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§5.3向量综合应用（二）
【复习目标】
1． 强化平面向量的工具意识，培养使用平面向量解决平几、解几、三角函数、物理学及某些应用问题的能力；
2． 树立并不断加强数形结合、等价转化等数学思想的应用意识.
【课前预习】
1． O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC λ=++（0λ≥），则P 的轨迹一定通过△ABC 的
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
2． 若、是不共线的向量，则x +y =时,x=_______,y=________.
3． 在水流速度为34km/h 的河中，如果要使船以12km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小为 ，方向是 . 4． 直角ΔABC 中，∠A=?90，AB=1，则?的值是 （ ）
A ． 1
B ．–1
C ． 1±
D ．不确定，与∠B 的大小、BC 边的长度有关 5． 给出下列命题：①在ΔABC 中，若?<0,则ΔABC 是锐角三角形；②在ΔABC 中，若?>0,则ΔABC 是钝角三角形；③ΔABC 是直角三角形??=0；④ΔABC 是斜三角形的必要不充分条件是BC AB ?≠0. 其中正确命题的序号是___________.
【典型例题】
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例1 （1）已知作用于同一物体的两个力1F 、2F ，|1F |=5N ，|2F |=3N ，1F 、2F 所成的角为?60，则|1F +2F |=_________; 1F +2F 与1F 的夹角为____________.
（2）已知作用于A 点的三个力1F =（3，4），2F =（2，-5），3F =（3，1）且A （1，1），则合力=1F +2F +3F 的终点坐标为 （ ）
A ． (9,1)
B ．(1,9)
C ．(9,0)
D ． (0,9)
例2 已知两定点A （1，0），B （0，3），P 为曲线21x y -=上的动点，求PB PA ?的
最大值和最小值.
例3 已知点A （－1，0）、B （1，0），点C 在直线230x -=上，且AC AB ?，CA CB ?，OA OB ?成等差数列，θ是CA 与CB 所成的角，求tan θ的值。
实用文档 【巩固练习】
1. 已知直线L 上两点1122(,),(,),A x y B x y ，如果按向量a 平移后，A 点对应点的坐标为
(2x 1,2y 1),则B 点对应点的坐标为 。
2. 设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +--=则三角
形ABC 的形状一定是 。
3. 在直角三角形ABC 中，
090,1A AB ∠==,则AB BC 的值是 。 4. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象按向量a 进行平
移，则a 等于 。
【本课小结】
【课后作业】
1． 已知平面上三个向量,,a b c 的模为1，它们相互之间的夹角为1200
，（1）求证：()a b c -⊥（2）若||1()ka b c k R ++>∈，求k 的取值范围。
2． 非零向量(sin ,1),(0,cos ),a b a b θθ==-所在直线的倾角为α，（1）若a
与b 共线，求
θ的值；（2）当(0,)θπ∈时，求证：
2θα=；（3）在（2）的条件下，求函数22cos 2y αα=+的取值范围。
3． 已知非零向量,a b 互相垂直，求证：
||||12||a b a b +<≤-. 4． 设(cos ,sin ),(cos ,sin )(0)a b ααβββαπ==<<<是平面上的两个向量。
（1） 求证：a b +与a b -互相垂直；
（2） 若
35a b =,且2tan 3β=，求tan α的值。
唐山师范学院本科毕业论文 题目向量在解析几何中的应用 学生张红阳 指导教师孟令江副教授 年级10数本2班 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014年5月
郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳 2014 年 4 月 31 日
目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 向量的概念 (1) 2.2 向量的运算 (1) 2.2.1向量的加法 (1) 2.2.2向量的减法 (1) 2.2.3数量乘向量 (1) 2.2.4两向量的数量积 (1) 2.2.5两向量的向量积 (1) 2.2.6三向量的混合积 (2) 2.2.7法向量的有关概念 (2) 2.2.8线性相关定义 (2) 3 向量在立体几何中的应用 (2) 3.1向量在立体几何中的证明 (2) 3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2) 3.1.2证明两直线平行 (3) 3.1.3证明线面平行 (4) 3.1.4证明面面平行 (6) 3.1.5证明两直线垂直 (7) 3.1.6证明线面垂直 (8) 3.1.7证明面面垂直 (9) 3.2向量在几何中的计算 (10) 3.2.1距离 (10) 3.2.1.1两点间的距离 (10) 3.2.1.2点到直线的距离 (11) 3.2.1.3点面距离 (11) 3.2.1.4异面直线的距离 (12) 3.2.2夹角 (12) 3.2.2.1两异面直线的夹角 (12) 3.2.2.2线面角 (13) 3.2.2.3二面角 (14) 3.2.3求面积 (16) 3.2.4求体积 (17) 参考文献： (18) 致谢 (19) 外文页 (20)
6．向量的应用 一. 内容归纳 1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决 诸如平面几何、解析几何等的问题. 2. 重点难点: 向量的性质及相关知识的综合应用. 3. 思维方式: 能换一个角度看问题，善于应用向量的有关性质解题. 4. 特别注意: 向量性质的应用要准确无误，不能想当然. 二．问题讨论： 例1.已知在△ABC 中，?=?=?，则O 为△ABC 的（ D ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 分析：AC OB ⊥?=?=-??=?0)(； 同理：BC OA AB OC ⊥⊥,。故选（D ） 练习：若O 是ABC ?内一点，=++，则O 是ABC ?的（ ） A ． 内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 （课本点击双基第1题） 练习：在△ABC 中，若 1 23?= ?=?，则A cos 等于 63 . 例2．已知,是两个非零向量，当)(R t t ∈+的模取最小值时，（1）求t 的值；（2）求证：)(t +⊥ （解题过程参考课本） 例3：如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是圆心，C 在MN 上，向量与的夹角为0 120，2=?QM QC ，（1）求⊙C 的方程；（2）求以M 、N 为焦点且过点P 、Q 的椭圆的方程。 （解题过程参考课本） 例4：（2002年高考天津）已知两点)0,1(),0,1(N M -，且点P 使PM MN ??,成公差小于0的等差数列.（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为),(00y x ，记θ为与的夹角，求θtan . 解：(1)设),(y x P ，则)0,2(),,1(),,1(=--=---=MN y x PN y x PM ?,22x +=? 122-+=y x PM ,x 22-=?,由题设得
