平抛和类平抛运动
高考热点专题——平抛和类平抛运动
当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速曲线运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。
平抛运动是日常生活中常见的运动，并且这部分知识还常与电学知识相联系，以解决带电粒子在电场中的运动问题，因此，多年来，平抛运动一直是高考的热点，今后，将仍然是高考的热点。用分解平抛运动的方法解决带电粒子在电场中的运动，以及将实际物体的运动抽象成平抛运动模型并做相应求解，将是高考的必然趋势。
一、正确理解平抛运动的性质
（一）从运动学的角度分析
平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建立xOy坐标，如图所示：
则水平方向和竖直方向的分运动分别为
水平方向
竖直方向
平抛物体在时间t内的位移s可由③⑥两式推得
位移的方向与水平方向的夹角由下式决定
平抛物体经时间t时的瞬时速度v t可由②⑤两式推得
速度v t的方向与水平方向的夹角可由下式决定
（二）从动力学的角度分析
对于平抛运动的物体只受重力作用，尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一种匀变速曲线运动。
平抛运动中，由于仅有重力对物体做功，因而若把此物体和地球看作一个系统，则在运动过程中，系统每时每刻都遵循机械能守恒定律。应用机械能守恒定律分析、处理此类问题，往往比单用运动学公式方便、简单得多。
二、平抛运动的几个重要问题
（1）平抛物体运动的轨迹：抛物线
由③⑥两式，消去t，可得到平抛运动的轨迹方程为。
可见，平抛物体运动的轨迹是一条抛物线。
（2）一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：设物体被抛出后ts末时刻，物体的位置为P，其坐标为x t（ts内的水平位移）和y t （ts内的下落高度）；ts末的速度v t的坐标分量为v x、v y，将v t速度反向延长交x轴于x＇，如图：
则
由于水平位移x=v0t，所以在相同的任意一段时间内，水平初速度较大的球水平位移较大，选项B正确。
若两球均能撞上同一竖直墙，则它们的水平位移相等，由x=v0t可知，初速度较大的球所用时间较短，而高度决定时间，所以A球撞墙点较高，选项C正确。
两球在空中飞行时的任意时刻，速度的竖直分量均相等，水平分量与初速度相同；由于A 球的初速度较大，故其合速度较大，实际速率也较大，选项D正确。
综上所述，该题的正确答案为B、C、D。
请思考：该题中的A、B两球的轨迹曲线重合吗？两球落在同一水平地面上时的着地点重合吗？
【例2】如图所示，以v0=10 m / s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（）
A．B．C．D．2s
【答案】C
【解析】物体做平抛运动，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，当物体落到斜面上时，其竖直分速度v1=gt，水平分速度仍为v0，其合速度与斜面垂直，由图可知，
tanθ=v0 / gt
故选项C正确。
【点评】平抛运动知识与斜面三角形综合应用，找出其间的关系，问题迎刃而解。
【例3】如图所示，一高度为h=0.2 m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以v0=5 m / s的速度在平面上向右运动，求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10 m / s2）。
某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则，由此可求得落
地的时间t。问：
你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由，并求出你认为正确的结果。
【答案】不同意该同学的解法，正确答案为0.2 s
【解析】由于小球开始在水平面上运动，离开A点时小球将做平抛运动，而不会沿斜面下滑，在运动到地面之前小球是否经历斜面，要看以下条件：小球平抛到地面的水平距离为
。
斜面底宽
因为s＞d，所以小球离开A点后不会落到斜面上，因此落地时间即为平抛运动所需的时间。
即。
【点评】本题考查的是平抛运动的知识，但题型新颖，且对考生有“误导”的作用。在考查学生应用基本知识解决实际问题的分析判断能力方面，不失为一个好题。判断出小球离开A点做什么运动是解决本题的关键。
【例4】在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长
L=1.25 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式v0=________（用L、g表示），其值是________（取g=9.8 m / s）。
【解析】分析图中a、b、c、d四点的位置关系，可以看出水平方向四点均等间隔，可见时间间隔也是相等的。但从竖直方向看a、b、c、d四点之间的间隔比为1：2：3，并不是1：3：5，这说明a点不是起始点。由于平抛运动在竖直方向上是匀变速直线运动，因此它将满足关系
又因为△s=L=1.25cm，
，
所以可以得出。
在平抛运动中，
因为，所以
代入数据（注意化单位L=1.25 cm=1.25×10－2 m），解得。
【误区点津】此题为容易出现错解的问题。很多学生对本题不加分析，错误地认为a点是小球平抛运动的初始位置，从而得出的错误答案。有的学生注意到了小球在竖直方
向上的分运动，在连续相等的时间内其位移之比不为1∶3∶5∶7……，知道a点不是抛出点，但却错误地认为题中给出（由图中看出）的y1∶y2∶y3=1∶2∶3不符合匀加速直线运动的规律，怀疑题目的正确性，就此搁浅。其实，去掉从初速为0起的第一个T秒内的竖直方向y上的投
影有Δs=2L－L，易得出。
【点评】克服思维定势，将纸带计算公式迁移至此，不必考虑a点是否为抛出点，其竖直
方向的运动规律点满足，问题也就迎刃而解。从本题看，平时学习一定要注意加强知识的迁移和拓展的训练。
【例5】一固定斜面ABC，倾角为θ，高AC=h，如图所示，在顶点A以某一初速度水平抛出一小球，恰好落在B点，空气阻力不计，试求自抛出起经多长时间小球离斜面最远？
【解析】
解法一如图所示，小球的瞬时速度v与斜面平行时，小球离斜面最远
设此点为D，由A到D时间为t1，则
v y=gt1，v y=v0tanθ；
。①
设小球由A到B的时间为t，则，。
消去t，②
由①②式消去v0tanθ，得。
解法二沿斜面和垂直于斜面建立坐标系如图所示，分解v0和加速度g，这样沿y轴方向的分运动是初速度为v y、加速度为g y的匀减速直线运动，沿x轴方向的分运动是初速度为v x，加速度为g x的匀加速度直线运动，当v y=0时小球离斜面最远，经历时间为t1，当y=0时小球落到B点，经历时间为t，显然t=2t1。
在y轴方向，当y=0时有：
在水平方向上位移关系为
得，
所以
故
解法三在竖直方向小球做自由落体运动
得
由解法二的分析可知在垂直斜面方向上小球做匀减速运动，
当垂直斜面的速度减为零时离斜面最远，历时t1，
则。
【答案】
【点评】通常我们把平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来处理。这样就把曲线运动分解成为两种最简单的直线运动，但在具体问题中这种分解对所求的问题来说并不一定是最简单的。如：假设要求小球运动过程中距离斜面的最大距离H，则在解法一的计算中较为复杂；而解法二中的分解结果，刚好使待求的H成为小球垂直斜面向上运
动所能达到的最大位移，则，所以在具体问题中，可以根据需要灵活选择分解的方法。
【例6】质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。
今测得当飞机在水平方向的位移为时，它的上升高度为h，如图所示，求飞机受到的升力的大小。
解析：设飞机上升到h高度的时间为t，有
y方向加速度为
设飞机的升力为F，由牛顿第二定律有
故
点评：合外力F恒定，且与物体初速度方向垂直，此运动称之为类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，处理方法和平抛运动类似（运动分解）。该题属于方法迁移题，学生需要理解平抛运动的处理方法，才能进一步灵活地处理该问题。
