陶哲轩，2008年11月20日出版的美国《探索》杂志上，20位40岁以下的科学家被冠以“最具智慧的头脑”称号，华裔澳大利亚人陶哲轩排名第一．他1975年生于澳大利亚，13岁获得国际数学竞赛的金牌，24岁被评为终身教授，2006年我国数学家大会上获得菲尔兹奖，时年31岁，广泛的兴趣、丰富的知识储备、深刻的洞察力以及能敏锐地发现那些陌生的问题同自己最擅长领域的本质联系，是他最大的特色．
11．方程组的应用
解读课标
方程组也是刻画现实数量关系的有效模型，在代数式的化简求值、解实际问题等方面有广泛的应用．
一些代数式化简求值问题，运用相关概念、性质，对题意的理解等，常可转化为方程组求解或利用方程组探寻字母间的关系．
列方程组解实际问题的关键是找到能够表示问题中全部含义的相等关系，即在相等关系电，问题所给的条件既要不遗漏地重复使用，又不能把同一条件重复利用．
许多实际问题既可用列方程求解，又可用列方程组求解，列方程组求解常比单独设一个未知数建立一元一次方程更容易表示相等关系，但解方程组稍繁，这是它们的各自优缺点．
问题解决
例1 若()()2
2
23423450a b c a b c -+++-+-≤，则610143a b c -+-=_______． 试一试 由不等推导相等，未知数个数多于方程个数，怎么办？
例2 小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
A ．24
B ．42
C ．51
D ．15
试一试 理解行驶路程与里程碑上的数的关系是解题的关键．
例3 如图，长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
试一试 大长方形ABCD 由小长方形拼接而成，要求阴影部分的面积，需求出小长方形的长与宽． 例4 韦武准备装修一套新宅，若甲、乙两个装饰公司合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，韦武是选甲公司还是选乙公司？请说明理由．
试一试 只有先求出每个公司工效、需要的工钱，才能进行正确的经济决策，因此，解本例需解两次方程组．
例5 已知1x ，2x ，3x ，…，n x 中每一个数值只能取2-，0，1中的一个，且满足
1217n x x x +++=-L ，2221237n x x x +++=L ，求333
12n x x x +++L 的值．
分析 因1x ，2x ，3x ，…，n x 中每一个数值只能取2-，0，1中的一个，故只需求出相应值的个数，将问题转化为解方程组．
解 设有p 个i x 取1，q 个i x 取2-，由217437p q p q -=-??+=?，得19p q =??=?
，故原式()3
3119271=?+?-=-．
间隔发车
例6 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆公交车，每隔3分1钟从迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，而且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？
分析 本例是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，有下列隐含的等量关系： ①迎面驶来两车距离=3（车速+人速）． ②背后开来两车距离=6（车速-人速）． ③迎面驶来两车距离=背后开来两车距离． ④同向两车距离=车速×发车间隔时间．
解法一 设公交车的速度为x 米／分，小王行走的速度为y 米／分，发车间隔的时间是t 分钟． 则()()
(
)366x y x y x y xt ?+=-??-=??，解得4t =．
即公交车总站发车间隔的时间为4分钟．
解法二 设同向行驶的相邻两车的间距为s 米，发车间隔的时间为t 分钟，小王行走相邻两车间距s 米所用的时间为m 分钟．
即36s s t m s s s t m ???+ ?????????-= ????
?，解得4t =．
即公交车总站发车间隔的时间为4分钟． 数学冲浪 知识技能广场
1．如果21250x y x y -++--=，那么x y +的值为________．
2．由图给出的信息，可求得每件T 恤衫和每瓶矿泉水的价格分别为________．
共计44
元
共计26元
3．如图，某化工厂与A ，B 两地有公路和铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元／（吨·千米），铁路运价为1.2元／（吨·千米）．这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：()()1.520101.2110120x y x y ?+=??
+=
??
乙： 1.52010800010001.211012080001000x y x y ????+?= ??????
????+?=
???
??
