三年级高斯求和
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第3讲：高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例1：计算下列数列的和
（1）1，2，3，4，5，，100；
（2）1，3，5，7，9，，99；
（3）8，15，22，29，36，，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；
（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
（4）
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2例2：计算下面数列的和
1＋2＋3＋＋1999
分析：这串加数1，2，3，，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得
解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例3：计算下面数列的和
11＋12＋13＋＋31
分析：这串加数11，12，13，，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
解：原式=（11+31）×21÷2=441
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
例4：计算下面数列的和
3＋7＋11＋＋99
分析：3，7，11，，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25
解：原式=（3＋99）×25÷2＝1275
例5：求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例6：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米（2）整个图形由多少根火柴棍摆成分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（平方厘米）
2）火柴棍的数目为3＋6＋9++24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例7：盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋＋2×10＝2×（1＋2＋＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
解：综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3
＝113（只）
课后练习：
1.计算下列各题：
（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
（2）2＋4＋6＋＋200
（3）17＋19＋21＋＋39
（4）5＋8＋11＋14＋＋50
（5）3＋10＋17＋24＋＋101
（6）48＋50＋52＋54＋56＋58＋60＋62
（7）21＋23＋25＋27＋29＋31
（8）7＋10＋13＋…＋37＋40
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和
4.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
5.已知等差数列2，5，8，11，14，…
（1）这个数列的第13项是多少？
（2）47是其中的第几项？
6.一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？
7.在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。
高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 项数=（末项-首项）÷公差+1。 末项=首项+公差×（项数-1）。 对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理
【例题讲解及思维拓展训练】 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 【思维拓展训练一】 1、11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 2、3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例2 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 【思维拓展训练二】 1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。 例3 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表： 由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。
2109年小学四年级奥数经典30讲 目录 第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三）
第19将乘法原理 第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）
第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下： 6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：
等差数列与高斯求和 1、计算下列各题： （1）11＋14＋17＋ (101) （2）2＋6＋10＋ (90) （3）297＋293＋289＋ (209) （4）193＋187＋181＋ (103) （5）1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70； （6）2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋…＋92＋94＋98＋100； （7）1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋103＋102－101。 2、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5个数。 3、在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？ 4、左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？ 5、有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。问：这堆圆木共有多少根？ 6、在上题中，如果最下面一层有98根，这堆圆木共有2706根，那么共堆了多少层？ 7、用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？ 8、某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。问：这个剧院一共有多少个座位？ 9、小明从1月1日开始写大字，第1天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？ 10、一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。问：最上面一层放了几本
