第一讲 分式（复习）
本章作为春季班的复习课，可以将因式分解和分式一起复习一下；也可以根据班级的具体情况补充一些题目.而且这一讲中分式方程的内容可以着重讲解，秋季班没有涉及.
一、 分式及其基本性质
1、分式的概念及分式与整式的区别
分式的概念：一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
A
B
叫做分式. 分式概念的理解：
（1） 分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起到除号的作用； （2） 分式的分子可以含有，也可以不含有字母，但分式的分母必须含有字母； （3） 分式的分母与分数的分母一样，绝对不能为零；
【例1】 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
3x ,22
3113314,2,,,,,,1735a b y x y m n x y x ac a b π--++--+-+,
3a b π+,1
m m +,223x y + 思路与技巧 根据分式的概念，分数线不是分式的本质特征，是否能叫分式，关键是分母中是否
有字母。
同时，还应对照着回顾整式的概念：整式是单项式与多项式的统称。单项式是数字与字母的乘积，
而多项式是若干个单项式的和.
解答 整式有：222
13143,2,2,,,,,37353
x a b x y y x y m n x y ππ++++--
分式有：
313,,,
11
a b m
x ac a b m --+-++ 评析 简单地说，分式与整式的主要区别，取决于对于一个分子和分母由整式构成的式子中，
分母上是否有字母，如果有，则是分式，如果没有，则是整式，别外，还应注意圆周率π，它是数
字，因此3
π
-
和
3a b
π
+是整式而不是分式.
2、分式有意义的条件
表示两个整式相除的意义，根据除数不能为零的法则，或对照分数中分母不为零的要求可以得
到：
分式有意义的条件是：分式的分母不为零. 一般地，若题目中明确给出“分式
13
x -”，则表示该分式是有意义的，即隐含着条件3x ≠；若目中给出的是“式子13x -”，则它不一定是分式，必须标注当3x ≠时，13
x -才是分式.
【例2】
下列分式有意义的条件是什么？
（1）
1x ;(2)3
3
x +;(3)2a b a b +--;(4)2n m ;(5)22x y x y ++;(6)2
13x + 思路与技巧 分式有意义的条件，关键是要分工的分母不为零，根据这个原则来求使分式有意义的的
取值范围 解答 （1）分式有意义的条件是0x ≠
（2）分式有意义的条件是30x +≠,即3x ≠-
（3）分式有意义的条件是20a b -≠,即12,2
a b a b ≠≠- （4）分式有意义的条件是20m ≠，即0m ≠ （5）分式有意义的条件是2
2
0x y +≠,
因为平方是非负数的，所以上式成立的条件是0,0x y ≠≠ （6）分式有意义的条件是20x ≠
因为20x ≥,所以23>0x +,因此无论x 为何值时，该分式都有意义 评析 分式有意义的条件：分母不等于零。特别应注意，有些分式的分母可能恒不为零.
【例3】 回答下列问题：
（1） 当x 满足什么条件时，分式2
327
x y x +-有意义？
（2） 当m 满足什么条件时，分式
3
11
m m -+没有意义？
思路与技巧 分工有意义．．．的条件：分母不为零；分式没有意义．．．．的条件：分母为零。 解答 （1）分式有意义的条件是270x -≠，即7
2
x ≠
（2）分式没有意义的条件是110m +＝，即11m -＝
评析 解决数学题前，应先认真审题，看清楚题目的要求，理清解题思路，然后再根据要求解题，才更能保证解题的准确度.
3、分式的值为零的条件
分式值为零的条件是：分子为零，同时分母不为零.两个条件缺一不可，必须同时满足，分式值
才能为零.
【例4】 当x 为何值时，下列分式的值为零？
（1）1
x x + （2）211x x -+ （3）33x x --
（4）237x x ++ （5）2231x x x +-- （6）224
2x x x
-+
思路与技巧 分式的值为零，必须满足分子为零，同时分母不为零.若分式的分子是一个非零常数而没
有字母，则该分式的值总不能为零；若分式的分子是恒正或恒负的一个式子，则该分式的值也总不能为零.
解答 （1）因为分式的值为零，则1=0
x x +??
≠?,即1x ≠-
（2）因为分式的值为零，则21=0
10
x x ?-?+≠?,即=1x
（3）因为分式的值为零，则3=0
30
x x ?-??
-≠??,即=3x -
（4）因为分式的值为零，则23=0
70x x ?+?+≠?，即无论x 为何值时，该分式的值都不能为零
（5）因为分式的值为零，因此223=0
30x x x ?+-?+≠?
,解这个方程不等式组，第一个方程的争为
3x -＝或=1x ,而解不等式，得到3x ≠-,因此1x ＝
（6）因为分式的值为零，则224=0
20
x x x ?-??+≠??，解第一个方程，得到2x ＝或2x -＝，解不等
式，得到0x ≠或2x ≠-,因此2x ＝.
评析 这几道题都是单纯考查分式的值为零的条件，那么只需满足分子为零和分母不为零这两
个条件即可，特别的，要注意当有多个值使分子的值为零时，一定要除去这些数值中可能让分母的值为零的值，即必须在保证分式成立的前提下，才能有分式的值为零的情况.
练习： 1、使分式
32
(3)(2)
x x x --+有意义，则x 满足的值是 （ D ）
A. x ≠3
B. x ≠3或x ≠-2
C. x ≠-2
D. x ≠3且x ≠-2 2、当x 为何值时，下列分式为0？
21
2x x +- 2232x x x --+ 229253
x x x ---
[解答]：当12x =-
，21
2
x x +-＝0 当2x =-，
2
2
32
x x x
--+＝0
当3x =-，229
253
x x x ---＝0
4、分式的基本性质
先回顾一下分数的基本性质
一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变. 再来看分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 上述性质可以用式子表示为
,.(0)A AC A A B C B BC B B C
÷==≠÷ 其中A,B,C 是整式.