根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：x 表示____________，y 表示______________ 乙：x 表示____________，y 表示______________
（2）甲同学根据他所列方程组解得300x =，则y =__________，并解决该实际问题：__________． 4．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A ．73cm
B ．74cm
C ．75cm
D ．76cm
①
②
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a 、b 对应的密文为2a b -、2a b +，例如：明文1，2对应的密文是3-，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是（ ）
A ．1-，1
B ．1，3
C ．3，1
D ．1，1
6．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A ．甲比乙大5岁 B ．甲比乙大10岁 C ．乙比甲大10岁 D ．乙比甲大5岁
7．某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对A ，B 两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；
购买6件A 商品和3件B 商品需用108元，而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元．这比不打折少花多少钱？
8．某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元．
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ （2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
9．已知用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A 型车每辆需租金100元／次，B 型车每辆需租金120元／次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．
思维方法天地
10．美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分琼三投全中，那么乔丹两分球投中_________球，罚球投中_________球．
11．在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；此后，再过t 分钟，货车追上了客车，则t =________．
12．已知a 、b 、c 是三个有理数，且a 与b 的平均数是127，b 与c 的和的1
3
是78，c 与a 的和
的
1
4
是52，那么a 、b 、c 的平均数是________． 13．已知x ，y ，z 满足
235x y z z x ==-+，则52x y y z
-+的值为（ ） A ．1 B ．13 C ．13- D ．1
2
14．放成一排的2005个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a 个小球，最右端的盒子放了b 个小球，如果任意相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ）．
A ．2a b ==
B ．1a b ==
C ．1a =，2b =
D ．2a =，1b =
15．买20支铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需（ ）
A ．20元
B ．25元
C ．30元
D ．35元
16．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an b +的规律（n 表示前一个圆圈中的数字，a 、b 是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，求“？”代表的数．
17．已知
2xy x y =+，3xz x z
=+，4yz y z =+，求752x y z +-的值． 18．如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求x ，y 的值．
x
y 30
25
28
☆
☆
☆
应用探究乐园
19．老师布置了一个探究性活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量各是多少？（注：同种类的每枚硬币质量相同）
聪明的小明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录：
20．【函函游园记】
函函早晨到达上海世博园D 区入口处等待开园，9时整开园，D 区入口处有10n 条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，直到中午12时D 区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园，9时20分函函通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耗时20秒．
【排队的思考】
（1）若函函在9时整排在第3000位，则这时D 区入口安全检查通道可能有多少条？
（2）若9时开园时等待D 区入口处的人数不变，当安检通道是现有的1.2倍且每分钟到达D 区入口处的游客人数不变时，从中午11时开始游客一到D 区入口处就可安检入园，当每分钟到达D 区入口处的游客人数增加了50%，仍要求从12时开始游客一到D 区人口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量．
11．方程组的应用答案
问题解决
例l 1- 由条件得2340a b c -++=，23450a b c -+-=，两式相加得35710a b c -+-=． 例2 D 设两位数为xy ，则
()()61010 2.510010x y x y
y x x y x y x y +=
+-+?=+-+????
??且． 例3 82
例4 设甲公司单独完成需x 周，需要工钱a 万元，乙公司单独完成需要y 周，需要工钱b 万元，由题意得
661491
x y x y
?+=??
?
?+=??，解得1015x y =??=?； 又6 5.2101549 4.8
10
15a b a b ???
+= ????????+?=??，解得64a b =??=?．
从节约开支的角度考虑，韦武应选乙公司装修房子． 数学冲浪 1．6
2．20元、2元
3．（1）产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费． 甲方程组右边方框内的数分别为15000，97200，乙同甲．
（2）400；这批产品的销售款比原料费和运输费的和多()24000004000001122001887800-+=元． 4．C 5．C
6．A 提示：设甲、乙两人现在的年龄分别是x 、y 岁，则
()(
)10
25y x y x x y ?--=??
+-=??，解得2015x y =??=?． 7． 40元
8．（1）超过200人，理由略；（2）160人，80人 9．（1）3吨；4吨
（2）共有三种租车方案，具体方案略
（3）租用A 型车1辆、B 型车7辆最省钱，最少的租车费为940元 10．8；3
11．15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a 、b 、c 千米／分，则()10a b s -=，()152a c s -=，()()105t b c s ++-=，解得15t =．
12．116
13．B 提示：由条件得3y x =，3
2
z x =
14．A 提示：由123122341324a a a a a a a a ++++=++++=，得113a a =，同理
113252005a a a a ===
=，又()()12121993200420052005241674010a a a a a a a ++
++++++=?+=，得
120052a a ==．
15．C 16． 122 17．由条件得
1112x y =+，1113x z =+，1114y z =+，联立解得247x =，245
y =，24z =，
7520z y z +-=． 18．易知28y =，设第一行所表示的数依次是a ，b ，c ，b ，第2行第4列的数字是d ，则有 302528a b c b y b a c d b b d a a b c b b a b b x +++=??
