2020年苍南县?龙港市“姜立夫杯”数学竞赛
高一试卷
满分100分，考试时间120分钟.
一?单选题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分，每小题有且仅有一个正确的答案)
1. 已知集合{|1},{|lg }A x y x B y y x ==+==，则A B =（ ）
A. [1,)-+∞
B. [0,)+∞
C. (0,)+∞
D. R
2. 已知函数对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的图象大致为（ ）
A. B.
C.
D.
3. 已知函数32
log ,0()41,0
x x f x x x x ?>=?
++≤?，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满
足：1234x x x x <<<，则12
34
x x x x +的值是（ ）.
A. -4
B. -3
C. -2
D. -1
4. 320x -<是3210x x x ++-<（ ）条件.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件 C 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c ---p 为
三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足6a =，8+=b c ，
则此三角形面积的最大值为（ ） A
B. 8
C.
D. 二?多选题(本大题共3小题，每小题4分，满分12分，每小题有多个正确的答案，错选不给分，少选给一半分数)
6. 定义“正对数”：0,01
ln ln ,1x x x x +
<
，下列命题中正确的有（ ）
A. 若0a >，0b >，则()ln ln
ln ab a b +
++=+；
B. 若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=；
C. 若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +
++
??≥- ???
； D. 若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2n
a b a b +++++≤++.
7. (ln )()()0x a x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列结论正确的
是（ ） A. 0a ≤
B. 1a ≥
C. (0,1]b ∈
D. 1b >
8. 若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有(1)(1)2()f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ，则下列判断正确的有（ ）
A. 函数()3x f x =具有性质P
B. 函数3()f x x =具有性质P
C. 函数()f x 具有性质P ，若(1)(99)0f f ==，则(10)0f ≤
D. 函数()f x 具有性质P ，若(1)(14)0f f
==，则0f ≤
三?填空题(本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.)
9. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车．
数为______辆. 10. 定义在R 上的函数()f x 具有性质：（1）()()()f x y f x f y +=+（2）当0x >时，()f x 单调增，则不等式(1)(33)42f x f x x ++-+>的解集为______.
11. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，(2017)2018f =，(2018)2019f =，
(2019)2020f =，则
(2020)f =________.
12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当(0,3)x ∈时，()4x f x =，则
2(log 60)f =______.
13. 2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+，(())y f f x =有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是______. 14. 2221x xy y ++=，则222x xy y ++的最小值为______.
四?解答题(本大题共3小题，第15题10分，第16?17题各11分.满分32分要求写出必要的解答过程)
15. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.52
6
1e
t f t -+=+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. ()ln5 1.61≈
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位） （2）在第几年内，该树长高最快？
16. 已知函数2()21f x ax bx a =-++，(0)a >
（1）当[1,3]x ∈时，证明：()|64||42|1f x a b a b ≤-+-+ （2）若1,1a b ==，关于x 的方程()()
2
143210x
x f
k -+--=，有3个不同的实数解，求实数k 的值.
17. 已知函数()2
2
f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x ∈R .
（1）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）若对任意[]0,1x ∈，都有()2
f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.
参考答案和解析
2020年苍南县?龙港市“姜立夫杯”数学竞赛
高一试卷
满分100分，考试时间120分钟.
一?单选题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分，每小题有且仅有一个正确的答案)
1. 已知集合{|1},{|lg }A x y x B y y x ==+==，则A B =（ ）
A. [1,)-+∞
B. [0,)+∞
C. (0,)+∞
D. R
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合,A B ，再求并集，得到结果. 【详解】{|1}A x x =≥-，B R =， 所以A
B R =，
故选：D ．
【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目.
2. 已知函数对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 【分析】
由()()0f x f x +-=得()()f x f x -=-，得到函数是奇函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.
【详解】由()()0f x f x +-=得()()f x f x -=-，则函数是奇函数，排除A 、 C 当0x >时，()ln(1)f x x =+，∴对应的图象为D ， 故选：D .
3. 已知函数32log ,0
()41,0
x x f x x x x ?>=?
++≤?，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满
足：1234x x x x <<<，则12
34
x x x x +的值是（ ）. A. -4 B. -3
C. -2
D. -1
【答案】A 【解析】 【
分析】
作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】函数()()F x f x b =-的四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，就是函数()y f x =与y b =两个图象四个交点的横坐标，
作出函数()y f x =的图象如下图所示， 根据二次函数的性质和图象得出12
22
+=-x x ，所以124x x +=-， 又3343log log x x =，且3334log 0log >0x x <，
，所以3334log log x x -=， 即()3334334log +log log 0x x x x =?=，所以341x x ?=，
所以
12344
41
x x x x +-==-， 故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解决问题的关键，属于中档题.
4. 320x -<是3210x x x ++-<的（ ）条件. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
令()3
2
1f x x x x =++-，利用导数研究得()0f x <的解集为区间()0,x -∞，()00,1x ∈，进而根据集合
关系即可判断.