2．利用平抛运动的规律，迁移到静电场中带电粒子的运动
带电粒子的类平抛运动模型其总体思路为运动的合成与分解：
（1）带电粒子的加速：带电粒子质量为m、带电量为q，在静电场中静止开始仅在电场力作用下做加速运动，经过电势差U后所获得的速度v0可由动能定理来求得。即。
（2）带电粒子的偏转：
垂直电场线方向粒子做匀速直线运动：，
沿电场线方向粒子做匀加速直线运动，有：
（3）在电场中移动带电粒子时电场力做功及电势能变化的情况与重力做功即重力势能变化情况类比。
推论：
①粒子从偏转电场中射出时，速度的反向延长线与初速度的延长线的交点平分初速度方向的位移，即粒子好像从极板中点处沿直线飞离偏转电场，即
②荷质比不同的正离子，被同一电场加速后进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时的速度方向一定相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。
说明：
①由于基本粒子（电子、质子、α粒子等）在电场中受到电场力，所以基本粒
子受到的重力忽略不计。但带电的宏观（由大量分子构成）小颗粒、小球、小液滴所受重力不能忽略。
②注意不能穿出、恰能穿出、能穿出三种情况下粒子对应的位移与板长L的区别；侧位移与板间距的d或的区别。
③在匀强电场中场强不变，但两点间的电势差要随距离的变化而变化，穿越电场过程的动能增量：（注意，一般来说不等于qU）。
【例7】在光滑水平面上有一质量为m=1.0×10－3 kg、电量q=1.0×10－10 C的带正电小球，静止在O点，以O为原点，在该水平面内建立直角坐标系Oxy。现突然加一沿x轴正方向、场强大小E=2.0×106 V / m的匀强电场，使小球开始运动。经过1.0 s，所加的这个电场突然变为沿y轴正方向，再经1.0 s，所加电场又突然变为另一个匀强电场E＇，使小球在此电场作用下经1.0 s速度变为零。求此电场E＇的方向及速度为零时小球的位置。
【解析】小球所受合力为电场力F=qE。
由牛顿定律，小球的加速度①
第1秒内：小球沿x正方向匀加速运动，1 s末速度v1=v1x=at=0.20 m / s②
位移③
第2秒内，小球做“类平抛”运动，用分运动求解。
沿x正向做匀速运动，
v2x=v1x=0.2 m / s，位移Δx2=v2x t=0.20 (m)④
沿y正向做初速为0的匀加速运动，
v2y=at=0.20 m / s⑤
⑥
在2秒末小球的坐标为，
x2=Δx1+Δx2=0.30 (m)⑦
y2=Δy2=0.10 (m)⑧
设2秒末小球瞬时速度v2的方向与x正向夹角为θ，则
所以θ=45°，即v2与x正向夹角θ=45°。要使之再经1秒速度变为0，则必然使小球做减速直线运动，所加另一电场E＇对小球的电场力必与v2反向，故此电场E＇的方向与x轴正向夹角为135°，指向第三象限。
第3秒内，小球做匀减速运动，可仍用分运动求解。
⑨
⑩
⑾
⑿
所以3秒末小球所在位置坐标为（x3，y3）
【点评】解题关键是第二个过程（即类平抛）结束时小球的瞬时速度。
【例8】如图所示的真空管中，质量为m、电量为e的电子从灯丝K发出，经电压为U1的加速电场加速后沿中心线进入两平行金属板B、C间的匀强电场中，通过电场后打开荧光屏上，
设B、C间电压为U2，B、C板间距离为d，B、C板长为，到荧光屏的距离为，求：（1）电子离开偏转电场时的偏角θ（即电子离开偏转电场时速度与进入偏转电场时速度的夹角）。
（2）电子打到荧光屏上的位置P偏离荧光屏中心O的距离Y。
【解析】
（1）电子经加速电场后速度为v0，由动能定理得：
电子进入偏转电场后做类平抛运动，则
v y=at
则偏转角
联立上述各式得：
（2）电子在离开偏转场时的偏转距离Y1为：
离开电场时到打在荧光屏上距O点的偏转距离Y2为：Y2=l2tanθ
所以P偏离荧光屏中心O的距离Y为：
跟踪训练：
1．如图所示，两个小球a、b从直角三角形的斜面的顶端以相同的水平速度v0向左、向右水平抛出分别落在两斜面上，三角形的两底角分别为30°和60°，则两小球a、b运动时间之比为：（）
A．1∶B．1∶3C．∶1D．3∶1
2．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是：（）
A．大小相等，方向相同B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同D．大小不等，方向相同
3．质量为m=0.10 kg的小球以v0=10 m / s的水平速度抛出，下落h=5.0 m时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，取g=10m/s2，则钢板与水平面的夹角θ=________，球要撞击钢板时动量的大小为________。
4．如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度v向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为s1；从A点以水平初速度2v向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为s2，不计空气阻力，则s1∶s2可能为：（）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5
5．如图所示，一光滑的斜面与竖直方向成角，一小球有两种方式释放。第一种方式是从A点以v0的水平速度平抛到B点；第二种方式是在A点松手后沿斜面无初速匀加速下滑到B点。求：
（1）AB的长度为多少？
（2）两种方式到B点，平抛的运动时间t1，下滑的时间t2，则t1 / t2等于多少？
（3）两种方式到达B点时，水平分速度v1x / v2x和竖直分速度v1y / v2y各是多少？
6．水平抛出一物体，已知其速度方向由与水平方向成45°角变为60°角所经历的时间为t。
求平抛物体的初速度。
7．一次用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因只拍到了部分方格背景及小球的3个瞬时位置A、B、C，如图所示。若已知每格长度为5 cm，求：
（1）小球的抛出速度大小；
（2）小球经B点时的竖直分速度大小。（g取10 m / s2）
8．如图所示，排球场总长为18 m，设网的高度为2 m，运动员站在离网3 m远的线上正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出，g取10 m / s2。
（1）设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
（2）若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求此高度。
9．如图所示，两块长3 cm的平行金属板A、B相距1 cm，并与300 V直流电源的两极相
连接，。如果在两板正中间有一电子（m=9.0×10―31 kg，e=―1.6×10－19 C），沿着垂
直于电场线方向以2.0×107 m / s的速度飞入，则
（1）电子能否飞离平行金属板正对空间？
（2）如果由A到B分布宽1 cm的电子带通过此电场，能飞离电场的电子数占总数的百分之几？
10. 喷墨打印机的结构简图如图所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为，
此微滴经过带电室时被带上负电，带电的多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制，带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后，打到纸上，显示出字体，无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒。设偏
转板板长＝1.6cm，两板间的距离为0.50cm，偏转板的右端距纸L＝3.2cm，若一个墨汁微滴的质量为，以20m/s的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是，若墨汁微滴打到纸上点距原射入方向的距离是2.0mm。
（1）求这个墨汁微滴通过带电室带的电量是多少？（不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器内部，忽略边缘电场的不均匀性）
（2）为了使纸上的字体放大10%，请你提出一个可行的办法。