对于分式的基本性质的理解：
（1）基本性质中的A,B,C 表示的都是整式，其中B 不等于0是已知条件中的隐含条件，一般在解题过程中不需要单独强调，而C 不等于0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须强调C 不等于0这个条件.
（2）分式的基本性质中强调分子与分母要“同时”乘以或除以“同一个”非零的数字或整式，避免只乘分子或只乘分母的错误，也要避免只乘分子或分母中部分项的错误.
（3）分式的基本性质根本要求是“分式的值不变”，它的作用也恰在于此，所以如果题目的要求是在不改变分式值的前提下，对分子进行计算或变形，则通常可以先尝试用分式的基本性质来解题.
（4）分式的基本性质是对分式进行通分和约分的主要依据.
【例7】 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“-”号
（1）
4a
3b
--; （2）5x y -; （3）57m n -
思路与技巧 对于分式中的符号问题，可以遵循下列原则：
分式中有三个符号位置，分别是分子上的符号、分母上的符号以及分式本身的符号，这三个位置上的符号，若为正，则通常省略不写，若为负，则必须写出负号，当三个位置中的符号同时改变两个时，分式的值不会发生变化，利用这个规律，可以解上述问题.
解答 （1）
44a =33b a b -- ;（2）=55x x y y --;（3）55=77m m n n
-- 评析 三个位置中变两个符号，相当于这两个位置同时乘以-1,因为-1与-1的乘积为+1,而任何数或
式子乘以1都不变，因此该分式的值不变.
【例8】 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次项的系数为正数，并将分子、分母按同一字母降幂排列：
（1）2223135x x x x -+-+- ; （2）2
2
563711x x x x
-++- 思路与技巧 对于此类问题，应先分别把分子和分母降幂排列，然后再看系数的符号，根据与上题的
符号规律一致，但要注意虽然题目要求只需把最高次项的系数变为正，但应同时改变分子或分母的所有项数的符号.
解答 （1）22222
2231321321
==355353x x x x x x x x x x x x -+-++---+--+--+ （2）222222563365365
==711117117
x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+--++--
评析 如果有某个分子或分母的最高次项的系数的负，在变号的同时，一定要注意该分子或分母的其他各项的系数也要为变号.
一般地，分式中若分子或分母中有负号，通常把负号提到分数线的前面.
【例9】 写出下列各等式中未知的分子或分母：
（1）
()
2
2
9?33x x x -=
++ （2）2?11111
m m m =++ （3）71
?7
x x -=
+ （4）24161234?x x x x -=+ 思路与技巧 题中等式两边都是分式，因此满足没有改变分式的值而对分式进行变形。根据分式的基
本性质，我们可以找到问题的解。解题的关键是：由等式两边都明确给出的分子或分母之间的关系，推出要求的部分.
解答 （1）
()
()()()
2
2
2
3393333x x x x x x x +---=
=+++
（2）
()21111111m m
m m m m m ==+++
（3）
()()2177
77749
x x x x x x --==++-- （4）()()()22
4434161234344312712
x x x x x
x x X x x --==++-+- 练习：
1、在括号内填上适合的代数式，使等号成立
()21xy xy = ３ ， ()223x x y x y =-+ ， ()22331
x xy y x y -+=+ ()
5ma =30m 24n ， ()m n m n m n -+=++ ， ()3n n n y x x =
（n 是整数） 解：2
23,33,,4,,n
n
y x xy x y na m n x y -+- 2、当
232123x M
xy x y
-=时，M 等于 （ B ） A.2
3(21)xy x -
B.23(21)2xy x -
C.22
(21)3
xy x - D.2(21)xy x - 3、使分式
5
21
x --的值总为正的条件是 （ C ）
A.
1
2
x≥
B .x﹥0 C. x﹤
1
2
D. x﹥
1
2
4、已知
11
3
a b
-=，求分式
232
a a
b b
a a
b b
+-
--
的值.
解：原式＝
2()23
144
()()
33
a b a b a b
a b b a a b
+---
==
----
二、分式的运算
1、分式的乘除法
【例10】当x 时
2
2
23
x
x x
-
-+
有意义
[解答]分析：通过观察可以发现()2
22312
x x x
-+=-+一定是一个正数，这样就将原式有意义得条件
2
2
2
0,2302
23
x
x x x
x x
-
≥-+≠-≥
-+
且转化为，解不等式得：2
x≥
答：2
x≥
点评：判定223
x x
-+是正数是解答本题的关键。同理，()2
22312
x x x
---=-+-是负数.
【例11】二次根式
a
b
有意义的条件是：（）
A. a,b均为非负数
B. a,b同号
C."00",
a b
≥≤
且或"a0且b0" D.0
a
b
[解答]分析：由
a
b
有意义的条件，
a
b
≥0且b≠0可得到以下三种情况：
（1）当a＞0时，b＜0
（2） 当a ＝0时，b ≠0 （3） 当a ＜0时，b ＜0
而（2）又可以分成“a=0且b ＞0”或“a=0且b ＜0”所以正确答案应为：“a ≥0且b ＞0”或“a ≤0且b ＜0”；
点评：此题易选B ，要注意B 和C 是不同的.B 中只包含“a ＞0且b ＞0”,“a ≥0且b ≥0”，或“a ≤0且b ＜0,而不包含“a=0且b ≠0”这种情况.
【例12】当x 取何值时，式子
2
x
x +在实数范围内有意义 [分析]： 利用分式
00000
A A A
B B B ≥≤??≥????的条件为或，
把此题转化为解两个不等式组得问题 解：由000,20202x x x
x x x ≥≤??≥??
+++??
得或 解得x ≥0或x ＜-2
∴当x ≥0或x ＜-2时，原式在实数范围内有意义 点评：记住000000A A A
A B B B B ≥≤??≥≤????的条件为或，的条件为00,00
A A
B B ≤≤????
