向量的综合应用
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
向量的综合应用 二. 重点、难点：
1. b
a ?=θcos
2.
2
2
2b
b a a b a +?+=+
3. b a ,同向时，b a b a ?=?
4. b a ?反向时，b
a b a ?-=?
5.
b
a b a ?≤?
6. 2
2
2
2
22b
a b a b a +=-++ 【典型例题】
[例1] 四边形ABCD 满足0=?+?+?+?AB DA DA CD CD BC BC AB ，判断ABCD 的形状。
解：由已知：0)()(=+?+DA BC CD AB
0)(2=+-CD AB ∴ 0=+CD AB ∴ DC AB = 同理AD BC = ∴
ABCD
[例2] 四边形ABCD 中，?=?=?=?，判断四边形ABCD 的形状。
解：CD BC BC AB ?=? ∴ 0)(=?-BC CD AB 若0=-CD AB ∴ CD AB =与四边形ABCD 不符 ∴ ⊥-)( ∵ ?=?
同理：⊥-)( ∴ // 同理//
0=?∴ DA AB ⊥∴ ∴ 矩形ABCD
[例3] O 为ABC ?内一点，求2
++OC OB OA 2
2
的最小值。
解：令2
2S ++=2 =，=，= ∴
3t +=
时，]
)([31222
min S -++=
∴ O 为ABC ?重心 [例4] b a ,为非0，t b
a +最小，并证明此时)(
b t a b +⊥
解：
=
+
=
∴
2
t
?
-
=
=
+
此时，0
)
(2=
?
-
?
=
?
+
?
=
+
?t
t
∴)
(t+
⊥
[例
3
,3=
=
，,夹角为?
30，λ为何值时，)
(λ
+与)
(+
λ夹角为锐角
解：λ
+与+
λ方向相同∴1
=
λ
∵)
(λ
+与)
(λ
+夹角为锐角∴)
(
)
(+
?
+λ
λ>0，且1
≠
λ∴0
3
8
32>
+
+λ
λ∴
)
,
3
7
4
(
)
3
7
4
,
(+∞
+
-
?
-
-
-∞
∈
λ
∴
)
,1(
)1,
3
7
4
(
)
3
7
4
,
(+∞
?
+
-
?
+
-
-∞
∈
λ
[例6] A（4，0），B（0，4），C（α
αsin
3,
cos
3）
（1）)0,
(π
α-
∈
=
，求α；
（2）若0
=
?，求α
α
α
tan
1
2
sin
sin
22
+
+
的值。
解：
（1）
2
2
BC
AC=
∴α
αcos
sin=)0,
(π
α-
∈∴
π
α
4
3
-
=
（2）0
=
?BC
AC
[例7]
)
,
2
(π
π
α∈
，)1
sin
2,1(
),
sin
,
2
(cos-
=
=α
α
αb
a，若5
2
=
?
，求
)
4
cos(
π
α+
解：5
2
sin
1
sin
sin
2
2
cos2=
-
=
-
+
=
?α
α
α
α
∴5
3
sin=
α
∵
)
,
2
(π
π
α∈
5
4
cos-
=
α
∴10
2
7
)
4
cos(-
=
+
π
α
[例8] )cos ,(sin x x =，)sin ,(sin x x =，)0,1(-=
（1）
3π=
x 时，求,夹角 （2）
]
4,83[ππ-∈x ，x f ?=λ)(最大值为21，求λ 解：（1）)0,1(),21
,23(
,3
-===
x π
（2）
]21
)42sin(22[
]cos sin [sin )(2+-?=?+=πλλx x x x x f
① 0>λ时，
21
=
λ
② 0<λ时，12--=λ ∴ )}
12(,2
1{+-∈λ
[例9]
已知
7
530====++c b a ，求与的夹角。
解：0=++c b a ∴ c b a -=+ ∴ 2
2)()(c b a -=+ ∴ 2
222c b a b a =?++ ∴
215
][2122=
--=?2b a c b a ∴
2
1
15215
cos =
==θ
3π
θ=
[例10] 已知直线a x y +-=与抛物线2
x y =交于A 、B ，O 为原点，求?的
取值范围。
解：???=+-=2x y a
x y ∴ 02=-+a x x ∴ 041>+=?a
∴ )
,41
(+∞-∈a 设),(),,(2211y x B y x A
∴ 121-=+x x 122)(2121+=++-=+a a x x y y
∴ )
,41
[+∞-∈?OB OA
【模拟试题】（答题时间：35分钟）
2
1==，)(-⊥，则,夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 75° D. 135°
2. 已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P
满足
+
+=λ，),0[+∞∈λ，则P 点的轨迹一定过ABC ?的（ ）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心 3. 已知b a ,为单位向量，它的夹角为?60
=
+（ ）
A. 7
B. 10
C. 13
D. 4
4. 若b a ,夹角为?60
4=，72)3()2(-=-?+b a b a
=（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 12
5. b a ,为非0，满足a b a ⊥-)2(且b a b ⊥-)2(，则b a ,夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. π32 D. π
65
6. 已知)4,2(),2,1(--==b a
5
=，若25
)(=?+c b a ，则与夹角为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
7. 在ABC ?中，?=∠90C ，)1,(k AB =，)3,2(=AC ，则=k （ ）
A. 5
B. 5-
C. 23
D. 23
-
8.