答案与解析：
1．B
解析：设做平抛运动物体运动的时间为t，则位移的水平分量和竖直分量分别为
而几何知识可知
故
所以有
即选项B正确。
点评：灵活运用平抛运动规律是解这类题的基本方法。应该用时必须明确各量的物理意义，不能盲目套用公式。
2．A
3．45°，kg·m / s
4．A、B、C
解析：要考虑到小球落至斜面和落至平面上的不同情况。若两次都落在平面上，则A对；若两次都落在斜面上，则C对；若第一次落在斜面上，第二次落在平面上，B就可能正确，其
实只要介于1：2和1：4之间都可以，所以正确选项应为A、B、C。
点评：解决此题时容易忽略了落点在斜面上的情况。而简单地根据平抛运动的基本公式可推得水平位移与初速度成正比，所以误认为只有选项A正确。
5．解析：两种方式释放从A到B只有位移相同，设AB长为L
（1）水平方向位移①
竖直方向位移②
由①得，
代入②得
（2）将L值代入，
下滑物体加速度，
，得
将L、a代入，
则。
（3）平抛运动水平分速度，竖直分速度
下滑运动水平分速度，竖直分速度
由于
所以，
则，
6．解析：根据题意及平抛运动的特点，可得其速度随时间变化的矢量图示如图所示：
由图易知：v y1=v0，v y2=v0。
由于平抛物体在竖直方向上做自由落体运动，其竖直分速度由v y1变为v y2，历时t，所以有：v y2－v y1=gt
即：v0－v0=gt
所以。
7．解析：
（1）由于做平抛运动的小球从A到B和从B到C的时间相同，设为T，由竖直分运动得：y2－y1=gT2
∴
小球的抛出速度大小为
（2）小球经B点时的竖直分速度大小为
8．解析：水平击出的排球其运动情况虽然受空气阻力的影响，但是当这类题目出现在中学物理中时仍然可以简化为只受重力作用，因此在这里可以认为其运动为平抛运动。第（1）问中击球点位置确定之后，恰不触网是速度的一个临界值，恰不出界则是击球速度的另一个临界值。第（2）问中确定的则是临界轨迹。当击球点、网的上边缘和边界点三者位于临界轨迹上时，如果击球速度变小则一定触网，否则速度变大则一定出界。
（1）如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ。
根据平抛物体的运动规律：x=v0t和可得：
当排球恰不触网时有：
x1=3 m=v1t1①
h1=2.5 m－2 m=0.5 m②
由①②可得：v1=9.5 m / s
当排球恰不出界时有：
x2=3 m+9 m=12 m =v2t2③
④
由③④可得：v2=17 m / s
所以既不触网也不出界的速度范围是：
9.5 m / s＜v≤17 m / s。
（2）如图所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹：
设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有：
x1=3 m=vt1＇⑤
⑥
x2=3 m+9 m=12 m =vt2＇⑦
⑧
解⑤～⑧式可得所求高度h=2.13 m。
点评：本题涉及的物理过程并不复杂，但每当遇到类似的题目时常常又感到无从下手，因此能养成一个良好的分析问题、解决问题的思路特别重要。结合本题的解题过程不难看出，解决本题的关键有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态——恰不触网或恰不出界；其三是确定临界轨迹，并画出轨迹示意图。
9．（1）不能（2）40%
解析：
（1）当电子从正中间沿着垂直于电场线方向以2×107 m / s的速度飞入时，若能飞出电场，则
电子在电场中的运动时间为
沿AB方向上，电子受电场力的作用，在AB方向上的位移为，其中
联立求解，得y=0.6 cm
而，所以，故粒子不能飞出电场。
三、平抛运动及其推论 一、 知识点巩固： 1.定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加速度g ，这样的运动叫做平抛运动。 2.特点：①受力特点：只受到重力作用。 ②运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为g ，轨迹为抛物线。 ③运动性质：是加速度为g 的匀变速曲线运动。 3.平抛运动的规律：①速度公式：0x v v = y v gt = 合速度：()2 2220t x y v v v v gt =+=+ ②位移公式：2 0,2 gt x v t y == 合位移：2 2 2 22 20 12s x y v t gt ?? =+=+ ??? tan 2y gt x v α== ③轨迹方程：2 202gx y v =，顶点在原点(0、0)，开口向下的抛物线方程。 注： （1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。 （2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为 。 （3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度恒定，所以竖直方向上在相 等的时间内相邻的位移的高度之比为 … 竖直方向上在相等的时间内相邻 的位移之差是一个恒量(T 表示相等的时间间隔）。 （4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为ɑ）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是）是不相同的，其关系式（即任意一点的速度延长线 必交于此时物体位移的水平分量的中点）。 V y x S O x x 2/V y V 0V x ＝V 0 P ()x y ,θα0 tan y x v gt v v θ= = ɑ θ ɑ
平抛与类平抛运动典型例题 1．如图所示，一高山滑雪运动员，从较陡的坡道上滑下，经过 A 点时速度v 0=16m/s ，A B 与水平成θ=530角。经过一小段光滑水平滑道 BD 从D 点水平飞出后又落在与水平面成倾角α＝37的斜坡上C 点．已知AB 两点间的距离 s 1=10m ，D 、C 两点间的距离为s 2=75m ，不计通过 B 点前后的速率变化，不考虑运动中的空气阻力。(取g =10m/s 2，sin370=0.6)求： (1)运动员从D 点飞出时的速度v D 的大小； (2)滑雪板与坡道间的动摩擦因数． 2、国家飞碟射击队进行模拟训练用如图 1的装置进行。被训练的运动员在高为H=20m 的塔顶，在地面上距塔的水平距离S 处有一电子抛靶装置。圆形靶以速度2v 竖直上抛。当靶被竖直上抛的同时，运动员立即用特制的手枪水平射击，子弹的速度 s m v /1001。不计人的反应时间、抛靶装置的高度和子弹在枪膛 中的运动时间，忽略空气阻力及靶的大小（ g=10m/s 2）。求：（1）当s 取值在什么范围内，无论v 2为何值都不能击中靶？（2）若s=100m ， v 2=20m/s ，请通过计算说明靶能否被击中？3、（14分）如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长 L = 0.1m ，两板间距离 d = 0.4 cm ，有一束相同的带电微粒以相同的初速度先后从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下板上，微粒所带电荷立即转移到下极板且均匀分布在 下极板上．设前一微粒落到下极板上时后一微粒才能开始射入两极板间。已知微粒质量为 m = 2×10-6kg ，电量q = 1×10-8 C ，电容器电容为C =10-6 F ，取210m/s g ．求： （1）为使第一个微粒的落点范围能在下板中点到紧靠边缘的B 点之内，求微粒入射的初速度v 0的取值范围；（2）若带电微粒以第一问中初速度0v 的最小值入射，则最多能有多少个带电微粒落到下极板上？α B m,q d v 0 A L