??或 练习：
1、在分式22331,,,2(1)x a b x y m n
x a b x y m n
-+--++++ 最简分式有（ B ）
A.一个
B.2个
C.3个
D.4个 2、计算()()
2
2
3
2
2x y
x
y
--? 解：2
10y x
3、 化简求值：
22
266(3),344124a a a a a a a a -+-?÷+=-+-其中－ 解：11
,2(2)10
a -- 4、化简求值 ：
4432221,2,22x y x y x x y xy y -==-+++其中 解：()
1
,42
x y - 5、化简求值：
2222,2m n a m n m n b m mn n +=?-?
-=++?
其中 解：,m n b m n a -+
2、分式的加减法
分式加减n b a b c c c ad bc ad bc d bd bd bd ?????????
??+?±=????±??±=+=????
定义：把个异分母分式化成与原公式相等的同分母分式，叫做通分通分依据：公式的基本性质最简公分母：分式中各分母所有因式的最高次幂的积
a 同分母分式相加减－－c 运算a 异分母分式相加减－－b
分式的混合运算的运算顺序：先乘、除运算，再进行加、减法运算，有括号时，先算括号内的；
繁分式－??????
??
定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫繁分式
写成分子除以分母的形式，利用除法法则化简化简利用分式的基本性质化简
【例13】计算： （1）
112618x y y x xy -+ （2）22
2256
x x x x x x +----+ （3） 2222
44224y x y
x y x y x y
++--- 解：（1）最简公分母：36xy
∴原式＝2222362362
36363636x y x y xy xy xy xy
-+-+= （2）2
2(1)(2)x x x x --=+- 2
56(2)(3)x x x x -+=-- 最简公分母为：(1)(2)(3)x x x +--
∴原式＝
()(2)(3)(1)
1(2)(3)(1)(2)(3)
x x x x x x x x x x +-+-+--+--
＝
(2)(3)(1)26
(1)(2)(3)(1)(2)(3)
x x x x x x x x x x x +--++=-+--+--
（3）在这个式子当中x+2y 是整数，可以看作分母是1的分式，三项一次通分完成太麻烦，现采
用逐项通分相加.
原式＝2222222222
44442424x y y x y x x y
x y x y x y x y -+-=-----
＝223222222
(2)42(2)
44(2)(2)
x x y x y x x y x x y x y x y x y x y +---==--+-
＝ 2
2x x y
+
点评 在整式与分式相加减时，通常是把整式的部分看作是分母为1的分式。在异分母分式相加减时，可一次通分完成，也可逐项通分完成，运算结果必须化成最简分式.
【例14】计算
2331
(1)22221
x x x x x x x x +÷-?-+-+-
分析：这是分式的四则混合运算，要先乘除后加减，注意到分母是多项式且可分解因式，因此把分母先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化.
解： 原式＝
22
32(1)1
(1)2(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x ++?-?-+--++ ＝223(1)(1)(1)
1(1)(1)
x x x x x x x x ++-+---++ ＝222
3(1)1)(1)(1)
(1)(1)x x x x x x x x x x +++-+-+-++（ ＝3
3
2(1)1
x x +-
【例15】计算2222222
2112
()22a b a ab b ab a b a b ab
??-+÷+???++-+?? 分析：这是带括号的分式四则混合运算题，应先括号内，后括号外.分子分母能分解因式的要分解因式，注意最后一个分母不是完全平方式.
解：原式＝()2
22222
22
2a b a b ab ab a b ab
a b ??-+??+÷??? ?-+??????＋ ＝()2222222222
22a b ab a b ab a b ab a b ??-+????-+-++????
＝
()
222
2
2
222a b ab
a b ab
a b -+?
-++
＝
()
2
2
a b +
练习： 1、分式
3
,,35b c a ax bx cx -的最简公分母是 （ C ）
A. 35cx
B. 15abcx
C. 315abcx
D.515abcx 2、分式
2161
3962x x x x
---
+--可化简为 （ D ）
A.
726x x -- B.72(3x x --） C.7
3
x x -- D.72(3)x x ++
3、计算：2()a b a b a b a +-- 解：a b
a + 4、计算22
b a b a b -++ 解：22
a b a b
++
5、计算221111x a x a ????-÷-
? ?????
解：a x ax + 6、计算2
2
122n
n n x x y by y y -????-?÷- ? ?????
解：0
三、 分式方程
1、分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
正确判别一个方程是否为分式方程，关键要看这个方程是否有分母，并且分母中是否有未知数. 目前所学的方程，主要有有理方程及无理方程两类。有理方程中包括整式方程和分式方程.
【例16】 下列方程中哪些是分式方程？
（1）()310x x -+= （2）
()11
1923
x x +-= （3）13
71x x
-=+
（4）
22
133
x x +=
（5）
29
73x x +=-
（6）
37
31
y y -+ （7）1
3x x
+=
（8）
()2133a a
a x x
++=-为字母系数 （9）
()2
927=01x x a a a -++为字母系数 （10）31
=3x x
- 思路与技巧 分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数.
解答 其中分式方程有 （3）
13=71x x
-+ （5）
29
73
x x +=-
（7）1
3x x
+= （8）
()2133a a a x x ++=-为字母系数 （10）
31
=
3x x
- 评析 （1）中没有分母，是整式方程
（2）中虽然有分母，但分母中不含未知数，所以仍为整式方程 （4）是整式方程，分母中不含未知数 （6）不是方程，所以也不是分式方程
（9）不是分式方程，虽然分母中有字母a ，但a 不是未知数，所以仍为整式方程. 判断分式方程关键要看分母中是否有未知数.
