循环小数练习题答案
1、填空。
（1）一个小数，从小数部分的某一位起，（ 一个数字 ）或（ 几个数字 ）依次不断地（ 重复 ）出现，这样的小数叫做（ 循环小数 ）。
（2）在3.8288888，5.6?，0.35，0.00?2?，2.75，3.2727……中，，是有限小数的是（ 3.8288888；
0.35；2.75），是循环小数的数（ 5.6?； 0.00?2?；3.2727…… ）。
（3）8.375375……可以写作（ 8.3?75? ）。
（4）4.9?0?保留两位小数是（ 4.91 ），精确到十分位是（ 4.9 ）。
（5）在4.2?、4.23、4.2?3?、4.32中最大的数是（ 4.32 ），最小的数是（ 4.2? ）。
2、写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数）
0.3333……≈ 0.333 13.67373……≈ 13.674
8.534534……≈ 8.535 4.888……≈ 4.889
3、判断（对的在括号内画“√”错的画“×”）
（1）1.4545……（保留一位小数）≈1.4 （ × ）
（2）2.453453…的循环节是435。 （ × ）
（3）循环小数都是无限小
数。 （ √ ）
（4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。 （ √ ）
4、用竖式计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商
13÷11= 1.1
?8? 57÷32= 1.78125 11.625÷9.3= 1.25 30.1÷33= 0.91?2?
智能升级：
1、你会比较这些小数的大小吗？试试看！
0.66 ＜ 0.6? 8.2
?5? ＞ 8.25 5.414 ＞ 5.41?
3.888 ＞ 3.08? 7.282? ＜ 7.2?8? 0.
9? ＞ 0.9999
2、用简便记法表示下列循环小数
3.2525……（ 3.2?5? ） 17.0651651……（ 17.06?51? ）
1.066…… （ 1.06? ） 0.333…… （ 0.
3? ）
3、选择题。（把正确的答案的序号填入括号内）
（1）2.235235……的循环节是（ ③ ）
①2.235 ②2.35 ③235 ④235
（2）下面各数中，最大的一个数是（ ④ ）
①3.8?1? ②3.81? ③3.81 ④3.8?
（3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（ ③ ）位
①二位 ②三位 ③四位 ④五位
4、应用题
五年级三个班的同学们参加植树活动，共植树220棵树，一班植的棵数是二班的2倍，二班比三班多值20棵。三个班各植多少棵树？
二班：﹙220＋20﹚÷﹙2＋1＋1﹚＝60﹙棵﹚
一班：60×2＝120﹙棵﹚
三班：60－20＝40﹙棵﹚
智力：
两个数的和是11.63，小强由于粗心，在计算时将一个加数的小数点向左移动了一位，结果和是5.87，原来的两个加数各是多少？
﹙11.63－5.87﹚÷﹙10－1﹚＝0.64
﹙一个加数的小数点向左移动了一位，说明这个加数缩小了10倍，转变成了差倍问题，变动前与变动后的差是﹙11.63－5.87﹚，倍数是10﹚
0.64×10＝6.4
11.63－6.4＝5.23
答：一个加数是6.4，还有一个加数是5.23。
循环小数 1、在下面的○里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.2÷2○1 1.256÷1.3○1 3.57÷4○1 24.6÷1.4○24.6 1.03÷0.98○1.03 3.2÷4.8○3.2 5.04÷0.95○5.04 2.7÷0.16○2.7 4.05÷1○4.05 2、下面哪些是循环小数，请在后面的（）里打“√”。 3.545454…（） 2.66667…（） 2.713713（）3.1415926…（）0.3030303（） 2.1458458（） 2、在下面三个数中，较大的数是（）。A. 0.858 B. 0.855…… C. 0.855 3、甲×0.925=乙÷0.925 （甲乙不等于0），那么（）。 A. 甲= 乙 B. 甲> 乙 C. 甲< 乙 4.观察下列各数后填空 0.02 3.3434…… 6.1415926…… 6.33333…… ( )是循环小数；( )是有限小数；( )既不是循环小数也不是有限小数。 5.用循环节表示下面的循环小数 0.26666…写作( )；3.121212…写作( )。 6..将下列用循环节表示的小数改写成不用循环节表示的循环小数 2.4·5·=( ) 3.1·56·=( ) 3.3·=( ) 保留一位小数保留两位小数保留三位小数 0.09435 0.53645 6.1259 7小数分为有限小数、无限小数和循环小数。（） 无限小数一定比有限小数大。（） 8.在○里填上“＞”“＜”或“＝”. 12.01÷1.02○12.01 0.36÷0.36○0.36 5.48÷0.8○5.48 10.8÷5.4○10.8 9.72÷0.08○9.72 0.99÷1.1○0.99 0.45○0.45 0.6○0.66… 1.2727○1.272 12.232○11.98