课后网专题六：平抛运动和类平抛运动的处理 考点梳理 一、平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动． 2．性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．基本规律：以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则： (1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝1 2gt 2. (3)合速度：v ＝ v 2x ＋v 2y ，方向与水平方向的夹角为θ，则 tan θ＝v y v x ＝ gt v 0 . (4)合位移：s ＝x 2＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt 2v 0 . 1．[平抛运动的规律和特点]对平抛运动，下列说法正确的是 ( ) A ．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动 B ．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的 C ．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 D ．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关 解析 平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故A 项正确；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy ＝gt 2，水平方向位移不变，故B 项错误．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t ＝ 2h g ，落地速度为v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，所以C 项正确，D 项错误． 2、[利用分解思想处理平抛运动]质点从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确
课后网 专题六：平抛运动和类平抛运动的处理 考点梳理 一、平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动． 2．性质：加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．基本规律：以抛出点为原点，水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则： (1)水平方向：做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t . (2)竖直方向：做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12 gt 2 . (3)合速度：v ＝v 2 x ＋v 2 y ，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝v y v x ＝gt v 0 . (4)合位移：s ＝x 2 ＋y 2，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝y x ＝gt 2v 0 . 1．[平抛运动的规律和特点]对平抛运动，下列说法正确的是 ( ) A ．平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动 B ．做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的 C ．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 D ．落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关 解析 平抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度，故A 项正确；做平抛运动的物体，在任何相等的时间内，其竖直方向位移增量Δy ＝gt 2 ，水平方向位移不变，故B 项错误．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，且落地时间t ＝ 2h g ，落地速度为v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 2 0＋2gh ，所以C 项正确，D 项错误．
类平抛运动专题 一．类平抛运动 1.类平抛运动的受力特点:物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2.类平抛运动的运动特点 在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a=F/m。 3.类平抛运动的求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a x、a y，初速度v0分解为v x、v y，然后分别在x、y方向列方程求解。 4.平抛运动的几个结论 类平抛物体任意时刻瞬时速度偏角正切值为位移偏角正切值的两倍。 类平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线必过匀速运动位移的中点 二、其他抛体运动等复杂运动的求解方式均为分解。 例1.海面上空490m高处,以240m/s的速度水平飞行的轰炸机正在追击一艘鱼雷快艇,该艇正以25m/s 的速度与飞机同方向行驶,问飞机应在鱼雷艇后面多远处投下炸弹,才能击中该艇? 例2.小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上.求：（1）小球在空中的飞行时间；（2）抛出点距落球点的高度.（g=10 m/s2） 例3.从倾角为α的斜面上同一点，以大小不等的初速度v1和v2(v1>v2)沿水平方向抛出两个小球，两个小球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面的夹角分别为β1和β2，则 A．β1>β2B．β1<β2C．β1＝β2D．无法确定
例4.两平行金属板A 、B 水平位置，一个质量为kg m 6105-?=的带电微粒，以s m v /20=的水平速 度从两板正中位置射入电场，如图所示，A 、B 两板间距离cm d 4=，板长cm L 10= 1.当A 、B 间的电压V U AB 1000=时，微粒恰好不偏转沿图中直线射 出电场，求粒子的电量和电性 2.令B 板接地，俗使该微粒射出偏转电场，求A 板所加电势的范围。 例5: 如图所示，电场强度为E ，方向与+x 轴成1350角。现有电荷量为q ，质量为m 的一个重力不计的负离子从原点O 以初速v 0射出，v 0与+x 轴成450角，求离子通过x 轴的坐标及在该处的速率。 解：设落到x 轴上时用时为t ，则有： 例6.在如图所示的空间坐标系中，y 轴的左边有一匀强电场，场强大小为E ，场强方向跟y 轴负向成30°，y 的右边有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ．现有一质子，以一定的初速度v 0，在x 轴上坐标为x 0=10cm 处的A 点，第一次沿x 轴正方向射入磁场，第二次沿x 轴负方向射入磁场，回旋后都垂直于电场方向射入电场，最后又进入磁场。求： （1）质子在匀强磁场中的轨迹半径R ； （2）质子两次在磁场中运动时间之比； （3）若第一次射入磁场的质子经电场偏转后，恰好从第二次射入磁 场的质子进入电场的位置再次进入磁场，试求初速度v 0和电场 强度E 、磁感应强度B 之间需要满足的条件。 N A B M v 0 E y x O 450 1350
