高斯()17771855-，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有开创性贡献，他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法
19．乘法公式
解读课标
多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特征；
2．了解公式的变形与发展；
3．灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式； 4．把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想．
问题解决
例1如果正整数x ，y 满足方程2264x y -=，则这样的正整数对(),x y 的个数是______．
试一试()()22a b a b a b -=+-，a b +以a b -的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．
例2已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-则a b c ++的值等于（ ） A ．9 B ．3 C ．4 D ．5 试一试 由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
例3计算
（1）()()()()()
2481621212121211++++++ （2）222
2004200312004200220042004++ （3）33
45.113.945.113.931.2
-+? 试一试对于（1），通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征；
对于（2），用字母表示数，将数值计算转化为式的计算．
例4老师在黑板上写出三个算式225382-=?，229784-=?，22153827-=?，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=?，22157822-=?……
（1）请你再写出两具有上述规律的版式；
（2）用文字写出上述算式反映的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
试一试 由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明．
例5（1）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值．
（2）222651=+，225372=+，26531378?=，221378373=+
任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
分析 对于（1），由平方和联想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出x ，y ，z ，的值：对于（2），从试验入手，然后给出一般情形的证明．
解（1）由条件得()()()2221230x y z -+++-=，1x =，2y =-，3z =，原式2=．
（2）一般地，设22m a b =+，22n c d =+，
则()()
2222mn a b c d =++ 22222222a c b d b c a d =+++
2222222222a c b d abcd b c abcd a d =+++-+
()()22
ac bd bc ad =++- 或()()22
ac bd bc ad -++
智慧数
例6整数问题常是饶有兴趣又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题，
我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如221653=-，则16称为智慧数． 请判断：在自然数列中，从数1起，第2000个智慧是哪个数？
分析与解 要确定第2000个智慧数，应先找到智慧数的特征及分布规律．
因为()2
2211k k k +=+-，显然，每个大于4，并且是4的倍数的数也是智慧数．由此可知，被4除2的偶数都不是智慧数．
所以，自然数列中最小的智慧数是3，第2个智慧数是5，从5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20；…即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．根据这个结论，我们容易知道：因为2000136661=+?+，所以第1999个智慧数是466642668?+=，故第2000个智慧数是2669．
数学冲浪
知识技能广场
1．若2220a ab b ++=，则代数式()()()422a a b a b a b +-+-的值为．
2．已知()28m n -=，()22m n +=，则22m n +=______．
3．已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=______．
4．已知222450a b a b ++-+=，则2243a b +-的值为_______．
5．已知以a 、b 、x 、y 满足3ax by +=，5ay bx -=，则()()
2222a b x y ++的值为______． 6．如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方
形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A ．()()22a b a b a b -=+-
B ．()2222a b a ab b -=-+
C ．()2
222a b a ab b +=++ D ．()2a ab a a b +=+ 7．已知12020a x =+，11920b x =+，12120
c x =+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
8．已知1x y +=，222x y +=，那么44x y +的值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．72
D ．52
9．若a 、b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab +=（ ）
A ．8-
B ．16-
C ．8
D ．16
10．在2004，2005，2006，2007这四个数中，不能表示为两个整数平万的数是（ ）
A ．2004
B ．2005
C ．2006
D ．2007
11．计算
（1）()()()()
2486717171711+++++ （2）2
24690123461234512347-? （3）2
222005200420052003200520052
+- 12． 一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．
思维方法天地
13．已知()()200720052006a a --=，那么()()22
20072005a a -+-=_____． 14．已知4a b -=，240ab c ++=，则a b +=______．
15．杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示()n a b +（此处0n =，1，2，3，4，5，6）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
()
01a b += ()
1a b a b +=+ ()2222a b a ab b +=++
()3
322333a b a a b ab b +=+++ ()4432234464a b a a b a b ab b +=++++
()554322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++
()
6
654223245651520156a b a a b a b a b a b ab b +=++++++ …… 上图的构成规律你看懂了吗？
请你直接写出()7
a b +=______．
杨辉三角还有另一个特征
（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与______积． （2）由此你可写出511=______．
（3）由第_____行可写出811=______．
16．如果2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23a b c ++的值是（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
17．如果1x y +=，223x y +=，那么33x y +的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
18．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）
A ．16种
B ．14种
C ．12种
D ．10种
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如
22420=-，221242=-，222064=-，因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？
20．已知0a b c ++=，2221a b c ++=
（1）求ab bc ca ++的值；
（2）求444a b c ++的值．
应用探究乐园
21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．
22．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
19乘法公式答案
问题解决
例1 2对()()64x y x y +-=，0x y x y +>->且x y +与x y -的奇偶性相同，得 322x y x y +=??-=?，164x y x y +=??-=?