已知
1
=≠e a ，满足对任意R t ∈
-≥-，则（ ）
A. ⊥
B. )(-⊥
C. )(-⊥
D. )()(-⊥+
9.
+===,21，且⊥，则向量与夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
10.
2=
0≠，关于x
的方程0
12
=?+?+b a x x b
有实根，则与的夹角的取值范围（ ）
A. ]6,0[π
B. ],3[ππ
C. ]32,3[ππ
D. ],6[ππ
【试题答案】
1. B
2. B
3. C
4. C
5. A
6. C
7. A
8. C
9. C 10. B
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
湖南省省级示范性高中-------洞口三中 方锦昌 提供 一、 向量的基本概念： 1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量： 2、 向量的表示：→AB 、→a 、区别于|→AB|、|→a | 3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则 ★ 例题1、一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h ； 求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h ，方向与水流方向成60°角） ★【※题2】①设O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足→OP=→OA+(→AB+→ AC),∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( D ) A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 ②将上题中的条件改为→OP=→OA+( →AB |→AB| + → AC |→AC| )则应选( C ) ★ 例题3：（1）、化简下列各式：①→MN+→NM ；②→FD+→DE-→EF ；③→AB+→BC+→CA ；④（→AB-→DC ）+（→DA-→ CB ）其 中结果为0的有①③④ （ 2）、在平行四边形ABCD 中，→AB=→a ,DB=→b ,则有:→AD=→a -→b ,→AC=→a +→a -→ b 4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示： ① 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式： 5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角： ★例1、已知平行四边形OADB 中，→OA=→a ,→OB=→b ,AB 与OD 相交于点C ，且|BM|= 1 3|BC|，|CN|=1 3 |CD|，用→a 、→b 表示→OM 、→ON 、和→MN 。 ★ 例2、求证；G 为△ABC 的重心的充要条件是：→GA+→GB+→ GC=0 ★例3、已知AD 、BE 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的中线，→AD=→a ,→BE=→b ，则→ BC=____ ★ 例4、①已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若M,N,,P 三点共线，O 为坐标原点，且→ON=a 31→OM+a 2→ OP (直线MP 不过点O ），则S 32等于多少？ ②（2006年江西高考）已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若→OB=a 1→OA+a 200→ OC,且=A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） A 100 B 101 C 200 D 201 ★例5、①若→a 的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|→ a |=_____ ② 已知→a =(1,2),→b =(x,1),且→a +2→b 与2→a -→ b 平行，则x 之值为____ ③ 已知→a =(3,4),→a ⊥→b ,且→b 的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则→ b 等于_____
山空间向量的综合应用（2） 1．直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ACB ，a AA AC ==1，则点A 到平面BC A 1的距离是 A.a B.a 2 C.a 22 D.a 3 2．在ABC ?中，15=AB ，?=∠120BCA ，若ABC ?所在平面α外一点P 到C B A ,,的距离都是14，则P 到α的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7 3．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是 A. 36 B.35 C.33 D.3 2 4．已知111C B A ABC -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2 2 5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 A ．63 B ．3 3 C ． 332 D ．2 3 6．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 2 1==，点D O ,分别是PC AC ,的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 A ．621 B ．338 C ．60210 D ．30 210 7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算： (1)1BC ED ?；(2) 1EF FC ?. 8．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，?=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成?60角(见下图)．求B 、D 间的距离．
专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷） 一、单选题 1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】 以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )
A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】 如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】 以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，
