循环小数有限小数无限小数
教学内容：青岛版小学数学五年级上册第40页信息窗3第2课时
教学目标:
1.通过感受生活中的循环现象，初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。
2. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力，提高学生解决简单实际问题的能力。
3.在自主探索与合作交流的过程中，培养数学的极限思想。
4.丰富学生积极的数学情感，感受数学与生活的密切联系。
教学重难点：
教学重点：理解循环小数，有限小数和无限小数的意义
教学难点：会用循环小数表示除法的商。
教具、学具：
教师准备：多媒体课件
学生准备：计算器
一、创设情境，提出问题
1.故事引入：上课之前，老师给你讲个故事：“从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚, 老和尚对小和尚说,从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚, 老和尚对小和尚说,从前……”哪位同学能接着往下讲?同学讲了多遍,突然停住了“:这个故事讲不完。”老师问“:为什么呢?”学生答到“:这个故事总是不断地重复说这几句话。”教师顺势引导“:在数学王国里,就有一种小数,它的小数部分的数字也会像这个故事里的那几句话一样,不断地重复出现。”
这就是我们这节课要学习的循环小数。
二、自主学习，小组探究。
出示信息窗3的问题
1.独立列算式并尝试计算：185÷75。
2.思考：计算过程中你遇到了什么困难？余数和商有什么特点？
3.小组讨论：把你遇到的困难和发现，在小组内相互说一说，看其他同学跟你的一样吗？教师巡视、指导，收集小组交流素材。（给学生留有足够的时间，自主发现、探究）
板书：185÷75=2.4666……
学生出现疑问：这个商怎么也算不完，这时候教师不急于解答，小组交流一下你的答案。
4.引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：计算
0.5÷0.3= 8.05÷3.7=
三、汇报交流、评价质疑
1.小组汇报交流
板书出示：0.5÷0.3=1.666……
185÷75=2.4666……
8.05÷3.7=2.1756756……
2.根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？
预设学生回答：
（1）怎么除都除不尽
（2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：1.66……（数字6依次循环出现）2.4666……（数字6依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756……（数字7、5、6依次循环出现）（3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：1.66……（从小数部分的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数部分的第二位依次重复的）8.05÷3.7=2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的）
（4）重复的数字的个数不一样，引导学生分析：1.666……（数字6重复）
2.4666……（数字6重复）8.05÷
3.7=2.1756756……（7、5、6重复的）
3..揭示循环小数的意义
（1）像1.66……、2.1756756……这样的小数就叫循环小数。你还能再举出一些像1.66……、2.1756756……这样的循环小数吗？
（2）说一说什么叫"循环小数"？
预设学生回答：
①一个小数，几个数字重复出现。
②一个小数，几个数字依次不断地重复出现。
③一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现。……
（3）归纳小结：像这样（指③），从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
4．认识有限小数、无限小数
（1）判断下面哪几个数是循环小数，为什么？
①②3.212121
③3.1415926……④6.416416……
预设学生回答：
①①④是循环小数，第一题是数字27循环，第四题是数字416循环。
②第二题虽然21重复出现了，但是它的后面没有省略号，循环停止了，所以不是循环小数。
③第4题虽然有省略号，但是它没有数字循环出现，不是循环小数。
（2）比较有省略号的小数和没有省略号的小数的区别。
学生很容易发现：有省略号的小数是写不完的，不知道它的小数部分是几位数字，没有省略号的小数能写完也能读完，能具体的知道它们是几位小数。
教师概括：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
（3）比较判断中的 3.1415926…… 6.416416……这两个小数，你有什么发现？
循环小数一定是无限小数，无限小数不一定都是循环小数。
5.循环小数的简便写法。出示：
四、抽象概括、总结提升
今天我们认识了循环小数、有限小数和无限小数，他们之间有什么关系呢？
1. 都有数字依次不断的重复出现
有限小数 2. 从小数部分开始的
3.从小数部分的某一位起
小数 4. 一个或者几个数字重复出现
无限小数
不循环小数： 3.1415926……
五、巩固应用，扩展提高
1.判断下列各题哪些是有限小数，哪些是无限小数，哪些是循环小数？
3.333…… 3.33 0.333…… 46.567567……
5.44…… 0.1234589…… 5
6.6768……
通过分类，主要渗透“集合”数学思想。
2.你会比较这些小数的大小吗？试试看！
0.66○0.6 8.255○8.25 7.28○7.28 0.99○0.9999…… 通过比较，进一步巩固循环小数的意义。 3.拓展练习：课本第44页第13题:找规律，填得数。（先找规律，再用计
算器计算，验证规律）
1÷9﹦0.111…… 2÷9﹦0.222……
3÷9﹦0.333…… 4÷9﹦0.444…… 5÷9
﹦ 6÷9﹦ 7÷9﹦ 8÷9﹦
拓展练习，主要面向学有余力的学生，在感受数学规律美的同时，运用规律
解决问题。
4.全课总结：谈谈通过本课学习自己有哪些收获？（汇报时即要关注学生知
识的掌握情况，更要关注学生学习数学的兴趣。）
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板书设计：
循环小数有限小数无限小数
0.5÷0.3=1.666……
185÷75=2.4666……
8.05÷3.7=2.1756756……
1.都有数字依次不断的重复出现
有限小数 2. 从小数部分开始的
循环小数 3.从小数部分的某一位起小数 4. 一个或者几个数字重复出现
