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苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)

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竞赛数学情况调查测试卷

〔2005年8月27日〕

一、选择题（每小题6分，共36分）

1、函数y ＝x 2

x －1 (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是

（）

（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0] 或[2,＋∞) （C ）(－∞,0]

（D ）(－∞,1－2]或[2,＋∞)

2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个

（D ）至少3个

3、已知f(x)＝asinx ＋b 3

x ＋c ?ln(x ＋x 2＋1）＋4 (a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是

（）（A ）－5

（B ）－3

（C ）3

（D ）随a,b,c 而变

4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π

对称，则a 的值等于

（）

（A ）2或－ 2

（B ）1或－1

（C ）1或－2

（D ）－1或2

5、已知coa αcos β2cos(α－β2)＋coa βcos

cos (β－α

＝1，则cos α＋cos β的值等于

（）

（A ）1

（B ）1

（C ） 2

（D ）

6、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋3，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为（）（A ）2＋ 3 （B ）2－ 3 （C ）3－2 （D ）－2－ 3

二、填空题（每小题9分，共54分） 7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 . 8、已知函数y ＝

a －x

x ―a ―1

的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝ .

9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .

10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解析式是f(x) ＝ .

11、函数f(x)＝2x 2－3x ＋4＋x 2－2x 的最小值是 .

12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有个.

三、解答题（每小题20分，共60分）

13、已知函数y＝sinx＋asin2xcosx..

（1）当sinx＝1时，求y的值；（2分）

（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围.（18分）

14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n a 41 a 42 a 43 … a 4n … … … … …

a n1 a n2 a n3 … a nn

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知

a 24＝1, a 42＝18, a 43＝3

，求S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn .

15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米／时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.

江苏省苏州实验中学

2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷

（参考答案）

1、B 原函数即为y ＝ (x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝ (x －1) ＋ 1

x －1 ＋ 2，由对勾函数

的增减性立知选B .

2、B 原方程即为??

??20022005x ＋????20032005x ＋????20042005x

＝

x －2006，考查两个函数y ＝

????20022005x ＋????20032005x ＋???

?20042005x 和y ＝x －2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B .

3、C 容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog 310 ＝ lg lg10lg3 ＝－lg lg3

lg10 ＝－lglg3，故

有f(lglog 310)＋ f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3. 选C

4、C 函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则f(－π

应取得函数的最大值或最小值。所以，a 2sin(－π8×2)＋(a －2)cos(－π

×2)＝±a 4＋(a －2)2 ，由此解得a ＝1或－2. 选C

5、A 由题意得 cos ????α＋β2＋cos ????α－β2 cos ????α－β2 ＋ cos ????β＋α2＋cos ?

???β－α

2 cos ????β－α2 ＝ 2, 即

cos ????α＋β2 cos ????α－β2 ＝－ cos ?

???β＋α

2 cos ????β－α

2，用余弦的和与差公式展开并利用合分比定理，可得 cos αcos β2sin αsin β2 ＝ sin βsin α2cos βcos α2 , 即 cos α2sin α2sin

β2

＝ 2sin α2sin

β2cos β

. 故 cos αcos β＝4sin 2α2 sin 2β

＝ (1－cos α)(1－cos β)，故cos α＋cos β＝1. 选A

6、C 首先易得a n ≠1, 否则有0＝2的矛盾。所以有a n ＋2＝

1＋a n 1－a n ，则a n ＋4 ＝ 1＋a n ＋2

1－a n ＋2

＝ 1＋

1＋a n

1－a n 1－

1＋a n 1－a n

＝－1a n ，从而我们可得a n ＋4 ＝－1a n ＋4＝ 1a n

，{a n }为周期为8周期数列. 故a 2005

＝a 250×8＋5＝a 5＝a 4＋1＝－1a 1＝－1

2＋3

＝3－2. 选C

7、30°或150° 两式平方相加，得9＋16＋24(sinAcosB ＋sinBcosA)＝37，即有24sin(A ＋B)＝12，所以sinC ＝1

，故∠C ＝30°或150°.

8、3 反函数关于点(－1,4)对称，则原函数关于点(4,－1)，又原函数即为

y ＝－1－1

x －a －1

，由平移规律立得其对称中心为(a ＋1,－1)，与(4,－1)比较得a ＝3.

9、2005 在求所有子集元素和总和的时候，集合的每一个元素都被重复求和计算23

＝8次，故集合S 的元素之和为16040

＝2005

10、－5x 令t ＝x －2005，则原函数方程就变为3f(t)＋4f(－t)＝5t ，对此式中以－t 代t 得3f(－t)＋4f(t)＝－5t ，由两式消去f(－t)可得－7f(t)＝35t ，故f(t)＝－5t ，即f(x)＝－5x .

11、2 原函数的定义域为(－∞,0]∪[2,＋∞)，且在(－∞,0]上为增函数，在[2,＋∞)为减函数，又f(0)＝2, f(2)＝6>2，所以原函数的最小值为2.

12、6 可以计算出1＋2＋3＋…＋62＝1953, 1＋2＋3＋…＋63＝2016，这样看来，2005最多可表示为62个连续正整数的和。下面分3种情况说明：（1）若n 表示为62个连续正整数的和，则满足要求的n 只有一个为1953（因为2＋3＋4＋…＋63＝2015>2005)；（2）若n 表示61个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m ，则由m ＋(m ＋1)＋…＋(m ＋60)＝61(2m ＋60)2＝61(m ＋30)≤2005可得m ≤2，从而满足要求的n 有两个：1＋2＋…＋

61＝1891和2＋3＋…＋62＝1952；（3）若n 表示60个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m ，则由m ＋(m ＋1)＋…＋(m ＋59)＝60(2m ＋59)2＝30(2m ＋59)≤2005可得m ≤3，

从而满足要求的n 有三个为：1＋2＋…＋60＝1830，2＋3＋…＋61＝1890及3＋4＋…＋62＝1950.

综合（1）（2）（3）得满足要的正整数n 共有6个，它们为：1953、1891、1952、1830、1890和1950.

13、（1）显然，当sinx ＝1，时y ＝1 （2）由（1）知，函数值中必有1，从而问题就是求使对任意x ，总有sinx ＋asin2xcosx ≤1，即g ＝sinx ＋asin2xcosx －1≤0成立的a 的取值范围。

令t ＝sinx (t ]1,1[-∈), 则

g ＝sinx ＋a(2sinxcos 2x)－1＝sinx ＋2asinx(1－sin 2x)－1＝－2at 3＋(1＋2a)t －1

＝(t －1)(－2at 2－2at ＋1)

由t －10≤恒成立知，问题即要求使－2at 2－2at ＋10≥，即2at 2＋2at －10≤在t ]1,1[-∈时恒成立的a 的取值范围。

1）当a ＝0时，－10≤显然满足题意 2）当a>0时，即为t 2＋t a 21-

＝(t 21-)2)2141(a +-0≤在t ]1,1[-∈时恒成立，故有 (－121-)2)2141(a

+-0≤

结合a>0得，