+++=??
+++=??+++=??+++=?①
②③④⑤
②-③，得5c b =+⑥
⑥代入④，得()528a b b b ++++=， 即323a b += 故23x =．
b b
b c a
b c d
a b c d d c b a 28
2530
y x
19．6克；4克 20．（1）1050n =
（2）设9时开园时，等待在D 区人口处的人数为x ，每分钟 到达D 区入口处的游客人数为y ，增加安检通道后的数量为m ．
依据题意，有：
()()()()()()()()111960 1.21011960602011296010129606020112960150%129606020x y n x y n x y m ?
+-?=???-????
?
+-?=??-????
?
+-?+=??-????
①②
③ 由①，②解得：216018x n
y n
=??=?，
代入③，解得13m n =， 增加通道的数量为103m n n -=．
第五章 相交线与平行线 思维导图 ?????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????作图基本性质定义平移错误的命题假命题—公理，定理—正确的命题真命题—命题—命题与定理角互补、两直线平行，同旁内相等、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同位角性质线平行、同旁内角互补，两直平行、内错角相等，两直线平行、同位角相等，两直线判定，则，推论：若已知直线平行，有且只有一条直线与公理：经过直线外一点平行公理”表示的两条直线平行，用“—在同一平面内不相交—定义平行线同旁内角内错角同位角三线八角所截两条直线被第三条直线垂直对顶角邻补角两条直线相交相交线线行平与线交相)()(321321//////a //)(c a c b b
第六章 实数 思维导图 ???????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????相同法则、运算律与有理数实数的运算性质、运算、倒数与有理数相同实数的相反数、绝对值性质及运算负无理数正无理数 无理数负有理数正有理数有理数分类实数—用定义和计算器求—求法的立方根是负数的立方根是负数正数的立方根是负数性质定义立方根（开立方）—用定义和计算器求—求法的平方根是负数没有平方根它们互为相反数正数的平方根有两个，性质定义平方根双重非负性负数没有算术平方根的算术平方根是的算术平方根是正数性质定义算术平方根平方根（开平方）实数0000000a a
1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基（17921856-），他发现了一个逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美的新的几何世界——非欧几何．他为非欧几何的存在和发展奋斗了30多年，被誉为“几何学中的哥白尼”． 24．认识三角形 解读课标 从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用． 认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素——边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用． 代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类． 问题解决 例1 在ABC △中，高BD 和CE 所在直线想交于O 点，若ABC △不是直角三角形，且60A ∠=?，则BOC ∠=_________度． 试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样ABC △形状应分两种情况讨论． 例2 如图，将纸片ABC △沿着DE 折叠压平，则（ ）． A ．12A ∠=∠+∠ B ．()122A ∠=∠1+∠ C ．()113A ∠=∠+∠2 D ．()1 124 A ∠=∠+∠ 试一试 在折叠动态变化中，不变关系是B C AED ADE ∠+∠=∠+∠，这是解本例的关键． 例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，试探寻DAE ∠与C ∠、B ∠的关系． （2）如图②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么EFD ∠与C ∠、D ∠是否还有（1）中的关系？说明理由． （3）请你提出一个类似的问题． 试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）． 例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，()0,2C -，()3,2D --． （1）求BCD △的面积； （2）如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断CPQ ∠与CQP ∠的大小关系，并证明你的结论； （3）如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在x 轴正半轴上运动，ACB ∠的平分线CE 交DA 的延长线于点E ， 在B 点的运动过程中，E ABC ∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 2 1 D A B C E A B C 图① D A B C F 图②
人教版七年级数学上册知识点思维导图及总结 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数 .