书？ 11、学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛。问：有多少人参加了选拨赛？ 12、跳棋棋盘（如左下图）上一共有多少个棋孔？ 13、右上图中的正六边形棋盘上共有多少个棋孔？ 14、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形按左下图所示铺满一个大的等边三角形，已知这个大的等边三角形的底边放有10根火柴，那么一共要用多少根火柴？ 15、有一个六边形点阵（右上图），它的中心是一个点，看做第1层，第2层每边2个点，第3层每边3个点……这个六边形点阵共100层。问：这个点阵共有多少个点？ 16、求前100个既能被2整除又能被3整除的数之和。 17、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 18、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？ 19、在1～200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？ 20、求所有加6以后能被11整除的三位数的和。 21、在所有的两位数中，十位数字比个位数字小的两位数有多少个？ 22、一个数列有11个数，中间一个数最大。从中间的数往前数，一个数比一个数小2；从中间的数往后数，一个数比一个数小3。这11个数的总和是200，那么中间的数是几？
小学奥数基础教程（四年级） 第1讲速算与巧算（一） 第2讲速算与巧算（二） 第3讲高斯求和 第4讲 4，8，9整除的数的特征 第5讲弃九法 第6讲数的整除性（二） 第7讲找规律（一） 第8讲找规律（二） 第9讲数字谜（一） 第10讲数字谜（二） 第11讲归一问题与归总问题 第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法 第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二） 第16讲数阵图（一） 第17讲数阵图（二） 第18讲数阵图（三） 第19将乘法原理 第20讲加法原理（一） 第21讲加法原理（二） 第22讲还原问题（一） 第23讲还原问题（二） 第24讲页码问题 第25讲智取火柴 第26讲逻辑问题（一） 第27讲逻辑问题（二） 第28讲最不利原则 第29讲抽屉原理（一） 第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思 维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补 速算法。 例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。 求这10名同学的总分。 分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数 虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到 总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11- ＝800＋9＝809。 实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：
奥数高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列） 德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题 让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案 等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广 泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中 第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末 项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加 数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时 就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，能够得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。
第3讲高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到 等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
数阵与幻方 【知识点与方法】 一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。 二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。然后对称找和相等的成对的项。 【经典例题】 例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。 例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。 例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。 例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 练习与思考
1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。 2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。 （2题图） （3题图a） （3题图b） 3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法) 4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。 （4题图） （5题图） 5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。 7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
高斯求和、新定义 一、高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？ 和=（首项+末项）×项数÷2；（项数=（末项-首项）÷公差+1） 例1、1＋2＋3＋...＋1999＝11＋12＋13＋...＋31＝3＋7＋11＋ (99) 例2、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 举一反三、数一数图中各有多少个三角形。 例3、求100以内除以3余2的所有数的和。
举一反三、在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？ 例4、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 举一反三、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？ 【巩固练习】 1、计算下图中，共有多少个长方形。 2、奥数6班开学第一天每两位同学互相握手一次，全班10人，共握手多少次？