有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学初一二班初一二班初一二班初一二班王旭王旭王旭王旭目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区：：：：在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中，，，，只学过只学过只学过只学过0.aaa0.aaa0.aaa0.aaa……………………＝＝＝＝a/9a/9a/9a/9，，，，并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念。。。。主要内容主要内容主要内容主要内容：：：：一个数的小数部分一个数的小数部分一个数的小数部分一个数的小数部分，，，，如果从某一位起如果从某一位起如果从某一位起如果从某一位起，，，，一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不断地重复出现断地重复出现断地重复出现断地重复出现，，，，这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数。。。。循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有：：：： 1.1.1.1.纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数。。。。分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数；；；；分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都是是是是9999，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同。。。。 2.2.2.2.混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数。。。。分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的数的差数的差数的差数的差；；；；分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是9999，，，，末几位数字是末几位数字是末几位数字是末几位数字是0000，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同，，，，0000的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数相同相同相同相同。。。。 例例例例 1 1 1 1 把把把把0.47470.47470.47470.4747……………………和和和和0.330.330.330.33……………………化成分数化成分数化成分数化成分数。。。。解法解法解法解法1111：：：：0.47470.47470.47470.4747……×……×……×……×100=47.4747100=47.4747100=47.4747100=47.4747…………………… 0.47470.47470.47470.4747……×……×……×……×100100100100－－－－0.47470.47470.47470.4747……………………=47.4747=47.4747=47.4747=47.4747……………………－－－－0.47470.47470.47470.4747……………………(10(10(10(100000－－－－1)1)1)1)××××0.47470.47470.47470.4747……………………=47=47=47=47 即即即即99999999××××0.47470.47470.47470.4747……………………=47 =47 =47 =47 那么那么那么那么0.47470.47470.47470.4747……………………=47/99 =47/99 =47/99 =47/99 解法解法解法解法2222：：：：0.330.330.330.33……×……×……×……×10101010＝＝＝＝3.333.333.333.33…………………… 0.330.330.330.33……×……×……×……×10101010－－－－
循环小数、有限小数、无限小数教学内容： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级上册40—44页 教学目标： 1．创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 3．通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。 4．培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。 教学重难点： 重点：理解循环小数、无限小数、有限小数的意义 难点：使学生学会除不尽时能用循环小数表示商。 教学准备：多媒体课件、实物投影台 教学过程： 一、创设情境，激趣导入 谈话：同学们，上节课，我们解决了“三峡大坝的高度约是八盘峡坝的多少倍？”这个问题，已经用计算器得出结果：185÷33=5.606060……（教师板书）那么这节课咱们就来继续研究大坝的问题。（课件出示情境图） 现在请看本节课的学习目标 1.理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 目标明确了，让自学指导来帮助我们学习。 认真看课本第40页的内容，重点看红点问题的计算过程。思考： 1.仔细观察185÷75,你发现了什么？ 2.这道题的余数有什么特别的地方吗？商有什么特点？ 3.试着竖式计算8.05÷3.7观察结果有什么特点？ （5分钟后看谁能将上述问题讲解清楚）