4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法 叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题. 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。 第二章 整式的加减 一．知识框架
1．数形结合话数轴 解读课标 数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来. 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数； 3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题解决 例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________． （《时代学习报》数学文化节试题） (2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________． （广西竞赛题） 试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系. 例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1 个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应 是( )． A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 （江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手． 例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小. 试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小． 例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数． （“希望杯”邀请赛试题） 试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、 L 、100K 点所表示的数用x 的式子表示．
2020-2021汕头市聿怀中学数学七年级上册思维训练试题 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.有理数6的相反数是( ) A.-6 B.6 C.1/6 D.-1/6 2. 如果表示有理数, 那么下列说法中正确的是 A.和一定不相等 B.一定是负数 C.和一定相等 D.一定是正数 3、下列算式正确的是（） A. (－14)－5=－9 B. 0－(－3)=3 C. (－3)－(－3)=－6 D. |5－3|=－(5－3) 4、在数轴上，把表示-4的点移动2个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（） A.-1 B.-6 C.-2或-6 D.无法确定 5．给出四个数：－1，1/3，0.5, 1/7，其中为无理数的是（） A．－1 B．1/3 C．0.5 D．1/7 6．一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字比十位上的数字的2倍少3，这个两位数可以表示为…………………………………………………………………………（）A．x(2x－3) B．x(2x+3) C．12x+3 D．12x－3 7．已知2是关于x的方程3x+a=0的解．那么a的值是 ( ) A．-6 B．-3 C．-4 D．-5 8．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九” 算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算时，左手伸出根手指，右手伸出根手指，两只手伸出手指数的和为，未伸出手指数的积为，则 ．那么在计算时，左、右手伸出的手指数应该分别为 （） A．2 、3 B．2、1 C．3、2D. 1 、2
克莱因（18491925-），德国数学家、数学史家和数学教育家，克莱因在1872年就提出应把拓扑学发展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在20世纪获得了飞跃的发展，并成为现代数学的核心．他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作为19世纪的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪． 17．实数 人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张． 理解无理数是学好实数的关键，为此应注意： 1．把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数q p 的形式（这里p 、q 是互质的整数， 且0p ≠）； 2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等； 3．澄清一些模糊认识； 4．明确无理数的真实性． 问题解决 例1 已知实数x 、y 满足50x -，则代数式()2006 x y +的值为________． 试一试运用非负数性质，求出x ，值． 例2下面有3个结论： ①存在两个不同的无理数，它们的差是整数； ②存在两个不同的无理数，它们的积是整数； ③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数． 其中，正确的结论有（）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 试一试看是否能构造出符合要求的数． 例3 若实数a 、b 、c ，试确定c 的值． 试一试观察发现()199a b -+、()199a b --互为相反数，由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口． 例4设x 、y 都是有理数，且满足方程1π1π4π02332x y ???? +++--= ? ????? ，求x y -的值． 试一试将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的x 、y 的值． 例5设12211112S =++，22211123S =++，32211134 S =++，…，()221111n S n n =+++． 的值（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）． 解法一：311111222??=+=+- ???， 7111116623?? =+=+- ???， 1311111121234?? =+=+- ??? ， 1 1 11n n ??+- ?+?? ． ∴原式111111 111111223341n n ????????=+-++-++-+++- ? ? ? ?+???????? 212111 n n n n n +=+-=++．