， 则1715x y =??=?，106x y =??=?
例2B 三等式相加得：()()()2223110a b c -+++-=
3a =，1b =-，1c =
例3（1）原式()()()()()()
248162121212121211=-++++++ ()()()()()22481621212121211=-+++++
32211=-+
322=
（2）设200420003a =，则原式()()222111a a a +=
-++
()2211221a a +==+ （3）原式()()
2245.113.945.145.113.913.945.113.945.113.9
-+?+-+?- ()245.113.9=+
3481=
例4（1）略
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数
（3）设m 、n 为整数，()()()()22
212141m n m n m n +-+=-?++
当m 、n 同奇或同偶，()4m n -是8的倍数，当m 、n 一奇一偶，()41m n ++是8的倍数． 数学冲浪
1．0 2．5
3．1由条件得()210x y +-= 4．7
5．34原式22222222a x a y b x b y =+++
()()22ax by ay bx =++- 6．A
7．B 原式()()()22212a b b c c a ??=-+-+-?
?
8．C
9．B ()()22
20a b a -++=
10．C 形如4k 或21k +的数为“智慧数”
11．（1）167；（2）24690；（3）12
12．设这个自然为x ，由题意得224445n m x x +=?-=????①②②-① 得2289n m -=，即()()891n m n m +-=?
从而891
n m n m +=??-=?，解得4544n m =??=? 故245441981x =-=
13．4016 原式()()()()2
20072005220072005a a a a =---+--???? 14．0 把4a b =+代入240ab c ++=
得()2220b c ++=，2b =-，
0C =，242a =-+=，0a b += 15．略（1）11
（2）161051（3）9；214358881
16．B 由222a b c ab bc ac ++=++， 得()()()222102a b b c a c ??-+-+-=?
?，从而2a b c === 17．C ()()22222xy x y x y =+--=-
1xy =-，()()
33224x y x y x xy y +=+-+=
18．C 提示：()()22009741x y x y +-==?有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009， 因此对应的方程组为：
1,7,41,49,2872009,1,7,41,49,287,20092009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1
x y x y +=-----??-??-=------??? 故(),x y 共有12组不同的表示
19．（1）22284786=?=-，2220124503504502=?=- 故28和2012都是神秘数．
（2）()()()22
222421k k k +-=+，为4的倍数．
（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数，但()()2221218n n n +--=，
故两个连续奇数的平方差不是神秘数
20．（1）()2
222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++， 得12ab bc ca ++=- （2）由12
ab bc ca ++=-， 得()214ab bc ca ++=，即()222222124
a b b c c a abc a b c +++++= 得22222214
a b b c c a ++= 又2221a b c ++=，平方得4442222222221a b c a b b c c a +++++=
故()44422222211121242
a b c a b b c c a ++=-++=-?= 21．（1）()()2
21411n n n +=++
()8|41n n +，故奇数的平方被8除余1
（2）假设2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是2222123102006x x x x ++++=…．（其中1x ，2x ，……，10x 是奇数）
等式左边被8除余2，而2006被8除余6，矛盾．故2006不能表示为10个奇数的平方之和．
22．设228128002=1x m x n -?+=????①②
，m 、n 均为正整数，且m n >，①-② 得()()4240235m n n n +-==??