二、定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 例1、对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b 。求12*4的值。 举一反三、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。 例题2、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么 7*4=________；210*2=________；4*4=________。 举一反三、如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝________。 例题3、规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果 A ?=⑧ ⑦⑥1 1-1,那么，A 是几？ 举一反三、设a ⊙b=4a －2b+ab 2，求x ⊙（4⊙1）＝52中的未知数x 。
四年级数学高斯求和讲解 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
高斯求和 德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 ]例1 1＋2＋3＋ (1999) 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋ (31) 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋ (99) 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
第1讲高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为，末项为，公差为的等差数列； （2）是首项为，末项为，公差为的等差数列； （3）是首项为，末项为，公差为的等差数列；
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理 【例题讲解及思维拓展训练】 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 【思维拓展训练一】 1、11＋12＋13＋…＋31＝？ 2、3＋7＋11＋…＋99＝？ 例2（2+4+6+......+2012）-（1+3+5+ (2011) 【思维拓展训练二】 1、（7+9+11+......+25）-（5+7+9+ (23) 2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60
例3 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 【思维拓展训练三】 1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和 【思维拓展训练四】 1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？ 2、在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？
1．钟声 小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。 假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？ 2．越减越多 同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去1个角，还剩几个角？”这种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。 图1 以上3幅示意图，表明了3种不同情况的3种不同答案。其中第3种情况最有趣，长方形原有4个角，切去了1个角，反而多了1个角，出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。 “一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是立体的“角”，它不同于平面上的角。 3．数一数 如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还不会数数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何图形的个数。 4．画一画 下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画） 5．最短的路线 养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下图）。为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又
不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。 6．切西瓜 六（1）班召开夏夜乘凉晚会，买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定，西瓜只能竖切，不能横剖。大家知道，切一刀最多分成2块，切2刀最分成多4块，那么切3刀最多能分成几块？切4刀、切5刀、切6刀呢？这中间有没有规律？如果有规律，请同学们找出来。”李老师刚说完，同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。 7．均分承包田 有一块等腰梯形菜地（如下图），地边有一口水井。现在3户种菜专业户都提出要承包这块地。经研究，决定让这3户共同承包这块地，因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的3块地。你能帮助解决这个问题吗？ 8．巧分食盐水 大家在常识课上认识了量杯。快下课时，王老师让我们用手中的量杯做一个智力小游戏： 有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个，请你用这三个量杯把水槽中的100毫升食盐水平均分成两份，但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试一试，至少要分几次才成？ 9．扩大鱼池 养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如下图），喜获丰收。为了进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：①扩大后的鱼池必须仍是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍；③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。你能替张强设计一个施工草图吗？ 10．巧妙的算法（一） 请你仔细观察上面这些算式，试着找出某种规律，并利用这个规律迅速算出下面式子的答案： （1）1+3+5+7+9+11+13+15 （2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25
从小高斯求和故事谈起 伟大的德国数学家高斯有着“世界数学王子”的美誉。小高斯上小学三年级的时候，他的数学教师在黑板上给同学们写下了一个长长的算式：1＋2＋3＋4＋5……＋98＋99＋100。可老师刚写完题目，就有同学说：“哇！这是多少个数相加呀？多难算呀！”这时老师也很得意，他想：你们这些调皮蛋就是乖乖算上1节课时间，也不一定会有正确结果的。 不一会儿，小高斯却拿着写有答案的小石板过来了，说“老师，我算出来了。”老师头也不抬地说：“去！去！去！，别瞎胡闹！”可小高斯坚持不走，说：“老师，我是认真的。”老师接过小石板一看，惊讶得几乎说不出话来，没想到这个10岁的孩子居然这么快就算出了正确答案。 大家想想，小高斯是怎样算的呢？原来小高斯不像其他同学那样一个数一个数地相加，而是通过细心观察、发现了以下规律：1和100，2和99，3和98……这样配对，共有50对数，每一对数的和都是101，求50个101的和可以用乘法很快算出正确结果。 小高斯用配对求和的故事，使我深受启发，要想算得又巧又快，就要动脑思考，还要善于观察，发现题目的构造规律。以上问题是从1开始的连续自然数求和，相邻两个自然数的差都是相等的，这样的数列求和，还可以用颠倒相加的方法求和：