七年级数学思维探究 数与代数 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”． 1．数形结合话数轴 解读课标 1．数形结合话数轴 数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来． 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数； 3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题 例1（1）已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是_________． （2）已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________． 试一试 对于（1），赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系． 例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 试一试从寻找d 与a 的另一关系式入手． 例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小． 试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较a 与b 的大小． 例4 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第一步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数． D C B A
初一数学思维训练题(第一周) 班级______________ 姓名_____________ 一、选择题： 1．a 为任意自然数，包括a 在内的三个连续的自然数，可以表示为 （ ） A ．a －2，a －1，a B ．a －3，a －2，a －1 C ．a ，a ＋1，a ＋2 D ．不同于A 、B 、C 的形式 2．下列判断错误的是（ ） A ．零不是自然数 B ．最小的自然数就是自然数的单位 C ．任意写出一个自然数，总能找到一个比它大的自然数 D ．没有最大的自然数 二、计算题：（动动脑筋，可能会有简便的解题方法！） 1．____________________56875=? 2．____________2006200420022000...12108642=+-+-+-+-+- 3．__________________8567785667855678=+++ 4．()()__________888...6428002...888488868888=++++-++++ 5．______________125.017 12 517125625.05.0171251753=?-?+?+ 6．______________12346 12345 1234512345=÷ 7． _________________3 1313131 =-+ - 8．_______________99 163135115131=++++ 9． _____________2004 2004 ...200432004220041=++++ 10．_____________90 1 9721856174216301520141213612 1=++++++++ 三、应用与创新： 1．有一高楼，每上一层需要3分钟，每下一层需要1分30秒。小贤于下午6时15分开始从最底层不断地向上走，到了最顶层后便立即往下走，中途没有停留，他在7时36分返回最底层。这座高楼共有多少层？
高斯()17771855-，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有开创性贡献，他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法 19．乘法公式 解读课标 多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特征； 2．了解公式的变形与发展； 3．灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式； 4．把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想． 问题解决 例1如果正整数x ，y 满足方程2264x y -=，则这样的正整数对(),x y 的个数是______． 试一试()()22a b a b a b -=+-，a b +以a b -的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础． 例2已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-则a b c ++的值等于（ ） A ．9 B ．3 C ．4 D ．5 试一试 由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑． 例3计算 （1）()()()()() 2481621212121211++++++ （2）222 2004200312004200220042004++ （3）33 45.113.945.113.931.2 -+? 试一试对于（1），通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征； 对于（2），用字母表示数，将数值计算转化为式的计算． 例4老师在黑板上写出三个算式225382-=?，229784-=?，22153827-=?，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=?，22157822-=?…… （1）请你再写出两具有上述规律的版式； （2）用文字写出上述算式反映的规律； （3）证明这个规律的正确性． 试一试 由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明． 例5（1）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值． （2）222651=+，225372=+，26531378?=，221378373=+