二、自主探索，获取新知 （一）根据算式得出循环小数的概念 1．解决问题发现规律 教师谈话导入：三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？ 学生口答算式：185÷75 让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，后面还有很多位。）小组交流一下你的答案。 学生汇报：185÷75=2.4666……（板书） 生：这道题的余数不断重复，商都是一样的。 师：真棒，观察的很仔细。 现在我们再来做一道题，看看你有什么发现？ 自主计算：8.05÷3.7 生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756……（板书） 2．小组讨论汇报交流 整理出示：185÷33=5.606060…… 185÷75=2.4666…… 8.05÷3.7=2.1756756…… 根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法。） 学生汇报： （1）怎么除都除不尽 （2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：5.606060……（数字6、0依次循环出现）2.4666…… （数字6依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756……（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。 师生小结：都有数字依次不断地重复出现。 （3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：5.606060……（从小数的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数的开始依次重复的）8.05÷3.7=2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333……
课题：第三单元：小数除法—循环小数 雷霆五年级教学内容：教材P33～34例7、例8及练习八第4、5、6、7、9题。 教学目标： 知识与技能：理解“有限小数”和“无限小数”的意义。 过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。 情感、态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高其观察、分析、比较、判断、抽象的概括能力。 教学重点：通过笔算发现循环小数的规律，掌握循环小数的意义。 教学难点：能正确判断循环节数字，学会用简便记法表示循环小数。 教学方法：计算、观察、分析、比较、讨论。 教学准备：多媒体。 教学过程 一、创设情境 1．开课前教师先了解今天班上有没有过生日，如果没有就私下找位同学配合，为这位同学送祝福，齐唱生日歌，由此提出问题： 问：生日歌有几句歌词？为什么一句歌词可以唱这么久？（一句，因为它不断地重复。）问：生活中像歌词这样的重复现象还有哪些？（出示图片：四季，白昼，日历） 这种“依次不断重复”的情况我们可以称它为“循环”。（板书：循环） 2．初步感知循环小数。 出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。学生列式：400÷75。 让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现。 通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”；商的小数部分连续地重复出现“3”。 3．引出课题。像这样继续除下去，能除完吗？（可能永远也除不完。） 揭题：那怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点？这节课我们来研究这个问题，也是我们要认识的“新朋友”——循环小数。
循环小数有限小数无限小数 教学内容：青岛版小学数学五年级上册第33页信息窗3第2课时 教学目标: 1.通过对教材中相关计算结果的分析，初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。 2、通过对循环小数、有限小数、无限小数概念的认知分析，理清三者之间的关系，能正确解决相关概念问题。 3. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力，提高学生解决简单实际问题的能力。 4.在自主探索、合作交流及解决问题的过程中，逐步渗透和培养数学的极限思想。 教学重难点： 教学重点：理解循环小数，有限小数和无限小数的意义，会用循环小数表示除法的商。 教学难点：理清循环小数、有限小数、无限小数三间的关系。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器 一、创设情境，提出问题 课件出示教材情境图
上一节课我们大家共同解决了三峡旅游中两个“驴友”其中一人买腊肉的问题，今天我们再来解决另一个人买茶叶的问题。 小组内完成以下内容： ①学生自行阅读情境图中的对话内容。 ②找到相关数学信息。 ③尝试提出与除法有关的问题。 全班交流提出的数学问题，师选择板书 二、自主学习，小组探究。 出示本节课所要解决的主要问题 1.独立列算式并尝试计算：350÷6。 2.思考：计算过程中你遇到了什么困难？余数和商有什么特点？ 3.小组讨论：把你遇到的困难和发现，在小组内相互说一说，看其他同学跟你的一样吗？教师巡视、指导，收集小组交流素材。（给学生留有足够的时间，自主发现、探究） 学生出现疑问：这个商怎么也算不完，结果如何书写，这时候教师不急于解答，小组交流一下你的答案。 4.引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：计算（可以使用计算器） 63÷22= 8.05÷3.7= 三、汇报交流、评价质疑 1.小组汇报交流 展示学生的计算及结果的书写，选择板书 板书出示：350÷6=58.333…（元） 63÷22==2.8636363… 8.05÷3.7=2.1756756… 2.根据这三个算式的计算结果你能发现什么？结果的小数和以前的小数有什么不同？ 预设学生回答： （1）如果除下去，怎么除都除不尽，永远也除不完。（点拨：永远除不完，