1.3 研究斜抛运动 同步练习（沪科版必修2） 1．做斜抛运动的物体( ) A ．水平分速度不变 B ．加速度不变 C ．在相同的高度处有相同的速度 D ．经过最高点时，瞬时速度为零 解析：选AB.斜抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，A 正确．在运动过程中只受到重力作用，合外力恒定则加速度不变，B 正确．水平方向速度不变，竖直方向在上升和下降的过程中，同一个位置速度大小相等，但是方向不相同，所以在相同高度速度大小相等，但是方向不一样，C 错．在最高点竖直方向的速度减到零，但有水平方向的速度，D 错． 2．某同学在篮球场地上做斜上抛运动实验，设抛出球的初速度为20 m/s ，抛射角分别为30°、45°、60°、75°，不计空气阻力，则关于球的射程，以下说法中正确的是( ) A ．以30°角度抛射时，射程最大 B ．以45°角度抛射时，射程最大 C ．以60°角度抛射时，射程最大 D ．以75°角度抛射时，射程最大 解析：选B.根据射程公式X ＝v 20 sin2θg 可知，当抛射角为45°时，射程最大． 3. 以相同的初速率、不同的抛射角抛出三个小球A 、B 、C ，三球在空中的运动轨迹如图1－3－3所示，下列说法中正确的是( ) 图1－3－3 A ．A 、 B 、 C 三球在运动过程中，加速度都相同 B ．B 球的射程最远，所以最迟落地 C ．A 球的射高最大，所以最迟落地 D ．A 、C 两球的射程相等，两球的抛射角互为余角，即θA ＋θC ＝π 2 解析：选ACD.A 、B 、C 三球在运动过程中，只受到重力作用，具有相同的加速度g ，故选项A 正确；斜抛运动可以分成上升和下落两个过程，下落过程就是平抛运动，根据平抛运动在空中运动的时间只决定于抛出点的高度可知，A 球从抛物线顶点落至地面所需的时间最长，再由对称性可知，斜抛物体上升和下落时间是相等的，所以A 球最迟落地，选项C 正确，B 错误；已知A 、C 两球的射程相等，根据射程公式X ＝v 20sin2θ g 可知，sin2θA ＝sin2θC ， 在θA ≠θC 的情况下，必有θA ＋θC ＝π 2 ，选项D 正确． 4．一位田径运动员在跳远比赛中以10 m/s 的速度沿与水平面成30°的角度起跳，在落到沙坑之前，他在空中滞留的时间约为(g 取10 m/s 2)( ) A ．0.42 s B ．0.83 s C ．1 s D ．1.5 s 解析：选C.起跳时竖直向上的分速度
专题40 带电粒子在电场中类平抛运动和磁场中的偏转 高考命题潜规则解密40：带电粒子在电场中的类平抛运动、在磁场中的偏转 规则验证：2012年新课标理综第25题、2011全国理综第25题、2008天津理综第23题、2008宁夏理综第24题 命题规律：带电粒子在电场中的类平抛运动、在磁场中的偏转是带电粒子在电场磁场中运动的重要题型，是高考考查的重点和热点，一般以压轴题出现，难度大、分值高、区分度大。 命题分析 考查方式一考查带电粒子在倾斜边界电场中的类平抛运动、在磁场中的匀速圆周运动 【命题分析】电粒子在倾斜边界上的类平抛运动可迁移在斜面上的平抛运动问题的分析方法、在磁场中的匀速圆周运动可依据洛伦兹力等于向心力列方程解答。此类题难度中等。 典例1.（2012年新课标理综第25题）如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b 3。现将点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为R 5 磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a 点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。
典例2（2011全国理综第25题）如图，与水平面成45°角的平面MN将空间分成I和II两个区域。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入I区。粒子在I区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在II区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II区离开时到出发点P0的距离。粒子的重力可以忽略。 考查方式二考查带电粒子在电场中的类平抛运动、在有界磁场中的匀速圆周运
类平抛运动 类平抛运动与平抛运动的运动规律相同，所以处理方法也是分解成两个相互垂直方向上的分运动，不同之处是匀变速直线运动的加速度应根椐题设具体情况确定． 一、竖直平面内的类平抛运动 例1、质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，求：飞机受到的升力大小． 解析：飞机起飞的过程中，水平方向做匀速直线运动，竖直向上做初速度为零的匀加速直线运动，属于类平抛运动，轨迹如图1所示，可以用平抛运动的研究方法来求解． 飞机在水平方向上做匀速直线运动，则运动l所用时间为。 飞机水平运动l与竖直上升h用时相同，而飞机竖直向上做初速度为零的匀加速直线运动。 据可得 由牛顿第二定律得飞机受到的升力大小为 二、倾斜平面内的类平抛运动 例2、如图2所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ．一物体从斜面上方P点水平面射入，而从斜面下方顶点Q离开斜面，求入射初速度． 解析：物体在斜面上只受重力和支持力，合外力为mgsinθ．由牛顿第二定律可得物体运 动的加速度为gsinθ．方向沿斜面向下，由于初速度方向与加速度方向垂直，故物体
在斜面上做类平抛运动，在水平面方向上以初速度做匀速运动，沿斜面向下做初速度为零的匀加速运动． 在水平方位移为 沿斜面下位移为 则 三、水平面内的类平抛运动 例3、在光滑水平面上，一个质量为2kg的物体从静止开始运动，在前5s受到一个正东方向大小为4N的水平恒力作用，从第5s末开始改受正北方向大小为2N的水平面恒力作用了10s，求物体在15s末的速度及位置? 解析：设起始点为坐标原点O，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立直角坐标系xOy，物体在前5s内由坐标原点起向东沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，其 加速度为，方向沿x轴正向，5s内物体沿x轴方向的位移为 ，到达P点，5s末速度为。 从第5s末开始，物体做类平抛运动，参与两个分运动，一是沿x轴正方向做速度为10m ／s的匀速运动，经10s其位移。 二是沿y轴正方向做初速度为零的匀加速运动，其加速度为，经10s其位移为 沿y轴正方向的速度为 令15s末物体到达Q点，则 方向东偏北， 15s末的速度为
空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度 g 取10m/s 2 ）【答案】A A. 28.8m 1.12 X lOn 3 B. 28.8m 0.672 m 3 C. 38.4m 1.29 X 伽3 D . 38.4m 0.776m 3 3.（多选）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行， 直击中山坡上的目标 A 。已知A 点高度为h ,山坡倾角为0,由此可算出（ 到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂 ） A 轰炸机的飞行高度 B 轰炸机的飞行速度 C 炸弹的飞行时间 D 炸弹投出时的动能 4 ?如图，战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等 时间 释放一颗炸弹，第一颗落在 a 点，第二颗落在 b 点。斜坡上C 、 两点与a 、b 共线，且ab=be=ed ，不计空气阻力。第三颗炸弹将落在 A . be 之间 B. e 点 C. ed 之间 D . d 点 平抛运动及类平抛运动 y 轴沿竖直方向。图中-画出了从y 轴上沿x 轴正向抛 其中 b 和e 是从同一点抛出的，不计空气阻力，则 A . a 的飞行时间比b 的长 B . b 和c 的飞行时间相同 C. a 的水平速度比b 的小 2.（安徽13）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是 0.28m 3 /min ，水离开喷口时的速度大小 为16j3m/s ，方向与水平面夹角为 60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则 .选择题 D . b 的初速度比c 的大 【答案】B 、D 1.（多选）如图，x 轴在水平地面内, 出的三个小球a 、b 和e 的运动轨迹,