和 = 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋…… ＋ 97 ＋ 98 ＋ 99 ＋100 和 = 100 ＋ 99 ＋ 98 ＋ 97 ＋…… ＋ 4 ＋ 5 ＋ 2 ＋1 2倍和 = 101＋101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＋101 所以 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋…… ＋ 97 ＋ 98 ＋ 99 ＋100 ＝（ 1 ＋ 100 ）× 100 ÷ 2 ＝ 5050 有兴趣的同学，请做下面的思考题： （1）1＋2＋3＋4＋5＋…＋198＋199＋200 （2）2＋4＋6＋8＋10＋…＋96＋98＋100 （3）5＋10＋15＋20＋25＋…＋490＋495＋500 名师点评：文中小作者叙述了经典的高斯求和故事，当大家都在埋头苦算的时候，小高斯却细心观察数字的规律，最终找到了简便的求和方法。小作者也从高斯求和的故事中明白了：“要想算得又巧又快，就要动脑思考，还要善于观察，发现题目的构造规律”，看来小作者的收获不小。小作者还把掌握的规律运用到实际中，学以致用，值得表扬。 文章的条理清晰，内容也很有意义，告诉同学们学习也是需要寻找方法的。文章的语句通顺连贯，小作者的文字功底不错，写得挺好的。
1、板书：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 2、围绕这一道数学题目，一直流传着这样一个故事。故事的主人翁是高斯，高斯是德国乃至世界著名的数学家，有着“数学王子”的美誉。高斯8岁时聪明过人，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案。 现在请同学们计算一下这道题目。 3、讲解 方法一：配对求和 方法二：倒序相加 方法三：公式法 介绍等差数列：小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9； 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为9，公差为2的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 分析与解：这串加数1，2，3，…，10是等差数列，首项是1，末项是10，共有10个数。由等差数列求和公式可得原式=（1＋10）×10÷2＝55。 例2：计算：1+2+3+4+…+29+30 例3：1+3+5+7+…+97+99 练习： 1.计算：1+2+3+4+…+18+19 2.计算：2+4+6+8+…+98+100 3. 计算11＋12＋13＋ (31) 4.有一串数，共有16个，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90。这串数连加，和是多少？ 5.一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。这堆圆共多少根？
四年级奥数高斯求和 问题
小学奥数专题——高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
第一讲差倍问题 1、小高比萱萱多20朵玫瑰花，小高的数量是萱萱的3倍，那么萱萱有（）朵玫瑰花。 2、小商比墨莫多30张积分卡，小高的数量是墨莫的4倍，那么小高有（）张积分卡。 3、屋子里有很多猫和老鼠，老鼠的数量是猫的4倍，并且猫比老鼠少了27只，那么屋里有只老鼠。 4、屋子里有很多猫和老鼠，老鼠的数量是猫的3倍，并且猫比老鼠少了20只，那么屋里有只猫。 5、动物园里有很多猴子和猩猩，已知猴子的数量比猩猩的3倍多5只，并且猴子比猩猩多25只，那么动物园里有只猩猩。
6、动物园里有很多狮子和老虎。已知狮子的数量比老虎的2倍多4只，并且狮子比老虎多22只，那么动物园里有只老虎。 7、爷爷的年龄比爸爸的2倍少10岁，爷爷比爸爸大了28岁，那么爷爷是岁。 8、爷爷的年龄比爸爸的2倍少5岁，爷爷比爸爸大了27岁，那么爷爷是岁。 9、姐姐的小红花是妹妹的5倍，如果姐姐给妹妹20朵小红花，那么两人就一样多，那么原来姐姐有朵小红花。 10、姐姐的小红花是妹妹的5倍。如果姐姐给妹妹10朵小红花，那么两人就一样多，那么原来妹妹有朵小红花。
第二讲和差倍中的隐藏条件 1、小高、萱萱和卡莉娅三人一共有100元，小高给了萱萱10元，萱萱给了卡莉娅20元，卡莉娅给了小高元30元后，三人一个有元。 2、小高、萱萱和卡莉娅一共有200元，小高给了萱萱40元，萱萱给了卡莉娅30元，卡莉娅给了小高50元后，三人一共有元。 3、小山羊和卡莉领一共有1OO元钱，小山羊给卡莉娅了一些之后小山羊的钱数是卡莉娅的3倍，那么此时小山羊有元。 4、小山羊和卡莉娅一共有90元钱。小山羊给卡莉娅了一些之后小山羊的钱数是卡莉娅的2倍。那么元此时小山羊有元。
小学奥数专题——高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1、 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999 个数。由等差数列求和公式可得． 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2、11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。 例3、3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
三年级数学思维训练：等差数列（三年级）竞赛测试 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分 得分 一、xx题 （每空xx 分，共xx分） 【题文】（1）2，5，8，11，14，…．上面是按规律排列的一串数，其中第21项是多少？ （2）把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？ 【答案】（1）第21项是62．（2）第21个是141． 【解析】 试题分析：（1）该数列的首项是2，公差是5﹣2=3，根据第n项an=首项+（n﹣1）×公差，求出第21项是多少即可； （2）该数列的首项是101，公差是2，根据第n项an=首项+（n﹣1）×公差，求出第21个是多少即可．解：（1）该数列的首项是2，公差是5﹣2=3， 第21项是：2+（21﹣1）×3=62 答：第21项是62． （2）把比100大的奇数从小到大排成一列， 该数列的首项是101，公差是2， 第21个是：101+（21﹣1）×2=141． 答：第21个是141． 点评：此题主要考查了等差数列的性质的应用，解答此题的关键是要明确：第n项an=首项+（n﹣1）×公差． 【题文】如图，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖…按照这样的规律，第19层有多少块砖？ 【答案】73块. 【解析】 试题分析：首先根据题意，可得从上往下，每层砖的数量构成一个等差数列，数列的首项是1，公差是5﹣1=4；然后根据第n项an=首项+（n﹣1）×公差，求出第19层有多少块砖即可． 解：每层砖的数量构成一个等差数列，数列的首项是1，公差是5﹣1=4； 第19层砖的数量： 1+（19﹣1）×（5﹣1）=73（块） 答：第19层有73块砖． 评卷人得分