循环小数 的，这叫有限小数；二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商中某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。 【循环小数】 （一）循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重 复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：3.2222……这个小数可以记作 ? 2 3. 5.3272727……这个小数可以记作 ? ? 7 2 5.3 （二）区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。【循环节】 （1）循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 如：3.33333……的循环节是“3” 5.28282828……的循环节是“28” 10.051301730173017……的循环节是“3017” （2）循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 （3）纯循环小数和混循环小数的意义 ①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 ②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 【小数的比较】 比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数相同时，比较百分位…… 如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。 我们在做循环小数的比较大小的时候，把循环小数的简便写法改写成一般写法的形式，这 样更便于比较。例如：比较 ? ? ? ? ? 8 3.0 3088 .0 8 3.0 3083 .0 8 0.30 0.308， ， ， ， ， ? ? ? ? 3 2 3.1 2 3.1 3232 .， ，四个数按照 从大到小的顺序排列起来。 练习：在下面式子的数中合适的位置上点上 循环点，使式子成立。 （1）0.894>0.8943 （2）8.045<8.045 （3）3.88……=3.8 （4）5.47>5.475 例2 、在混循环小数 ? 1 2.71828的某一位上再 添一个表示循环的圆点，使新得到的循环小数 尽可能大，请写出新的循环小数。 例3、在循环小数 ? ? 1 02 3 0.中，小数点右面第 1997位上的数字是几？ 练习： 1、在循环小数 ? ? 7 99 1 0.302中，小数点右面第 1997位上的数字是几？ 2、循环小数 ? ? 4 205 0.37的小数点右面第100 位上的数字是几？
证明分数一定是小数或无限循环小数 优质解答 任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小 数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循 环小数呢?我们先看下面的分数. （1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化 因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位. （2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5. （3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质 因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位. 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于 分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循 环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数. 例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部 分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位? 上述分数都是最简分数,并且 32=2*2*2*2*2,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13, 117=33×13,850=2×52×17,