湖南省省级示范性高中-------洞口三中 方锦昌 提供 一、 向量的基本概念： 1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量： 2、 向量的表示：→AB 、→a 、区别于|→AB|、|→a | 3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则 ★ 例题1、一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h ； 求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h ，方向与水流方向成60°角） ★【※题2】①设O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足→OP=→OA+(→AB+→ AC),∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( D ) A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 ②将上题中的条件改为→OP=→OA+( →AB |→AB| + → AC |→AC| )则应选( C ) ★ 例题3：（1）、化简下列各式：①→MN+→NM ；②→FD+→DE-→EF ；③→AB+→BC+→CA ；④（→AB-→DC ）+（→DA-→ CB ）其 中结果为0的有①③④ （ 2）、在平行四边形ABCD 中，→AB=→a ,DB=→b ,则有:→AD=→a -→b ,→AC=→a +→a -→ b 4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示： ① 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式： 5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角： ★例1、已知平行四边形OADB 中，→OA=→a ,→OB=→b ,AB 与OD 相交于点C ，且|BM|= 1 3|BC|，|CN|=1 3 |CD|，用→a 、→b 表示→OM 、→ON 、和→MN 。 ★ 例2、求证；G 为△ABC 的重心的充要条件是：→GA+→GB+→ GC=0 ★例3、已知AD 、BE 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的中线，→AD=→a ,→BE=→b ，则→ BC=____ ★ 例4、①已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若M,N,,P 三点共线，O 为坐标原点，且→ON=a 31→OM+a 2→ OP (直线MP 不过点O ），则S 32等于多少？ ②（2006年江西高考）已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若→OB=a 1→OA+a 200→ OC,且=A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） A 100 B 101 C 200 D 201 ★例5、①若→a 的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|→ a |=_____ ② 已知→a =(1,2),→b =(x,1),且→a +2→b 与2→a -→ b 平行，则x 之值为____ ③ 已知→a =(3,4),→a ⊥→b ,且→b 的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则→ b 等于_____
17、向量的综合应用 1、 如何研究y Asin( x )性质： 2、 正余弦叠加公式 3、 二倍角公式 r r r r 4、 向量数量积的坐标表示：设 a (x 1, y-i ), b (x 2, y 2)，贝U a b _____________________ r 5、 如何求a (x,y)的模。 _______________________________ r _ _ 例 2：设向量 m (cos ,sin ) , n (2、, 2 sin ,2、、2 cos ), 的值(2) cos(—)的值. 12 17、向量的综合应用巩固拓展 1、已知 a (cosx,sin x),b (cosx 3sinx, 3cosx sinx), f(x) a b (1 )求 f (x)的解析式及其最小正周 期；(2)求f (x)的单调增区间. 例1:已知： a (、、3si nx,cosx),b (cos x,cos x) , f (x) 2a b 2m 1。(1)求 f (x)关于 x 的表达式，并求 6、双勾函数的性质: f(x)的最小正周期; ⑵若x [0,-]时f(x)的最小值为 5,求m 的值. (i )，若 m?n 1，求：(1) sin( ) 4 x (t 2)a (t 2 试求出函数k (J3, 5)b , f(t)在 t ( 1) ka (雳)(1)证 4b ,且x y ,试 2,2)上的最小值。 ⑵若存在实数k 和t ,满足 求出k 关于t 的关系式，即k f (t)；⑶根据⑵ 的结论,
uv v — 2、已知锐角厶 ABC 三个内角为 A 、B 、C,向量 p= (2- 2si nA,cosA+s inA )与向量 q = (s in A- cosA,1+si nA ) C - 3B 是共线向量?⑴求角A.⑵求函数y= 2sin 2B+cos 的最大值. 2 .亠=—> —> n n 3、已知向量 AB = (1 + tanx , 1 — tanx ), AC = (sin(x — sin(x + 4)) n uuiu n ，求|BC |的取值范围. 型1的最小值。 f(x) 1 5、二次函数 f (x)对任意 x R ，都有 f (1 x) f (1 x)成立，设向量 a ( sinx , 2), b (2sinx , — ) , c 2 (cos2x , 1) , d (1, 2),当 x [0, n 时，求不等式 f ( a b )> f ( c d )的解集。 a ( 1,2)，又点 A(8,0), B(n,t),C(ksin ,t)(0 uuu r uuu — uuu -)(1 )若 AB a,且| AB| , 5 | OA|，求向 uuiu _ 量OB ; (2)若向量AC 与向量a 共线，当k 4时，且tsin 取最大值为4时，求OA ? OC uuur uuu n (1)求证：AB 丄 AC (2)若 x € [ — 4, 4、已知函f(x)=kx+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点, AB 2i 2] ( i, j 分别是与x 轴和y 轴正半轴同 方向的单位向量) 2 ，函数g(x)= x — x — 6,(1)求k 、b 的值(2)求不等式 f(x)>g(x)的解集 M (3)当 x M 时，求函数 6、已知向量 uuur uurr uuuv