【详解】解：令()3
2
1f x x x x =++-，则()2
2
12'3213033f x x x x ??=++=++> ??
? 所以函数()f x 在R 上单调递增，()()010,120f f =-<=>， 故存在()00,1x ∈，使得()0f x <在区间()0,x -∞，()00,1x ∈ 即3210x x x ++-<的解集为()0,x -∞，()00,1x ∈，
解不等式320x -<得1
3,2x ??∈-∞ ???
， 由于()
1
30,,2x ??-∞-∞ ???
，()00,1x ∈， 故320x -<是3210x x x ++-<的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】本题解题的关键在于研究3210x x x ++-<的解集，借助导数研究单调性，即可得到()0f x <的
解集为区间()0,x -∞，()00,1x ∈.
5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形
的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S p 为
三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足6a =，8+=b c ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 8
C.
D. 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意7p =，S =，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】由题意7p =，
77
2
b c
S -+-==≤=
当且仅当77b c -=-，即b c =时等号成立，
∴此三角形面积的最大值为A ．
【点睛】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
二?多选题(本大题共3小题，每小题4分，满分12分，每小题有多个正确的答案，错选不给分，少选给一半分数)
6. 定义“正对数”：0,01
ln ln ,1
x x x x +
<
A. 若0a >，0b >，则()ln ln
ln ab a b +
++=+；
B. 若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=；
C. 若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +
++
??≥- ???
； D. 若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2n a b a b +++++≤++.
【答案】BCD 【解析】 【分析】
对于A ，通过举反例说明错误；对于B ，由“正对数”的定义分别对a 、b 分01a <<，0b >；1a ≥，0b >两种情况进行推理；对于CD ，分别从四种情况，即当01a <<，0b >时；当1a ≥，01b <<时；
当01a <<，1b ≥时；当1a ≥，1b ≥时进行推理．
【详解】对于A ，当14
a =
，2b =时，满足0a >，0b >，而()1ln ln
02ab ++==， 1
ln ln ln ln 2ln24
a b +++
++=+=，()ln ln ln ab a b +++∴≠+，命题A 错误； 对于B ，当01a <<，0b >时，有01b a <<， 从而()ln
0b
a +
=，ln
00b a b +
=?=，()ln
ln
b a a b +
+
∴=；
当1a ≥，0b >时，有1b a ≥，从而()ln
ln ln b
b
a a
b a +
==，ln ln b a b a +=，
()ln ln b a b a ++∴=.
∴当0a >，0b >时，()
ln ln b a b a ++=，命题B 正确；
对于C ，由“正对数”的定义知，ln 0x +≥且ln ln x x +≥． 当01a <<，01b <<时，ln ln 000a b ++-=-=，而ln 0a b +
??≥
???，则n n ln l l a a b b +++
??≥- ???
； 当1a ≥，01b <<时，有
1a b >，ln ln ln 0ln a b a a +++-=-=，而ln ln ln ln a a a b b b +??
==- ???
，
ln 0b <，则n n ln l l a a b b +++
??≥- ???
．
当01a <<，1b ≥时，有01a b <
<，ln ln 0ln ln 0a b b b +++-=-=-<，而ln 0a b +??
= ???
，则n n ln l l a a b b +++??
≥- ???
．
当1a ≥，1b ≥时，ln ln ln ln ln
a a
b a b b +
+
-=-=，则n n ln l l a a b b +++
??≥- ???
． ∴当0a >，0b >时，n n ln l l a a b b +++??
≥- ???
，命题C 正确；
对于D ，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++
≤.
当01a <<，01b <<时，有02a b <+<，
从而()ln
ln 2ln 2a b +
++<=，ln ln ln 200ln 2ln 2a b +++++=++=，
()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；
当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()ln
ln ln ln 2a b a b a a a +
+=+<+=，
ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a +++++=++=，()ln
ln ln ln 2a b a b +
+++∴+<++；
当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()ln
ln ln ln 2a b a b b b b +
+=+<+=，
ln ln ln 20ln ln 2ln 2a b b b +++++=++=，()ln
ln ln ln 2a b a b +
+++∴+<++；
当1a ≥，1b ≥时，()()ln
ln a b a b +
+=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab +++++=++=，
()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥，2ab a b ∴≥+，
从而()ln ln n l l 2n
a b a b +
++++≤++，命题D 正确．
故选：BCD ．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．
7. (ln )()()0x a x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. 0a ≤ B. 1a ≥
C. (0,1]b ∈
D. 1b >
【答案】AC 【解析】 【分析】
等价于()()()0a
x e x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立，显然a e a >且0a e >，根据穿针引线法分析得解. 【详解】由题得原题等价于()()()0a
x e x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立， 显然a e a >且0a e >，
根据“穿针引线”法得a e 处的图象不能在x 轴下方（a e 处不能穿下去）， 所以a e b =且0a ≤， 所以01b <≤. 故选：AC
【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点：（1）等价转化为()()()0a
x e x a x b ---≥对(0,)x ∈+∞恒成立；（2）通过穿针引线法分析出a e 处不能穿下去.