2m ，2n 都是8的倍数，则m 、n 能被4整除，m n +、m n -均能被4整除， 得604m n m n +=??-=?或2012
m n m n +=??-=? ∴3228m n =??=?或164
m n =??=? 28120904x m =-=，或28120136x m =-=
14．2乘法公式 第1课时平方差公式 教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学重点 平方差公式的推导和应用． 教学难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，把这事和邻居们一讲，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？ 通过本节课的学习，你将能解释这其中的原因！ 二、自主学习，指向目标 自学教材第107页至108页，思考下列问题： 1．根据条件列式： (1)a、b两数的平方差可以表示为________； (2) a、b两数差的平方可以表示为________； 2．平方差公式的推导依据是________________________________________________________________________．3．平方差公式(乘法)的特征是：左边是__________________，右边是__________________． 三、合作探究，达成目标 探究点一探索平方差公式 活动一：1.填写教材P107三个计算结果，
展示点评： (1)二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(二项) (2)观察上列算式的左边的两个二项式，有什么异同？运算出结果后的二项式与等式左边的二项式有什么关系？ (等号的左边是两数的和乘以这两数的差，等号的右边是这两数的平方差．) 2．归纳：两个数的________与这两个数的差的积，等于这两数的________． 用公式表示上述规律为：(a＋b)(a－b) ＝________这就是平方差公式． 3．观察教材图14.2－1，请你用两种方法计算图形中阴影部分的面积，得到什么结果？(a＋b)(a－b)＝a2－b2 4．观察教材P108例1中的两个算式，能否用平方差公式进行计算？若能用，公式中a，b分别代表什么？ 例1运用平方差公式计算 (1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(－x＋2y)(－x－2y)． 思考：确定能否应用平方差公式进行运算的关键是什么？ 展示点评：观察算式：①是不是两个二项式相乘；②是不是两数的和乘以两数的差；③若作为因式的二项式的首项是负号的，可以连同符号一起看作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考．关键就是确定是不是两数的和乘以两数的差． 解答过程见课本P108例1 小组讨论：能运用平方差公式计算的式子有何特征？ 【反思小结】能运用平方差公式进行计算的式子特征：①二项式与二项式的积；②把两个二项式进行对比：有一项相同，另一项互为相反数． 针对训练： 1．计算(2a＋5)(2a－5)等于( A ) A．4a2－25 B．4a2－5 C．2a2－25 D．2a2－5 2．计算(1－m)(－m－1)，结果正确的是( B ) A．m2－2m－1 B．m2－1 C．1－m2 D．m2－2m＋1 探究点二平方差公式的综合应用 活动二：计算： (1)102×98； (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)． 展示点评：(1)例1是数的计算，观察其特征，把两个因数如何变形能够运用平方差公式进行计算？ (2)例2中有整式的简单的混合运算，在进行运算时要注意什么？ 展示点评：第1题可以变为100与2的和乘以100与2的差；第(2)题中多项式的乘法，能运用平方差公式的一定要运用平方差公式进行运算． 解答过程见课本P108例2 小组讨论：平方差公式与整式乘法有什么关系？在运用时应注意什么问题？ 【反思小结】(1)可运用平方差公式运算的式子，也属于我们前面所学的多项式乘以多项式的运算，所以说平方差公式适用于特殊形式的该类运算． (2)有些不能直接用平方差公式的题目可向公式形式转化，写成两数和与两数差乘积的形式，再运用公式． (3)在运用平方差公式运算时，一要注意确定好公式中的“a”项，“b”项；二要注意对两个数整体平方，而不是部分平方．
第五章 相交线与平行线 思维导图 ?????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????作图基本性质定义平移错误的命题假命题—公理，定理—正确的命题真命题—命题—命题与定理角互补、两直线平行，同旁内相等、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同位角性质线平行、同旁内角互补，两直平行、内错角相等，两直线平行、同位角相等，两直线判定，则，推论：若已知直线平行，有且只有一条直线与公理：经过直线外一点平行公理”表示的两条直线平行，用“—在同一平面内不相交—定义平行线同旁内角内错角同位角三线八角所截两条直线被第三条直线垂直对顶角邻补角两条直线相交相交线线行平与线交相)()(321321//////a //)(c a c b b
第六章 实数 思维导图 ???????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????相同法则、运算律与有理数实数的运算性质、运算、倒数与有理数相同实数的相反数、绝对值性质及运算负无理数正无理数 无理数负有理数正有理数有理数分类实数—用定义和计算器求—求法的立方根是负数的立方根是负数正数的立方根是负数性质定义立方根（开立方）—用定义和计算器求—求法的平方根是负数没有平方根它们互为相反数正数的平方根有两个，性质定义平方根双重非负性负数没有算术平方根的算术平方根是的算术平方根是正数性质定义算术平方根平方根（开平方）实数0000000a a
07～08 上学年 八年级数学同步调查测试三 整式的乘除（13.3乘法公式） 一、 选择(3分×8=24分) 1、下列各式中，运算结果为2236y x -的是 （ ） A 、()()x y x y --+-66 B 、()()x y y -+-616 C 、()()x y x y +-+94 D 、()()x y x y ---66 2、若M x y y x ()3942-=-2，那么代数式M 应是 （ ） A 、-+()32x y B 、 -+y x 23 C 、 32x y + D 、 32x y - 3、乘积等于22b a -的式子为 （ ） A 、()()b a b a -- B 、()()b a b a --- C 、()()a b b a --- D 、()()b a b a +-+ 4、下列各式是完全平方式的是 （ ） A 、x xy y 2224++ B 、 251022m mn n ++ C 、 a ab b 22++ D 、 x xy y 22214 -+ 5、下列等式中正确的为 （ ） A 、()2222b ab a b a +--=+- B 、()222 242b ab a b a +-=- C 、222 24121n mn m n m +-=?? ? ??- D 、()()22b a c c b a --=-+ 6、若()2221243by xy x y ax +-=+，则b a ,的值分别为 （ ） A 、2， 9 B 、2， －9 C 、－2 ，9 D 、－4， 9 7、要使等式()()2 2b a M b a +=+-成立，则M 是 （ ） A 、ab 2 B 、ab 4 C 、－ab 4 D 、－ab 2 8、两个个连续奇数的平方差一定是 （ ）A 、 3的倍数 B 、5的倍数 C 、8的倍数 D 、16的倍数
乘法公式 一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 要注意等式的特点： （1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，另一项互为相反数； （2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方． 值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式．平方差公式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速计算的工具． 例１下列各式中不能用平方差公式计算的是（）． A．（a－b）（－a－b）B．（a2－b2）（a2＋b2） C．（a＋b）（－a－b）D．（b2－a2）（－a2－b2） 解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a 是性质符号相反的项，故可使用；Ｂ中a2是相同项，－b2与b2是互为相反数符合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式计算． 例２运用平方差公式计算： （１）（x2－y）（－y－x2）； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3）． 解：（１）（x2－y）（－y－x2）
＝（－y ＋x2）（－y－x2） ＝(－y)2－（x2）2 ＝y2－x4； （２）（a－3）（a2＋9）（a＋3） ＝（a－3）（a＋3）（a2＋9） ＝（a2－32）（a 2＋9） ＝（a2－9）（a2＋9） ＝a4－81 ． 例３计算： （１）54.52－45.52； （２）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1)． 分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；（２）虽然没有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多项式，我们可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能够利用公式．正如前文所述，利用平方差可以简化整式的计算． 解：（１）54.52－45.52 ＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)
人教版七年级数学上册知识点思维导图及总结 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数 .
4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法 叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题. 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。 第二章 整式的加减 一．知识框架
初中数学试卷 灿若寒星整理制作 乘法公式 典题探究 例1. 运用平方差公式计算： （1）()()22-+y y （2）()()2323-+x x ； （3）()()2332-+a a （4）()()m m +-+22 例2. 用完全平方公式计算： （1）()2 2+x ；（2）()2 45y x -；（3）2 199（用简便运算） 例3. 运用乘法公式计算： ()()3232+--+y x y x ； 例4. 运用乘法公式计算： ()2c b a ++ 演练方阵 A 档（巩固专练） 一、填空题 1．直接写出结果： (1)(x ＋2)(x －2)＝_______； (2)(2x ＋5y)(2x －5y)＝______； (3)(x －ab)(x ＋ab)＝_______； (4)(12＋b 2)(b 2 －12)＝______． 2．直接写出结果： (1)(x ＋5)2＝_______；(2)(3m ＋2n)2 ＝_______； (3)(x －3y)2 ＝_______；(4)2 )3 2(b a -＝_______； (5)(－x ＋y)2＝______；(6)(－x －y)2 ＝______． 3．先观察、再计算： (1)(x ＋y)(x －y)＝______； (2)(y ＋x)(x －y)＝______； (3)(y －x)(y ＋x)＝______； (4)(x ＋y)(－y ＋x)＝______； (5)(x －y)(－x －y)＝______； (6)(－x －y)(－x ＋y)＝______． 4．若9x 2＋4y 2＝(3x ＋2y)2 ＋M ，则M ＝______． 二、选择题 1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )．
第 1 页 共 16 页 乘法公式 概念总汇 1、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a +b ）（a -b ）=a 2 -b 2 说明： （1）几何解释平方差公式 如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。 第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2； 第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ） 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。 所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。 （2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式 完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即 （a +b ）2 =a 2 +2ab +b 2 ，（a -b ）2 =a 2 -2ab +b 2 这两个公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明： （1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的