17、向量的综合应用 1、 如何研究y Asin( x )性质： 2、 正余弦叠加公式 3、 二倍角公式 r r r r 4、 向量数量积的坐标表示：设 a (x 1, y-i ), b (x 2, y 2)，贝U a b _____________________ r 5、 如何求a (x,y)的模。 _______________________________ r _ _ 例 2：设向量 m (cos ,sin ) , n (2、, 2 sin ,2、、2 cos ), 的值(2) cos(—)的值. 12 17、向量的综合应用巩固拓展 1、已知 a (cosx,sin x),b (cosx 3sinx, 3cosx sinx), f(x) a b (1 )求 f (x)的解析式及其最小正周 期；(2)求f (x)的单调增区间. 例1:已知： a (、、3si nx,cosx),b (cos x,cos x) , f (x) 2a b 2m 1。(1)求 f (x)关于 x 的表达式，并求 6、双勾函数的性质: f(x)的最小正周期; ⑵若x [0,-]时f(x)的最小值为 5,求m 的值. (i )，若 m?n 1，求：(1) sin( ) 4 x (t 2)a (t 2 试求出函数k (J3, 5)b , f(t)在 t ( 1) ka (雳)(1)证 4b ,且x y ,试 2,2)上的最小值。 ⑵若存在实数k 和t ,满足 求出k 关于t 的关系式，即k f (t)；⑶根据⑵ 的结论,
uv v — 2、已知锐角厶 ABC 三个内角为 A 、B 、C,向量 p= (2- 2si nA,cosA+s inA )与向量 q = (s in A- cosA,1+si nA ) C - 3B 是共线向量?⑴求角A.⑵求函数y= 2sin 2B+cos 的最大值. 2 .亠=—> —> n n 3、已知向量 AB = (1 + tanx , 1 — tanx ), AC = (sin(x — sin(x + 4)) n uuiu n ，求|BC |的取值范围. 型1的最小值。 f(x) 1 5、二次函数 f (x)对任意 x R ，都有 f (1 x) f (1 x)成立，设向量 a ( sinx , 2), b (2sinx , — ) , c 2 (cos2x , 1) , d (1, 2),当 x [0, n 时，求不等式 f ( a b )> f ( c d )的解集。 a ( 1,2)，又点 A(8,0), B(n,t),C(ksin ,t)(0 uuu r uuu — uuu -)(1 )若 AB a,且| AB| , 5 | OA|，求向 uuiu _ 量OB ; (2)若向量AC 与向量a 共线，当k 4时，且tsin 取最大值为4时，求OA ? OC uuur uuu n (1)求证：AB 丄 AC (2)若 x € [ — 4, 4、已知函f(x)=kx+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点, AB 2i 2] ( i, j 分别是与x 轴和y 轴正半轴同 方向的单位向量) 2 ，函数g(x)= x — x — 6,(1)求k 、b 的值(2)求不等式 f(x)>g(x)的解集 M (3)当 x M 时，求函数 6、已知向量 uuur uurr uuuv
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
空间向量的应用教学设计 钟山中学徐玉学 一、教材内容分析： 在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。 二、学生学情分析： 学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。 三、教学目标： （一）知识与技能 1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式； 2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。 （二）过程与方法 1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程； 2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。 （三）情感态度与价值观 1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。 2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。
a B O 'B 四、教学重点、难点 重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。 五、教学策略 在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。 六、教学过程 （一）知识回顾 θ>=平面向量及其应用综合练习题doc
一、多选题 1．若a →，b →，c → 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→ =，则a b →→ = B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→ = C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→ D ．若a b a b → → → → +=-，则a b →→ ⊥ 2．下列说法中正确的是（ ） A ．对于向量,,a b c ，有()() a b c a b c ??=?? B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底 C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件 D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则 0λμ+= 3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23?? ??? B ．4,33?? ??? C ．()2,3 D ．8 ,33?? ??? 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
一、多选题 1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知 cos cos 2B b C a c =-， 4 ABC S = △，且b = ） A ．1cos 2 B = B ．cos 2 B = C ．a c += D ．a c +=2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2? ? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
第4节 平面向量的综合应用 课标要求 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 【知识衍化体验】 知识梳理 1．向量与平面图形 （1）用向量解决的常见平面图形问题： 、 、 、 、 等问题 （2）用向量解决常见平面图形问题的步骤： 问题→ 问题→ →解决 问题→解决 问题 2．向量与解析几何 向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述，主要强调向量的坐标问题，用 来处理解析几何中的 ，结合直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答． 3．向量与物理学科 物理学中的 、 、 等可以抽象成数学中的向量，借助向量的运算可以解决物理中力的平衡、功的问题． 【微点提醒】 1．平面上三点A B C ，，，有A ，B ，C 三点共线()AB AC λλ?=∈R ； 平面上不共线四点A B C D ，，，，有()AB CD AB CD λλ?=∈R . 2．平面上四点A B C D ，，，，0AB CD AB CD ⊥??=；平面上三点O A B ，， ，向量OA ，OB 夹角的余弦值为|||| OA OB OA OB ??. 3．两点A B ，的距离||AB AB =. 4．三个力1F ，2F ，3F ，同时作用于某物体上一点，物体保持平衡?1230F F F ++=；物体从点A 移动到点B 的位移s AB =；一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W F s =?． 基础自测 疑误辨析 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． （1）若AB BC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （ ）