5. （12上海）如图，斜面上 a 、b 、c 三点等距，小球从 a 点正上方0点抛出，做初速为 v o 的平抛运 动，恰落在 b 点。若小球初速变为 V ,其落点位于C ,贝U B 在落地时的速度比 A 在落地时的大 【答案】CD 7. （14天津）如图所示，平行金属板A 、B 水平正对放置，分别带等量异号电荷。 一带点微粒水平射入 板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线 所示，那么C & （浙江15）如图所示，足球球门宽为 L , 一个球员在球门中心正前方距离球门 起，将足球顶入球门的左下方死角（图中 P 点）。球员顶球点的高度 为h 。足球做平抛运动（足球可看做质点，忽略空气阻力）则 、 ■ - 'NW 讥 yg P 球门线 B .足球初速度的大小 v o =、/2^ （L 2 /4+S 2 ） C.足球末速度的大小 v=、J 身（L 2 /4+s 2 ）+4gh V 0< v <2v 0 (B ) v=2v o (C ) 2v 0< v <3V 0 (D) v>3v o 6.（多选）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球 两球运动的最大高度相同。 空气阻力不计，则 B 的加速度比A 的大 (B) B 的飞行时间比A 的长 (C ) B 在最高点的速度比 A 在最高点的大 A .若微粒带正电荷，则 A 板一定带正电荷 B .微粒从 M 点运动到 N 点电势能一定增加 C.微粒从 M 点运动到 N 点动能一定增加 D .微粒从 M 点运动到 N 点机械能一定增加 s 处咼咼跃 A .足球位移大小 X =7L 2/4+ S 2 A
高考热点专题——平抛和类平抛运动 当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速曲线运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。 平抛运动是日常生活中常见的运动，并且这部分知识还常与电学知识相联系，以解决带电粒子在电场中的运动问题，因此，多年来，平抛运动一直是高考的热点，今后，将仍然是高考的热点。用分解平抛运动的方法解决带电粒子在电场中的运动，以及将实际物体的运动抽象成平抛运动模型并做相应求解，将是高考的必然趋势。 一、正确理解平抛运动的性质 （一）从运动学的角度分析 平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建立xOy坐标，如图所示： 则水平方向和竖直方向的分运动分别为 水平方向 竖直方向 平抛物体在时间t内的位移s可由③⑥两式推得 位移的方向与水平方向的夹角由下式决定
平抛物体经时间t时的瞬时速度v t可由②⑤两式推得 速度v t的方向与水平方向的夹角可由下式决定 （二）从动力学的角度分析 对于平抛运动的物体只受重力作用，尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一种匀变速曲线运动。 平抛运动中，由于仅有重力对物体做功，因而若把此物体和地球看作一个系统，则在运动过程中，系统每时每刻都遵循机械能守恒定律。应用机械能守恒定律分析、处理此类问题，往往比单用运动学公式方便、简单得多。 二、平抛运动的几个重要问题 （1）平抛物体运动的轨迹：抛物线 由③⑥两式，消去t，可得到平抛运动的轨迹方程为。 可见，平抛物体运动的轨迹是一条抛物线。 （2）一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 证明：设物体被抛出后ts末时刻，物体的位置为P，其坐标为x t（ts内的水平位移）和y t （ts内的下落高度）；ts末的速度v t的坐标分量为v x、v y，将v t速度反向延长交x轴于x＇，如图： 则
平抛运动的两个推论 ★推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻、任一位置其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。 ﹟注意合速度的方向与水平方向的夹角不是合位移的方向与水平方向的夹角的2倍，即θ≠2α，而是tan θ＝2tan α． 【证明】： 【例1】一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时 速度与水平方向的夹角?满足（ ） A ．?θsin tan = B ．θ?cos tan = C ．?θan t tan = D ．θ?tan 2tan = ★推论2：：做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中P 点和Q 点。 【证明】： 【例2】如图14反向延长线交于x A. 0.6x
【课堂训练】 1.如图所示，从倾角为α的足够长的斜面顶端，先后以不同的初速度水平向右抛出相同的两只小球，下列说法正确的是( ) A ．两小球落到斜面上历时相同 B ．两小球落到斜面上的位置相同 C ．两小球落到斜面上时速度大小相同 D ．两小球落到斜面上时速度方向相同 2.（2012·安徽联考）如图所示是倾角为45°的斜坡，在斜坡底端P 点正上方某一位置Q 处以速度v 0水平向左抛出一个小球A ，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t 1.小球B 从同一点Q 处自由下落，下落至P 点的时间为t 2.不计空气阻力，则t 1∶t 2＝( ) A ．1∶2 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶ 3 3.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ） A ．θtan B ．2θtan C ． θ tan 1 4. 如图13上的B 5.53角，飞镖B 此结论在以后电磁学中解类平抛运动问题大有用途。
精心整理 类平抛问题模型的分析 一、基础知识 1、类平抛运动的受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2、类平抛运动的运动特点 在初速度 v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝ . 3、类平抛运动的求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合 外力的方向 )的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性． (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度 a 分解为 a x、 a y，初速度 v0分解为 v x、v y，然后分别在 x、y 方向列方程求解． 二、练习 1、质量为 m 的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机 在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升 力(该升力由其他力的合力提供，不含重力 )．今测得当飞机在水平方 向的位移为 l 时，它的上升高度为 h，如图 16 所示，求： (1)飞机受到的升力大小； (2)上升至 h 高度时飞机的速度． 解析(1)飞机水平方向速度不变，则有l＝v0t 竖直方向上飞机加速度恒定，则有h＝ at2 解以上两式得 a＝ v，故根据牛顿第二定律得飞机受到的升力 F 为 F＝mg＋ma＝ mg(1＋ v)
精心整理 (2)由题意将此运动分解为水平方向速度为v0的匀速直线运动， l ＝v0t ；竖直方向初速度为0、加 速度 a＝ v的匀加速直线运动． 上升到 h 高度其竖直速度 v y＝＝＝ 所以上升至 h 高度时其速度 v＝＝ 如图所示， tanθ＝＝，方向与 v0成θ角，θ＝arctan. 答案 (1)mg(1＋v) (2)，方向与 v0成θ角，θ＝arctan 2、在光滑的水平面上，一质量 m＝1 kg 的质点以速度 v0＝ 10 m/s 沿 x 轴正方向运动，经过原点后受一沿 y 轴正方向向上的水平恒力 F＝15N 作用，直线 OA 与 x 轴成α＝37°，如图所示，曲线为质点的轨迹图 (g 取 10 m/s2，sin37 °＝ 0.6， cos37°＝0.8)，求： (1)如果质点的运动轨迹与直线OA 相交于 P 点，那么质点从 O 点到 P 点所经历的时间以及P 点 的坐标； (2)质点经过 P 点的速度大小． 答案(1)1s (10 m,7.5 m) (2)5 13 m/s 解析(1)质点在x 轴方向无外力作用做匀速直线运动，在y 轴方向受恒力 F 作用做匀加速直线运动． 由牛顿第二定律得： a＝＝ m/s2＝ 15 m/s2. 设质点从 O 点到 P 点经历的时间为 t，P 点坐标为 (x P，y P)，则 x P＝v0t，y P＝at2，又 tanα＝，联立解得： t＝ 1s，x P＝ 10 m， y P＝7.5 m. (2)质点经过P 点时沿y 轴方向的速度v y＝ at＝15 m/s 故 P 点的速度大小v P＝＝ 5 13 m/s. 3、如图所示，两个倾角分别为30°、 45°的光滑斜面放在同一水度相等．有三个完全相同的小球a、b、 c，开始均静止于同一高球在两斜面之间， a、c 两小球在斜面顶端，两斜面间距大于小球平面上，斜面高度处，其中 b 小直径．若同时由 静止释放， a、 b、 c 小球到达水平面的时间分别为 t1、 t2、 t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为 t1′、 t2′、 t3′.下列关于时间的关系不正确的是()
