思维特训(二十一)角的运动问题
方法点津·
角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．
解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．
典题精练·
类型一角的折叠
1．(1)如图21－S－1①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，求∠AOB的度数；
(2)如图②，∠MON＝20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON 外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第________次操作的第________步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．
图21－S－1
类型二射线的旋转
2．如图21－S－2，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．
(1)当OC旋转10秒时，∠COD＝________°；
(2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间；
(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．
图21－S－2
3．如图21－S－3，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE.
(1)求∠COD的度数；
(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是____________；
(3)若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE＝42°？
图21－S－3
类型三角的旋转
4．如图21－S－4①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC.
(1)求∠MON的度数；
(2)如图②，若∠AOC＝15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒，此时
∠AOM＝7
11∠BON，如图③所示，求x的值．
图21－S－4类型四三角尺的旋转
5．将一副三角尺如图21－S－5①所示摆放在直线AD上(三角尺OBC和三角尺MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°)，保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．
(1)当t＝________时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC－∠AOM＝________；
(2)继续旋转三角尺MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)若在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．
①当t＝________时，OM平分∠AOC?
②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．
图21－S－5
6．O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一块三角尺的直角顶点放在点O处．
(1)如图21－S－6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；
(2)如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
(3)将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB 的度数．
图21－S－6
详解详析
1．解：(1)因为将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，
所以∠AOB＝2∠COE＋2∠COF＝2(∠EOC＋∠COF)＝50°.
(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC＝x°，
则16×20°＋16x°＝360°，解得x＝2.5，
所以∠MOC＝2.5°.
2．解：(1)因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，
所以当OC旋转10秒时，∠COD＝90°－4°×10－1°×10＝40°，故答案为：40.
(2)设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°.
如图①，则4t＋t＝90－30，解得t＝12；
如图②，则4t＋t＝90＋30，解得t＝24.
综上所述，旋转的时间是12秒或24秒．
(3)如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，
则4m－90＝m，解得m＝30，
故旋转的时间是30秒．
3．解：(1)因为∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，
所以∠EOB＝∠AOE－∠AOB＝80°.
又因为OB 平分∠AOC ，OD 平分∠AOE ，
所以∠AOC ＝2∠AOB ＝40°，
∠AOD ＝12
∠AOE ＝50°， 所以∠COD ＝∠AOD －∠AOC ＝50°－40°＝10°.
(2)由(1)知∠AOD ＝50°，
所以射线OD 的方向角为北偏东40°.
(3)设经过x 秒，∠AOE ＝42°，则
3x －5x ＋100＝42或5x －(3x ＋100)＝42，
解得x ＝29或x ＝71.
即经过29秒或71秒，∠AOE ＝42°.
4．解：(1)因为∠AOB ＝150°，∠COD ＝30°，OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ，
所以∠MON ＝∠MOD ＋∠NOC －∠COD ＝12
(∠AOD ＋∠BOC)－∠COD ＝ 12
(∠AOB ＋∠COD)－∠COD ＝60°. (2)由题意，得∠BOD ＝105°－10x°，∠AOC ＝15°＋10x°，
所以∠BOC ＝135°－10x°，∠AOD ＝45°＋10x°.
又因为∠AOM ＝711
∠BON ，且OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ， 所以∠AOD ＝711
∠BOC ， 即45°＋10x°＝711
(135°－10x°)，解得x ＝2.5. 5．解：(1)因为∠AOC ＝45°，OM 平分∠AOC ，
所以∠AOM ＝12
∠AOC ＝22.5°， 所以t ＝2.25.
因为∠MON ＝90°，∠MOC ＝22.5°，