2、分式方程的解法及增根
解分式方程的关键是要去分母，即方程左右两边同时乘以所有分母的最简公分母，把分式方程化为整式方程.最简公分母应该是含有未知数的整式，这是因为分式方程的分母中含有未知数，要去掉分母，所乘的就必须是含有未知数的整式.我们知道，方程的一个性质是方程两边同时乘以一个不为零的整式，方程的解不变，但我们乘的最简公分母中含有未知数，因此它是否为零是不确定的，而乘以它之后，方程的解是否仍保持不变也就不能确定了.这就是解分式方程产生增根的原因，从另一个角度来看，当把分式方程去分母化为整式方程后，整式方程的解只需满足方程的数量关系即可，没有其他条件.但分式方程的解却要求这个解使得分式方程的分母不能为零.因此把分式方程转化为整式方程后，相当于扩大了原方程解的范围，这样可能就产生了增根.
对于分式方程的增根，可以从以下几个方面理解： （1）增根一定适合分式方程转化后的整式方程；
（2）增根不适合原分式方程，即使原分式方程至少有一个分母为0；
（3）为了简便，验根时通常只需要把求得的根代入所乘的最简公分母，使最简公分母为0的根就是原方程的增根.
【例17】 （1）如果分式方程
11
3=
22x x x -+--有增根，则求它的增根 （2）如果分式方程81
=877x x x
----有增根，则求它的增根
思路与技巧 此类题目可以根据分式议程增根有意义，不解分式方程，即可求出该方程的增根. 解答 （1）该分式方程的增根是=2x （2）该分式方程的增根是=7x
评析 若分式方程有增根，则它一定使分式方程中的某个或某几个分母为零。而此题中使分母为零的x 值均只有一具，所以若有增根，则一定是这个值.
事实上，例如（1）题，我们可以把它变形，探究一下它为什么有增根，即为什么无解.
11
3=
22
x x x -+-- 移项，得11
=322x x x ----
即11
=32x x ---
2=32
x x --
这里方程左边若能约分，则约分结果为1,而方程右边却为3,显然不等，因此原分式方程无解.
3、解分式方程的一般步骤
首先要找到所有分母的最小公分母，去分母后化为整式方程，按照解整式方程的方法解出适合整式方程的解，最后也是最一步，就是检验，看是否有增根.
【例18】 解方程：
10030
=
7
x x - 解答 方程两边同乘以()7x x -,约去分母， 得()1007=30x x - 解这个整式方程，得=10x 检验：把=10x 代入()7x x -,得
()101070?-≠
所以=10x 是原分式方程的解.
【例19】解方程
2
1622
=422
x x x x x -++-+- 解答 原方程化为
()()1622
=2222
x x x x x x -+++-+-
方程两边同时乘以()()22x x +-,约去分母， 得()()2
2
162=2x x -+-+ 整理得22412=44x x x x --++ 解这个整式方程，得=2x -
检验：把=2x -代入()()22x x +-，得 ()()22220-+--＝
所以 =2x -是原方程的增根，原分式方程无解
评析 解分式议程的步骤：
→→→去分母，化为整式方程解整式方程检验写出原分式方程的解
【例20】解方程
2216
124
x x x --=+- 解：两边都乘以(2)(2)x x +-，得 ()2
216(2)(2)x x x --=+-
2244164x x x -+-=-
48x -= ∴2x =-
检验：当2x =-时， (2)(2)0x x +-= ∴-2 是增根 ∴原方程无解
点评：此题常见错误是：方程右边整数1没有乘以()()22x x +-，因此解分式方程去分母时，方程的左右两边各项都要乘以最简公分母.
【例21】解方程
222
525710
61268
x x x x x x x x x --+=+----+ 分析：这个分式方程的各分母都是多项式，应先分解因式确定最简公分母，从而转化为整式方程来解 解：原方程可变形为：
2525710
(2)(3)12(2)(4)
x x x x x x x x x --+=-+----
方程两边都乘以(2)(3)(4)x x x -+-，得
5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+
整理，得4040x -=- ∴1x =
检验，当1x =时()()()234x x x -+-≠0 ∴1是原方程得根 ∴原方程的解是1x =
【例22】解方程组661
283310
x y x y ?+=??
??-=?? ① ②
分析：把方程组的每一个方程去分母，转化为整式方程组，将得到二元二次方程组，目前我们还不会解这
类方程组.若认真观察这个方程组得特点，则原方程组可写成1
11662111
8310x y x
y ??+?=??
???-=??，只需把11,x y 分别看作是
一个整体，则利用换元法就可以转化为二元一次方程组求解. 解：设
11
,m n x y
==
则原方程组可化为
1 66
2
3 83
10 m n
m n
?
+=??
?
?-=
??
解这个方程组，得
1
20
1
30
m
n
?
=
??
?
?=
??
即
11
20
11
30
x
y
?
=
??
?
?=
??
∴
20
30
x
y
=
?
?
=
?
经检验
20
30
x
y
=
?
?
=
?
是原方程组的解.
点评分式方程组一般情况是去分母转化为整式方程组来解，对于一些特殊得分式方程组可以使用换元法.
【例23】某校文艺演出队到离校15千米的某地慰问演出.先遣队与演出队同时出发，行进速度是演出队的1.2倍，以便提前到达半小时做好准备工作.求先遣队与演出队的行进速度.
分析：设演出队的速度为x千米/时，则先遣队得速度为1.2x千米/时.演出队与先遣队行进时间分
别为15
x
小时、
15
1.2x
小时.先遣队比演出队早到半小时，也就是同时出发到目的地，演出队比先遣队多用
半小时，利用时间关系可列方程.
解法一：设演出队的速度为x千米/小时，则先遣队得速度为1.2x千米/时
由题设可得知15151
1.22 x x
=+
解这个方程得x＝5
经检验：x＝5是所列方程的根，且符合题意. 当x＝5时，1.2x＝6
解法二：设演出队行完全程需要y小时，则先遣队行完全程需
1
2
y
??
-
?
??
小时
由题意可得
1515
1.2
1
2
y y
=?-
解这个方程得y＝3
经检验y＝3是所列方程得根，且符合题意.
当y＝3时，
15
6
1
2
y
=
-
……先遣队的速度
当y＝3时，15
5
y
=……演出队的速度
答：演出队的速度是5千米/时，先遣队得速度时6千米/时
点评：方法一是直接设未知数，利用时间之间的数量关系列方程。方法二是间接设未知数，利用速度之间的数量关系列方程，对于此题来说方程二没有方法一简便.
