半径的比值。 3. 任意角中的正切值（tanα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与横坐标的比值。 4. 三角函数的周期性：sin(α+2nπ)=sinα，cos(α+2nπ)=cosα，tan(α+π)=tanα，其中n为任意整数。 5. 其他三角函数的关系式：cotα=1/tanα，secα=1/cosα， cscα=1/sinα。 五、任意角的三角函数性质 1. sinα是奇函数，即sin(-α)=-sinα。 2. cosα是偶函数，即cos(-α)=cosα。 3. tanα是奇函数，即tan(-α)=-tanα。 4. 在特殊角度上的三角函数值：sin0=0，sinπ/6=1/2， sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2，sinπ/2=1；
一、任意角： 初中我们研究过锐角(0～90)的三角函数值，了解钝角(大于90，小于180的角)，平角(180)周角 (360)的概念。但实际生活中会遇到超过360的角，例如:体操转体720等，这需要把角的概念进行推广，而原来角的定义(从一点出发的两条射线所构成的图形)显然不能完成推广的任务，因此对角需要重新定义。 角:平面内一条射线绕着顶点(O)，从开始位置(OA)旋到结束位置(OB)所构成的图形。OA称为角的始边，OB称为角的终边。 规定:射线逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角，射线没有旋转时称为零角。 角进行重新定义后，角的分类也要重新进行，而这次分类是通过直角坐标系来完成的。我们把角的顶点放在坐标原点，角的始边放在某轴的正半轴上，根据终边的'位置，把角分成象限角与轴上角两类。即终边落在象限内(四个)称为象限角;终边落在轴上(四个)称为轴上角。因此今后我们考虑角的问题时，只考虑角的终边位置即可。 终边相同角的表示方法: 由于终边相同的角之间都相差360的整数倍，因此与角终边相同的角的集合为: {某|某=k360+, kZ}。 其中可以是与角终边相同的任意一个角;一般情况下，取0到360之间的角。 注意:0到360是指:0360。 二、弧度制: 我们前面把角推广到任意角。实际上是解决了三角函数中定义域的问题。应该说我们所应用的角度数与实数是可以建立一一对应关系的。但如果就用角度数作为自变量的取值，会有一些不方便的地方(尤其是作图中)，因此引入了弧度制。 今后在表示角时，如无特殊规定，用角度制、用弧度制表示均可，但一定不要混用。为了给三角函数的教学作准备，建议大家尽量用弧度制表示角。
解三角形之 第一节 任意角和弧度制 1.角的分类： （1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角 （2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角 （3）零角：一条射线不做旋转 2．象限角的概念： （1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． （2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。 （3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：∈ k∈Z ∈ α是任一角； ∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； ∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例如： 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=?π 815730.571801'?=?≈? =π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”） 高一数学 第一节 任意角和弧度制 知识点 1.角的分类： （1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角 （2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角 （3）零角：一条射线不做旋转 2．象限角的概念： （1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． （2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。 （3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：∈ k∈Z ∈ α是任一角； ∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍； ∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例如： 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 任意角和弧度制及任意角的三角函数 语录天下：成功不在于自己努力多少，而在于别人认可你多少。 【知识聚焦】 1、任意角 （1）角概念的推广：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②始边和终边的概念。 （2）终边相同的角：终边与角α相同的角可写成0 360()k k Z α?+∈。 （3）象限角和轴上角及其集合表示： 象限角 象限角的集合表示 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 轴上角： 2、角的单位：弧度制 （1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示。 （2）角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么角α的弧度数的绝对值是|α|= （3）角度与弧度的换算：① ② ③ （4）牢记特殊角度对应的弧度： （5）弧长、扇形面积的公式：扇形的弧长 ,则扇形的面积为 3、任意角的三角函数，初中的三角函数如何定义的？ 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边上有一点(,)P x y , P 到原点O 的距离为r ，那么 正弦： sin α= y r 余弦：cos α= x r 正切：tan α=y x 各象限 符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 记忆口诀 一正，二正弦，三切，四余弦 终边相同角三角函数值 (k ∈Z)（公式一） 5、三角函数在单位圆中的定义：三角函数线 单位圆：以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径的圆 当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ， 过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ， 过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于y 轴, 设它与α的终边或其反向延长线(当终边在第二三象限时)A T , 交于点T 规定：三条线段：MP OM AT 、、 ' ()AT sin MP α=， cos OM α= 'tan ()AT AT α= 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、 ' ()AT ,分别叫做角α的正 弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。 1、任意角和弧度制： 〖例1〗（1）将下列角化成0 360()k k Z α?+∈的形式： ①0300 ② 01125 ③0 660- （2）将下列角进行角度与弧度的换算：① 0 330 ② 0 900 ③512π ④23 π - 三角函数任意角和弧度制 一、知识梳理 一.