无限小数
不循环小数： 3.1415926……
使用说明：
1．教学反思：循环小数是学生较难地理解和表述的一个概念，特别是表达其意义的一些抽象说法，学生难以理解。本设计通过除法的实例，引导学生观察比较，使学生掌握循环小数的特征，理解循环小数的意义。在此基础上，认识有限小数、无限小数以及他们之间的关系，并学习循环小数的简便写法。闪光之处有：
（1）创设情境，分散难点。用讲故事的方法导入新课,引人入胜,使学生一下子便进入了学习的境地,也使学生初步感知了“不断重复”、“依次不断重复”“、无限”等概念。这样,教者既分散难点,又导入新颖,创设的情境使学生进入有序思维,并
用直观形象的方法在课的开始便扫除了障碍，使学生进入有序的思维。
（2）创设氛围，主动探究。整堂课的教学都能注重学生参与学习的过程。每一个概念的形成，学生都知道它的形成过程，而不是知道结论，比如，让学生在尝试练习中认识循环小数，发现当两个数相除出现循环小数时商和余数的规律，亲历知识形成的过程，有利于学生形成循环小数的概念。
（3）有效练习，突出重点。利用投影仪出示不同层次的练习设计，把练习与新知的学习有效的穿插，有利于培养学生的逻辑思维能力，也有利于激发学生的兴趣，并能根据小学生直观---半直观---抽象---概括的认知规律组织教学。
2.使用建议：在使用本案例时，老师尽量把教学过程设计的更开放些，以便给学生提供更大的探究空间，让我们的课堂教学更扎实、有效，更符合课标要求。
3.需要破解的问题：
对于循环节、循环小数的写法，除了让学生通过“你知道吗？”了解之外，是否也可以把它作为本节课的一个次重点进行教学？
19.4÷12 6.2÷0.07 0.51÷0.22 2.21÷1.8 8.9÷1.2 14.12÷4.5 22.59÷6.6 12.09÷8.2 12.71÷1.8 19.42÷7.8 41.38÷4.1 42.37÷3 15.31÷3 21.8÷8.8 41.62÷1.2 11.45÷0.3
16.1÷0.12 18÷2.2 2.2÷0.45 13.3÷5.04 17.5÷12.6 12÷6.6 16÷1.2 4÷1.5 19÷4.8 10÷7.8 14÷9.6 13÷3.3 8÷1.1 11÷9.9 8÷7.4 8÷5.4
19÷13.2 4÷2.2 29.9÷11.25 32.9÷8.4 28.8÷3.52 34.2÷0.74 5.2÷0.9 47.2÷0.54 30.5÷7.5 26.3÷18.75 12÷11 16÷1.2
20÷14.8 23÷4.8 25÷1.1 17÷1.2 1. 20÷13.6 = 1.470588235294118 20÷9.4 = 2.127659574468085 16÷10.5 = 1.523809523809524 15÷13.9 = 1.079136690647482 22÷19.9 = 1.105527638190955 15÷13.7 = 1.094890510948905 15÷10.7 = 1.401869158878505 13÷9.1 = 1.428571428571429 29÷4.3 = 6.744186046511628 12÷11.0 = 1.090909090909091 16÷1.2 = 13.333333333333333 11÷3.1 = 3.548387096774194 17÷8.5 = 2.00000000000 20÷14.8 = 1.351351351351351 7÷5.9 = 1.186440677966102 23÷4.8 = 4.791666666666667 24÷18.8 = 1.276595744680851 19÷5.8 = 3.275862068965517 28÷14.0 = 2.00000000000 11÷6.2 = 1.774193548387097 7÷5.9 = 1.186440677966102 7÷4.6 = 1.521739130434783 25÷1.1 = 22.727272727272727
循环小数 1、在下面的○里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.2÷2○1 1.256÷1.3○1 3.57÷4○1 24.6÷1.4○24.6 1.03÷0.98○1.03 3.2÷4.8○3.2 5.04÷0.95○5.04 2.7÷0.16○2.7 4.05÷1○4.05 2、下面哪些是循环小数，请在后面的（）里打“√”。 3.545454…（） 2.66667…（） 2.713713（）3.1415926…（）0.3030303（） 2.1458458（） 2、在下面三个数中，较大的数是（）。A. 0.858 B. 0.855…… C. 0.855 3、甲×0.925=乙÷0.925 （甲乙不等于0），那么（）。 A. 甲= 乙 B. 甲> 乙 C. 甲< 乙 4.观察下列各数后填空 0.02 3.3434…… 6.1415926…… 6.33333…… ( )是循环小数；( )是有限小数；( )既不是循环小数也不是有限小数。 5.用循环节表示下面的循环小数 0.26666…写作( )；3.121212…写作( )。 6..将下列用循环节表示的小数改写成不用循环节表示的循环小数 2.4·5·=( ) 3.1·56·=( ) 3.3·=( ) 保留一位小数保留两位小数保留三位小数 0.09435 0.53645 6.1259 7小数分为有限小数、无限小数和循环小数。（） 无限小数一定比有限小数大。（） 8.在○里填上“＞”“＜”或“＝”. 12.01÷1.02○12.01 0.36÷0.36○0.36 5.48÷0.8○5.48 10.8÷5.4○10.8 9.72÷0.08○9.72 0.99÷1.1○0.99 0.45○0.45 0.6○0.66… 1.2727○1.272 12.232○11.98
无限循环小数如何化为分数 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分 之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的 “无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴” 就剪掉了。 方法一：（代数法） 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数 例1： 0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么 0.4747……=47/9
由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 练习： （1）0.3……=3/（10-1）＝1/3 （2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。 （3）0.312 312……= 类型2：混循环小数如何化为分数 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以： 0.325656……=3224/9900 练习： （1）0.366……=
有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数有限循环小数如何化为分数北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学北京市第十九中学初一二班初一二班初一二班初一二班王旭王旭王旭王旭目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区目前的学习误区：：：：在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中在小学奥数中，，，，只学过只学过只学过只学过0.aaa0.aaa0.aaa0.aaa……………………＝＝＝＝a/9a/9a/9a/9，，，，并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念并没有更具体的概念。。。。主要内容主要内容主要内容主要内容：：：：一个数的小数部分一个数的小数部分一个数的小数部分一个数的小数部分，，，，如果从某一位起如果从某一位起如果从某一位起如果从某一位起，，，，一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不一个或几个数字依次不断地重复出现断地重复出现断地重复出现断地重复出现，，，，这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数这样的数就叫做循环小数。。。。循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有循环小数化分数的方法有：：：： 1.1.1.1.纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数纯循环小数化分数。。。。分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数分子是一个循环节所表示的数；；；；分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都分母的各位数字都是是是是9999，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同。。。。 2.2.2.2.混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数混循环小数化分数。。。。分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的的数减去不循环数字所组成的数的差数的差数的差数的差；；；；分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是分母的头几位数字是9999，，，，末几位数字是末几位数字是末几位数字是末几位数字是0000，，，，9999的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同的个数和一个循环节的数字的个数相同，，，，0000的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数的个数和不循环部分的数字的个数相同相同相同相同。。。。 例例例例 1 1 1 1 把把把把0.47470.47470.47470.4747……………………和和和和0.330.330.330.33……………………化成分数化成分数化成分数化成分数。。。。解法解法解法解法1111：：：：0.47470.47470.47470.4747……×……×……×……×100=47.4747100=47.4747100=47.4747100=47.4747…………………… 0.47470.47470.47470.4747……×……×……×……×100100100100－－－－0.47470.47470.47470.4747……………………=47.4747=47.4747=47.4747=47.4747……………………－－－－0.47470.47470.47470.4747……………………(10(10(10(100000－－－－1)1)1)1)××××0.47470.47470.47470.4747……………………=47=47=47=47 即即即即99999999××××0.47470.47470.47470.4747……………………=47 =47 =47 =47 那么那么那么那么0.47470.47470.47470.4747……………………=47/99 =47/99 =47/99 =47/99 解法解法解法解法2222：：：：0.330.330.330.33……×……×……×……×10101010＝＝＝＝3.333.333.333.33…………………… 0.330.330.330.33……×……×……×……×10101010－－－－
循环小数、有限小数、无限小数教学内容： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级上册40—44页 教学目标： 1．创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 3．通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。 4．培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。 教学重难点： 重点：理解循环小数、无限小数、有限小数的意义 难点：使学生学会除不尽时能用循环小数表示商。 教学准备：多媒体课件、实物投影台 教学过程： 一、创设情境，激趣导入 谈话：同学们，上节课，我们解决了“三峡大坝的高度约是八盘峡坝的多少倍？”这个问题，已经用计算器得出结果：185÷33=5.606060……（教师板书）那么这节课咱们就来继续研究大坝的问题。（课件出示情境图） 现在请看本节课的学习目标 1.理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 目标明确了，让自学指导来帮助我们学习。 认真看课本第40页的内容，重点看红点问题的计算过程。思考： 1.仔细观察185÷75,你发现了什么？ 2.这道题的余数有什么特别的地方吗？商有什么特点？ 3.试着竖式计算8.05÷3.7观察结果有什么特点？ （5分钟后看谁能将上述问题讲解清楚）
