2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
高一试卷
考生注意事项：
1．本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.
2．答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号． 3．本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效． 4．本卷解答一律不允许用计算器．
一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）
1．函数()()21
1f x x R x
=∈+的值域是 ( ) A.[0, 1] B.[0, 1)
C .(0, 1] D.(0, 1)
2．设集合S={x |2x -3|x |+2=0}, T={x | (a -4)x =4}, 则满足T ? ≠
S 的a 的值共有( ) A.5 B.4 C.3 D.2
3．函数()()
44222x x x x f x --=+-+的最小值是 ( ) A.1 B.2 C.-3 D .-2
4．函数()y f x =的图象为C , 而C 关于直线2x =对称的图象为1C , 将1C 向左平移2个 单位后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为 ( ) A.y =f (-x ) B .y =f (2-x ) C.y = f (4-x ) D.y =f (6-x ) 5．若函数()(
)()2
log 201a f x x x
a a =+>≠且在区间(0,2
1
)内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为 ( ) A.(-∞, -41) B.(-4
1
, +∞) C.(0, +∞) D.(-∞, -21)
6．若()3
3sin cos cos sin 02θθθθθπ-≥-≤<, 则θ的取值范围是 ( )
A.[0,
4π] B.[4
π,π] C .[4π,45π] D.[2π,23π
)
7．已知集合{}{}
50,60,,A x x a B x x b a b N =-≤=-≥∈, 且{}2,3,4A
B N =,
则a b +的取值范围是 ( )
A.{z ∈R |27≤z ≤36}
B.{z ∈N |27≤z ≤36}
C.{z ∈N |28≤z ≤35}
D.{z ∈N |26≤z ≤37} 8．若()g x 是不恒等于零的偶函数, 函数()()21221x f x g x ??
=+
?+ ?-??
在()0,+∞上有最大值5，则()f x 在(),0-∞上有 ( ) A.最小值-1 B.最小值-5 C.最小值-3 D.最大值-3
二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)
9．函数f (x )=2
|1|4
32-+-+x x x 的定义域为____________________.
10．已知函数()f x =?
??≤<+-<≤---20 ,20
2 ,2x x x x , 则()f x -()f x -＞-2的解集为_____________.
11．函数2log y x =与函数3cos y x =的图象的交点个数共有 .
12．已知函数()224f x x x =--, 若()0f x a -<在R 上恒成立, 实数a 的取值范围为
.
13．若2351x
y
z
==>, 则2,3,5x y z 从小到大的排列顺序是____________.
14．实数(),,a b c a b ≠满足())()30a b c b c a --+-=, 则
2
)()
)((b a a c c b ---=_______.
三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)
15.设函数()2
26f x x ax a =-++的值域为集合B .
(1)若[)0,B =+∞, 求实数a 的所有取值的集合A ；
(2)若[)0,B ?+∞,求实数a 所有取值的集合D ,并求函数()()42g a a a a D =-+∈的值域.
16.设()()
2,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =，()()(),0
,0
f x x
g x f x x
->??.
(1)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式；
(2)在(1)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[-2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (3)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<.
17.设函数()2
243,f x ax x a a =+--是实常数, 如果函数()y f x =在区间(-1, 1)上有
零点, 求实数a 的取值范围.
2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
高一答题卷
一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）
二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)
9. (-∞,-4]∪(1,+∞) 10. [-2, -1)∪（0, 2] 11. 3 12. a ＞4 13. 3y , 2x , 5z 14. 3-
三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)
15.设函数()226f x x ax a =-++的值域为集合B . (1)若[)0,B =+∞, 求实数a 的所有取值的集合A ；
(2)若[)0,B ?+∞,求实数a 所有取值的集合D ,并求函数()()42g a a a a D =-+∈的值域. 15.解: f (x )=(x -a )2
+a +6-a 2
(1)∵B =[0, +∞), 故f (x )min =0, 即a +6-a 2
=0 即a 2
-a -6=0 解得a =3或-2, ∴A ={3, -2}
(2)∵B ?[0, +∞), 故f (x )min ≥0, 即a +6-a 2
≥0 即a 2
-a -6≤0 解得 -2≤a ≤3, ∴ D =[-2, 3]
故g (a )= -a 2
-2a +4=5 -(a +1)2
, a ∈[-2, 3],
∴当a = -1时, g (a )有最大值为5, 当a =3时, g (a )有最小值-11 因此, g (x )的值域为[-11, 5]
16.设()()2
,,f x ax bx c a b c =++为实常数, ()01f =，()()(),0
,0
f x x
g x f x x ??.
(1)若()20f -=, 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立, 求()g x 的表达式；
(2)在(1)的条件下, 若()()h x f x kx =+不是[-2, 2]上的单调函数, 求实数k 的取值范围； (3)设0,0,0a m n >><且0m n +>, 当()f x 为偶函数时, 求证: ()()0g m g n +<. 16.解:由f (0)=1得c =1
(1)由f (-2)=0得4a -2b +1=0, 又由f (x )≥0对x ∈R 恒成立, 知a ＞0且△=b 2
-4a c ≤0
即b 2-2b +1=(b -1)2
≤0 ∴b =1, a =41从而f (x )=41x 2+x +1∴g (x )=???????>---<++0
,14
10,14122
x x x x x x
(2)由(1)知h (x )=4
1x 2
+(k +1) x +1, 其图象的对称轴为x = -2(k +1) ,
再由h (x )在 [-2, 2]上不是单调函数, 故得-2＜-2(k +1)＜2 解得-2＜k ＜0
(3)当f (x )为偶函数时, f (-x )=f (x ), ∴b =0, ∴f (x )=ax 2
+1, a ＞0 故f (x )在(0, +∞)上为增函数, 从而, g (x )在(0, +∞)上为减函数, 又m ＞0, n ＜0, m +n ＞0 ∴ m ＞-n ＞0, 从而g (m )＜g (-n )
且g (-n )= -f (-n )= -f (n )= - g (n ) 故得g (m )< -g (n ), 因此, g (m )+g (n )＜0 17.设函数()2
243,f x ax x a a =+--是实常数, 如果函数()y f x =在区间(-1, 1)上有
零点, 求a 的取值范围.
17.解:当a =0时, 则f (x )=4x -3, 此时f (x )的零点为
4
3
∈(-1, 1), 故a =0满足题设. 当a ≠0时, 令△=16+8a (3+a )=0, 即a 2
+3a +2=0 解得a = -1或-2
(1)当a = -1时, 此时f (x )= -2x 2
+4x -2= -2(x -1)2
, 它有一个零点-1?(-1, 1) 当a = -2时, 此时f (x )= -4x 2+4x -1= -4(x -21)2, 它有一个零点2
1
∈( -1, 1), 故 a = -2满足题设
(2)当f (-1)f (1)= (a -7)( a +1)＜0即 -1＜a ＜7时, f (x )有唯一一个零点在(-1, 1)内
(3)当f (x )在(-1, 1)上有两个零点时, 则??
?
??
?
?
????
<-<->>->++=?>1110
)1(0)1(0)23(80
2
a f f a a a 或???????????<-<-<<->++=?<1110)1(0)1(0)23(802a f f a a a
解得a ＞7或a ＜-2
综上所述, a 的取值范围是a ≤-2或-1＜a ＜7或a ＞7