终边相同的角、象限角 终边相同的角为{} |360k k Z βββα∈=+∈， 二．弧度制 弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad π︒= 三：三角函数的定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,则r = : （1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距 离r = 那么 sin α= cos α= ,tan y x α= ． 四：三角函数在各象限的符号 二、例题精讲 考点一 终边相同的角的集合 例1 在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 例2 已知α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式。 （1）α、β的终边关于原点对称；（2）α、β的终边关于x 轴对称； （3）α、β的终边关于y 轴对称。 变式训练1 已知α=－1910°。 （1）把α写成360k β+⋅︒（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。 （2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ≤0°。 变式训练2 1．（2015春 广东东莞月考）若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为（ ） 正切、余切余弦、正割正弦、余割 正弦 余弦 正切 A ．2kπ+β（k ∈Z ） B ．2kπ－β（k ∈Z ） C ．kπ+β（k ∈Z ） D ．kπ－β（k ∈Z ） 2．（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？ （2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数是多少？ 考点二 角 n α 所在象限的研究 例3 若α是第二象限角，试分别确定2α，2α，3 α 的终边所在的位置。 变式训练3 若α是第三象限的角，则2α，2 α 分别是第几象限的角？ 考点三 弧度制与角度制的互化 例4 用弧度制表示顶点在原点，始边重合与x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示） 变式训练4 1．分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合： (1) 与α终边相同的角 任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若0|cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站y T A x α B S O M P 任意角和弧度制及任意角三角函数 一.知识梳理 1．任意角 （1）角的分类：任意角可按旋转方向分为、、． （3）角的度量 ①角的度量制有：，． ②换算关系：1°＝ rad,1 rad＝ ( )°. 2．任意角的三角函数 三角 函数线 有向线段 为正弦线 有向线段 为余弦线 有向线段 为正切线 二.基础自测 1．若· 18045(Z)k k α︒︒∈＝＋，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 2．已知半径为2，圆心角为45°，那么这个圆心角所对的弧长___ _____． 3．与2010°终边相同的最小正角为___ _____，最大负角为___ _____． 4．已知点(tan cos )P αα，在第三象限，则角α的终边在第________象限． 5．已知角α的终边在直线340x y ＋＝上，求sin cos tan ααα，，的值． 三.典型例题 【例1】(1) 若α是第二象限角，试分别确定 2α，3α所在的象限． (2)写出终边在直线3y x ＝上的角的集合. (3)若角α与 67π角的终边相同，求在[0,2)π内终边与3 α角的终边相同的角． 【例2】(1)扇形OAB 面积是12cm ，周长是4 cm ，求扇形的圆心角和弦AB 的长. (2)扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【例3】(1)已知角α的终边上一点坐标为22(sin ,cos )33 ππ，角α的最小正值为（ ） A. 56π B. 23π C. 53π D. 116 π (2)若一个角α的终边上有一点(4)P a －，，且sin cos αα⋅＝ 34，则a 的值可能为 ( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－43或－433 D. 3 【例4】(1) 若α是第二象限角，试比较sin cos tan 222ααα，，的大小 (2)若02πα<< ，试比较sin tan ααα、、的大小； 四.巩固练习 1．点P 从点(0,1)开始沿单位圆221x y ＋＝ 顺时针第一次运动到点⎝ ⎛⎭⎪⎫22 ，－22时转过的角 的弧度数是________． 2．函数sin tan cos sin cos tan x x x y x x x =++的值域为________． 3.已知(0)απ∈，，且()sin cos 01m m αα<<＋＝，试判断式子sin cos αα－的符号． 4．若02παβ<<< ，试比较sin ββ－与sin αα－的大小． 5.在平面直角坐标系xoy 中，21(cos )2P θ，在角α的终边上，2(sin 1)Q θ，－在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- ,(1)求cos2θ的值；(2)求sin()αβ+的值． 一、知识概述 （一）、角的概念的推广 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角 . 没有作任何旋转时称它形成了一个零角 . 2、通常在直角坐标系下研究角，体现了数形结合的思想，同时渗透了基本的数学方法——坐标法，为后面研究任意角的三角函数埋下了伏笔。 3、角α与β的终边相同，则α与β相差整数个周角，即β=α＋k·360°，k∈Z. （二）、弧度制 1、弧度的定义：长度等于半径长的弧所对圆心角叫1弧度的角，即角α的弧度数的绝对值 为|α|=（其中l为弧长，r是圆的半径）. 2、弧度与角度的换算 . 特殊角的度数与弧度数对应表： （三）、任意角的三角函数 1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）. 它与原点的距离，则： （1）比值叫α的正弦，记作sinα，即sinα=. （2）比值叫α的余弦，记作cosα，即cosα=. （3）比值叫α的正切，记作tanα，即tanα=. （4）比值叫α的余切，记作cotα，即cotα=. （5）比值叫α的正割，记作secα，即secα=. （6）比值叫α的余割，记作cscα，即cscα=. 以上六种函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数 . 2、三角函数的定义域 3、三角函数的象限符号可用“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆。（口诀表示的是三角函数值为正时角的终边所在象限）. 4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 二、重点知识归纳及讲解 （一）、弧度与角度的换算 例 1、设. （1）将α 1、α 2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将β 1，β 2 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有 角. 分析：运用角度与弧度的换算方法。解：（1） ∴α 1在第二象限，α 2 在第一象限. （2） 由－720°≤k·360°＋108°≤0°（k∈z），得k=－2或k=－1. ∴与β 1 有相同终边的角是－612°与－252°. 同理：β 2=－420°，与β 2 有相同终边的角是－60°. 