空间向量在立体几何中的应用 1.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．求证：平面；求与平面所成的角的正弦值． 2.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，． 求证：； 求二面角的平面角的余弦值． 3.等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图）．将 沿折起到的位置，使二面角 成直二面角，连结、（如图）． 求证：丄平面； 在线段上是否存在点，使直线与平面 所成的角为？若存在，求出的长；若不存在， 请说明理由．4.如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知 ，． 证明：平面； 求异面直线与所成的角； 求与平面所成角的正弦值． 5.如图，平面，，，，，分别为，的中点．证明：平面； 求与平面所成角的正弦值． 6.如图，三棱柱中，，， ．证明； 若平面平面，，求直线与平面 所成角的正弦值．
7.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明：平面； 设二面角为，求与平面所成角的大小． 8.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且． 求证：平面；求直线与平面所成的角的大小； 求二面角的大小． 9.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面 ，，为中点．求证：直线平面； 求直线与平面所成角的大小； 求点到平面的距离．10.如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，是的中点，是上的动点．证明：； 若，求直线与平面所成角的大小． 11.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．求证：；已知二面角的余弦 值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 12.已知平行四边形中，，，，是线段的中点．沿直线将翻折成，使得平面平面．求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值．
空间向量的应用二 姓名： 班级： 高二数学 编写：张泉辉 审核：梅冬 备课日期：2011-1-4 学习目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题 重 点： 异线角与线面角的计算 难 点：异线角与线面角的计算 知识链接：1. 2. 3.4. （5.设直线l,m )2,则 l ∥m ?a ∥b 6.设直线l l ∥α?a ⊥u 新课导学：1.义cos ＜a ,b a b ?2.难，只要计算上不失误就可以正确求出角的大小如图，设学法指导： .异面直线所成的角是 范围是：0°＜θ≤90° 直线与平面所成的角 范围： 0°≤θ≤90° 平面α所成的角θ)20(π θ<<。 合作探究：在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F (1)求直线A ′C 与DE 所成的角； (2)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； 练习：1.在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1F 1=41 D 1C 1，求B E 1与D F 1所成的角余弦值的大小。 2.如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC ⊥且AC BC a ==，∠VDC=45°。求直线BC 与平面VAB 学习小结： cos sin =βθ
达标检测：（A 组训练） 1. 已知空间四点11 (0,1,0),(1,0,),(0,0,1),(1,1,)22 A B C D ，则异面直线,AB CD 所 成的角的余弦值为( ) A.19- B. 19 C.13 D.13 - 2如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所 成角的正弦值为_________ （B 组训练） 1 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 2. 如图，直三棱柱ABC －111C B A ，AB = AC = 1，AA 1 = 2，∠111C A B = 90°，D 为BB 1的中点。 （Ⅰ）求证：AD ⊥平面A 1DC 1； （Ⅱ）求异面直线C 1D 与直线A 1C 所成角的余弦值。 （C 组训练） 在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角的正弦 值． 解法二：如图建立以三角形BCD 的中 心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC 设正四面体ABCD 的棱长为a ， 则 336,,,6233 a a a a OF FC OD OA ==== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2633 a a a a C D A - ∵E 为AD 的中点，∴36(0, ,)a a E ∴ 36(,,)2a a a CE =- 又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2 sin cos ,3|||| CE n CE n CE n θ?=<>= = 学后反思： 存在问题：1.法向量如何处理？ 2. P111 页1、2、4题未用。 3. 知识链接内容 A B C D E F H o x z y