8. 若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有(1)(1)2()f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ，则下列判断正确的有（ ）
A. 函数()3x
f x =具有性质P B. 函数3
()f x x =具有性质P
C .
函数()f x 具有性质P ，若(1)(99)0f f ==，则(10)0f ≤ D. 函数()f x 具有性质P ，若(1)(14)0f f ==
，则0f ≤ 【答案】AC 【解析】 【分析】
A. 由指数运算判断；
B.利用特殊值，取1x =-判断；
C. 采用反证法，假设存在1,2,3,...,99i =有()0f i >，且i 为最小
的
值，则()()10f i f i -->，根据(1)(1)2()f x f x f x -++≥推理；D. 举例
()()()2114,x x x f x x x ?--=??为有理数，为无理数
判断.
【详解】A. 因为1
1103
33233
x x x
x -++=
?≥?，所以函数()3x f x =具有性质P ，故正确； B.当1x =-时，(2)(0)82(1)2f f f -+=-≤-=-，故错误；
C. 假设存在1,2,3,...,99i =，有()0f i >，且i 为最小的值，则()()10f i f i -->，因为
(1)(1)2()f x f x f x -++≥，则(99)(98)(98)(97)...()(1)0f f f f f i f i -≥-≥≥-->，则
()()()()()()()()9999989897...10f f f f f f i f i f i =-+-+++-+>，与()990f =矛盾，所以对任意
1,2,3,...,99i =，当(1)(99)0f f ==时， 均有()0f i ≤，则(10)0f ≤，故正确；
D. 如()()()2114,x x x f x x x ?--=??为有理数，为无理数
，x 为有理数时，1,1x x -+为有理数，则
()()()()()21513211420x x x x x x --+----=≥ ，x 为无理数时，1,1x x -+为无理数，
()
()2
2
211220x x x ++--=≥，具有具有性质P ，且(1)(14)0f f ==
，而150f
=≥，故错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对(1)(1)2()f x f x f x -++≥的理解和变形为(1)()()(1)f x f x f x f x +-≥--是解决本题的关键.
三?填空题(本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.)
9. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车．数为______辆. 【答案】15 【解析】 【分析】
设车数为x 辆，列出方程解出答案即可.
【详解】解：设车数为x 辆，则3（x －2）＝2x+9， 解得：x ＝15 故答案为15.
【点睛】本题考查了方程得实际应用，属于基础题.
10. 定义在R 上的函数()f x 具有性质：（1）()()()f x y f x f y +=+（2）当0x >时，()f x 单调增，则不等式(1)(33)42f x f x x ++-+>的解集为______.
【答案】1,2??+∞ ???
【解析】 【分析】
根据条件()()()f x y f x f y +=+可得出函数()f x 为R 上的奇函数；当0x >时，()0f x >，当0x =时，
()0f x =；当0x <时，()0f x <，原不等式等价于(42)420f x x -+->，讨论420x ->，420x -=，
420x -<，判断(42)420f x x -+->是否成立.
【详解】解：因为()()()f x y f x f y +=+ 所以令0x =，得(0)(0)(0)(0)0f f f f =+?=，
令y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，所以()f x 为R 上的奇函数，
令(0)x x y x y =->>，得()()()()()()f x f x y f y f x y f x f y =-+?-=-， 因为0x >时，()f x 单调递增，
所以()()()0f x y f x f y -=->，即当0x >时，()0f x >， 因为()f x 为R 上的奇函数，
所以当0x =时，()0f x =；当0x <时，()0f x <，
(1)(33)42f x f x x ++-+>等价于(42)420f x x -+->，
当420x ->即1
2x >时，(42)0,420f x x ->->所以(42)420f x x -+->符合题意； 当420x -=即1
2
x =时，(42)0,420f x x -=-=所以(42)420f x x -+-=不符合题意；
当420x -<即1
2
x <
时，(42)0,420f x x -<-<所以(42)420f x x -+-<不符合题意； 故答案为：1,2??+∞
???
. 【点睛】求解与函数单调性有关的抽象函数不等式问题：
（1）主要是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解； （2）应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用.
11. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，(2017)2018f =，(2018)2019f =，
(2019)2020f =，则
(2020)f =________.
【答案】2027 【解析】 【分析】
通过条件将()f x 表示为()(2017)(2018)(2019)1f x x x x x =---++，代值化简. 【详解】解：因为函数3
2
()f x x ax bx c =+++， 又(2017)2018f =，(2018)2019f =，
(2019)2020f =，
所以321x ax bx c x +++=+的根为2017,2018,2019， 即方程32(1)10x ax b x c ++-+-=的根为2017,2018,2019， 所以32(1)1(2017)(2018)(2019)x ax b x c x x x ++-+-=---， 所以32()(2017)(2018)(2019)1f x x ax bx c x x x x =+++=---++，
所以(2020)(20202017)(20202018)(20202019)202012027f =-?-?-++=， 故答案为：2027
【点睛】函数解析式的求法：
（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
（2）换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
（3）配凑法：由已知条件(())()f g x F x =，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x ，便得()f x 的解析式；
（4）消去法：已知()f x 与1()f x
或()f x -之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出()f x .
12. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当(0,3)x ∈时，()4x f x =，则
2(log 60)f =______.
【答案】256
225
【解析】 【分析】
根据(4)(2)f x f x +=-和()f x 是定义在R 上的偶函数，得到()()6f x f x -=，即()f x 是以6为周期的周期函数，然后根据()2log 605,6∈及(0,3)x ∈时，()4x
f x =，利用函数性质求解
【详解】因为(4)(2)f x f x +=-， 所以(6)()f x f x -=，
又因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()6f x f x -=，
所以()f x 是以6为周期的周期函数，
因为()2log 605,6∈，且(0,3)x ∈时，()4x f x =， 所以222(log 60)(log 606)(6log 60)f f f =-=-，
216log 15216256
(log )415225
f ===
. 故答案为：
256
225
13. 2()32(1)(2)f x x a x a a =+--+，(())y f f x =有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是______.
【答案】1
1))4
-? 【解析】 【分析】
首先令2
()32(1)(2)0f x x a x a a =+--+=，解得2
3
a x +=-
或x a =，将问题转化为()y f x =与y a =或23a y +=-有两个不同的交点，求出()f x 的最小值，只需满足()()min
min
23a f x a f x ?>?
?+>-??或
()()min
min 23a f x a f x ?
，解不等式即可求解. 【详解】令2
()32(1)(2)0f x x a x a a =+--+=， 即()()320x a x a ++-=????，解得2
3
a x +=-
或x a =， (())y f f x =有且只有两个零点，
则()2
3
a f x +=-
与()f x a =共有两个不同的零点， 即()y f x =与y a =或2
3
a y +=-有两个不同的交点，
由2
()32(1)(2)f x x a x a a =+--+的开口向上，
且()2
min 144133a a a f x f ----??==
???
， 当23a a +>-
，即1
2
a >-时，
只需22
4413441233a a a a a a ?--->???---+?>-
??
，解得114a a a ?>
此时
71
84
a -+<<， 当23a a +=-，即12a =-时，()min 102f x f a ??
=-=> ???
，此时无交点，即无零点；
当2
3
a a +<-
，即12a <-时，
只需22
4413441233a a a a a a ?---
??
，解得114a a a <<-??或，
此时
718
a -<<-， 综上所述，实数a
的取值范围是1
1))4
-?.
故答案为：1
1))4
-? 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是将问题转化为()y f x =与y a =或23a y +=-有两个不同的交点，进而转化为()min 2
,,3
a a f x +-
之间的关系，考查了分类讨论的思想.
14. 2221x xy y ++=，则222x xy y ++的最小值为______.
【答案】97
- 【解析】 【分析】
根据条件等式可设sin x y θ=
=，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.
【详解】
2221x xy y ++=，则22
27144x x xy y +++=，即2
2
12x y ??
++= ??
???，
设
cos ,sin
22
x y θθ
=+=，则sin x y θ==， ∴2
2
222sin 2sin
x xy y θθ?
?
++=+
+- ??
224cos 2sin
7θθ=+
41cos 21cos 2
72θ
θ+??=+- ???
59
2cos 2
77θθ=-+
()9sin 277θ?=
++，其中?是辅助角，且tan 7
?=
，
当()sin 21θ?+=-时，原式取得最小值为
9
7
-+.
. 【点睛】本题考查条件等式求最值，解题的关键是设sin
x y θ==，利用三角恒等变换化简可求出.
四?解答题(本大题共3小题，第15题10分，第16?17题各11分.满分32分要求写出必要的解答过程)
15. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单
位：年，t ∈N *
）满足如下的逻辑斯蒂函数：()0.52
6
1e
t f t -+=
+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. ()ln5 1.61≈
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位） （2）在第几年内，该树长高最快？ 【答案】（1）8年（2）第四年内或第五年内
【解析】 【分析】
（1）解不等式f （t ）>5，即可
（2）利用作差法求出f （t ）﹣f （t ﹣1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可． 【详解】解：(1) 令()0.52
6
1e t f t -+=
>+5，解得42ln57.2t >+≈，
即需要经过8年，该树的高度才能超过5米； (2) 当t ∈N*时，()()()0.520.51266
11e 1e
t t f t f t -+--+--=
-++ ()()()
0.520.50.52
0.5 2.5
6e e 1
1e
1e t t t -+-+-+-=
++
设0.52t e u -+=，则(
2
0,u e ?∈?，()()()
()()
0.50.5
61111e u
f t f t u e
u
---=
++.