第 2 页 共 16 页 长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以 它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a -b ）2 第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ?=2-- 其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a -b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()2 2 2 2 22b ab a b b a b a +-=?-?-- 结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：()222 2b ab a b a +-=- （3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a +b ）2=a 2+b 2，（a -b ）2=a 2-b 2 。要注意符号的处理，不同的处理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的变形的运用。完全平方公式的a 和b ，可以表示任意的数或代数式，因此公式的使用就不必限于两个二项式相乘，而可以扩大到两个多项式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能运用公式，完全平方公式有着广泛的应用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的综合应用 方法引导 1、乘法公式的基本计算 例1 利用平方差公式计算： （1）（3x ＋5y ）（3x －5y ）； （2）（0.5b ＋a ）（-0.5b ＋a ） （3）（-m ＋n ）（-m －n ） 难度等级：A
14.2乘法公式同步测试 一、单选题 1. 下列各式中，运算正确的是（） A.（a3）2=a5 B.（a﹣b）2=a2﹣b2 C.a6÷a2=a4 D.a2+a2=2a4 2. 下列运算正确的是（） A.（﹣ab2）3÷（ab2）2=﹣ab2 B.3a+2a=5a2 C.（2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 D.（2a+b）2=4a2+b2 3. 下列计算正确的是（） A.a2+a2=a4 B.a2?a3=a6 C.（﹣a2）2=a4 D.（a+1）2=a2+1 4. 若a2﹣b2=1 8 ，a+b= 1 4 ，则a﹣b的值为（） A.﹣1 2 B. 1 2 C.1 D.2 5. 若x2﹣xy+2=0，y2﹣xy﹣4=0，则x﹣y的值是（） A.﹣2 B.2 C.±2 D.2 6. 若x2＋2(m-3)x＋16是完全平方式，则m的值等于（） A.3 B.-5 C.7 D.7或-1 7. 如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )
A.2m＋3 B.2m＋6 C.m＋3 D.m＋6 8. 若x n-1=(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1),则n等于( ) A.16 B.4 C.6 D.8 9. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）. A.（a+b）2=a2+2ab+b2 B.（a-b）2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=（a+b）（a-b） D.（a+b）（a-2b）=a2-ab-2b2 10. 若a+b=3，ab=2，则a2+b2的值是（） A.2.5 B.5 C.10 D.15 二、填空题 11. 已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2=_________． 12. 若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是________． 13. 计算：2008×2010﹣20092=____________． 14. 已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（a﹣2018）=____________.
高斯()17771855-，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”之称，高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有开创性贡献，他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法 19．乘法公式 解读课标 多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美． 乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意： 1．理解公式，掌握公式的结构特征； 2．了解公式的变形与发展； 3．灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式； 4．把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想． 问题解决 例1如果正整数x ，y 满足方程2264x y -=，则这样的正整数对(),x y 的个数是______． 试一试()()22a b a b a b -=+-，a b +以a b -的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础． 例2已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-则a b c ++的值等于（ ） A ．9 B ．3 C ．4 D ．5 试一试 由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑． 例3计算 （1）()()()()() 2481621212121211++++++ （2）222 2004200312004200220042004++ （3）33 45.113.945.113.931.2 -+? 试一试对于（1），通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征； 对于（2），用字母表示数，将数值计算转化为式的计算． 例4老师在黑板上写出三个算式225382-=?，229784-=?，22153827-=?，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=?，22157822-=?…… （1）请你再写出两具有上述规律的版式； （2）用文字写出上述算式反映的规律； （3）证明这个规律的正确性． 试一试 由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明． 例5（1）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值． （2）222651=+，225372=+，26531378?=，221378373=+
