八年级奥数：分式的运算
解读课标．
分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化” ，所以其性质与运算是完
全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法．
分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因
式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点
的关键，恰当通分的基本策略与技巧有：
1．分步通分；
2．分组通分；
3．先约分后再通分；
4．换元后通分等．
问题解决
例 1 （ 1）若分式3x2 12 的值为 0，则 x 的值为 ____________．
x 2 4x 4
（ 2）如果整数 a（ a≠1）使得关于 x 的一元一次方程：ax 3 a2 2a x 的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________．
例 2 已知实数 a、 b、c 满足a b c 0.abc 4.
1 1 1
）．那么
b
的值（
a c
A．是正数B．是零C．是负数 D ．可正可负例 3 计算
（1）
1 1
2 4
;
1 x 1 x 1 x
2 1 x 4
（2）
1 1 1 1
；x( x 1) (x 1)( x 2) (x 2)( x 3) ( x 99)( x 100)
例 4 分式中的欧拉公式
欧拉是 18 世纪瑞士著名数学家， 他的贡献遍及高等数学的各个领域，
同时，在初等数学
中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明．
（ r
时）
a r
b r
c r 0 0,1
（
时）
(a b)(a c)
(b c)(b a)
(c a)(c b)
1 r
2
a b c （
r 时）
3 .
例 5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购
买的方式不同． 其中 A 家庭每次购买 25 千克， B 家庭每次用去 25 元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？
数学冲浪． 知识技能广场
1． 埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及
数学最特异之处， 是一切分数都化为单分数， 即分子为 1 的分数． 在一部记录古埃及数学的
《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“
2
”型分数分解成单分数的结果，
n
如 2
1 1 , 2
1 1 ,
2 1 1 ，则
2
1 1
．更一般地，有
5
3 15 7
4
28 9
5 45
11 ( ) ( )
2
11
( n 取大于 2 的自然数） ．
2n 1 (
) ( )
2
4
2．（ 1）要使分式
a 的值为 ___________． 1
1 3a 没有意义，则 2a
(m 1)(m 3) （ 2）当 m=__________时，分式
m 2 的值为零．
3m 2 3．已知 x a 与 b
4x
2 x 2
的和等于
x 2
4 ，则 a=__________，b=__________．
4．化简 1
x
y
x 2 y 2
__________ ．
x 3y 2
6xy 9 y 2
x
5．若分式( x 8)( x 1)
x 的值为（）．| x | 1
的值为零，则
A．± 1 B． 1 C． 8 D ． 1 或 8
1 1
4 a 2ab b
6．已知
b ，则
2b 7
的值等于（）．
a 2a b
A． 6 B． 6 C．2
D．
2 15 7
7．化简( 2 x2 4
4 2 x ) x ，其结果是（）．
x 4x x 2 x 2
A. 8
B. 8
C. 8
2 D . 8
x 2 x 2 x x 2
x 3
y 0 的整数解有（8．方程
1 ）组．
x
A． 1 8． 2 C． 3 D ． 4
9．若 a 满足 3 a 3 请你选取一个合适的数a，使得代数式a2 1 (1 1
) 的值为一
a a 个奇数．
10．计算：
（1）(x
1 x 1 )
x2
x 3 ；x 1 x 2 4x 4
（2）[(a
1)(a 2) a ] a ．a2 4a 4 a 2 2a a 2
11．试说明下列等式成立：
（1） (
1 1 1 )
2 1
1
1 ；
a b b c c a
(a b)2 (b c) 2 (c a) 2
（2）
b c c a a b 2 2 2 ．
(a b)(a c)
(b c)(b a)
(c a)(c b)
a b
b c
c a
思想方法天地
2 2 2x 18
x 值的和为 _____．
12．已知 x 为整数，且
3 x
x 2 为整数，则所有符合条件的 x 3
9
13．已知 abc=1，则关于 x 的方程
x x x 2004 的解是 ___．
a a
b 1 b bc
1 c ca
1
14．设正整数 m,n ，靠满足 m 1 1 1 1 m 2 m ( m 1) 2 (m 1) n 2 n 23 则 m+n 的值是 ______________． 15．已知 xy 1, yz 2, zx x 3 则 x=______________． x y y z z 16．代数式 1 1 2x 4x 3 ）． x 1 x 1 x 2 1 x 4 的化简结果是（ 1 8x 5 8x 4 4x 7 8x 7 A. x 6 1 B. x 8 1 C. x 8 1 D. x 8 1 17．设有理数 a 、 b 、 c 都不为零，且 a b c 0 ． 则 1 1 1 2 的值是（ ）． 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c b A ．正数 B 负数 C ．零 D ．不能确定 18．甲、乙两人同时从 A 地出发沿同一条路线去 B 地，若甲用一半的时间以 a 千米／时的 速度行走，另一半时间以 b 千米／时的速度行走； 而乙用 a 千米／时的速度走了一半的路程， 另一半的路程以 b 千米／时的速度行走（ a ， b 均大于 0，且 a ≠b ），则（ ）． A ．甲先到达 B 地 B ．乙先到达 B 地 C ．甲乙同时到达 B 地 D ．甲乙谁先到达 B 地不确定 19．存在这样的有理数 1 1 1 a 、 b 、 c 满足 a b c 的值等于（ ）． b c a A ． 2003 B ．0 C ． 2003 D ． 2003 20．太平盛世，吉祥如意，神舟“五号” ，豪气冲天．若 n 2 995 能被 n+5 整除（ n 为正整 数），则称 n 为 995 的吉祥数．据说，中国载人飞船首飞日期恰好与 995 的吉祥数有关，试 求 n 的最大值． 21．已知 f (.x) x 求下式的值： 1 x f ( 1 ) f ( 1 ) f ( 1 ) f (1) f (0) f (1) f (2) f (2003) f ( 2004) ． 2004 2003 2 应用探究乐园 22．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用 x （x ≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药 1 量与本次清洗前残留的农药量之比为 ． ‘ 1 x 现有 a （ a ≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种 方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少 ?说明理由． 23．一分为二任何一个单位分数1 1 1 1 都可以写成两个单位分数的和： n p （ n， p， q n q 都是正整数）．显然，这里的p， q 都大于 n． 1 1 1 如果设 p=n+a， q=，n+b，那么有 n ． n a n b （1）探索上式中的正整数a，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）； （2）写出1 等于两个单位分数之和的所有可能情况．6
相关主题
文本预览