平抛与类平抛运动典型例题
平抛与类平抛运动典型例题 1．如图所示，一高山滑雪运动员，从较陡的坡道 上滑下，经过A点时速度 =16m/s，AB与水平成θ=530 v 角。经过一小段光滑水平滑道 BD从D点水平飞出后又落在 α与水平面成倾角α＝37 的斜 坡上C点．已知AB两点间的距离s1=10m，D、C 两点间的距离为s2=75m，不计通过B点前后的速率变化，不考虑运动中的空气阻力。(取g=10m/s2，sin370=0.6)求： (1)运动员从D点飞出时的速度v D的大小； (2)滑雪板与坡道间的动摩擦因数． 2、国家飞碟射击队进行模拟训 - 1 -
练用如图1的装置进行。被训练的运动员在高为 H=20m的塔顶，在地面上距塔的水平距离S处有一电子抛靶装置。圆形靶以速度 v竖直上抛。当靶 2 被竖直上抛的同时，运动员立即用特制的手枪水平 射击，子弹的速度s 。不计人的反应时间、 100 v/ m 1 抛靶装置的高度和子弹在枪膛中的运动时间，忽略空气阻力及靶的大小（g=10m/s2）。求：（1）当s 取值在什么范围内，无论v2为何值都不能击中靶？（2）若s=100m，v2=20m/s，请通过计算说明靶能否被击中？ 3、（14分）如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长L = 0.1m，两板间距离d = 0.4 cm，有一束相同的带电微粒以相同的初速度先后从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下板上，微粒所带电荷立即转移到下极板且均匀分布在下极板上．设前一微粒落到下极板上时后一微粒才能开始射入两极板间。已知微粒质量为m= 2×10-6kg，电量 - 1 -
平抛类平抛运动练习题 1、倾角为θ，高为1.8m 的斜面如图所示，在其顶点水平抛出一石子，它刚好落在这个 斜面底端的B 点，则石子抛出后，经______s ，石子的速度方向刚好与斜面平行。 2、平抛物体的运动规律可以概括为两点：（1）水平方向做匀速运动， （2）竖直方向做自由落体运动。为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图2所 示，用小锤打击弹性金属片，A 球就水平飞出，同时B 球被松开，做自由落体运动，两 球同时落到地面，这个实验（ ） A ．只能说明上述规律中的第（1）条 B ．只能说明上述规律中的第（2）条 C ．不能说明上述规律中的任何一条 D ．能同时说明上述两条规律 3、物体做平抛运动时，它的速度的方向和水平方 向间的夹角α的正切tg α随时间t 变化的图像是图 1中的 （ ） 4、水平匀速飞行的飞机每隔1s 投下一颗炸弹，共 投下5颗，若空气阻力及风的影响不计，在炸弹落 到地面之前，下列说法中正确的是 （ ） A ．这5颗炸弹及飞机在空中排列成一条竖直线，地面上的人看到每个炸弹都作平抛运动 B ．这5颗炸弹及飞机在空中排列成一条竖直线，上面的炸弹看到下面的每个炸弹都作自由落体运动 C ．这5颗炸弹在空中排列成一条抛物线，地面上的人看到每个炸弹都作平抛运动 D ．这5颗炸弹在空中排列成一条抛物线，上面炸弹看到每个炸弹都作匀速直线运动 5、如图2所示,以9.8m/s 的水平速度V 0抛出的物体,飞行一段时间后垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上,可知物体完成这段飞行的时间是 （ ） 6.如图2所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（） A ．tan φ=sin θ B ．tan φ=cos θ C ．tan φ=tan θ D ．tan φ=2tan θ 7.一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h ，现有一小球在A 处以水平速度V0射出， 最后从B 处离开斜面，下面说法中正确的是（ ） A ．小球的运动轨迹为抛物线 B ．小球的加速度为gsin θ C ．小球到达B 点的是间为g h 2sin 1 θ D ．小球到达B 点的水平方向位移为 g h 2sin v 0 θV 8、在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的 边长L=1.25cm ，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a 、b 、c 、d 所示， 则小球平抛的初速度的计算式为V 0=______（用L 、g 表示），其值是______（取 g=9.8m/s 2）。
三、平抛运动及其推论 平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合 平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度。=g 恒定，所以竖直方向上在相 珂：为：旳=1：$：5… 竖直方向上在相等的时间内相邻 审'（T 表示相等的时间间隔）。 （4）在同一时刻， 水平方向之间的夹角是 日）是不相同的，其关系式歼（即任意一点的速度延长线 必交于此时物体位移的水平分量的中点）。 一、知识点巩固： 1. 定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加 速度g ,这 样的运动叫做平抛运动。 2. 特点：①受力特点：只受到重力作用。 ② 运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为 g ,轨迹为抛物线。 ③ 运动性质：是加速度为 3. 平抛运动的规律：①速度公式： g 的匀变速曲线运动。 V x V o V y gt 合速度: V t J V ； V ：翻 g?" tan a V y g V x V o v/a^ a vv ②位移公式: x V o t, y gt 2 2 合位移：s ^t 2 如2 tan Q gt 2V o ③轨迹方程: 顶点在原点（0、0），开口向下的抛物线方程。 注： （1） 运动。 (2) 平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为丿= （3） 等的时间内相邻的位移的高度之比为 的位移之差是一个恒量 平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为 a ）方向和位移方向（与 l
描绘平抛运动的物理量有"0、卩丿、V、斗、尸、占、a、0、f，已知这八个物理量中的任意两个，可以 求出其它六个。 运动分类加速度速度位移轨迹 分运动 龙方向0 直线 丿方向g 1 a直线合运动大小g 抛物线 与K方向的 夹角 90 口 tan a — tan 日= 2^0 4.平抛运动的结论: ①运行时间：t ，由h,g决定，与V o无关。 ③任何相等的时间t内，速度改变量v=g t相等，且 ④以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速 度与斜面的夹角a相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。） tan(a )空么 V x V o ⑤速度V的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan 变大，，速度V与重力的方向越来越靠近，但永远不能到达。 ⑥从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。 5、斜抛运动： 定义：将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度抛出，且物体只在重力作用下（不 计空气阻力）所做的运动，叫做斜抛运动。它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向上不受力，加速度为0;在竖直方向上只受重力，加速度为g。设初速度V0与水平方向夹角为 ②水平射程：x v0 ^2h，由h,g, V o共同决定。 所以tan (a ) 2tan ,0为定值故a也是定值，与速度无关。 V g t，方向竖直向下。 如上图：所以t ^V O tan g