第7讲乘法公式 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习乘法公式。乘法公式是很好的解题工具，初中阶段我们学习平方差公式、完全平方公式，灵活运用乘法公式能解答许多问题，乘法公式同时也是中考考查的重点，对今后数学的影响也很大，因此本节课要好好学习并掌握。 知识梳理 讲解用时：20分钟 整式的乘法 一、单项式乘单项式： 单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 例如：3a·4b=12ab 二、单项式乘多项式： 单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多 项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：m（a+b+c）=ma+mb+mc 三、多项式乘多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd
1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加 (m,n 都是整数) 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘 (m,n 都是整数 ) 3、积的乘方：积中每个因式分别乘方 ()n n n ab a b =?(n 是整数) 4、同底数幂的除法：底数不变，指数相减 m n m n a a a -÷=（m 、n 都是整数且a≠0） 引申：01a = 1n n a a -=(n 是正整数) 一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数. n m n m a a a +=?mn n m a a =)(
2018年初中教师“大练兵、大比武”学科教学技能竞赛 《乘法公式》教学设计 教学目标 1．经历探索完全平方公式的变形过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．在灵活应用公式的过程中激发学生的学习兴趣，培养探究精神。 重点：灵活运用完全平方公式解题。 难点：完全平方公式的变形拓展。 教学过程 一、复习乘法公式中的完全平方公式 完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a ?b)2=a 2?2ab+b 2 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． 口诀：首平方，加上尾平方，2倍乘积在中央，符号看前方。 符号表示：（ +?）2= 2+2 ?+2?（建模思想，多题归一思想） 注：其中的 、?可以代表单独的一个数或字母或一个单项式或多项式。 二、完全平方公式的变形 ① (a+b)2=a 2+2ab+b 2 ② a 2+b 2=(a+b)2?2ab ③ (a ?b)2=a 2?2ab+b 2 ④ a 2+b 2=(a ?b)2+2ab ⑤ (a+b)2=(a ?b)2+4ab ⑥ 2 )(2 22b a b a ab --+= ⑦ 2 )(2 22b a b a ab --+=
⑧ 4 )()(2 2b a b a ab --+= 在完全平方公式的多种变形中，a+b ，a ?b ，ab ，a 2+b 2四者中，知二求二。 三、灵活应用完全平方公式求代数式的值 1.已知x －y ＝6，x y ＝－8. (1)求x 2＋y 2的值；(2)求（x ＋y ）2的值 2.已知,21=+x x 求221x x +的值 3.应用完全平方公式解题 (1)982 (2)20162－2016×4030＋20152. 四、终极挑战 1. 已知0136422=+++-b b a a ，求a-b 的值. 2. 已知三角形的三边满足022*******=---++bc ac ab c b a ，判断此三角形的形状？ 思考：无论x 、y 为何值时，多项式 106222++-+y x y x 值恒为非负数. 五、课堂小结 本节课我们学习了灵活运用完全平方公式解题，体会到数学中的建模思想，多题归一思想，构造的数学思想。 六、作业 ① 已知,21=+x x 求441x x +的值 ② 若022222=++-+b a b a ，求20182017b a +的值 板书设计 一、复习.完全平方公式 二、灵活应用公式解题 三、数学思想：建模思想，多题归一思想，构造思想
1 有理数 知识导航 1. 正数与负数。 正数：像3、1、+0.33、27%等数叫做正数。正数都大于0。 负数：正数前面加上“－”（读做负）的数，叫负数。负数都小于0。 0即不是正数也不是负数。 用正负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它相反意义，反之亦然。相反意义的量包括两个方面的含义，一是相反意义；一是相反意义基础上要有量。 2. 有理数。 有理数：整数和分数统称有理数。 1. 正数与负数。 2. 有理数。 3. 数轴。 4. 相反数。 5. 绝对值。 6. 倒数，负倒数。
注：（1）正数和零统称非负数（2）负数和零统称非正数（3）正整数和零统称非负数（4）负整数和零统称非正整数 3. 数轴。 数轴：规定原点正方向和单位长度的直线。 有理数与数轴上点的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，在数轴上，右边的点所对应的数总比在左边的点对应的数大。 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 注意数轴上的点不都代表有理数，如： 4. 相反数。 相反数：只有符号不同的两个数互称相反数。特别的，0的相反数为0。 5. 绝对值。 数轴上表示与原点的距离叫数的绝对值,记作 6. 倒数，负倒数。 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。，互为倒数，则，反之则亦然。 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数，互为倒数的两个数乘积一定是1，0没有倒数。 负倒数：乘积为－1的两个数互为负倒数，，互为倒数，则，，反之则亦然。
2 有理数的运算 知识导航 1. 有理数的加法。 有理数的加法法则。 有理数的加法运算步骤：1、确定符号 2、求和的绝对值 运算技巧： 1、分数与小数均有时，应化为统一形式； 2、带分数可分为整数与分数两部分参与运算； 3、多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零； 4、若有可以凑整的数，即相加得整数，可先结合相合相加； 1. 有理数的加法。 2. 有理数乘法。 3. 有理数除法。 4. 有理数的乘方。 5. 有理数混合运算。