二、自主探索，获取新知 （一）根据算式得出循环小数的概念 1．解决问题发现规律 教师谈话导入：三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？ 学生口答算式：185÷75 让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，后面还有很多位。）小组交流一下你的答案。 学生汇报：185÷75=2.4666……（板书） 生：这道题的余数不断重复，商都是一样的。 师：真棒，观察的很仔细。 现在我们再来做一道题，看看你有什么发现？ 自主计算：8.05÷3.7 生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756……（板书） 2．小组讨论汇报交流 整理出示：185÷33=5.606060…… 185÷75=2.4666…… 8.05÷3.7=2.1756756…… 根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法。） 学生汇报： （1）怎么除都除不尽 （2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：5.606060……（数字6、0依次循环出现）2.4666…… （数字6依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756……（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。 师生小结：都有数字依次不断地重复出现。 （3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：5.606060……（从小数的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数的开始依次重复的）8.05÷3.7=2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333……
无限循环小数除法练习题 25.2÷6= 34.5÷15= 5.6÷4= 1.8÷12= 1.8÷12= 7.83÷9= 4.08÷8= 0.54÷6= 6.3÷14= 72÷15= 14.21÷7= 24÷15= 1.26÷18= 43.5÷29= 18.9÷27= 1.35÷15=
28.6÷11= 20.4÷24= 3.64÷52= 15.6÷12= 328÷16= 1.35÷27= 7.65÷0.85= 12.6÷0.28= 62.4÷2.6= 0.544÷0.16= 1.44÷1.8= 11.7÷2.6= 19.4÷12= 5.98÷0.23= 19.76÷5.2= 10.8÷4.5=
21÷1.4= 8.84÷1.7= 6.21÷0.03= 1.89÷0.54= 9.12÷3.8= 54÷0.36= 1.7÷0.08= 0.576÷0.18= 0.77÷0.35= 15.68÷5.6= 42.7÷7= 38.4÷6= 62.8÷4= 65.6÷8= 8.4÷5.6= 1.71÷3.8=
7.05÷0.94= 5.4÷24= 6.21÷3= 91.2÷38= 85.44÷16= 12÷125= 19.4÷12= 6.2÷0.07= 0.51÷0.22= 2.21÷1.8= 8.9÷1.2= 14.12÷4.52= 2.59÷6.6= 12.09÷8.2= 12.71÷1.8= 19.42÷7.8=
1.62÷1.21= 1.45÷0.3= 16.1÷0.12= 18÷ 2.2= 2.2÷0.45= 1 3.3÷5.04= 17.5÷12.6= 12÷6.6= 16÷1.2= 4÷1.5= 19÷ 4.8= 10÷7.8=
无限小数不一定是循环小数，循环小数一定是无限小数． √ ． 考点：小数的读写、意义及分类． 专题：小数的认识． 分析：从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数叫做循环小数，如2.66…，4.2323…等； 无限小数只是位数无限，包括循环小数和不循环的无限小数，所以循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数．解答：解：由分析可知， “无限小数不一定是循环小数，循环小数一定是无限小数”，这种说法是正确的； 故答案为：√． 点评：此题考查了学生对循环小数和无限小数意义的理解与区分，无限小数的范围大于循环小数的范围． 2.97171…是无限小数也是循环小数． √ ． 考点：小数的读写、意义及分类．
分析：要知道2.97171…是不是无限小数和循环小数，就必须对无限小数和循环小数的概念与特征有准确的理解与掌握．无限小数是一种位数无限的小数；循环小数是位数无限而且从某一位起，后面某一位或某几位数字重复出现的小数． 解答：解：小数2.97171…，位数是无限的，同时出现了循环节71， 所以2.97171…是无限小数也是循环小数． 故答案为：√． 点评：此题考查了无限小数和循环小数的概念，只要掌握了概念与特征，就能做到准确判断 循环小数是无限小数中的一种 √ ． 考点：小数的读写、意义及分类． 分析：要想正确判断此题的正误，首先要弄清无限小数与循环小数之间的关系：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数． 解答：解：因为小数分为无限小数和有限小数； 而无限小数又分为循环小数和无限不循环小数；
所以，循环小数属于无限小数． 故答案为：√． 点评：此题考查了循环小数和无限小数的概念，以及它们之间的包含关系 循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数． √ ．（判断对错） 考点：小数的读写、意义及分类． 分析：从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数，如2.66…，4.2323…等； 无限小数只是位数无限，包括循环小数和不循环的无限小数，所以循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数．解答：解：循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数； 这种说法是正确的． 故答案为：√． 点评：此题考查了学生对循环小数和无限小数概念的理解与区别，无限小数的范围大于循环小数的范围