类平抛运动专题 一.类平抛运动 1、类平抛运动得受力特点:物体所受合力为恒力,且与初速度得方向垂直。 2、类平抛运动得运动特点 在初速度v 0方向做匀速直线运动,在合外力方向做初速度为零得匀加速直线运动,加速度a=F/m 。 3、类平抛运动得求解方法 (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向得匀速直线运动与垂直于初速度方向(即沿合力 得方向)得匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当得直角坐标系,将加速度分解为a x 、a y ,初速度v 0分解为v x 、v y ,然后分别在x 、y 方向列方程求解。 4、平抛运动得几个结论 类平抛物体任意时刻瞬时速度偏角正切值为位移偏角正切值得两倍。 类平抛物体任意时刻瞬时速度方向得反向延长线必过匀速运动位移得中点 二、其她抛体运动等复杂运动得求解方式均为分解。 例1、海面上空490m 高处,以240m/s 得速度水平飞行得轰炸机正在追击一艘鱼雷快艇,该艇正以25m/s 得速度与飞机同方向行驶,问飞机应在鱼雷艇后面多远处投下炸弹,才能击中该艇? 例2、小球以15 m/s 得水平初速度向一倾角为37°得斜面抛出,飞行一段时间后,恰好垂直撞在斜面上、求:(1)小球在空中得飞行时间;(2)抛出点距落球点得高度、(g =10 m/s 2) 例3、从倾角为α得斜面上同一点,以大小不等得初速度v 1与v 2(v 1>v 2)沿水平方向抛出两个小球,两个小球落到斜面上得瞬时速度方向与斜面得夹角分别为β1与β2,则 A .β1>β2 B .β1<β2 C .β1＝β2 D .无法确定 例4、两平行金属板A 、B 水平位置,一个质量为kg m 6105-?=得带电微粒,以s m v /20=得水平速 度从两板正中位置射入电场,如图所示,A 、B 两板间距离cm d 4=,板长cm L 10= 1、当A 、B 间得电压V U AB 1000=时,微粒恰好不偏转沿图中直线射 出电场,求粒子得电量与电性 2、令B 板接地,俗使该微粒射出偏转电场,求A 板所加电势得范围。 例5: 如图所示,电场强度为E ,方向与+x 轴成1350角。现有电荷量为q ,质量为m 得一个重力不计得负离子从原点O 以初速v 0射出,v 0与+x 轴成450角,求离子通过x 轴得坐标及在该处得速率。 解:设落到x 轴上时用时为t,则有: 例6、在如图所示得空间坐标系中,y 轴得左边有一匀强电场,场强大小为E ,场强方向跟y 轴负向成30°,y 得右边有一垂直纸面向里得匀强磁 场,磁感应强度为B.现有一质子,以一定得初速度v 0,在x 轴上坐标 为x 0=10cm 处得A 点,第一次沿x 轴正方向射入磁场,第二次沿x 轴 负方向射入磁场,回旋后都垂直于电场方向射入电场,最后又进入磁 场。求: (1)质子在匀强磁场中得轨迹半径R; (2)质子两次在磁场中运动时间之比; (3)若第一次射入磁场得质子经电场偏转后,恰好从第二次射入磁场 得质子进入电场得位置再次进入磁场,试求初速度v 0与电场强N A B M v 0 E y x O 450 1350
平抛运动及类平抛运动 一．选择题 1．（多选）如图，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向。图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的，不计空气阻力，则 A ．a 的飞行时间比b 的长 B ．b 和c 的飞行时间相同 C ．a 的水平速度比b 的小 D ．b 的初速度比c 的大【答案】B 、D 2．（安徽13）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m 3/min 为/s ，方向与水平面夹角为600，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g 取10m /s 2）【答案】A A ．28.8m 1.12×10-2m 3 B ．28.8m 0.672m 3 C ．38.4m 1.29×10-2 m 3 D ．38.4m 0.776m 3 3．（多选）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂 直击中山坡上的目标A 。已知A 点高度为h ，山坡倾角为θ，由此可算出（ ） A 轰炸机的飞行高度 B 轰炸机的飞行速度 C 炸弹的飞行时间 D 炸弹投出时的动能 4．如图，战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等 时间释放一颗炸弹，第一颗落在a 点，第二颗落在b 点。斜坡上c 、 d 两点与a 、b 共线，且ab =bc =cd ，不计空气阻力。第三颗炸弹将落在 A ．bc 之间 B ．c 点 C ．cd 之间 D ．d 点 5．（12上海）如图，斜面上a 、b 、c 三点等距，小球从a 点正上方O 点抛出，做初速为v 0的平抛运动，恰落在b 点。若小球初速变为v ，其落点位于c ，则 （）A （A ）v 0< v <2v 0 （B ）v =2v 0 （C ）2v 0< v <3v 0 （D ）v >3v 0 6．(多选）如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同。 空气阻力不计，则 （A ）B 的加速度比A 的大 （B ）B 的飞行时间比A 的长 （C ）B 在最高点的速度比A 在最高点的大 （D ）B 在落地时的速度比A 在落地时的大 【答案】ＣＤ 7．(14天津）如图所示，平行金属板A 、B 水平正对放置，分别带等量异号电荷。一带点微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么C A ．若微粒带正电荷，则A 板一定带正电荷 B ．微粒从M 点运动到N 点电势能一定增加 A B
物理建模系列(六) 四类常见平抛运动模型 模型一 水平地面上空h 处的平抛运动 由h ＝1 2 gt 2知t ＝ 2h g ，即t 由高度h 决定． 甲 模型二 半圆内的平抛运动(如图甲) 由半径和几何关系制约时间t ： h ＝12gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t 联立两方程可求t . 模型三 斜面上的平抛运动 乙 1．顺着斜面平抛(如图乙) 方法：分解位移 x ＝v 0t y ＝12 gt 2 tan θ＝y x 可求得t ＝2v 0tan θg 丙 2．对着斜面平抛(如图丙) 方法：分解速度 v x ＝v 0 v y ＝gt tan θ＝v y v 0＝gt v 0
可求得t ＝v 0tan θ g 模型四 对着竖直墙壁的平抛运动(如图丁) 丁 水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同． t ＝d v 0 例1 如图，从半径为R ＝1 m 的半圆AB 上的A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经t ＝0.4 s 小球落到半圆上．已知当地的重力加速度g ＝10 m/s 2，则小球的初速度v 0可能为( ) A ．1 m/s B ．2 m/s C.3 m/s D ．4 m/s 【解析】 由于小球经0.4 s 落到半圆上，下落的高度h ＝12gt 2＝0.8 m ，位置可能有两处， 如图所示． 第一种可能：小球落在半圆左侧，v 0t ＝R －R 2－h 2＝0.4 m ，v 0＝1 m/s 第二种可能：小球落在半圆右侧， v 0t ＝R ＋R 2－h 2，v 0＝4 m/s ，选项A 、D 正确． 【答案】 AD 例2 如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )