三、平抛运动及其推论
平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合
平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度。=g 恒定，所以竖直方向上在相 珂：为：旳=1：$：5… 竖直方向上在相等的时间内相邻 审'（T 表示相等的时间间隔）。
（4）在同一时刻， 水平方向之间的夹角是
日）是不相同的，其关系式歼（即任意一点的速度延长线 必交于此时物体位移的水平分量的中点）。
一、知识点巩固：
1. 定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加 速度g ,这
样的运动叫做平抛运动。
2. 特点：①受力特点：只受到重力作用。
② 运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为
g ,轨迹为抛物线。
③ 运动性质：是加速度为 3. 平抛运动的规律：①速度公式：
g 的匀变速曲线运动。
V x V o V y gt
合速度: V t
J V
； V
：翻
g?"
tan a
V
y g
V x V o
v/a^ a vv ②位移公式:
x V o t, y
gt 2
2
合位移：s
^t 2 如2
tan Q
gt 2V o
③轨迹方程:
顶点在原点（0、0），开口向下的抛物线方程。
注： （1） 运动。
(2) 平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为丿= （3） 等的时间内相邻的位移的高度之比为
的位移之差是一个恒量
平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为 a ）方向和位移方向（与
l
描绘平抛运动的物理量有"0、卩丿、V、斗、尸、占、a、0、f，已知这八个物理量中的任意两个，可以
求出其它六个。
运动分类加速度速度位移轨迹
分运动
龙方向0 直线
丿方向g 1 a直线合运动大小g 抛物线
与K方向的
夹角
90 口
tan a
—
tan 日=
2^0
4.平抛运动的结论:
①运行时间：t ，由h,g决定，与V o无关。
③任何相等的时间t内，速度改变量v=g t相等，且
④以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速
度与斜面的夹角a相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）
tan(a )空么
V x V o
⑤速度V的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan 变大，，速度V与重力的方向越来越靠近，但永远不能到达。
⑥从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。
5、斜抛运动：
定义：将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度抛出，且物体只在重力作用下（不
计空气阻力）所做的运动，叫做斜抛运动。它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向上不受力，加速度为0;在竖直方向上只受重力，加速度为g。设初速度V0与水平方向夹角为
②水平射程：x v0
^2h，由h,g, V o共同决定。
所以tan (a ) 2tan ,0为定值故a也是定值，与速度无关。
V g t，方向竖直向下。
如上图：所以t ^V O tan
g
g
6、类平抛运动问题：
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，应掌握这类问题的处理思路、方法并迁移到讨论类 平抛运动(如带电粒子在匀强电场中的偏转等)的问题上来.
(1)类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直 (初速度V 0的方向
不一定是水平方向，即合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速 度g) ?
(2) 类平抛运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动的合 运动.处理类
平抛运动的方法与处理平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如 何. 7、平抛运动中的临界问题：
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大 或极小，让临界问题突现出来，找出产生临界的条件.
例：如图所示，排球场总长为18m ，球网高度为2m 运动员站在离网3m 的线上(图中虚线所 示)正对网向
上跳起将球水平击出(球在飞行过程中所受空气阻力不计，g 取10m/s 2
).
(1)设击球点在3m 线的正上方高度为处，试问击球的速度在什么范围内才 能使球既不触网也不越
界？
⑵若击球点在3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度 多大，球不是触网就是越
界，试求这个高度.
二、平抛运动的常见问题及求解思路：
关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运 动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特 点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。
1.从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度：
求解一个平抛运动的水平速度的时候， 我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上 的自由
落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。
［例1］如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在 A 处越过卞=5郴的壕沟，沟面对面 比A 处
低h 八2皿，摩托车的速度至少要有多大？ g 取10m/s 2
。
解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间
2^1.25
5 = 0.3 & 10
在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为
Vn =—=啊&二 10 阴 JS ° r 05
速度: V x V 0 cos 位移：x V 0 cos
V y V 0sin
gt
y v 0sin t 1 .2
2gt
回落原水平面时间:
v 0 cos
Jvsin
g
水平射程：x 込
45
时，x 最大。
所以
g 9.8
抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出:
所以
所以答案为Co
3. 从分解位移的角度进行解题：
对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角 的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解 成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫 做“分解位移法”）
［例3］如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度 卩0同时水平向左与水平向右抛出 两个小球A 和B,两侧斜坡的倾角分别为3严和刃°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力， 则A 和B 两小
球的运动时间之比为多少？
解析：刃□和5歹都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方 法可以得到
所以有 同理
2.从分解速度的角度进行解题
对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，贝賊们常常是“从 分解速度”的角度来研究问题。
［例2］如图甲所示，以s 的初速度水平抛出的物体，飞 行一段时间后，垂直地撞在倾角 物体
完成这段飞行的时间是（
—5
3
A.
辰
B.
日为刃。的斜面上。可知
）
2j3
5
C.