课题：第三单元：小数除法—循环小数 雷霆五年级教学内容：教材P33～34例7、例8及练习八第4、5、6、7、9题。 教学目标： 知识与技能：理解“有限小数”和“无限小数”的意义。 过程与方法：通过求商，使学生感受到循环小数的特点，从而理解循环小数的概念，了解循环小数的简便记法。 情感、态度与价值观：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高其观察、分析、比较、判断、抽象的概括能力。 教学重点：通过笔算发现循环小数的规律，掌握循环小数的意义。 教学难点：能正确判断循环节数字，学会用简便记法表示循环小数。 教学方法：计算、观察、分析、比较、讨论。 教学准备：多媒体。 教学过程 一、创设情境 1．开课前教师先了解今天班上有没有过生日，如果没有就私下找位同学配合，为这位同学送祝福，齐唱生日歌，由此提出问题： 问：生日歌有几句歌词？为什么一句歌词可以唱这么久？（一句，因为它不断地重复。）问：生活中像歌词这样的重复现象还有哪些？（出示图片：四季，白昼，日历） 这种“依次不断重复”的情况我们可以称它为“循环”。（板书：循环） 2．初步感知循环小数。 出示教材第33页例7情境图，引导学生观察并说出图意，并找到数学信息，独立列算式。学生列式：400÷75。 让学生用竖式计算这个算式，并说一说在计算过程中你有什么发现。 通过计算，学生会发现这个算式的余数重复出现“25”；商的小数部分连续地重复出现“3”。 3．引出课题。像这样继续除下去，能除完吗？（可能永远也除不完。） 揭题：那怎样表示这种永远也除不完的商？这种商有些什么特点？这节课我们来研究这个问题，也是我们要认识的“新朋友”——循环小数。
无限循环小数可以化成分数 我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看： 探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数． 分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……① 上面的方程两边都乘以100得 100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……② ②-①得 100x-x=32 99x=32 x= 32 99 所以0323232……= 32 99 用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5 9，0.3 · 02·= 302 999． 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字． 探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数 分析：把小数乘以10得 0.4777……×10=4.777……① 再把小数乘以100得 0.4777……×100=47.77……② ②-①得 0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4 0.4777……×90=43 0.4777……= 43 90
所以 0.4777……=4390 再分析第二个数0.325656……化成分数． 把小数乘以100得 0.325656……×100=32.5656…… ① 把小数×10000得 0.325656……×10000=3256.56…… ② ②-①得 0.325656……×（10000-100）=3256-32 0.325656……×9900=3224 ∴0.325656……=32249900 同样的方法，我们可化0.172·5· =17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5· 化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．
循环小数有限小数无限小数 教学内容：青岛版小学数学五年级上册第33页信息窗3第2课时 教学目标: 1.通过对教材中相关计算结果的分析，初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。 2、通过对循环小数、有限小数、无限小数概念的认知分析，理清三者之间的关系，能正确解决相关概念问题。 3. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力，提高学生解决简单实际问题的能力。 4.在自主探索、合作交流及解决问题的过程中，逐步渗透和培养数学的极限思想。 教学重难点： 教学重点：理解循环小数，有限小数和无限小数的意义，会用循环小数表示除法的商。 教学难点：理清循环小数、有限小数、无限小数三间的关系。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器 一、创设情境，提出问题 课件出示教材情境图
上一节课我们大家共同解决了三峡旅游中两个“驴友”其中一人买腊肉的问题，今天我们再来解决另一个人买茶叶的问题。 小组内完成以下内容： ①学生自行阅读情境图中的对话内容。 ②找到相关数学信息。 ③尝试提出与除法有关的问题。 全班交流提出的数学问题，师选择板书 二、自主学习，小组探究。 出示本节课所要解决的主要问题 1.独立列算式并尝试计算：350÷6。 2.思考：计算过程中你遇到了什么困难？余数和商有什么特点？ 3.小组讨论：把你遇到的困难和发现，在小组内相互说一说，看其他同学跟你的一样吗？教师巡视、指导，收集小组交流素材。（给学生留有足够的时间，自主发现、探究） 学生出现疑问：这个商怎么也算不完，结果如何书写，这时候教师不急于解答，小组交流一下你的答案。 4.引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：计算（可以使用计算器） 63÷22= 8.05÷3.7= 三、汇报交流、评价质疑 1.小组汇报交流 展示学生的计算及结果的书写，选择板书 板书出示：350÷6=58.333…（元） 63÷22==2.8636363… 8.05÷3.7=2.1756756… 2.根据这三个算式的计算结果你能发现什么？结果的小数和以前的小数有什么不同？ 预设学生回答： （1）如果除下去，怎么除都除不尽，永远也除不完。（点拨：永远除不完，
【最新整理，下载后即可编辑】 无限循环小数如何化为分数 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。 方法一：（代数法） 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把0.33……和0.4747…… 化成分数 例1：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/9
由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 练习： （1）0.3……=3/（10-1）＝1/3 （2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。 （3）0.312 312……= 类型2：混循环小数如何化为分数 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以：0.325656……=3224/9900