练习 1、当a ＝
12时，方程202
x a x -=-无解 2、若去分母时，解关于y 的方程
2403
y y a
y -+=-时有增根，a ＝ 3 3、去分母，解方程133
x m
x x -=
--时有增根，则m 的值是 （ B ） A.3 B.2 C.1 D.-1
4、解方程：36501(1)
x x x x x ++-=-- 解：解得x=1,检验之后x=1是增根，∴原方程无解 5、解方程： 34133x
x x -+=
-- 解：x=5，检验之后方程成立，∴x=5 6、解方程：2
2212356
x x x x x x x -=+---+ 解：x=1 四、 本章测试
填空题：
1、约分：2332510x y x y c -=-2y xc ；22121x x x --＝＝1
1
x x +-
-. 2、计算：2422a a a +=--2a +；()()3
2a b b a a -÷-=a b a -
3、方程：12
235
x x =
-+的解是 x=-9 . 4、如果关于x 的方程2233
x a
x x -=--有增根，那么a 的值是 a=1.5 .
5、已知：11332,x xy y
x y x xy y -++=-+则的值是 5 .
6、已知21(3)(4)34
x A B
x x x x +=+-+-+，则A 、B 的值为（ B ）
A 、A ＝1,
B ＝-1 B 、A ＝1,B ＝-1
C 、A ＝-1,B ＝1
D 、A ＝2,B ＝-2
7、若1
1q p q -=
+，那么q 等于（ C ） A 、11p p -+ B 、11p p +- C 、1
1
P p -+- D 、－1
8、若a b ab -=，则11
a b -的值为（ D ）
A 、1
a b
+ B 、1ab C 、b a - D 、－1
9、使分式222
2
x x x ---的值为0的x 的值为（ C ）
A 、－1
B 、2或－1
C 、2
D 、1
10、解方程：
21421242x x x x x x +-=---+ 解：185
x = 11、当12x =-时，求代数式2222
6124111x x x x x x x x ??++-+-+÷ ?--+??
的值. 解：1
3x =
分式1 一、分式基本概念及性质 分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下两点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ （0 m≠）． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 【例 1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例 2】 ⑴x为何值时，分式 1 1 1 1x + + 有意义？ ⑵要使分式 24 13 1 2 a a a - + + 没有意义，求a的值． 【解析】⑴ 1 10 1x +≠ + 且10 x +≠，则2 x≠-且1 x≠- ⑵根据题意可得 13 10 2 a a + +=或20 a=，所以 1 5 a=-或0 a=
初一奥数应用题专项训练【3篇】 【篇1】初一奥数应用题专项训练 1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上，（不包括300支），可以按批发价付款，购买300支以下，（包括300支）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元： （1）这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？ 2、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？
3、一个正多边形的每个内角都是172度，求它的边数N应满足的分式方程。 4、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是X公顷，那么应满足的分式方程是什么？ 5、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么？ 【篇2】初一奥数应用题专项训练
1、一枝钢笔的价钱是一枝圆珠笔的4倍，李老师买了一枝钢笔和5枝圆珠笔，一共用了12.6元。钢笔和圆珠笔的单价各是多少元? 2、甲、乙两地相距480千米，客车、货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米，相遇时，两车各行了多少千米? 3、一辆轿车和一辆摩托车分别从甲、乙两地相向而行，两地相距500千米，摩托车上午8点出发，每小时行40千米，轿车上午10点出发，每小时行60千米，问几点两车可以相遇? 4、一列快车和一列慢车同时分别从相距630千米的两地相对开出，4.5小时相遇，快车每小时行78千米，慢车每小时行多少千米? 5、甲乙两辆汽车同时从同一地点向相反的方向行驶，4小时后两车相距300千米，已知甲车每小时行40千米，乙车每小时行多少千米?
八年级奥数：分式的化简求值 解读课标 先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类． 给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还常常用到如下技巧策略： 1．适当引入参数； 2．拆项变形或拆分变形； 3．整体代入； 4．取倒数或利用倒数关系等． 问题解决 例1 已知，则_____________． 例2 a 、b 、c 为非零实数，且，若，则 等于（ ）． A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 例3 已知，求的值． 例4 已知，且，求x 的值． 012 =--x x =++5412x x x 0= /++c b a a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+abc a c c b b a ))()((+++11,11=+=+ c b b a a c 1+012 =--a a 1129322322324-=-++-a xa a xa a
例5 已知a 、b 、c 满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1． 数学冲浪 知识技能广场 1．请你先化简：=___________，再选取一个你喜爱又使原式有意义的数代人求值得_____________． 2．已知实数，则代数式的值为_____________． 3．若，且，则 的值为_______________． 4．若，则的值为_______________． 5．若，则的值为（ ）． 6．若的值为，则的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ． D ． 7．当时，代数式的值是（ ）． A ．-1 B ． C ． D ．1 12222 22222222=-++-++-+ab c b a ac b a c bc a c b 1 )111(2 2-÷-+x x x 01442=+-x x x x 212+2002,2003,2004222=+=+=+m c m b m a 24=abc c b a ab c ca b bc a 111---++a d d c c b b a ===d c b a d c b a +-+-+-31=+x x 1212++x x x 10.A 8.B 101.C 8 1.D 73222++y y 141 6412-+y y 17-15 6 1-=m 3339952122+--+÷----m m m m m m n m m 12-12
分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. @ 例4. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例5. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例6. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． ； 例7. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.
例8. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． ！ 例9. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例10. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例11. # 例12. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例13. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例14. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 … 例15. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。
分式恒等变形 方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。 例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求 111 a b c bc ca ab a b c ++---的值。 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222 a b c bc ac ab ++的值。 例3. 求证： 2220()()()()()() a bc b a c c ba a b a c a b b c c b a c ---++=++++++ 例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式 2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+222 2z x y xz +->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长 例5. 求分式 24816 1124816 111111a a a a a a +++++ -+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++= ++，求证：777777 1111 a b c a b c ++=++.
例7. 化简:()()()()()() a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++． 例8. 计算：2132x x x -++262x x ---210 4 x x -- -． 例9. 化简22 32233223222244 113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++-- +++-+--+-． 例10. 化简： () () () () () () 2222222 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+ + +-+-+- 例11. 已知0a b c ++=，求证222222222 111 0b c a a c b b a c ++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值 例13. 已知1,2xyz x y z =++=， 22216 x y z ++=，求代数式 111 222xy z yz x zx y +++++的值。
第一学期期中检测试卷 六 年 级 数 学 （满分100分，考试时间：90分钟） . (1+)×(1-)×(1+)×(1-)×…×(1+ )×(1-) 答案 解：(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×…×(1+)×(1-) 383342725724 342725+??+152941546534151?+?+?
＝(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×…×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×(1-) =××××…×××××× = 算: ． 答案详解 解:原式 因此，本题正确答案是 解析:
观察发现,对于每个分式的分母都是 (其中n取,而,那么 , 因而可转化为 , 进一步通过加法的结合律计算得,至此问题解决. 学校春游共用了10辆客车，已知大客车每辆坐100人，小客车每辆坐60人，大客车比小客车一共多坐520人，大、小客车各几辆？ 答案 解： 小客车： (100×10-520)÷(100+60) =480÷160 =3(辆) 大客车：10-3=7(辆) 答：大客车7辆，小客车3辆. 故答案为： 7辆；3辆.
此类型题考查的是鸡兔同笼问题，解答此类型题的关键是：根据题意得知，可以假设10辆都是大客车，先求出小客车的数量，再用总量数减去小客车的数量即为大客车的数量. 解析 把1辆小客车换成1辆大客车，大小客车所坐人数之差将增加(100＋60)人，假设10辆都是大客车(即把所有小客车都换成大客车)，大客车就比小客车多(100×10)人，大小客车所坐人数之差比实际增加(100×10－520)人，进而可求出小客车辆数，小客车有：(100×10－520)÷(100＋6 0)＝3辆，大客车有：10－3＝7辆. 搬运2 000块玻璃，如果安全运到，每块可得运费0.4元，如损坏一块，要赔偿7元.结果运输公司得到运费711.2元.问搬运过程中损坏玻璃多少块？ 答案 解：设损坏玻璃x块，则完全云列(2 000－x)块 (2 000－x)×0.4－7×x＝711.2 800－0.4x－7x＝711.2 7.4x＝88.8 X＝12 故答案为： 12块 应得的运费一损坏赔偿的费用＝实得运费 解析 为了便于理解，可用方程来解先设损坏的玻璃数为x，再求出得到通费.再减去损坏玻璃的赔偿，即为得到真正列的运费. 甲、乙、丙三所学校共有学生2900人.如果甲校学生减少,乙校学生增加生14人.则三校学生人数相等.请问:甲、乙、丙三校各有学生多少人?
分式方程（组） 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根． 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等． 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一． 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如 7 2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路． 2．用换元法解分式方程 【例2】解方程08131 821 8111 222=--+-++-+x x x x x x ． 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解． 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a a x x 11+=+ 结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a x 12=．
第一章《直角三角形》培优试题 1.已知一个Rt △的两边长分别为6和7，则第三边长的长是 。 2.直角三角形的周长是62 ,斜边的中线长为1,则它的面积为____________. 3.如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为522 cm 和42 cm ，则直角 三角形的两条直角边的和是 cm . 4. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线AD=4cm ，则∠ADC 的度数 是 度 5．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。 6.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？ 7.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 8、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。 MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。 A A B C D E F 1 2 小河 D
9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 10. 已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 交AB 于点E ，且CD=AC ，DF ∥BC ，分别与AB 、AC 交于点G 、F ． （1）求证：GE=GF ； （2）若BD=1，求DF 的长． 12、如图，一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________. 13、如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则则∠1+∠2等于__________. 14.已知，如图△ABC 是边长4cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? B C Q
第一讲：分式的运算 【知识梳理】 一、分式的意义 形如B A （ B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。 当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。 二、分式的性质 （1）分式的基本性质： M B M A M B M A B A ÷÷=??=（其中M 是不为零的整式）。 （2）分式的符号法则： 分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 （3）倒数的性质： 1、()()011011>=?≠=?a a a a a a ，； 2、若11=?a a ，则11=?? ? ???n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a a a 。 三、分式的运算 分式的运算法则有： bd bc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n n n b a b a bc ad d c b a bd ac d c b a =??? ??=÷=?，，（n 是正整数）。 四、分式的变形 分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。 【例题精讲】 【例1】（1）当=m ___________时，分式 ()()2 3312+---m m m m 的值为零；
（2）要使分式x x -11有意义，则x 的取值范围是_______________________。 思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。 【巩固】 1、若分式2231244 x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式a a a 23114 2++-没有意义，则a 的值为________________； 【拓展】当x 取何值时，分式 6 522+--x x x 有意义？ 【例2】化简下列分式： （1）1221422-+???? ??---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x （3） ()()()() ()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。 【巩固】化简： （1）12442222+--÷--+n m m n m n m m n n （2） 12 71651231222+-++-++-a a a a a a ；
分式奥数题Revised on November 25, 2020
分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2当a=2时的值时,求分式 分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2- b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3若abc=1，求
分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1因为abc=1，所 以a，b，c都不为零．解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4化简分式： 分析与解三个分式 一齐通分运算量 大，可先将每个分 式的分母分解因式，然后再化简． 说明 互消 掉的一对相反数，这 种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧． 例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-
第一章有理数奥数题（1） 1.2002*20032003-203*20022002= 2.已知a-2的绝对值+2b+1的绝对值=0，求a-2b+1的值 3.如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( ) A．a，b都是0 B．B．a，b之一是0 C．C．a，b互为相反数 D．D．a，b互为倒数 4.一乳制品加工场销售员小王给超市送来10箱奶粉,每箱20袋,每袋400g,当他要返回厂里时,突然接到厂部打来电话,说这10箱奶粉中有一箱因装罐机出现了故障,每袋少装了20g,要求他立即把缺量的一箱带回去更换.但超市里正忙,小王只能称一次,就要将那缺量的奶粉找出来.请你帮他想个办法,能办到吗? 5.将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，继续对折三次后，可以得7条折痕，如果对这n次，可以得到多少条折痕? 6.23个不同的正整数的和是4825，问;这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少?写出你的结论，并说明理由。 7.当x=3分之2，y=－4分之3，z=－2又2分之1，分别求下列代数式值（1）+（－x）－（－y）－（－z）(2) －(+x)+( －y) －（－z）
有理数奥数题（2） 一、填空题:(每小题5分，共50分) 1、计算: (1)125×888=___________; (2) =___________。2、把用“＜”连接起来:________________。3、下面有两串按某种规律排列的数，请按规律填上空缺的数。(1) ( ); (2)15，20，10，( )，5，30，( )，35。4、有甲、乙、丙三个数，已知甲、乙;乙、丙;丙、甲两数的平均数分别为40、46、43，那么甲、乙、丙三个数的平均数是___________。5、下边的加法竖式的申、办、奥、运四个汉字，分别代表四个不同的数字，请问:申办奥运分别为何数字时算式成立。申=______;办=______;奥=______;运=______。 6、甲班有学生48人，其中1/2是女生;乙班有学生45人，其中1/3是女生，那么两班的男生共有_______人。 7、配置3%的葡萄糖50千克，需要1%与6%的葡萄糖分别为______千克、______千克。 8、五个人都属龙，他们岁数的乘积是589225，这五个人的岁数和是__________。 9、加工一批零件，如果师傅先加工20天后，剩下的由徒弟再加工30天正好完成;如果徒弟先加工37天，剩下的由师傅再加工17天也正好完成。现在师傅、徒弟一起加工若干天后，剩下的由徒弟再加工40天正好完成。问:师傅和徒弟一起加工了_______天。10、用两个同样长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体，拼成一个大长方体，它的
第四讲 一元二次方程5：高次、分式方程解法 一、 解方程的基础知识 1．整式方程 一般通过消元、降次等方法求解； 在处理二元二次方程时，还常把方程看作关于一个未知数的含字母的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式及其它基本知识来各个击破。 特别地，对二元二次方程组，求解基本方法是“加减消元法”何“代入消元法”，在解二元二次方程组或特殊的方程组时，常把它们转化为对称方程组x y a xy b +=?? =?求解； 2．分式方程 一般通过去分母、换元法等，化分式方程为整式方程； 3．无理方程 一般通过两边平方、根式的定义性质、换元、构造等方法，化无理方程为有理方程. 二、 例题部分 1．高次方程 例1（★，1994年兰州初中数学竞赛）解方程2 2 2 (231)22331x x x x -+=-+ 【解】2 2 2 (231)11(231)100x x x x -+--++= 即2 2 [(231)1][(231)10]0x x x x -+--+-= 亦即2 2 (23)(239)0x x x x ---=，分解(23)(23)(3)0x x x x -+-= ∴121233 0;;;3;22 x x x x == =-= 例2（★，1957年北京数学竞赛题）解方程4 4 (4)626x x +-= 【解】设y ＝x －2，则原方程化为4 4 (2)(2)626y y ++-= 展开可得42 242970y y +-=，即2 2 (33)(9)0y y +-= ∵2330y +>，∴2 90,3y y -==± ∴125;1x x ==- 例3（★★，96年竞赛）解方程2 2 2 (32)3(32)2x x x x x =+-++-- 【解】设2 32y x x =+-，则2 32x y y =+- 上两式相减，得()()3()y x x y x y x y -=-++-，即()(4)0x y x y -++= ∴0x y -=或40x y ++=
八年级奥数分式题及答案 性质： 1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个 不为0的整式，分式的值不变。 2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为 分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 3.分式的约分步骤： (1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。 (2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式， 再将公因式约去。 注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的公约数，字母 取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的 公因式。 4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称 为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 5.根据分式的基本性质，异分母的分数能够通分，使几个分数的 的分母相同;同样，根据分式的基本性质，分式也能够实行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。 6.通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。 7.分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相对应扩大各自的分子。 注：最简公分母的确定方法： 系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的次幂及单独字母的幂的乘积。 注：(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质 (2)分式的约分和通分都是互逆运算过程。 概念： 形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 【注意】 掌握分式的概念应注意： 判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足： (1)分式的分母中必须含有字母。 (2)分母的值不能为零。若分母的值为零，则分式无意义。 因为字母能够表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式 无理式和有理式统称代数式[ 有意义的条件 (1)分式有意义条件：分母不为0;
条件分式求值的方法与 技巧 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
学科: 奥数 教学内容：条件分式求值的方法与技巧 求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面： 一、将条件式变形后代入求值 例1已知 432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4 32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝5 45443224322==+-?-?+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法． 例2已知的值求b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0， ∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0， 解得a ＝－3b 或a ＝2b ． 当a ＝－3b 时，原式＝233=+---b b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3 122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值． 例3已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋ c ＝0， ∴ 原式＝－3． 例4已知31=+x x ，的值求1242++x x x ． 分析：∵ 1)1(11122 2224-+=++=++x x x x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值． 解：∵ 1)1(12224-+=++x x x x x 8132=-=，
八年级数学上第一章<分式>奥数试题 1． a=___时，分式62 2-+-a a a 的值是0 2． 已知???=++=--0 2022z y x z y x 则分式2222 22z y x z y x ++--＝＿＿＿＿ 3． 若x 和分式1 23-+x x 都是整数，那么x=_______________ 4． 直接写出结果: ① x 21 2x ＋=(x+x 1)2-______ ②(x 2+21x +2)÷（x+)1x =____ ③ （x 2-2 1x ）÷（x+x 1）=__＿＿ ④（1＋)1x （1－)112x x +＝＿＿＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 ＋＋ ＋ x 111111 6．x 取什么值时分式9 222---x x x 的值是零？是正数？是负数？ 7．计算：①14++x x ＋3 21432++------x x x x x x
②4214121111x x x x ++++++- ③4102124832 7622222-++--++-++++x x x x x x x x x x 8．解方程： （1） 6 75691089++-++=++-++x x x x x x x x （2）124 29122323-=++-++-+x x x x x x x ⑶ 3=--+--+--b a c x a c b x c b a x （其中)0111≠++c b a
9．已知xy ∶yz ∶z x=3∶2∶1, 求①x ∶y ∶z ② yz x ∶zx y 10．已知a ≠b ≠c 且z b a y a c x c b -=-=- 求证：ax+by+cz=0 11.已知：y x z x z y z y x +=+=+ 求：（x+y ）∶z 的值 12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式 5 3++bx ax 中的x 不论取什么值分式的值都不变，问a 和b 之间的关糸应满足什么条件？ 14. 已知p c n b m a == 求证：（a 2+b 2+c 2）(m 2+n 2+p 2)=(am+bn+cp)2
初二年级奥数分式方程试题及答案 1．下列是分式方程的是(D) A.xx＋1＋x＋43 B.x4＋x－52＝0 C.34(x－2)＝43x D.1x＋2＋1＝0 2．为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力实行大 型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所 需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的分式方程为(A) A.400x＝300x－30 B.400x－30＝300x C.400x＋30＝300x D.400x＝300x＋30 3．已知x＝1是分式方程1x＋1＝3kx的根，则实数k＝16. 4．把分式方程2x＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同 乘以(D) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 5．解分式方程2x＋1＋3x－1＝6x2－1分以下几步，其中错误的 一步是(D) A．方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1) B．方程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6 C．解这个整式方程，得x＝1 D．原方程的解为x＝1
6．解分式方程1x－1＋1＝0，准确的结果是(A) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．无解 7．已知x＝3是关于x的方程10x＋k－3x＝1的一个解，则k＝2．8．解下列方程： (1)2xx－2＝1－12－x； 解：方程两边同乘以(x－2)，得 2x＝x－2＋1.解得x＝－1. 经检验，x＝－1是原方程的解． (2)6x－2＝xx＋3－1； 解：方程两边同乘以(x－2)(x＋3)，得 6(x＋3)＝x(x－2)－(x－2)(x＋3)． 解得x＝－43. 经检验，x＝－43是原方程的解． (3)xx2－4＋2x＋2＝1x－2； 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得 x＋2(x－2)＝x＋2.解得x＝3. 经检验，x＝3是原方程的解． (4)23＋x3x－1＝19x－3. 解：方程两边同乘以9x－3，得 2(3x－1)＋3x＝1.解得x＝13.
41、简单方程的解法 【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。 解去分母，两边同乘以6，得 3（x-9）-2（11-x）=12 去括号，得3x-27-22+2x=12 移项，得3x+2x=12+27+22 合并同类项，得5x=61 【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是： （1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。 解方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得 5（x-2）=7x 解这个整式方程，得x=-5， 检验：当x=-5时， x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0， 所以，-5是原方程的根。 解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得 （x－2）2-16＝（x+2）2 解这个整式方程，得x=-2。 检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。
42、加法运算定律 【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。 加法交换律用字母表达，可以是 a+b=b+a。 例如：864+1，236=1，236+864=2，100 【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。 加法结合律用字母表达，可以是 （a+b）+c=a+（b+c）。 例如：（48928+2735）+7265 =48928+（2735+7265） =48928+10000 = 58928
例1．化简6 663 33112 11x x x x x x x x ? ???+-+- ? ?????????+++ ? ?? ??? 例2．化简分式：22222325345285 1223 a a a a a a a a a a a a ++-----+--+++-- 例3．已知abc=1，求111 a b c ab a bc b ca c ++ ++++++的值。 例4．若a b c a b c a b c c b a +--+-++== ，求()()()a b a c b c abc +++的值。 例5．已知a ＋b ＋c=0，求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值。
A 卷 一、填空题 01.代数式()22111 32211x y x y z x x x x y x x π-++-++ -+、、、、、中程分式的代数式是_____________。 02．使分式111213x + + +无意义的值共有__________个。 03.当x=__________时，分式3 412 x x -+的值为零。 04．53x y =，72y z =，x y y z -+=__________。 05.化简22212b b a ab a ab b a ab b ???? ?+- ??? +++???? =__________。 06.化简 ()3222 23321111 12m n m n m mn n m n m n m n ??-????+++÷?? ? ?++????+????=__________。 07.化简 ()()3 2 23233223231 231 x y x y y x x y x y x y ----- +--+--=__________。 08.若11123 x y -=，则23432x xy y x xy y +---=__________。 09.已知3a 2 +ab ?2b 2 =0(a ≠0，b ≠0)，，则22 a b a b b a ab +--=__________。 10.设211 x x mx =-+，则36 331x x m x -+=__________。 二、解答题 11.计算22222261011285 69943 x x x x x x x x x x ++-+++-++-++． 12.已知a+b+ c=0，求1111113a b c b c c a a b ?????? ++++++ ? ? ??????? 的值。 13.求 ()()2 219942000199439851995 1991199319961997 -+????的值。 B 卷 一、填空题
奥数专题之列方程解题 1 1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。 2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高 速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地 所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果 同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 4、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖 拉机单独耕这块地需要几天？ 5、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。 6、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？ 7、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后， 要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。 8、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人 的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。 9、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 10、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的 1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？ 11、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。 12、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的 1. 5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。 13、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。 14、某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。 （1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。