1 有理数 知识导航 1. 正数与负数。 正数：像3、1、+0.33、27%等数叫做正数。正数都大于0。 负数：正数前面加上“－”（读做负）的数，叫负数。负数都小于0。 0即不是正数也不是负数。 用正负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它相反意义，反之亦然。相反意义的量包括两个方面的含义，一是相反意义；一是相反意义基础上要有量。 2. 有理数。 有理数：整数和分数统称有理数。 1. 正数与负数。 2. 有理数。 3. 数轴。 4. 相反数。 5. 绝对值。 6. 倒数，负倒数。
注：（1）正数和零统称非负数（2）负数和零统称非正数（3）正整数和零统称非负数（4）负整数和零统称非正整数 3. 数轴。 数轴：规定原点正方向和单位长度的直线。 有理数与数轴上点的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，在数轴上，右边的点所对应的数总比在左边的点对应的数大。 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 注意数轴上的点不都代表有理数，如： 4. 相反数。 相反数：只有符号不同的两个数互称相反数。特别的，0的相反数为0。 5. 绝对值。 数轴上表示与原点的距离叫数的绝对值,记作 6. 倒数，负倒数。 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。，互为倒数，则，反之则亦然。 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数，互为倒数的两个数乘积一定是1，0没有倒数。 负倒数：乘积为－1的两个数互为负倒数，，互为倒数，则，，反之则亦然。
2 有理数的运算 知识导航 1. 有理数的加法。 有理数的加法法则。 有理数的加法运算步骤：1、确定符号 2、求和的绝对值 运算技巧： 1、分数与小数均有时，应化为统一形式； 2、带分数可分为整数与分数两部分参与运算； 3、多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零； 4、若有可以凑整的数，即相加得整数，可先结合相合相加； 1. 有理数的加法。 2. 有理数乘法。 3. 有理数除法。 4. 有理数的乘方。 5. 有理数混合运算。
七八年级奥数培训题（甲） 1.若a是自然数，试将a4-3a2+9变换成乘积的形式。 2.P是负整数，且2001+P是一个完全平方数，则P的最大值为。 3.在十进制中，下列算式中的每个字母表示一个完全确定的数字：3abcdef=4defabc,请把上式中的字母还原成数字。 4.若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的乘积是一个末位数字为1的六位数1 abcde，求原来的六位数。 5.分解因式：x（x-1）+y（y+1）-2xy 6.若整数a、b满足6ab-9a+10b=303，求a+b的值。 7.把(x2+3x+2)(4x2+8x+3) -90变成乘积的形式。 8.因式分解:(a+b-2ab)(a+b-2)+(1- ab)2 9.请把x5+ x+1变成乘积形式是。 10.把x3+9 x2+26x+24变成乘积的形式是。 11.分解因式:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
12.因式分解: x 4+x 2y 2+y 4 13. x 是正有理数，〈x 〉表示不超过x 的质数的个数。如〈5〉=3,即不超过5的质数有2,3,5共3个。因此〈x 〉定义了对x 的一种操作。试求〈〈19〉×〈9〉+〈1〉〉的值。 14. 对不小于3的自然数n,我们规定一种操作“[ ]”, [n]表示不是n 的约数的最小自然数,试计算[[19]×[96]]的值。 15.试证明333777+777333能被37整除。 16.解方程∣2013x-2013∣=2013 17.在计算一个正整数乘以3.5. 7的运算时,某同学误将3.5. 7错写成3.57,结果与正确答案相差1.4,求正确的乘积应是多少? 18.海滩上有一堆核桃,第一天猴子吃掉了这堆核桃的5 2 ,又将4个扔到大海中;第二天猴子吃掉的核桃数加上3个,就是第一天所剩核桃数的8 5。若第二天剩下6个核桃,问海滩上原有多少个核桃? 20.甲用40秒可绕一环形跑道一圈,乙反方向跑每隔15秒与甲相遇一次,问乙跑一圈需要多少秒? 21.甲乙两人分别从AB 两地同时相向匀速行进,在距A 点700米处第一次相遇,然后继续前进,甲到B 地,乙到A 地后都立即返回,在距B 点400米处第二次相遇,求AB 两地的距离是多少米? 22.当时针在3点与4点之间时,分针与时针在什么时间重合?
b a 第1题图 七年级上册数学思维训练题1 (林志鸿编 一、基础题 1.实数a b ,在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是( A .0a > B .0b < C .a b < D .a b > 2.湛江是个美丽的海滨城市,三面环海,海岸线长达1556000米,数据1556000用科学记数法表示为( A .515.5610? B 、61.55610? C .80.155610? D . 7 1.55610? 3.下列各题中合并同类项,结果正确的是( A 、222532a a a =+
B 、222632a a a =+ C 、134=-xy xy D 、02222=-mn n m 4、解方程1- ,去分母,得( A 、x x 331=-- B 、x x 336=-- C 、x x 336=+- D 、x x 331=+-. 5. 已知(2 2-x +1+y =0,则y x +的值是( A 、1 B 、-1 C 、-3 D 、3 6.已知整式622+-x x 的值为9,则6422 +-x x 的值为( A .18 B .12 C .9
D .7 7、假期张老师带学生乘车外出参加创新素质实践活动,甲车主说“每人8折”,乙车主说:“学生9折,老师免费”,张老师计算了一下,不论坐谁的车,费用都一样,则张老师带的学生数为( A .8名 B .9名 C .10名 D .17名 8. 如图所示, ∠AOB 是平角, ∠AOC=300 , ∠BOD=600 , 射线OM 、ON 分别是∠AOC、∠BOD 的平分线, ∠MON 等于 _________________。 9.2.40万精确到位,有效数字有 个 . 10.单项式22 3 xy π-的系数是__________,次数是___________. 11.计算(m n m n +--的结果为 . 12.在数轴上,若A 点表示数x ,点B 表示数-5,A 、B 两点之间的距离为7, 则x = _______.