先将物体的末速度耳分解为水平分速度和竖直分速度Uy （如图乙所示）。根据 平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以
卩“ =% ；又因为叫与斜面垂
直、丫尸与水平面垂直，所以耳与间的夹角等于斜面的倾角日。再根据平抛运动的分解可知 物体在竖直
解析: 动，那么我们
求出时间￡
￥ 八」 丫 昨 9 8 厂 做自由洛体运 片根据'曲总tan 缈 1
- &就可以
了。则
忑
方向 根据平
贝 y
（］ ： q —夕：16
4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解：
在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常 常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的 初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。 ［例4］某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知兀\二乳工=0= $，比二匸，求叫。
解析：A 与B B 与C 的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设 A
到B 、B 到C 的时间为T ，贝U
=
又竖直方向是自由落体运动， 则
代入已知量，联立可得
ic —b
5.从平抛运动的轨迹入手求解问题：
［例5］从高为H 的A 点平抛一物体，其水平射程为曲，在A 点正上 方高为2H 的B 点，向同一方向平
抛另一物体，其水平射程为 忘。 物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的 高度。
解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们 换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很 容易，如图5所示，物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在 设A 、B 两方程分别为
P 二处'我兀4疋，
y = 必+ ■? 则把顶点坐标A （0，H ）、B （0,卩二-宜
2H ）、E （2&，0）、F ^，0）分别代入可
得方程组
了
H 2
这个方程组的解的纵坐标，即为屏的高。 6.灵活分解求解平抛运动的最值问题
［例6］如图所示，在倾角为日的斜面上以速度叫水平抛出一小球， 开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距 离为多少？
解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动， 虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理 本质凸显出来。
取沿斜面向下为芜轴的正方向，垂直斜面向上为丁轴的正方向， 如图6所示，在7轴上，小球做初速度为卩涉加日、加速度为-国E B 的匀变速直线运动，所以有
I I So I
2十J
E — — — — ■— * — + — T 1
7]
A| , I
F
十 F_T-
I I \ I
I I hl _ _ J ___ _1_
I !印、
□
尸轴上的抛物线，即可
该斜面足够长，则从抛出
A
由以上两式得
3
□
Vy -（y^ sin =~2gyco^3 ①
◎-卩㈣ 0 = -gcg& ②
当= 时，小球在》轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。 由①式可得小球离开斜面的最大距离
2g 匸 GS&
当"厂0时，小球在y 轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出 运动到离开斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为
如图所示，由图可得和
又因为所以
由以上各式可得，解得 推论2:任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形 ［例2］宇航员
（2评+X =仏冋）'站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小
球，经过时间■^， F 小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为
』，若抛出时初速度 为=击 增大到两倍，贝拋出点与落地点之间的距离为 。已知两落
地点在同一水平面 上，该星球的半径为R,万有引力常数为G,求该星球的质量M
解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为 X ，竖直位移为;J ，如图8所示，构建位移 矢量直
角三角形有：
用‘ +必=F
若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形， 如图所示有
7.利用平抛运动的推论求解：
推论1任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角 形。 ［例1］从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大 小
分别为巧和耳，初 过多长时间两小球
"2=垒
速 度方向相反，求经
速仙0 =生度之间的夹角为
厘+戸= 90。
"17
90° ?
戲吟
解析：设两小球抛片
9严，与竖直方向的夹
矢量直角三角形
cot 旣=tan 0
W 屁 经过时间￡，它们速度之间的夹角为 别为◎和Q ,对两
小球分别构建速度
出后 角分
h
令星球上重力加速度为 孑，由平抛运动的规律得 由万有引力定律与牛顿第二定律得 由以上各式解得
即质点距斜面的最远距离为
推论4:平抛运动的物体经时间^后，其速度耳与水平方向的夹角为，位移丘与水平方向的 夹角为泾，则有
［例4］如图所示，从倾角为日斜面足够长的顶点A,先后将同一小球以不同的初速度水平向 右抛出，第
一次初速度为"丄，球落到斜面上前一瞬间"丄拧 宜 的速度方向与斜面的夹角为舛，第二次 里氈* 初速度卩2,球 落在斜面上前一瞬 聽二2问0 间的速度方向与斜
30?
面间的夹角为勺，若卩士〉卩1，试比较斶和段丁的大小。
解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得
tan （旣 + 日）=2 tan 8
推 水
平位移的中点。 ［例
3］如图所示， 点以初
速度卩。从三角 最远距离。
解析：当质点做 的距离最远，此时末
V
— tsn 日 Vo 3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动
水平面的夹角为耳的直角三角形木块固定在地面上，有一质 形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的
屈=血逻竺￡速度的方向与初速
平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面
度方向成&角。如图所示，图中 向延长线与水平位移的交点，AB 远距
离。根据平抛运动规律有：
tan = 2 tan JS
由上述推论3知
据图9中几何关系得/￡ =貝0血8 由以上各式解得
2g
vj tan 0sm d A 为末速度的反
—石—即为所求的最