一、多选题 1．若a →，b →，c → 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→ =，则a b →→ = B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→ = C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→ D ．若a b a b → → → → +=-，则a b →→ ⊥ 2．下列说法中正确的是（ ） A ．对于向量,,a b c ，有()() a b c a b c ??=?? B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底 C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件 D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则 0λμ+= 3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23?? ??? B ．4,33?? ??? C ．()2,3 D ．8 ,33?? ??? 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
向量的应用 邻水县九龙中学姜文勇 一、考纲解读 1、会用向量的几何运算与坐标运算解决向量与函数、数列、不等式、三角函数、解析几何等的交汇问题； 2、会将向量的几何表示转化为坐标表示，从而更加有效地解决一些圆锥曲线问题； 3、强化“转化与化归思想”的运用，提高综合运用知识解决问题的能力. 二、复习指导 1、重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算； 2、重视平面向量体现出的数形结合思想方法； 3、体验向量在解题中的工具性特点. 三、教学方法 讲练结合 四、教学辅助工具 多媒体 五、教学过程 1、知识梳理 理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力；同时完成复习书知识点部分. 温馨提示
许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点. 2、基础自测 完成复习书上的基础自测部分，然后我们看答案，对个别题进行点拨. 3、例题解析 类型一、向量与函数 例1、已知向量()()t x b x x a ,1,1,2-=+=，若函数()b a x f ?=在区间（-1,1）上是增函数，求t 的取值范围 审题视点：由向量的坐标表示可以转化出函数的解析式，根据函数的单调性运用函数的导数分析，将问题转化为恒成立问题，进一步转化为最值问题求解 解析：由定义得：()()()t tx x x x t x x x f +++-=++-=23211 ∴()t x x x f ++-='232 ∵()()1,1-在x f 上是增函数 ∴()()1,1-0在≥'x f 上恒成立 ∴()1,1-232在x x t -≥上恒成立 ∵在()()5231,1-2<-=x x x g 上 ∴5≥t 即t 得取值范围是[)+∞,5 方法总结：利用函数的点调性分离参数，以及运用基本函数的性质分析和解决问题. 变式1、设b a ,是两个非零向量，如果函数()? ? ? ? ?-???? ? ?+=b x a b a x x f
一、多选题 1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知 cos cos 2B b C a c =-， 4 ABC S = △，且b = ） A ．1cos 2 B = B ．cos 2 B = C ．a c += D ．a c +=2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2? ? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
复习专题：平面向量及其运算 平面向量及其运算（一） 例题1 给出下列结论： ①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应； ③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数； ④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0。 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确； ②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确； ③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确。 故选：D 。 总结提升： 有关平面向量概念的注意点 （1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。 （2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关。 （3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。解题时，不要把它与函数图象的移动混淆。 （4）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。 （5）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件。 例题2 如图所示，在中，分别是的中点， 2 ,,.3 AE AD AB a AC b 用表示； 【解析】 如图，延长到，使2,AG AD 连接，得到平行四边形。 ABC △D F ， BC AC ，a b ，，，，，AD AE AF BE BF AD G BG CG ， ABGC