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 【高清课堂396590 乘法公式 知识要点】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+
八年级平方差公式和完全平方公式练习题 1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的，即(a+b)(a-b)= ，这个公式叫做公式. 2.用平方差公式计算 (1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab) 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a-b)(a+b)=a2-b2；（） (2)(b+a)(a-b)=a2-b2；（） (3)(b+a)(-b+a)=a2-b2；（） (4)(b-a)(a+b)=a2-b2；（） (5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （） 4.用多项式乘多项式法则计算： 解：(1) (a+b)2解(2) (a-b)2 =(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b) = = = = 5.运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4) (x-y)2
（1）(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) （2）（3）(2x－1) (2x + 1)－2(x－2) (x + 2) 巩固习题 1.填空： (1)平方差公式(a+b)(a-b)= ； (2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= . 2.运用公式计算： (1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y) (3) (m-3)(m+3) (4) (x+6y)2 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a+b)2=a2+b2；（） (2)(a-b)2=a2-b2；（） (3)(a+b)2=(-a-b)2；（） (4)(a-b)2=(b-a)2. （） 4.去括号： (1)(a+b)-c= (2)-(a-b)+c= (3)a+(b-c)= (4)a-(b+c)=
图１ 图２ 整式乘法中的数学思想 数学思想方法是数学问题的灵魂，求解决数学问题的金钥匙，整式的乘法运算也不例外. 整式的乘法运算运算中常见的数学思想方法有以下几种： 一、转化思想 在整式运算中，多项式乘法是化归为多项式乘以单项式来完成的，多项式乘以单项式又化归为单项式乘以单项式来完成的，而单项式乘以单项式又化归为同底数幂的运算来完成的. 例1 化简：(3x +2)(x －1)+3(x －1)(x +1). 评注： 本题在运用化归思想运算的过程中省略了一些步骤，不过一定要注意避免因为“－”号可能给化简带来的错误. 二、整体思想 例2 以知3a+2b=2，ab=5，求 32 a b [（3a+2b ）2+a 2b 2]的值． 三、数形结合思想 例3、如下图1，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图1的阴影部分拼成了一个长方形，如图2．这一过程用下式表示正确的是( ) A 、a 2+b 2-2ab =(a -b )2 B 、a 2+b 2+2ab =(a +b )2 C 、2a 2-3ab +b 2=(2a -b )(a -b ) D 、a 2-b 2=(a +b ) (a -b ) 四、分类讨论思想 例4、在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是----． 分析：对于任意两个一次二项式相乘，最多可以有四项，如（a+b ）（c+d ）；还可以是三项，如（x+1）（x+3）；还可以是两项，如（x-2）（x+2）． 乘法公式中的数学思想 思想方法是数学的灵魂，而乘法公式是初中数学当中的最常用公式之一，应用非常的广泛，因此，我们必须彻底弄清公式的本质特征．下面，给同学们总结一下运用乘法公式解决问题的思想方法． 一、整体的思想 研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或做整体处理后，达到顺利而又简捷
整式的乘法 一、单项式乘以多项式 例1：（-2a2）·（3ab2-5ab3） 对应练习：1、计算 （1）2(a+b-c) （2）(-2a)(2a+1) (3) 2m(3m2n-8n)+2（mn+1) 2、要使（2x2+ax+1）（-3x2）展开式中不含x3项，求a的值是多少？ 3、化简求值：3xy(xy-xy2+x2y)- xy2(2x2-3xy+2x),其中x=2 , y=3. 4、达标检测 1、计算：(1)2xy(xy-x+y) (2) (-2a) (2a2b+3a2-b2) (3) 2、解方程：-2(1-2x)-10=1+10(-2x+5) 二、多项式与多项式相乘 1.例题：(3x－1)(4x＋5)＝__________．(－4x－y)(－5x＋2y)＝__________．对应练习 1.若(x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab，则k的值为() A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 2.计算(2x－3y)(4x2＋6xy＋9y2)的正确结果是()
A．(2x－3y)2B．(2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 3.(x2－px＋3)(x－q)的乘积中不含x2项，则() A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定 4.若0＜x＜1，那么代数式(1－x)(2＋x)的值是() A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定5.方程(x＋4)(x－5)＝x2－20的解是() A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝40 6.若2x2＋5x＋1＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，那么a，b，c应为() A．a＝2，b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1 C．a＝2，b＝1，c＝－2 D．a＝2，b＝－1，c＝2 7.若6x2－19x＋15＝(ax＋b)(cx＋b)，则ac＋bd等于() A．36 B．15 C．19 D．21 8.(x＋1)(x－1)与(x4＋x2＋1)的积是() A．x6＋1 B．x6＋2x3＋1 C．x6－1 D．x6－2x3＋1 9.(x＋3)(x＋4)－(x－1)(x－2)＝__________． 10.(y－1)(y－2)(y－3)＝__________． 11.