令()()()0.511u g u u e u =
++，则
()()0.50.5111g u e u e u
=+++. 上式当且仅当0.5
1e u u
=时，()g u 取得最大值
此时，0.25u e -=，即0.520.25t e e -+-=，解得 4.5t =.
由于要求t 为正整数，故树木长高最快的t 可能值为4或5， 又()()0.564331f f e -=-
+，()()
0.50.5
66
543311f f e e --=-=-++， 所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．
【点睛】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
16. 已知函数2()21f x ax bx a =-++，(0)a >
（1）当[1,3]x ∈时，证明：()|64||42|1f x a b a b ≤-+-+ （2）若1,1a b ==，关于x 的方程()()
2
143210x
x f
k -+--=，有3个不同的实数解，求实数k 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
2
k =-. 【解析】 【分析】
（1）根据二次函数性质知max ()max{(1),(3)}f x f f =，只要证明max ()|64||42|1f x a b a b ≤-+-+，利
用绝对值三角不等式易证得结论成立；
（2）由函数式化简方程，然后换元，设21x
u =-，化为二次方程，再根据常数项大于0，等于0，小于0分类讨论，利用二次方程根的分布知识求解．
【详解】（1）∵0a >∴当[1,3]x ∈时，证明：max ()max{(1),(3)}f x f f =
|64||42|11061(3)a b a b a b f -+-+≥-+= |64||42|1221(1)a b a b a b f -+-+≥-+=
所以命题成立.
（2）()2
22f x x x =-+，所以()()
2
143210x
x f
k -+--=
可化为()2
212321420x
x k k --+-++=令21x
u =-， 则方程可化为()2
23420u k u k -+++=，
首先对方程21x
u t =-=，当0t <方程无解，0t =或1t ≥时，方程有1个解，当01t <<时，方程有两个解．
①若420k +<，即1
2
k <-
，则关于u 的方程只有一个正数解，原方程不可能有3个解； ②若12k =-，则()223420u k u k -+++=可化为2
102
u u -=，
所以，原方程有3个解21,0,log 31x x x =-==-；
③若1
2
k >-，要使原方程有3个实数解，则必须满足：
一根为零，另一根在()0,1上，或两根分别在()0,1和()1,+∞上，前一情形即12
k =-
， 后一情形2
(23)14201k k -+?++<，得1k <-，与12k >-矛盾，
所以12
k =-
． 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的性质，不等式的证明，考查由方程根的分布求参数值． 对于绝对值三角不等式：a b a b a b +≥+≥+，a b a b a b +≥-≥-．在讨论方程根的分布时，注意换元法的应用，本题利用换元法把方程转化为一元二次方程根的分布问题，从而易于求解． 17. 已知函数()2
2
f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x ∈R .
（1）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）若对任意[]0,1x ∈，都有()2
f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.
【答案】（1）单调递增区间为11,2??--
???
?，[)1,+∞，单调减区间为：(],1-∞-，1,12
??-????
；（2）最小值为
1. 【解析】 【分析】
（1）将1a b ==代入，去绝对值得出分段函数，然后作出图象，观察图象即可得出结果.
（2）根据题意可得()2
0f a b ≤+，解得0a ≥，讨论21b >，0a ≥；21b ≤，1a >；21b ≤，01a ≤≤或
21
2
a b ==
，根据绝对值三角不等式即可求解. 【详解】解：（1）当1a b ==时，
则()22
222,1
112,11,1x x x y f x x x x x x x x x ?+-≥?==-+-=--+-<
，
当11x -<<时，()2
2f x x x =--+，对称轴为12
x =-，
结合图象，易知()y f x =的单调递增区间为11,2
??--???
?
，[)1,+∞，
()y f x =的单调减区间为：(],1-∞-，1,12??
-????
.
（2）∵对任意[]0,1x ∈，都有()2
f x a b ≤+恒成立，
即对任意[]0,1x ∈，都有()2
2
2
f x x a x b a b =-+-≤+恒成立，
∴()2
00f a b a a a ≤+?≤?≥，
且对任意实数a ，b ，()2
2
111f a b a b =-+-≤+恒成立，.
①当21b >，0a ≥时，
()22221111111f a b a b a b a b =-+-=-+-≤++-=+恒成立，
②当21b ≤，1a >时，
()22211111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立，
③当21b ≤，01a ≤≤时，
由()2
2
2
11111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立，则21a b +≥，
④当2
1
2
a b ==时，对一切[]0,1x ∈时()1f x ≤恒成立， 当2
12
a b ==
时，()2
1122f x x x =-+-，
∵[]0,1x ∈，∴202x x ≤+≤， ∴()2211
1122
f x x x x x =-
+-≤+-≤， 综上所述，2a b +的最小值为1.
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数的单调性，不等式恒成立以及绝对值三角不等式，解题的关键是确定0a ≥，考查了分类讨论的思想.