总结：（1）把角度化成弧度时乘以，把弧度化成角度时乘以. （2）－720°～0°指的是[－720°～0°]. （二）、弧长公式与扇形面积公式的应用 任意角的三角函数与弧度制 任意角的概念、弧度制；三角函数的定义： 1．任意角的概念、弧度制 ⑴角的定义： . ⑵ 叫正角； 叫负角； 叫零角. ⑶终边相同角的表示： 或者 . ⑷弧度制与角度制的互化： 1弧度的定义是 .弧度与角度换算关系是 2.任意角三角函数定义为： 任意角三角函数的符号规则： 3.在扇形中：=θ . l = S 扇形= 。 4．三角函数线： 题型一：三角函数的定义 例1、（1）α的终边落在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值。 （2）α终边上一点P 的坐标为(－3,y )并且y 4 2 sin = α，求cos α与tan α的值. 题型二：象限角、三角函数值符号的判断 例2、（1）已知0tan cos <θ∙θ，那么角θ是 A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角C ．第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 θ l r （2） （3）已知点()θθθtan ,cos sin -P 在第一象限，则在[]π2,0内θ的取值范围是 A.⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,43,2ππππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4ππππ C.⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,454 3,2ππππ D.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ,432,4 题型三：由α所在象限，确定2 α 所在象限 例3、（1）α是第二象限角，试分别确定2α、2α 的终边所在位置 （2）如果θ是第一象限角，那么恒有 A .sin 02 θ > B.tan 12 θ < C.sin cos 2 2 θ θ > D.sin cos 2 2 θ θ < 题型四：扇形的弧长、面积公式的应用 例4、已知一扇形的圆心角是α，所在圆半径是R 。 （1）若α=600 ，R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。 （2）若扇形的周长是一定值C （C>0），当α是多少弧度时，该扇形有最大面积？ 题型五：单位圆与三角函数线 例5、在单位圆中画出适合下列适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合。 (1)sin α≥ 1(2)cos .2α≤- 变式：已知0,2 π α<<求证： (1)sin α+cos α>1 (2) sin α<α 任意角的三角函数与弧度制 知识梳理 1．角的概念 (1)任意角： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点； ②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. (3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad ”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad 常常省略不写）． 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的 弧度数的绝对值是|α|＝l r .正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12 |α|·r 2. 3．任意角的三角函数 （1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P (u ，v ) 时，sin α＝v ，cos α＝μ，tan α＝v μ (x ≠0)． （2）比值式定义：设P (x ，y )是角α终边上任意一点，且|OP | ＝r (r ＞0)，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x .它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 1 ●高考明方向 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ★备考知考情 1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题． 2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用． 3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念 (1)分类⎩⎪⎨⎪⎧ 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 《名师一号》P47 对点自测 1、2 注意： 1、《名师一号》P48 问题探究问题1、2 相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． 角的表示形式是唯一的吗？ 角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}． (补充) 2、正角 > 零角 > 负角 3、下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 4、(1)终边落在坐标轴上的角 2 3 1）终边落在x 轴非负半轴上的角 {x|x ＝2kπ，k∈Z} 2）终边落在x 轴非正半轴上的角 {x|x ＝2kπ+π，k∈Z} 终边落在x 轴上的角 {x|x ＝kπ，k∈Z} 3）终边落在y 轴非负半轴上的角 {x|x ＝2kπ+π2，k∈Z} 4）终边落在y 轴非正半轴上的角 {x|x ＝2kπ+3π2，k∈Z} 终边落在y 轴上的角 {x|x ＝kπ+π2，k∈Z} (2) 象限角 （自己课后完成） 知识点二 弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； 必修四第一章三角函数 1.1任意角与弧度制 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 4、常用的角的集合表示方法 <1>、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与) (Z k k∈个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S∈ ⋅ + = =, 360 | α β β 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈ k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 <2>、终边在坐标轴上的点： 终边在x轴上的角的集合： {}Z k k∈ ⨯ =, 180 | β β 终边在y轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ⨯ =, 90 180 | β β 终边在坐标轴上的角的集合： {}Z k k∈ ⨯ =, 90 | β β <3>、终边共线且反向的角： 终边在y=x轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ⨯ =, 45 180 | β β 终边在x y- =轴上的角的集合： {}Z k k∈ - ⨯ =, 45 180 | β β <4>、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系：β α- =k 360高1数学-三角函数-角度制与弧度制
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