第4节 平面向量的综合应用 课标要求 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 【知识衍化体验】 知识梳理 1．向量与平面图形 （1）用向量解决的常见平面图形问题： 、 、 、 、 等问题 （2）用向量解决常见平面图形问题的步骤： 问题→ 问题→ →解决 问题→解决 问题 2．向量与解析几何 向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述，主要强调向量的坐标问题，用 来处理解析几何中的 ，结合直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答． 3．向量与物理学科 物理学中的 、 、 等可以抽象成数学中的向量，借助向量的运算可以解决物理中力的平衡、功的问题． 【微点提醒】 1．平面上三点A B C ，，，有A ，B ，C 三点共线()AB AC λλ?=∈R ； 平面上不共线四点A B C D ，，，，有()AB CD AB CD λλ?=∈R . 2．平面上四点A B C D ，，，，0AB CD AB CD ⊥??=；平面上三点O A B ，， ，向量OA ，OB 夹角的余弦值为|||| OA OB OA OB ??. 3．两点A B ，的距离||AB AB =. 4．三个力1F ，2F ，3F ，同时作用于某物体上一点，物体保持平衡?1230F F F ++=；物体从点A 移动到点B 的位移s AB =；一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W F s =?． 基础自测 疑误辨析 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． （1）若AB BC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （ ）
向量的应用教学设计 一、教材分析 向量概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程。 向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，向量在物理中的应用，是培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，向量在物理中的应用既是一个物理问题又是一个数学问题，所以在教学中，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然 由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析 一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理中量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。 二、学情分析 本节课的授课对象为单招预科班学生，对于职高学生的数学基础及学习特点，为了激发学生学习兴趣并考虑学生的最近发展区针对单招预科班学生创设拔河比赛等问题情景。 学生已学习平面向量的相关内容,初步建立了向量的数学模型和物理模型。教学中尽可能提供学生动手实践的机会,利用信息技术工具,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；应创设情境,提高学生学习兴趣,发挥主观能动性。 此外,学生总结归纳的能力还不够, 需要教师适当的引导和帮助。 三、教学目标 1知识与技能：（1）学会如何把生活中的问题提炼出数学信息，并加工成数学语言，并用向量知识解决物理问题，.体会向量是一种数学工具 （2）掌握用向量知识解决代数问题与几何问题的互相转换和强化数形结合的数学思想方法． （3）揭示知识背景，强化学生的参与意识；加强数学结合能力，发展运算能力和解决实际问题的能力
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 常熟市中学 蔡祖才 一、高考要求 平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读 考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练 1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ） (A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0 2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32 π - ，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2 3．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为 ． 4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤ 2 π )的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦值为 ． 四、典型例题 例1 已知a =ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ） (A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21= ω ( D) 3 2 =ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2 ,0(),1,(sin ),cos ,1(π θθθ∈B A ，则△OAB 的面 积达到最大值时，=θ （ ） (A) 6π (B) 4π (C) 3 π (D) 2 π 例3 设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋b )． 使不等式f (x )≥ 2 3 成立的x 的取值集合为 ．
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用 [真题感悟] 1．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B → 同方向的单位向量为( )． A.? ????35，－45 B.? ????4 5 ，－35 C.? ????－35，45 D.? ?? ??－45，35 解析 A B → ＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →| ＝? ????35 ，－45. 答案 A 2．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →. 故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝1 2×5×25＝5. 答案 C 3．(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD → 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C. －322 D ．－3152 解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →在CD → 方向上的投 影为AB →·CD → |CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 答案 A 4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.
解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝1 2，由b·c ＝0， 得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12 ＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2. 答案 2 5．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC → ，且AP →⊥BC → ，则实数λ的值为________． 解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B → 2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×? ????－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案 7 12 [考题分析] 题型 选择题、填空题 难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)． 中档 在平面几何中，求边长、夹角及数量积等． 高档 在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等. 1．向量的概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a |a |. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)若a ∥b ?a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ?a ·b ＝0；a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2 ＋y 2 . (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B → |＝ x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 .
实用文档 §5.3向量综合应用（一） 【复习目标】 1． 掌握线段的定比分点、中点坐标公式、平移公式的推导及简单应用； 2． 强化平面向量的工具意识，培养使用平面向量解决平几、解几、三角函数、物理学及某些应用问题的能力。 【课前预习】 1. 设线段MN 的端点M （x, 5）,N(－2, y), 点P （1，1）是直线MN 上的点且|MP |=2|NP |， 则点M 和N 的坐标分别是 . 2. 已知A （-1，-1），B （1，3），且C （x,5）在线段AB 的延长线上，若m =，则 m=__。 3. 函数y=log 2(2 x －1)+4的图象按向量a 平移得到y=log 2(2 x)的图象，则a = . 4. 按向量→a 将点)3,2(-平移到点)2,1(-，则按向量→ a 将点)3,2(-平移到 （ ） A ．)4,3(- B ．(1,2)- C ．)3,4(- D ．)1,2(- 5. 已知向量（ 2,0）OB =,向量(2,2)OC =, 向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围为 （ ） (A) [0,]4π (B) 5[,]412ππ (C) 5[,]122ππ (D) 5[,]1212ππ 【典型例题】 例1 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 边上，且||=||31CD ，AE ⊥BF.