循环小数 的，这叫有限小数；二是除不尽，除到小数部分，余数重复出现，商中某些数字也不断重复出现，且商的小数部分是无限的，这叫无限小数。 【循环小数】 （一）循环小数的意义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重 复出现，这样的小数叫做循环小数。 如：3.2222……这个小数可以记作 ? 2 3. 5.3272727……这个小数可以记作 ? ? 7 2 5.3 （二）区分有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数是无限小数的一种，但还有不少循环小数的无限小数。【循环节】 （1）循环节的意义。一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 如：3.33333……的循环节是“3” 5.28282828……的循环节是“28” 10.051301730173017……的循环节是“3017” （2）循环小数的简写。写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 （3）纯循环小数和混循环小数的意义 ①纯循环小数的意义。循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 ②混循环小数的意义。循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 【小数的比较】 比较两个小数的大小的时候，先比较它们的整数部分。整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，比较它们的小数部分十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数相同时，比较百分位…… 如果两个小数，所有数位上的数都相同，那么这两个小数的大小相等。 我们在做循环小数的比较大小的时候，把循环小数的简便写法改写成一般写法的形式，这 样更便于比较。例如：比较 ? ? ? ? ? 8 3.0 3088 .0 8 3.0 3083 .0 8 0.30 0.308， ， ， ， ， ? ? ? ? 3 2 3.1 2 3.1 3232 .， ，四个数按照 从大到小的顺序排列起来。 练习：在下面式子的数中合适的位置上点上 循环点，使式子成立。 （1）0.894>0.8943 （2）8.045<8.045 （3）3.88……=3.8 （4）5.47>5.475 例2 、在混循环小数 ? 1 2.71828的某一位上再 添一个表示循环的圆点，使新得到的循环小数 尽可能大，请写出新的循环小数。 例3、在循环小数 ? ? 1 02 3 0.中，小数点右面第 1997位上的数字是几？ 练习： 1、在循环小数 ? ? 7 99 1 0.302中，小数点右面第 1997位上的数字是几？ 2、循环小数 ? ? 4 205 0.37的小数点右面第100 位上的数字是几？
循环小数练习题 1、填空。 （1）一个小数，从小数部分的某一位起，（ 一个数）或（几个数）依次不断地（循环）出现，这样的小数叫做（循环小数）。此题抄两遍并背下来。 （2）在3.8288888，5.6?，0.35，0.00?2?，2.75，3.2727……中，，是有限小数 的是（ ），是循环小数的数 （ ）。 （3）8.375375……可以写作（ ）。 （4）4.9?0?保留两位小数是（ ），精确到十分位是（ ）。 （5）在4.2?、4.23、4.2?3?、4.32中最大的数是（ ），最小的数是 （ ）。 2、用简便记法表示下列循环小数 3.2525……（ ） 17.0651651……（ ） 1.066…… （ ） 0.333…… （ ） 3、写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数） 0.3333……≈ 13.67373……≈ 8.534534……≈ 4.888……≈ 4、选择题。（把正确的答案的序号填入括号内） （1）2.235235……的循环节是（ ） ①2.235 ②2.35 ③235 ④235 （2）下面各数中，最大的一个数是（ ） ①3.8?1? ②3.81? ③3.81 ④3.8? （3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（ ）位
①二位 ②三位 ③四位 ④五位 5、你会比较这些小数的大小吗？试试看！ 0.66 （ ） 0.6? 8.2?5?（ ）8.25 5.414（ ）5.41 ?3.888 （ ） 3.08? 7.282?（ ）7.2?8? 0.9?（ ）0.9999 6、判断（对的在括号内画“√”错的画“×”） （1）1.4545……（保留一位小数）≈1.4 （ ） （2）2.453453…的循环节是435。 （ ） （3）循环小数都是无限小数。 （ ） （4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。 （ ） 7、用竖式计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商 13÷11= 57÷32= 11.625÷9.3= 30.1÷33=
《无限循环小数化分数》教学设计 知识与技能：了解无限循环小数都可以化为分数形式，会列一元一次方程将一个无限循环小 数化为分数。 过程与方法：在探究无限循环小数化分数过程中渗透无限逼近和转化思想，体会方程的作用， 领悟探究式学习的方法及策略。 情感、态度与价值观：在数学活动中欣赏数学的结构美，体会数学的简洁美，培养学生主动 探究意识。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法。 教学过程： 一、 情境导入：故事导入（从前有座山·······）在神奇的数学世界里，有这样的数吗？ （它们就是——无限循环小数。）你能举例吗？无限循环小数能化为分数吗？ 二、 合作交流，解读探究： 1、 把下列小数化为分数：0.1= 0.125= 2、 思：我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数?1.0开始。 想一想：可能是1/10吗？可能是1/ 8吗？那么，可能是几分之一呢？因为1/10〈?1.0〈1/8，，所以分 母可能是9。下面我们来验证一下自己的猜想： 学生用竖式除法验算1/9＝1÷9＝0.111…… 3、你能用同样的方法把。3.0化为分数吗？验证一下自己的猜想。 4、思考： ?1.0与。3.0 有何联系？(。3.0=3??1.0) 5、探究化分数的方法 合作交流：从怎样将无限循环部分消去入手。 试一试：把?1.0分别扩大如4、6······10倍后，它的循环节有何变化？ 找一找：?1.0与1.?1有何异同点？ 学生交流讨论后得出：相同点：循环节相同，都是1. 不同点：1.?1的整数部分是1，?1.0的整数部分是0. 思考：请找出1.?1与?1.0的关系？（1.?1是?1.0的10倍，它们的差是1） 你能用等式把他们表示出来吗?（1.?1 =10 ??1.0 1.?1— ?1.0=1） 设?1.0为X （X 为分数） 则1.?1为10X 列方程得:10X-9X=1 解得 X=9 1， 即?1.0=9 1