2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中 统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了 （）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数 的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分）
1．当整数m ＝_________时，代数式 13m 6 -的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且| abc |abc |c |c |b |b |a |a + ++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004 ＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2 +2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 日照实验高级中学高一数学竞赛辅导班选拔考试
2006 年“ 元旦 ”高一数学竞赛试题（新课程） 班别 姓名 分数 （时间： 100 分钟 , 满分 150 分） 一、 选择题 (共 6 小题 ,每小题 6 分 ,共 48 分 ) 1、集合｛ 0,1 ， 2， 2006｝的非空真子集的个数是 （ ） （ A ） 16 （ B ） 15 （ C ） 14 （ D ） 13 2、设 U=Z ， M= { x x 2k, k z} ， N= { x x 2k 1, k z} ， P= { x x 4k 1,k z} ，则下列结论 不正确的是 （ ） (A) C U M N (B) C U P M (C) M I N (D) N U P N 3、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)6 5 1 ? 4 1 2 3 4 5 4、函数 y 21 x 的图象是 （ ） 5、函数 f ( x) a x log a x 在[1,2] 上的最大值和最小值之差为 a 2 a 1, 则的 a 值为 ( ) (A )2 或 1 (B) 2 或 4 (C) 1 或 4 (D)2 2 2 6、有 A 、B 、C 、D 、E 共 5 位同学一起比赛象棋， 每两人之间只比赛 1 盘，比赛过程中统计比赛的盘数知： A 赛了 4 盘， B 赛了 3 盘， C 赛了 2 盘， D 赛了 1 盘，则同学 E 赛了（）盘 （ A ）1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4 7 若 ax 2 5x c 的解是 1 x 1 , 则 a 和 c 的值是（ ） 3 2 (A)a=6,c=1 (B)a=6,c=-1 (C)a=- － 6,c=1 (D)a= － 6,c=- － 1 8、若 x= 7lg 20 , y ( 1 )lg 0.7 则 xy 的值为（ ） (A) 12 2 (B)13 (C)14 (D)15 二、 填空题（共 6 小题 ,每小题 7 分 ,共 42 分） 1、已知函数 f (x) x(x 0) ，奇函数 g( x) 在 x 0 处有定义，且 x 0 时， x( x 0) g ( x) x(1 x) ，则方程 f ( x) g ( x) 1的解是 。
水寨中学2010-2011学年高一级数学竞赛试题 本试卷满分100分；考试用时90分钟 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合{0,1,2,3,5},{1,2,4,6},A B ==则集合A B =（ ） A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2} D ．{0} 2．若AB =（2，4），AC =（1，3），则BC =（ ） A ．)1,1( B ．)1,1(-- C ．)7,3( D ．)7,3(-- 3. 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.无法判定4．已知{}n a 是等差数列，6720a a +=，7828a a +=，则该数列前13项和13S 等于（ ） A.132 B.156 C.110 D.100 5.若数据123,,,,n x x x x 的平均数x =5，方差22σ=，则数据12331,31,31, ,31n x x x x ++++的平均数为（ ），方差为（ ） A.5, 16 B.16, 18 C.15, 7 D.16, 2 6.要得到函数y=sinx 的图象，只需将函数y=cos(x- 6 π )的图象( ) A. 向左平移3π个单位. B. 向右平移3π 个单位. C ．向左6π平移个单位. D. 向右平移6 π 个单位. 7．若,x y 满足条件2 22x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则2z x y =+的取值范围是（ ） A ．[]4,5 B ．[]2,5 C ．[]4,6 D ．[]2,6 8.已知y =f (x )的定义域为(－2，2)，既是奇函数又是减函数，且f (a －2)+f (8－a 2)<0， 则a 的取值范围是（ ） A ． ，3) B ．(3 ， C ． (4) D ．(－2，3)
商洛中学2021届高一数学竞赛试题 一、选择题（本大题共有6小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共30分） 1.设集合2 {|} M x x x ==，{|lg0} N x x =≤，则M N=（） A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(,1] -∞2.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积 不可能 ．．．等于（） A．1 B．2 C． 2-1 2 D． 2+1 2 2 3.()(1)()(0)()() 21 x F x f x x f x f x =+≠ - 是偶函数，且不恒等于零，则（） A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数 4.函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为（） 5.设 0.2 log0.3 a=， 2 log0.3 b=，则( ) A．0 a b ab +< 江苏省邗江中学2015-2016学年度第一学期 高一数学期中试卷 一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分） 1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M∩N＝__▲___. 2．已知幂函数()f x 的图像过点1(2,)4，则(4)f = ▲ . 3．函数2 1)(--=x x x f 的定义域为______▲_____． 4．已知)(x f 为奇函数，当0>x 时，x x f 2log )(=，则=-)4(f ___▲___． 5 ．已知 ) 12f x =-，则()f x =_____▲____． 6．已知函数2()24f x x x =-++的定义域为[2,2]-，则()f x 的值域为 ▲ ． 7 ．已知集合{,2A a =，{1,1,3}B =-，且A B ?，则实数a 的值是 ▲ ． 8．已知函数2 1()1log 1x f x x x -=-++，则11()()20152015 f f +-= ▲ ． 9．奇函数)(x f 在)0,(-∞上单调递增，若0)1(=-f 则不等式)(x f >0的解集是 ▲ ． 10 ．函数y =的值域是 ▲ ． 11．已知函数|1|(1)()3 (1)x x x f x x -≤?=?> ，若()2f x =，则x = ▲ ． 12[,]a b 上的最小值为，最大值为1，则b a -= ▲ ． 13．已知函数x x f x 2log )3 ()(-=，0a b c <<<，0)()()( 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 一、填空题（每题10分，共80分.） 1. 若是单位向量，且，则__________． 【答案】0 【解析】 2. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】时，x-1 时，1-x<0, <-1 综上值域为 故答案为 点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的 3. 4个函数，，，图象的交点数共有__________．【答案】5 故答案为5 4. 若，则__________． 【答案】0 ......... 5. 已知，，， 则__________． 【答案】 【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0， ∴cosγ=?cosα?cosβ，sinγ=?sinα?sinβ， ∵=1， ∴=1， 整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=?， ∴cos(β?α)= ?， ∵0?α<β<2π， ∴0<β?α<2π ∴β?α=或.① ∴同理可得：cos(γ?β)=??,解得：γ?β=或②。 cos(γ?α)= ?;解得：γ?α=或③。 ∵0?α<β<γ<2π， ∴β?α=,γ?β=,γ?α=. 故β?α的值为. 点睛：本题主要考查了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin2γ+cos2γ=1，从而可得α，β的基本关系，但要注意出现多解时一定要三思而后行. 6. 甲乙两人玩猜数学游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，称甲乙“心相近”，现任意两人玩这游戏，则他们心相近的概率为__________． 【答案】 【解析】 7. 在中，角所对边分别为，若，则__________．【答案】 高一数学竞赛试题及答案 时间： 2016/3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分,考试时间120分钟. 1.