实用文档 （1） 试用向量的方法证明：|BE |=||31BC ； （2） 若B （2，1），C （8，4），试求点E 的坐标. 例2 设向量0000(cos 23,cos 67),(cos 68,cos 22),()a b a tb t R μ===+∈ （1） 求a b ?； （2） 求||μ的最小值。 例3 已知A(2,0),B(0,2),C(cos ,sin )αα(0)απ<< （1） 若||7OA OC +=OB 与OC 的夹角； （2） 若AC BC ⊥,求cos2α的值。 【巩固练习】 1． 将函数22y x =的图象按向量(2,2)a =-平移，得到的图象解析式 是 。 A D B C F
一、多选题 1．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?= D ．() 4BC a b ⊥+ 5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122 AE AB AC → →→ =+ B ．2AB EF →→ = C ．1133 CP CA CB → →→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =?，则B =（ ） A ．30 B ．45? C ．135? D ．150? 7．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =， 则（ ）
平面向量 1.D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD → 等于( ) A ．－BC →＋12BA → B ．－B C →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA → 2.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO → ，则λ＝________. 3.(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → 5.(2016·南京模拟)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP → ＝ 0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________． 6.(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB → ＋FC → ＝( ) A.BC → B.12AD → C.AD → D.12BC → 7.(2016·苏州模拟)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝1 2AB ，BE ＝2 3BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 8.设两个非零向量a 与b 不共线． ①若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD → ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； ②试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 9.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN → ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB → ，则λ
向量在生活中的应用 向量是高中数学新课程中的重要内容。向量早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象，20世纪初被引入中学数学。我国在1996年高中数学教学大纲中引入了向量。向量具有丰富的物理背景，向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁，是重要的数学模型。在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c 等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|。长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。 大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学． 在计算机图片中，处理图像会有一种向量格式。在物理中，向量就是矢量，是物理学中最重要的物理量。物理中的矢量是向量的原型，向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。因此，向量在物理中有广泛应用是不言而喻的。向量与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻。 向量在机器人设计与操控、卫星定位、飞船设计等现代技术中也有着广泛的应用。因此，在向量的教学中，应注意体现向量在物理、数学、现代科学技术中的广泛应用性。特别应注意不能把向量的应用只局限在解决几何问题中。向量是解决几何问题的一种有效工具，但高中数学新课程中设置向量内容有着更为广泛的目的，而不仅仅是为了解决几何问题、简化几何证明。 向量的学习，有助于我们认识数学与实际生活以及物理等学科的紧密联系，有助于我们理解数学运算的意义及价值，发展运算能力，有助于我们掌握处理几
平面向量及其应用（一）（学生版） 一、选择题 1、在ABCD Y 中，60BAD ∠=?，E 是CD 上一点， 若 ，则λ等于（ ） B C. 2 D ．3 2、对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，若平面向量a r ，b r 满足，a r 与b r 的夹角，且a b ?r r 和b a ?r r 都在集合中，则a b ?=r r （ ） A B ．1 C D 3、在正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，()24P E EO λλ=≤≤u u u r u u u r ，且平面ABE 与直线PD 交于(),F PF f PD λ=u u u r u u u r ，则（ ） 4、如图，在直角ABC ?中，且2DC BD =u u u r u u u r ，点P 是线段AD 上任一点，则AP CP ?u u u r u u u r 的取值范围是 （ ） A B C D 5、生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半.”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC 中，设O 、H 、G 分别是外心、垂心和重心.下列四个选项错误的是（ ） A.OG GH 2=； B.0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r ; C.设BC 边中点为D ，则有AH=3OD ； D. ACG BCG ABG S S S ==?? 6、如图，已知点P 是圆(2 2:1C x y +-=上的一个动点，点Q 是直线:0l x y -=上的一个 动点，O 为坐标原点，则向量OP OQ u u u r u u u r 在向量上的投影的最大值是（ ） C D A P B
基础知识梳理 1、已知a =( 5, 4), b =( 3, 2),则与2a —3b平行的单位向量为 _______________ (e—5,2?) 【点拨】可以用两种方法解，常用坐标运算。关键指出与一个非零向量a共线的单位向 量有两个。 2、(2001.上海.春招.8) 2 —2 【点拨】|a|二a将向量的模运算转化为向量运算，向量的几何意义及数量积运算要熟。 3、已知向量a =( 1, 2),旧匸工5且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角。 【点拨】本题旨在使学生进一步掌握平面向量的有关基本概念、向量的数量积及垂直的关系。 通过基础题的训练，熟练向量的坐标运算、数量积运算、模运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。 二、例题的讲解 1、平面向量和函数、三角函数、数列及不等式知识整合 1 - ■ 3 例1:已知平面向量a = 3,-1),b =(―,—)。 (1)若存在实数k和t,使得向量x二a ? (t2-3)b , y二-ka tb，且x _ y，试求函数 关系式k=f(t); (2)根据(1)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间。 【思路导引】 ①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？ ②求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：(1)v x — y = x y = 0 二[a (t2-3)b]. (- ka tb)= 0 即：-k2a ta b—k(t2—3)a b (t2—3)tb =
2 1 ??? |a|=2 , |b|=1 , a.b=0 代入上式得 又当t=0时，k = 0,这时y = 0 (不合) ? k=A 令 k ' = 3t 2「3 0，得 t>0 或 t<— 1; 4 4 令k' =3t^- ：：0，得一1
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