无限循环小数如何化为分数
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无限循环小数如何化为分数 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。 方法一：（代数法） 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把0.33……和0.4747…… 化成分数 例1：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－ 0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/9
由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 练习： （1）0.3……=3/（10-1）＝1/3 （2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。 （3）0.312 312……= 类型2：混循环小数如何化为分数 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以：0.325656……=3224/9900 练习： （1）0.366……=
证明分数一定是小数或无限循环小数 优质解答 任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小 数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循 环小数呢?我们先看下面的分数. （1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化 因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位. （2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5. （3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质 因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位. 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于 分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循 环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数. 例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部 分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位? 上述分数都是最简分数,并且 32=2*2*2*2*2,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13, 117=33×13,850=2×52×17,
根据上面的结论,得到： 不循环部分有两位. 将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法. 1.将纯循环小数化成分数. 将上两式相减,得将上两式相减,得 从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法. 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同. 2.将混循环小数化成分数. 将上两式相减,得 将上两式相减,得 从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法. 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同. 数只分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数 所以只需证明分数不可能是无限不循环小数 因为分数就是分子除以分母（分子和分母都是自然数）,按照除法规则,总会除到余数小于分子的时候 而这样的余数的个数一定有限（因为一定小于分子）
循环小数补充练习题 姓名班级 1、填空。 (1)在 3.82，5.6，0.35，0.002，2.75，3.2727…中，是有限小数的是 （），是循环小数的数（）。（2）一个三位小数精确到0.01是2.70，这个小数最大是( )，最小是（）。一个两位小数精确到0.1是6.0这个数最大是（），最小是（）。 2、写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数） 0.3333…≈ 13.67373…≈8.534534…≈ 4.888…≈ 3、判断（对的在括号内画“√”错的画“×”） （1）1.4545…（保留一位小数）≈1.4（） （2）2.453453…的循环节是453。（） （3）循环小数都是无限小数。（） （4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。（） 4、计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商。 13÷11= 57÷32= 11.625÷9.3= 6.64÷3.3= 73÷ 3= 5÷ 8= 0.4÷9= 30.1÷33=
5、用简便记法表示下列循环小数 3.2525… = 17.0651651…= 1.066… = 0.333…= 6、解决问题。 （1）学校为开展足球比赛，第一次买37个足球，比第二次多买9个，两次一共花1852.5元。 平均每个足球多少元？ （2）有一批货物，计划每小时运22.5吨，7小时可以运完。实际5.5小时就完成了任务，实际每小时能多运多少吨？（得数保留两位小数） （3）敬老院有老奶奶10人，平均年龄80.5岁；有老爷爷12人，平均年龄73.5岁。敬老院老人的平均年龄是多少岁？（得数保留一位小数） 老师寄语：我自信，我会学，我努力，我最好。希望我们每一位孩子成为最好的自己，加油吧!
无限循环小数除法练习题 25.2÷6=34.5÷15= 5.6÷4= 1.8÷12= 1.8÷12=7.83÷9= 4.08÷8=0.54÷6= 6.3÷14=72÷15=14.21÷7=24÷15= 1.26÷18=43.5÷29=18.9÷27= 1.35÷15=
28.6÷11=20.4÷24= 3.64÷52=15.6÷12= 328÷16= 1.35÷27=7.65÷0.85=12.6÷0.28= 62.4÷2.6=0.544÷0.16= 1.44÷1.8=11.7÷2.6= 19.4÷12= 5.98÷0.23=19.76÷5.2=10.8÷4.5=
21÷1.4=8.84÷1.7= 6.21÷0.03= 1.89÷0.54= 9.12÷3.8= 54÷0.36= 1.7÷0.08= 0.576÷0.18= 0.77÷0.35=15.68÷5.6=42.7÷7= 38.4÷6= 62.8÷4=65.6÷8=8.4÷5.6= 1.71÷3.8=
7.05÷0.94= 5.4÷24= 6.21÷3=91.2÷38= 85.44÷16=12÷125= 19.4÷12= 6.2÷0.07= 0.51÷0.22= 2.21÷1.8= 8.9÷1.2= 14.12÷4.52= 2.59÷6.6= 12.09÷8.2= 12.71÷1.8= 19.42÷7.8=
1.62÷1.21= 1.45÷0.3= 16.1÷0.12= 18÷ 2.2= 2.2÷0.45= 1 3.3÷5.04= 17.5÷12.6= 12÷6.6= 16÷1.2= 4÷1.5= 19÷ 4.8= 10÷7.8=
循环小数 1、使学生初步理解循环小数、有限小数、无限小数，理解循环节，学会循环小数的简便写法。 2、使学生经历观察和比较循环小数特点的过程，提升他们的分析概括水平和自主学习水平。教学重点：初步理解循环小数、有限小数、无限小数。 教学过程 一、创设情境，导入新课 1、理解依次重复出现的意义。 （1）出示月历表。月历表中的星期几是按照怎样的规律排列的？（星期一后是星期二，直到星期天，再回到星期一，继续重复）这种情况我们能够称它为“依次持续重复”，或者说是“循环”。 （2）观察月历，理解依次重复和循环的含义。 2、导入：生活中有这些重复现象，数学计算中也会遇到一些重复现象，这节课我们大家就一起探讨吧。 二、小组合作，探索新知 1、教学例8。 （1）用多媒体课件出示例8的情景图，引导学生观察并说出图意。 师：请看屏幕，它都提供了哪些数学信息？ （2）学生独立列出算式：400÷75。 （让学生试着计算，看他们有什么发现。） （3）前面我们发现有些除法总是除不尽，这节课我们就来研究除不尽时商有没有规律，有什么规律？ （4）全班交流。 问：在计算过程中是否遇到什么问题？ （它的商有除不尽的现象。） （5）如果继续除下去会是什么情况？（余数的数字和商的数字还会持续重复出现） 2、出示例9两题：28÷18 78.6÷11 男生做第一题，女生做第二题。（体验余数的数字和商的数字持续重复出现的情况。） 3、讨论：怎样表示这个除不尽的商呢？讨论除不尽的现象。 4、你知道这样的小数叫什么小数吗？ 循环小数有什么特点呢？在循环小数里，依次持续重复出现的数字叫什么呢？怎样表示循环小数呢？看教材P28第一小节，将概念性的名词做上记号。 5、看教材理解。 三、理解循环节、有限小数和无限小数 1、看教材。 反馈看教材的情况。 （1）举例说明循环小数中的循环节。 （2）怎样简便表示循环小数？ （3）什么是有限小数？什么是无限小数？请举例说明。循环小数属于哪一种？ 2、练习反馈。 （1）下面几个数中，是循环小数的有（），请用简便方法表示出来。 4.2 0.6666… 2.7467467… 3.08787… 5.47676 3.1415926… 5.7676… （2）你还能给它们分一分类吗？