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 常熟市中学 蔡祖才 一、高考要求 平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读 考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力． 考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练 1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ） (A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=0 2．函数y =sin x 的图象按向量a =（32 π - ，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +2 3．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为 ． 4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤ 2 π )的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN 与的夹角余弦值为 ． 四、典型例题 例1 已知a =ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ） (A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21= ω ( D) 3 2 =ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2 ,0(),1,(sin ),cos ,1(π θθθ∈B A ，则△OAB 的面 积达到最大值时，=θ （ ） (A) 6π (B) 4π (C) 3 π (D) 2 π 例3 设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a ·(a ＋b )． 使不等式f (x )≥ 2 3 成立的x 的取值集合为 ．
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用 [真题感悟] 1．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B → 同方向的单位向量为( )． A.? ????35，－45 B.? ????4 5 ，－35 C.? ????－35，45 D.? ?? ??－45，35 解析 A B → ＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →| ＝? ????35 ，－45. 答案 A 2．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD → ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →. 故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝1 2×5×25＝5. 答案 C 3．(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD → 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C. －322 D ．－3152 解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →在CD → 方向上的投 影为AB →·CD → |CD →|＝2×5＋1×552＋52 ＝1552＝322. 答案 A 4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.
解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝1 2，由b·c ＝0， 得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12 ＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2. 答案 2 5．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC → ，且AP →⊥BC → ，则实数λ的值为________． 解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B → 2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×? ????－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案 7 12 [考题分析] 题型 选择题、填空题 难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)． 中档 在平面几何中，求边长、夹角及数量积等． 高档 在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等. 1．向量的概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a |a |. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)若a ∥b ?a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ?a ·b ＝0；a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2 ＋y 2 . (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B → |＝ x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 .
空间向量与立体几何（2）——向量法在立体几何中的综合应用 【学习目标】1、能够建立空间直角坐标系； 2、掌握平面的法向量的求解方法； 4、掌握向量法在一些平行、垂直证明中的应用； 3、掌握向量法在线面角和二面角的应用（重难点）. 【重点】空间直角坐标系的建立和法向量的求解 【难点】掌握法向量．．． 在线面角和二面角的应用. 【基础内容】 1、法向量：和平面垂直的向量叫做法向量.如果法向量的模长为1，则称为单位法向量. 2、平行： ①线线平行：a b a b ? ②线面平行：m 是平面α的法向量，若a m a ⊥?平面α ③面面平行：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量， 若m n ?平面α || 平面β 3、垂直： ①线线垂直：a b a b ⊥?⊥ ②线面垂直：m 是平面α的法向量，若a m a ?⊥平面α ③面面垂直：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量， 若m n ⊥?平面α ⊥平面β 4、线面夹角：θ是OP 和平面α的夹角 sin cos ,OP m OP m OP m θ?=<>= ?（根据θ的大小，考虑正负号） 思考：为什么sin cos ,OP m θ=<>？ 5、二面角：θ是平面α和平面β的夹角 cos cos ,m n m n m n θ?=<>= ?（根据θ的大小，考虑正负号） 思考：为什么cos cos ,m n θ=<>？
【前置作业】 1、如图，三棱锥O-ABC，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，求平面ABC的法向量坐标.（提示：利用线面垂直的判定定理，若法向量m⊥平面ABC， 则m⊥AB，m⊥AC） 【研讨探究】 向量法基本方法：①建立坐标系（寻找两两垂直的三条线，特别是找到底面的垂直关系）； ②求出点坐标（不知道长度的用字母代替或设单位“1”） ③求解题目（法向量的应用） 探究一：平行、垂直的证明 1、如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB，PC的中点，P A=AD=1，AB=2．（1）求证：MN || 平面P AD； （2）求证：MN⊥平面PCD； 探究二：线面角、二面角的求解 （3）求MN和平面PBC的夹角的正弦值； （4）求二面角A-PB-C的余弦值.