（本小题满分15分） 设集合{} ()() { } 2 2 2 320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2A B =求a 的值； （2）若A B A =,求a 的取值范围； （3）若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围. 2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== （1）求证：;N M ? （2）)(x f 为单调函数时，是否有N M =请说明理由. 已知函数4 4 4 )cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2 ,0[π ∈x 有最大值5， 求实数m 的值． 已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论． 已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<< 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷 （第一轮考试时间100分钟，满分100分） 一．选择题：(每题6分，共36分) 1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A?（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分） (A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ 2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知有理数x、y、z两两不等，则,, x y y z z x y z z x x y --- --- 中负数的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个或2个 4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘 A．1 B.2 C.3 D.4 5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽 种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4 那么有（）种栽种方案. A.60 B.68 C. 78 D.84 6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必 胜的策略 A ．10 B.9 C.8 D.6 二．填空题：（每小题6分，共42分） 1．当整数m ＝_________时，代数式 1 3m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________. 3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为 4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________ 5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张. 6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2 -3x-a 2+2=0｝的子集的个数 是 三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程） 1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积. 2017高一数学竞赛试题 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D. 5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 高一数学竞赛试题及答 案详解 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H- 2006年苍南县高一数学竞赛试题 一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案) 1.已知函数f (x )满足f (| |2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) ?x x C. ?log 2 x ?2 2.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( ) =2 =1 =2 1 =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f (2 1)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的 取值范围是( ) ＞2或21＜x ＜1 ＞2 C.21＜x ＜1 D.2 1＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则 ( ) A. f (5)＜f (2)＜f (7) B. f (2)＜f (5)＜f (7) C. f (7)＜f (2)＜f (5) D. f (7)＜f (5)＜f (2) 5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,2 1]成立, 则a 的最小值为( ) B. ?4 C.?5 D. ?6 6.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 7.若函数f (x )=25?|x +5| -4×5?|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( ) ＞0 ≤4 ＜m ≤4 ＜m ≤3 8.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得2 21)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( ) A.10 1 C.43 D.23 2017—2018学年上学期竞赛试卷 高一数学 总分：150分时间：120分钟 一、选择题:(本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．设全集是实数集都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（） A. B. C. D. 2．已知集合中的是一个四边形的两条对角线的长，那么这个四边形一定不 是（） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 3．函数的图象可能是（） A. B. C. D. 4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝( ) A. x2 B. 2x2 C. 2x2＋2 D. x2＋1 5．已知，，，则的大小关系是（） A. B. C. D. 6．函数的单调减区间是（） A. B. C. D. 7．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减， 则xf(x)＞0的解集为（） A. B. C. D. 8．若函数有零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 9．若函数是R上的减函数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 10．已知函数是定义域为的偶函数，且时，，则函数的零点个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称 为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（）A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 12．已知函数，若任意且都有 ，则实数的取值范围（） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知幂函数在上是减函数，则实数_______. 14．设0 高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷 （第二轮 考试时间60分钟，满分100分） 班级 姓名 得分 一、选择题（每题６分，36分） 1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是 （ ） （A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910 - --- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)10 7 3 ．某公司从2001年起每人的年工资 主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是 （ ） （A ）2年（B ）3年（C ）4年（D ）5年 4.若F( 11x x -+)=x 则下列等式正确的是（ ）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x +-（C ）F(x -1 )=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（ ） (A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件 6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形 D C B A ''''。四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（ ） A ．9 B ．26 C ．34 D ．