根据上面的结论,得到： 不循环部分有两位. 将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法. 1.将纯循环小数化成分数. 将上两式相减,得将上两式相减,得 从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法. 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同. 2.将混循环小数化成分数. 将上两式相减,得 将上两式相减,得 从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法. 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同. 数只分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数 所以只需证明分数不可能是无限不循环小数 因为分数就是分子除以分母（分子和分母都是自然数）,按照除法规则,总会除到余数小于分子的时候 而这样的余数的个数一定有限（因为一定小于分子）
循环小数 1、使学生初步理解循环小数、有限小数、无限小数，理解循环节，学会循环小数的简便写法。 2、使学生经历观察和比较循环小数特点的过程，提升他们的分析概括水平和自主学习水平。教学重点：初步理解循环小数、有限小数、无限小数。 教学过程 一、创设情境，导入新课 1、理解依次重复出现的意义。 （1）出示月历表。月历表中的星期几是按照怎样的规律排列的？（星期一后是星期二，直到星期天，再回到星期一，继续重复）这种情况我们能够称它为“依次持续重复”，或者说是“循环”。 （2）观察月历，理解依次重复和循环的含义。 2、导入：生活中有这些重复现象，数学计算中也会遇到一些重复现象，这节课我们大家就一起探讨吧。 二、小组合作，探索新知 1、教学例8。 （1）用多媒体课件出示例8的情景图，引导学生观察并说出图意。 师：请看屏幕，它都提供了哪些数学信息？ （2）学生独立列出算式：400÷75。 （让学生试着计算，看他们有什么发现。） （3）前面我们发现有些除法总是除不尽，这节课我们就来研究除不尽时商有没有规律，有什么规律？ （4）全班交流。 问：在计算过程中是否遇到什么问题？ （它的商有除不尽的现象。） （5）如果继续除下去会是什么情况？（余数的数字和商的数字还会持续重复出现） 2、出示例9两题：28÷18 78.6÷11 男生做第一题，女生做第二题。（体验余数的数字和商的数字持续重复出现的情况。） 3、讨论：怎样表示这个除不尽的商呢？讨论除不尽的现象。 4、你知道这样的小数叫什么小数吗？ 循环小数有什么特点呢？在循环小数里，依次持续重复出现的数字叫什么呢？怎样表示循环小数呢？看教材P28第一小节，将概念性的名词做上记号。 5、看教材理解。 三、理解循环节、有限小数和无限小数 1、看教材。 反馈看教材的情况。 （1）举例说明循环小数中的循环节。 （2）怎样简便表示循环小数？ （3）什么是有限小数？什么是无限小数？请举例说明。循环小数属于哪一种？ 2、练习反馈。 （1）下面几个数中，是循环小数的有（），请用简便方法表示出来。 4.2 0.6666… 2.7467467… 3.08787… 5.47676 3.1415926… 5.7676… （2）你还能给它们分一分类吗？
循环小数》说课设计 广州开发区第一小学江楠 一、对教材的认识 我今天说课的内容是《循环小数》。《循环小数》是人教版新课标教材第九册第二单元的教学内容。从知识角度来看，“循环小数”是数概念的一次重要扩展，即从“有限”扩展到“无限”，是学生对数的认识的一个飞跃。教材是这样安排的，通过创设一个学生熟悉的赛跑情境，让学生计算冠军的速度，引出“循环小数”，旨在让学生感受到数学就在身边，理解数学产生的现实背景意义。但教材举例单一，不利于学生通过对数据比较、分类，自主构建循环小数的概念。因此，我对教材作了一些改动，增加了五组数据，让学生计算赛跑比赛前六名运动员的速度，其中三名运动员的速度的是有限小数，另三名运动员速度是循环小数，包括纯循环小数和混循环小数。在此基础上，教师引导学生对这些数据进行观察、比较、分类，概括出循环小数的概念，发展学生的抽象思维能力也就水到渠成了。 二、学情分析
学生是在什么样的知识背景下学习这一内容的呢？在日常生活中，学生都感受过循环、重复等现象，比如：春夏秋冬四季的交替；十字路口红绿灯的不断重复等，对循环这一概念有了一定的感性认识，积累了一定的生活经验。而且通过五年的学习，学生已经具备了初步的抽象思维能力，比如学生在学习图形的认识、学习统计等知识的时候，已经经历过将事物进行分类、整理的活动，具备了初步的比较、分类、归纳、概括等能力。因此，我认为在这个阶段让学生开展一些探索性学习活动是可行的。 三、教学目标 根据对教材的认识，对学生情况的分析，以及新课标的教学理念和要求，我拟定了如下的教学目标： 1、知识与技能： 认识循环小数的特征，掌握循环小数的意义，进一步提高学生的计算能力。 2、过程与方法： 经历将数据进行比较、分类、整理的过程，自主概括循环小数的概念，发展抽象思维能力。 3、情感与态度：
《循环小数》教案 镇巴县永乐中心小学：戴长安 教案背景：本节内容之前学生只接触到有限小数，学了本节的循环小数以后，学生认识到除了有限小数以外，还有无限小数，循环小数就是一种无限小数。 教案内容：人教课标版教材小学五年级数学上册第二单元《小数除法》例8、例9。 教材分析： 循环小数是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值的基础上进行教案的。这部分内容概念较多，又比较抽象，是教案的一个难点。课本的例8，是教案从某一位起，一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供感性材料。例9通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。接着教材用想一想的方式组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得到的商会有哪些情况”。由两个数相除时商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。 教案方法： 循环小数是新的知识，概念较多又比较抽象，学生易混淆，我先是通过简单的图形和数字来找规律及生活中的例子，引出循环的概念（有序重复出现）；在教案中运用自主探究的方法引导学生学习的方法，让学