(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4的系数是__________． 12.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________． 13.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________． 14.当k＝__________时，多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项． 15.若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝_______，b＝_______． 16.如果三角形的底边为(3a＋2b)，高为(9a2－6ab＋4b2)，则面积＝__________． 17、计算下列各式 (1)(2x＋3y)(3x－2y) (2)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1) (3)(3x2＋2x＋1)(2x2＋3x－1) (4)(3x＋2y)(2x＋3y)－(x－3y)(3x＋4y)
整式乘法及乘法公式 【知识点】：1、平方差公式及其导出：平方差公式是指(a +b)(a -b)=a 2-b 2. 这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差. 2、完全平方公式及其推导：一般地，我们有： (a +b)2= a 2+2a b+b 2,(a -b)2=a 2-2a b+b 2. 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 【例题解析】： 例题：1、运用平方差公式计算. (1)(3x+2)(3x-2)； (2)(b+2a )(2a -b)； (3)(-x+2y)(-x-2y). 练习：（1） )2)(2(x y y x +--- （2）)25)(52(x x -+ （3） )25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x （4） 22)6()6(--+x x 2、运用完全平方公式计算. (1)(4m+n)2； (2)(y- 21)2. （3）)3)(3(b a b a --+ 3、如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？ 练习：（1） 2)4(y x - （2） 222)43(c ab b a - （3） -x 5( ）2= 4 210y xy +- （4)如果81362++x kx 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？ 4、 运用乘法公式计算. (1)102×98； (2)1022； (3) 99×101×10001 (4)992
5、运用乘法公式计算. (1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a +b+c)2； (3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 6、 计算. (1)(b-2)(b 2+4)(b+2)； (2)(2a -b)(2a +b)-(3a -2b)(3a +2b). 练习：1、 计算. (1)(21-x)(41+x 2)(x+2 1)； (2)(x+3)2-(x+2)(x-2). （3）（a+2b+2c ）（a+2b-2c ） （4）（a-b ）（a+b ）（a 2+b 2） (5)2)2(c b a +- (6) 22)()(c b a c b a ---++ 2、求证：22)7()5(--+m m 一定是24的倍数 7、 解方程 2(x-2)+x 2=(x+1)(x-1)+x 8、 解不等式x(x-3)＞(x+7)(x-7). 9、（1） 计算19982-1997×1999. （2）(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1). 练习：计算：（1） 20022004200320032?- (2)3·(22+1)(24+1)…(232+1)+1； (3)1002-992+982-972+962-952+…+22-12； (4)(1- 221)(1-231)(1-241)…(1-291)(1-2101).
乘法公式练习题 1.(2004·青海)下列各式中，相等关系一定成立的是( ) A.(x-y)2=(y-x)2 B.(x+6)(x-6)=x2-6 C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6) 2.(2003·泰州)下列运算正确的是( ) A.x2+x2=2x4 B.a2·a3= a5 C.(-2x2)4=16x6 D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2 3.(2003·河南)下列计算正确的是( ) A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3 C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2 4.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( ) A.x4+16 B.-x4-16 C.x4-16 D.16-x4 5.19922-1991×1993的计算结果是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( ) A.4 B.3 C.5 D.2 7.( )(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x2-9，(-2a2-5b)( )=4a4-25b2 8.99×101=( )( )= . 9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z2-( )2. 10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= . 11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]( )， a2+b2=(a+b)2+ ，a2+b2=(a-b)2+ . 12.计算. (1)(a+b)2-(a-b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2； (3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2； (4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655； (5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2. 13.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值