陈景润（19331996-），福建省福州市人，1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究．20世纪60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月证明了命题“12+”，将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”． 27．图形生长的奥秘 解读课标 从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题． 以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是： （1）分析图形生长的方式、规律； （2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想． 问题解决 例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n 个图中小圆圈的个数为m ，则m =________．（用含n 的代数式表示） （2）观察下列图形： ① ② ③ ④ 根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________． 试一试 对于（2），从寻找第n 个图与第1n -个图三角形个数的关系入手． 例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ）． A ．25 B ．66 C ．91 D ．120 （2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1、2、3个图案所示规律依次下去： 则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）． A ．22n n ++，21n + B ．22n +，21n + C ．4n ，23n n -+ D ．4n ，21n + 试一试 略． 例3 操作： （1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为1； ① m =5n =1时 ②m =8n =2时③m =11n =3时④ m =14n =4 时 ① ② …… ③ 第1 个 第2 个 第3个
当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、 B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边, AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-; （2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=- （3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-. 请回答: ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________; ②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______; ③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______. （南京市中考题） 思维方法天地 11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________. （北京市“迎春杯”竞赛题） 12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________. （“五羊杯”竞赛题） 13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________. （北京市“迎春杯”竞赛题） 14.（1）11x x ++-的最小值为__________. （“希望杯”邀请赛试题） （2）111213x x x ++-++的最小值为________. （北京市“迎春杯”竞赛题） 15.有理数 a 、 b 在数轴上对应的位置如图所示: ,则代数式 111 1 a a b a b a a a b b +--- + - +--的值为（）. A.1- B.0 C.1 D.2 （“希望杯”邀请赛试题） 16.若()2 210m n ++-=,则2m n +的值为（）.
级上思维训练试题 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．－3的倒数是 A．3 B．－3 C.1/3D．-1/3 2．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高 （） A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃D．6℃ 3．下面画的数轴正确的是( ) A．B．C．D． 4．冬季的一天，室内温度是8℃，室外温度是﹣2℃，则室内外温度相差（） A．4℃B．6℃C．10℃D．16℃ 5.钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 ( ) A. 77.5 ° B. 77 °5′ C. 75° D. 76° 6．-2+5的值等于（） A．3 B．2 C．-2 D．4 7．如图，数轴上每相邻两点之间相距1个单位长度，点A对应的数为a，B对应的数为b，且b－2a＝7，那么数轴上原点的位置在…………………………………………（） A.点A B .点B C.点C D.点D 8．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500 个学生家长对“中学生 骑电动车上 学”的态度，从中随机调查400 个家长，结果有360 个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ） A．调查方式是普查 B．该校只有360 个家长持反对态度
C．样本是360 个家长 D．该校约有90%的家长持反对态度 9．下列计算中，正确的是( ) A．﹣2（a+b）=﹣2a+b B．﹣2（a+b）=﹣2a﹣b2C．﹣2（a+b）=﹣2a﹣2b D．﹣2（a+b）=﹣2a+2b 10．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为( ) A．B．C．D． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．绝对值小于2.5的整数有个，它们的积为． 12. 与原点的距离为8个单位的点所表示的有理数是_ ___。 13．比较大小：3_______-4 (用“>”、“=”或“<”表示) ． 14．现定义某种运算“*”，对任意两个有理数a，b，有a*b=a b，则（﹣3）*2=．15.大于1的正整数的三次方都可以分解为若干个连续奇数的和．如23=3+5，33=7+9+11， 43=13+15+17+19．按此规律，若m3分解后，最后一个奇数为109，则m的值为．三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算： （1）﹣×（0.5﹣）÷（﹣） （2）﹣22﹣[（﹣3）×（﹣）﹣（﹣2）3]
七年级数学上册思维导图
第一章 丰富的图形世界 ??????????????? ??????? ? ? ???? ?? ? ?? 棱柱：n 棱柱有__个顶点，__条棱，__个面柱体圆柱几何体生活中的立体图形棱锥：n 棱锥有__个顶点，__条棱，__个面锥体圆锥： 构成：点动成__,线动成__,面动成__平面展开图 正方体展开与折叠丰对立面 富的图 形正方体______________________________世界圆柱___________________截一个几何体????????????????????? ?? ??? ?? ???? ?? ???? ?? ?? ???????? ?? ????? ?? ???? ??? ?____________ 圆锥_________________________________ 圆_________________________________ 主视图 左视图 从三个方向看俯视图
第三章 整式的加减 ??????????????????????用字母表示数定义——由_______________组成的式子 单项式系数——单项式中的_____________次数——单项式中____________的和定义——几个单项式的和项——组成多项式的每个单项式多项式常数项——不含字母的项整式次数——多项中________________________ 的加减同类项——____________相同并整式的加减???????????????????????????????????????????????????????????????????? 且____________________也相同把同类项的系数相加，所得的结果合并同类项——作为合并后项的系数括号外因数为正:去括号后原括号内各项的符号与原来的符号____去括号括号外因数为负:去括号后原括号内各项的符号与原来的符号______去括号步骤合并同类项????????????????????