生去发现问题，再总结规律，来达到认识、掌握、运用循环小数。培养学生的观察、分析、理解、概括的能力，培养他们不断思索的习惯。 教案目标： 知识与技能：使学生认识循环小数的特征，知道循环小数的意义；认识有限小数和无限小数，能用简便方法写循环小数。 过程与方法：通过观察、比较、探究，培养学生的抽象、概括的能力和小组合作探究能力。 情感态度价值观：学生能在学习过程中获得成功体验，培养学积极的数学情感。 教案重点：掌握循环小数的意义，认识无限小数。 教案难点：能正确判断循环小数的循环节并能用简便记法表示。 课时安排：一课时 教案过程： 一、导入新课 1.找规律 ○△○△○△○△（） ３２１３２１３２１（） 通过上面复习训练使学生理解“依次不断重复”的含义。 2、然后让学生说说生活中还在哪些地方见过这种“依次不断的重复出现的”的现象。 学生举例…… 教师小结：生活中象这种“依次不断重复出现”的现象很多，我们
循环小数知识要点 一、各名称的定义（具体定义见课本），以及分类 分类 循环节： ①、循环节只能看小数部分： ···这样的循环小数的循环节很容易错写成是1378， 循环节只能看小数部分，···所以它的循环节应该是7813。 ②、只有循环小数才有循环节： 这样的数其实是有限小数，有限小数是没有循环节的，只有循环小数才有循环节，所以87不是的循环节，因为根本没有循环节， 有限小数无限循环小数 小数的分类 无限不循环小数有限小数无限小数小数的分类无限循环小数（就是循环小数）无限不循环小数无限小数的分类有限小数无限循环小数无限小数无限不循环小数小数小数部分的位数是无限的，就是无限小数。 有带尾巴的， 有戴帽子的。 小数部分位数的个数是有限的，没有帽子也没有尾巴。例如：， 例如：··· 这样的小数有规律，但是没有真正的循环，没有循环节。所以它是无限不循环小数，不是循环小数 虽然出现有87、87、87的重复，但仅仅出现了几次，个数是有限，所以还是有限小数
1、尾巴式：写出2-3组完整的循环节，然后点上3个点（带上尾巴），【写出2组带尾巴】例：…，… 注意：尾巴式必须写出至少2个完整的循环节，不能只写半个循环节 0. 3133131…31是循环节，2个数字的循环节 这是两个完全不同的循环小数，下面的书写只比上面的多了一个1，但意义完全不同。 2、帽子式：写出1个完整的循环节，然后在循环节的第一个和最后一个数字头上点上点（戴帽子）【只写一组戴帽子】 例： ? ? 7 01.3 ? ? 914.0 注意： ①帽子式只写一个循环节，不能多一个数字，也不能少一个数字，也不能带帽子又带尾巴 例： ? ? 914.0不能写成 ? ? 914.0419，也不能写成 ? ? 914.0419…， 写成 ? ? 914 419 .0也不行，啰嗦、也不规范 ②帽子要戴准 ? ? 7 01.3和 ? ? 7 01.3是不同的循环小数， ? ? 7 01.3的循环节是07， ? ? 7 01.3的循环节是107 3、“帽子式”与“尾巴式”的互换 （1）帽子式尾巴式口诀：【写出2组循环节，脱掉帽子带尾巴】 例： ? ? 7 01.3，循环节是07，换成“尾巴式”，写出2组循环节，再带上尾巴…? ? 914.0，循环节是419，虽然1头上没有帽子，帽子式只要求给循环节的头和尾带帽子，中间是可以不带的，所以1也是循环节中的一个数， 写出2组循环节（419419），脱掉帽子带尾巴… （2）尾巴式帽子式口诀：【只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽】 例：…，循环节是560，只写1组循环节，甩掉尾巴戴上帽， ? ? 6 51.4， 原来多余的循环节和后面的尾巴都去掉，但不要忘了给循环节戴帽子。 注意： ①、小数部分也可能有不是循环节的数字， 如本题…中，十分位的1就不是循环节中的，所以1头上不能戴帽子； 而6为什么也戴呢？因为6是循环节中间的数，帽子只戴给循环节的头和尾就行了。 ②、 ? ? 6 51.4，万分位的0不能去掉，因为这个0不是小数末尾的0，循环小数是 无限小数，小数位数是无限的，没有末尾。所以不满足“小数末尾的0可以去掉”
循环小数有限小数无限小数 教学内容：小学数学五年级上册第40页信息窗3第2课时 教学目标: 1.通过感受生活中的循环现象，初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数. 2. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力，提高学生解决简单实际问题的能力。 3.在自主探索与合作交流的过程中，培养数学的极限思想. 4.丰富学生积极的数学情感，感受数学与生活的密切联系. 教学重难点： 教学重点：理解循环小数，有限小数和无限小数的意义，会用循环小数表示除法的商教学难点：会用循环小数表示除法的商，将循环小数和相似的数进行大小比较,会区分有限小数和无限小数。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器 一、创设情境，提出问题 1.故事引入：上课之前，老师给你讲个故事：“从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚, 老和尚对小和尚说,从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚, 老和尚对小和尚说,从前……”哪位同学能接着往下讲?同学讲了多遍,突然停住了“:这个故事讲不完。”老师问“:为什么呢?”学生答到“:这个故事总是不断地重复说这几句话。” 教师顺势引导“:在数学王国里,就有一种小数,它有着和这个故事一样的特点，具体是什么老师先不告诉你们，让我们一起到数字王国里去找到它，认识它吧。” 二、自主学习，小组探究。 出示信息窗3的问题 1.独立列算式并尝试计算：350÷6= 。并要求先用竖式计算，有发现的话再用计算器验证。