6 二、填空题（每题5分，25分） 7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是 。 8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________. 9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E 被读了______次。 高一数学上学期学科竞赛试题 时间： 120 分钟 分值： 150 分 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分。给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的） 1.若角α 的终边与单位圆交于点1,2? ?? ,则sin α=( ) A.1 2 B. C. D.不存在 2.下列函数中,在区间()2,∞+上为增函数的是 （ ） A. 3 x y =- B. 12 log y x = C. () 2 2y x =-- D.12y x = - 3.下列函数为奇函数的是( ) A.1 22 x x y =- B. 3 sin y x x = C.2cos 1y x =+ D.22x y x =+ 4.已知13 241log 3log 72a b c ??=== ??? ,，,则,a b c ,的大小关系是（ ） A. a c b << B. b a c << C. c a b << D. a b c << 5.函数 2()lg(2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） A. ()1,+∞ B.1(,)2 -+∞ C. 1(,)2 -∞- D.(),2-∞- 6.已知()2 21()12,(0)x g x x f g x x x -=-=≠????,则 12f ?? = ??? （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 7.已知函数)(x f 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,且满足 ()()3x f x g x +=,则（ ） A. ()33 x x f x -=- B. 33()2 x x f x --= C. ()33 x x f x -=- D. 33()2 x x f x --= 8.设角α的终边过点 )0(8,6≠--a a a P ）（,则ααcos sin -的值是（ ） A 5 1 B 51- C 51-或57- D 51-或5 1 9. 函数 1 ()ln()f x x x =-的图象是（ ） A. B C. D. 10.设A ,B ,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 （ ） A. cos(A +B )=cos C B. sin(A +B )=sin C C. tan(A +B )=tan C D. sin 2A B +=sin 2 C 11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.1 sin 2 C.2sin1 D.sin2 12.若函数 ααcos sin -+=y ,且π α20≤≤,则α的范围是（ ） 2012年天骄辅导学校 高一数学竞赛试题 一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案) 1.已知函数f (x )满足f (| |2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2x C. -log 2x D.x -2 2.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( ) A.x =2 B.x =1 C.x =2 1 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f ( 21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的 取值范围是( ) A.x ＞2或21＜x ＜1 B.x ＞2 C.21＜x ＜1 D.2 1＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( ) A. f (5)＜f (2)＜f (7) B. f (2)＜f (5)＜f (7) C. f (7)＜f (2)＜f (5) D. f (7)＜f (5)＜f (2) 5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,2 1]成立, 则a 的最小值为( ) A.0 B. -4 C.-5 D. -6 6.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( ) A.m ＞0 B.m ≤4 C.0＜m ≤4 D.0＜m ≤3 8.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得 2 21)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( ) A.101 B.10 C.43 D.2 3 二、填空题(每小题5分, 共30分) 9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k }, 若A ? ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________ 10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________ 11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N }, 那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________ 12.已知方程组???=-=+164log 81log 4log log 6481y x y x 的解为???==11y y x x 和???==22y y x x , 则log 18(x 1x 2y 1y 2)=________ 13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m 的取值范围是_________________ 14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B), 且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______ 三、解答题(每题10分, 共30分) 15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|. (1)当a =2时, 求f (x )的最小值; 上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++=== -=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 C D 1 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小 值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）4 3 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A 2009年全国高中数学联赛试题及答案 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时 高中数学竞赛试题(模拟) 一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2 ++=-x x x g x f ，则 =+)()(x g x f ( ) A ．1292 -+-x x B ．1292 -+x x C ．1292 +--x x D ． 1292 +-x x 2.有四个函数： ① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ? ④ x x y cos sin = 其中在)2 ,0(π 上为单调增函数的是 ( ) A ．① B ．② C ．①和③ D ．②和④ 3.方程x x x x x x ππ )1(121 2 2-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则 A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 4.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(2 2 R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( ) 5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 6.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80 B ．40 C ．24 D ．-48 7.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( ) A ．)2,12(-- B ．)12,2(-- C ．)12,0[- D ．)12,0(- 8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小 值，则min max S S 的值为 ( ) A ． 2 3 B ． 2 6 C ． 3 3 2 D ． 3 6 2 9.设7log ,1sin ,82.035 .0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( ) A ．x江苏省邗江中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题
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