七年级奥数培训题（A ） 例1.已知︱a ︱=5, ︱b ︱=3，且︱a-b ︱=b-a ，那么a+b= 。 例2．化简∣20041-20031∣+∣20031-20021∣+∣20021-2001 1∣+∣20011-2000 1∣= 。 例3．若x 的相反数是3，∣y ∣=5，则x+y 的值为 。 例4．已知∣a ∣=-a ，化简∣a-1∣-∣a-2∣所得结果是 。 例5．若∣m+2∣+(n-1)2=0，则m+2n 的值为 。 例6．∣x+11∣+∣x-12∣+∣x+13∣的最小值为 。 例7．计算：1+211++3211+++43211++++……+100 3211+??+++ 例8．已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数，x 的绝对值等于3，求：x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2011+(-ab)2013的值。 例9．计算：（1）（17 277+27177-113937）÷（131712+82717-539 38）= 。（2）（5175+23233-27295）÷（112313+717 4-132917）= 。 例10．速算：21+（31+32）+（41+42+43）+…+（601+602+…+6059） 例11．计算：2-22-23-……-218-219+220＝ 。 例12．速算：211×（-455）+365×455-211×545+545×365 例13．计算1+2+22+23+……+22011－22012＝ 。 例14．计算（1+ 311?）×（1+421?）×（1+531?）×……×（1+99971?）×（1+100981?） 例15．计算：121-265+3121-42019+5301-64231+7561-87271+990 1 例16．计算：（37311+5197+72313）÷（3197+52313+773 11） 例17.（51154533515995++）÷（111 193313991++）= 。 41
七年级下册数学思维专项训练题（共10套） 思维训练题（一） 班级______________ 姓名_____________ 一、选择题： 1．a 为任意自然数，包括a 在内的三个连续的自然数，可以表示为 （ ） A ．a －2，a －1，a B ．a －3，a －2，a －1 C ．a ，a ＋1，a ＋2 D ．不同于A 、B 、C 的形式 二、计算题：（动动脑筋，可能会有简便的解题方法！） 1．____________________56875=? 2．____________2006200420022000...12108642=+-+-+-+-+- 3．__________________8567785667855678=+++ 4．()()__________888...6428002...888488868888=++++-++++ 5．______________125.017 12 517125625.05.0171251753=?-?+?+ 6．______________12346 12345 1234512345=÷ 7． _________________3 1313131 =-+ - 8．_______________99 163135115131=++++ 9．_____________2004 2004 ...200432004220041=++++
10．_____________90 1 9721856174216301520141213612 1=++++++++ 三、应用与创新： 1．有一高楼，每上一层需要3分钟，每下一层需要1分30秒。小贤于下午6时15分开始从最底层不断地向上走，到了最顶层后便立即往下走，中途没有停留，他在7时36分返回最底层。这座高楼共有多少层？ 2．回答下列各题： （1）用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？ （2）在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？ （3）以下是一个数列，第一项是1，第二项是4，以后每一项是前两项相乘的积。求第2004项被7除的余数。 项数 第1项 第2项 第3项 第4项 第5项 (2004) 数字 1 4 4 16 64 …… ？
七年级数学思维探究 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约于13世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多，著名的数学书共5种21卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他1261年所著的《详解九章算术》一书里记载着，他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法． 3．有理数的运算 有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础． 有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算． 运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有： 利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等． 问题解决 例1 （1）已知() ()2 1, 2,3, 1n a a n n = =+，记()1121b a =-，()()212211b a a =--，…， ()() ()122111n n b a a a =---，则通过计算推测n b 的表达式n b =________．（用含n 的 代数式表示） （2）若a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +--的值是____． 试一试 对于（2），运用相关概念的特征解题． 例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =，且a b c d >>>，那么a b c d +++等于（ ）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12 试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式． 例3 计算 （1）1121231 2592334446060 60??????++++++ ++++ ? ? ???????； （2）111112123123100 +++++++++++； （3）7 737121738172711138527 1739172739????+-÷+- ? ?????． 试一试 对于（1），设原式S =，将各括号反序相加；对于（2），若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（3），视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入手， 例4 在数学活动中，小明为了求2341 1 1 1 122222n +++++的值（结果用n 表示）， 设计了如图所示的几何图形．