2.思考：计算过程中你遇到了什么困难？你有什么新发现？ 3.小组讨论：把你的困难和发现在小组内交流一下，看能否找到解决问题的方法，并总结一下大家的发现。老师倾听学生的讨论，对有困难的组适当加以点拨，但以听为主，放手让学生自主发现学习，同时对学生对知识的理解程度做到心中有数。 根据学生的回答板书：350÷6=58.3333333…… 首先找学生说一下他们的发现 预设：百分位出现3之后就一直在循环。 那这种循环会一直持续下去吗？ 预设：会循环下去，因为每次竖式里每次商三之后得到的余数都一样。 4.引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：计算 63÷22= 5.小组汇报交流 板书出示：63÷22的计算过程。 观察商和每次的余数,以理解这种商的末尾重复出现的现象不是极个别的，而是小数中特别的一类。 三、汇报交流、评价质疑 1.出示三个算式 350÷6=58.333333…… 63÷22=2.8636363…… 8.05÷3.7=2.1756756…… 根据这三个算式的计算结果你能发现什么？这些算式的结果有什么共同点？ 预设学生回答： （1）怎么除都除不尽 （2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数，观察是不是有数字循环出现。 （3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：58.333……（从小数部分的第一位开始依次重复的）2.8636363……（从小数部分的第二位依次重复的）2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的） （4）重复的数字的个数不一样，引导学生分析：58.33333……（数字3重复）（数字6重复）8.05÷3.7=2.1756756……（7、5、6重复的） 2..揭示循环小数的意义 （1）先让学生试着进行总结，如果一个学生描述不完整，可以让其他同学进行补充。 （2）然后用课件展示出：
五年级上册数学 《循环小数》教学设计教案 教学目标： 1、理解循环小数的意义，初步认识有限小数和无限小数。 2、能用简便记法表示循环小数，能正确区分有限小数和无限小数。 3、培养学生的概括能力和探究精神。 教学重点：掌握循环小数、无限小数、有限小数的意义。 教学难点：用简便记法表示循环小数 教学过程： 一、创设情境，引入新课 师：在上课之前，老师要给大家讲一个故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事说：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事说：……（这个故事总是在重复同一个内容。） 师：不错！大家已经发现这个故事的一个特点了,在不断重复，这个故事永远也讲不完。 师：这种不断重复的现象不但故事中有，在我们的生活中也会有很多这样的现象。例如：红绿灯的交替出现，春夏秋冬的循环。其实，在我们的数学中，有些数字也会依次不断的重复。这就是我们今天要学习的内容（板书：循环小数）
二、合作探究，构建新知 出示情境图 师：我们一起到运动场上去看一看吧。从图中你了解到哪些信息？ （王鹏400米只跑了75秒，平均每秒跑多少米？） 师：请同学们根据这个问题列出算式，可以口算出来吗？那我们就用竖式来计算一下这个算式。请一个同学上台来写一写 师：大家都停下来了，是算完了吗？没有，是怎么了呢？看来同学们已经发现了什么 那么同学带着以下问题小组讨论 （1）你发现了什么？ （2）像这种情况商应该如何表示？ （3）商又是什么小数？ 开始讨论（学生计算，在计算过程中引导学生发现400÷75这个算式的两个特点：①余数重复出现“25”；②商的小数部分连续地重复出现“3”。） 师：讨论完的小组坐好举手，请一个小组来汇报你们的结果。（学生们在讨论中发现400÷75这个算式的三个特点：①余数重复出现“25”；②商的小数部分连续地重复出现“3”； ③继续除下去，永远也除不完。商的表示方法和商是循环小数。）
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化 因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13， 117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。
无限循环小数的研究 上海市侨光中学 何兴国 一、 摘要。 大家知道分数与小数之间可以相互转化，我们严格地证明过吗？无限循环小数的循环节 长度由什么决定的呢？循环节数字序列很神奇，它有什么性质？ 为什么要运用同余理论来研究循环小数？我们知道无限循环小数的循环体虽然是相除的商数，但循环的原因却在于相除的余数，所以运用同余理论可以解释无限循环小数中的“谜”。不过在研究的过程中仍然有部分问题未能解决，有待今后进一步学习和思考。 关键词：无限循环小数、余数、循环节长度、互素、同余。 二、 课题的由来。 形如b a ， b a 和都是整数且b ≠0的数称为有理数，而有理数都可以化为有限小数或无 限循环小数。 然而很多初学者对于循环小数仍然感到困惑，当遇到9 0 ?=1这样的问题时所表现出的惊讶，生动地反映出无限循环小数里隐藏着一些“谜”。但实际上这些“谜”用一些简单的 数学方法可以解释清楚。比如我们把0.9 扩大10倍得0.9 ×10=9.9 ，两边都减去0.9 得0.9 ×(10－1) =9，所以0.9 =1。 作为一名中学数学教师一方面肩负授道解惑之责，另一方面也是提高自身专业素养之需要。由此展开了研究无限循环小数之行动。 三、 研究目的。 在《初等代数研究》中有一小节写“有理数和循环小数”，但篇幅较短且论述较抽象。 在学习过程中，我感觉可以再深入细致些，因此查阅了一些资料，经过思考和研究，使之更系统全面。因此展开以下几方面的研究。 1、 研究分别在什么条件下，分数可化为有限小数、无限循环小数？(具体一些再分为纯循环小数和混循环小数。) 2、 研究纯循环小数的循环节的长度和性质，并导出欧拉定理。 3、 研究分母为合数时，循环节的长度。 4、 研究无限循环小数化为分数的方法。 四、 研究过程。 1、分数可化为有限小数、纯循环小数、混循环小数。为简便起见这里只讨论既约真分 数。 （1）28.0257=，046875.064 3=。当分母由因数2或5的幂组成或两者兼而有之， 既约真分数定可化为有限小数。一般地，设既约真分数βα52a ，设βα≥。则βα5 2a =αβα105-a ，分子βα-5a 是个整数，由于分母α10的作用，结果变成α位有限小数。若αβ≥，同理可得结果是β位有限小数。
循环小数、有限小数和无限小数 教学内容：课本39、红点二 教学目标： 1.创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数和无限小数的概念。 2.通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。 教学重点：能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数和无限小数的概念。 教学难点：掌握循环小数、有限小数和无限小数的概念。 教学准备：挂图、课件 教学过程: 一、创设情境， 激趣导入 谈话：同学们， 上节课，我们了解了 三峡工程的很多信 息，解决了许多有趣 的数学问题。除了三 峡大坝之外，我们 国家还有很多水利工程，让我们一起来看看。（出示情境图） 二、自主探索，获取新知 1．提出问题 谈话：观察情境图，你获得了哪些信息？你能提出什么数学问题？教师根据学生的提问，有选择的进行板书，如：
三峡大坝的高度约是八盘峡坝的多少倍？ 三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？ 2．尝试笔算 接下来我们解决“三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？”这个问题，你能笔算出结果吗？在计算的过程中，有什么重要的发现可以和小组里的同学交流。 3．汇报交流 谈话：你有什么发现？ 学生可能发现： （1）除不尽，商从百分位开始后面都是6； （老师给予肯定，可追问，为什么你确定后面的数位都商6呢？） （2）继续除下去，余数都是“50”，商也都是“6” （给予表扬，不仅善于观察，更善于思考。正是因为发现了余数重复出现数字“50”，我们才确定后面的数位上都商“6”。） 4．练习求近似值 结果保留两位小数是多少？保留整数呢？ 5．计算8.05÷3.7，得数保留两位小数，集体订正。 6．概括循环小数概念。 谈话：5.606060……，2.4666……，2.1756756……这3个数有什么共同特点？ 在学生回答的基础上，老师适时概括出循环小数、无限小数和有限小数的意义。 7．读书P44 你知道吗？ 三、类化练习，限时作业 1．自主练习5 10.4÷6 2.772÷2.1 3.95÷0.27 10÷7 16.65÷3.3 1.792÷0.14 独立计算，集体订正，有错误的要说说错误原因。 2．自主练习7
小数除法—循环小数第 8 课时 教学内容：教材P33～34例7、例8及练习八第4、5、6、7、9题。 教学目标： 知识与技能：理解“有限小数”和“无限小数”的意义。 过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。 情感、态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高其观察、分析、比较、判断、抽象的概括能力。 教学重点：通过笔算发现循环小数的规律，掌握循环小数的意义。 教学难点：能正确判断循环节数字，学会用简便记法表示循环小数。 教学方法：计算、观察、分析、比较、讨论。 教学准备：多媒体。 教学过程 一、创设情境 1．理解依次重复出现的意义。故事引入：今天老师给大家讲一个故事，从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事…… 问：学生这个故事能讲完吗？（不能，因为它不断地重复。） 这种“依次不断重复”的情况我们可以称它为“循环”。（板书：循环） 2．初步感知循环小数。 出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。学生列式：400÷75。 让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现。 通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”；商的小数部分连续地重复出现“3”。 3．引出课题。像这样继续除下去，能除完吗？（可能永远也除不完。） 揭题：那怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点？这节课我们来研究这个问题，也是我们要认识的“新朋友”——循环小数。 （板书课题：循环小数） 二、互动新授